北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数
备考篇
【考情探究】
课标解读
考情分析 备考指导
主题 内容
1.了解函数三要素及分段函数,会求简单函数的定义
一、函数的 1.本专题重点考查以基
域.
概念 2.会根据不同需要选择恰当方法表示函数. 本函数或由基本函数 1.本专题内容为高考
组合的函数为载体,考
热点.考题难度覆盖
二、函数的 了解函数奇偶性、周期性的含义,理解函数单调性、
查函数的三要素、表
易,中,难.题型主要以
基本性质 最值及几何意义. 示方法及性质、图象.
选择题或填空题的形
三、二次函 了解二次函数、幂函数的概念,理解二次函数图象并 特别是以指数、对数
式出现.
数与幂函数 简单应用. 函数为载体,新高考Ⅰ
2.处理函数性质的相
了解指数函数模型背景,实数指数幂的含义,理解有 第6题考查了指数函
四、指数与 关问题,常画出函数
理指数幂的含义,指数函数的概念,单调性.掌握幂的 数及对数函数的数学
指数函数 的图象,利用数形结
运算,指数函数的图象. 模型的应用.
合法解决,综合考查
理解对数的概念和运算性质,了解对数函数的概念及 2.常结合函数性质、分
五、对数与 函数的单调性、奇偶
性质,掌握对数函数的图象经过的特殊点,会用换底 段函数考查函数的零
对数函数 性、对称性,并注意
公式. 点与方程根的问题.
函数与不等式的转化
六、函数的 理解描点法作图和图象变换.利用函数图象讨论函数 3.函数与其他知识结合
应用.
图象 性质. 考查.如函数与数列、
3.要关注在数列、解
函数与不等式、函数
七、函数与 了解函数零点与方程根的联系. 与解析几何.考查数形 析几何中的最值问题
方程 以及数学建模解决实
结合、分类讨论、转
八、函数模 际问题.
了解函数模型的广泛应用,基本函数等不同函数类型 化与化归、函数与方
型及函数的
的增长意义. 程等思想方法.
综合应用
【真题探秘】
核心考点
函数的单调性、奇偶性,抽象函数及不等式.
思路分析
利用函数奇偶性和单调性画出示意图,结合图象解不等式.
核心素养
直观想象、逻辑推理.
思想方法
分类讨论思想、数形结合思想.
方法总结
奇偶性与单调性综合的两种题型及解法:
1.比较大小.一般解法是先利用奇偶性将自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.
2.抽象不等式问题.解题步骤:(1)将所给不等式转化为两个函数值的大小关系;(2)利用奇偶性得出其区间上的单调性,并利用北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
单调性“脱去”函数符号“f”,转化为解不等式(组)的问题,注意偶函数中结论f(x)=f(|x|)的灵活运用.
[教师专用题组]
1.真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
单项 函数的奇偶性
2020新高考Ⅰ,8 5 难 奇函数与解不等式 数形结合 逻辑推理
选择题 与单调性
单项 已知单调性求参数取值
2020新高考Ⅱ,7 5 中 函数的单调性 定义法 逻辑推理
选择题 范围
单项 函数模型及其应 数学建模
2020新高考Ⅰ,6 5 中 指数函数的应用 待定系数法
选择题 用 数学运算
2020课标Ⅰ文,8 5 选择题 易 指数式与对数式 指数与对数的互化 公式法 数学运算
2020天津,3 5 选择题 易 函数图象的识辨 由解析式判断图象 排除法 逻辑推理
2020北京,6 4 选择题 易 函数图象的应用 结合图象求不等式解集 图象观察法 逻辑推理
2020天津,6 5 选择题 中 指数式与对数式 指数与对数的大小比较 中间量法 数学运算
函数模型及其应 数学建模
2020北京,10 4 选择题 中 函数模型的应用 综合法
用 数学运算
指数函数与 指数、对数函数的 放缩法
2020课标Ⅰ理,12 5 选择题 难 逻辑推理
对数函数 单调性的应用 定义法
数学建模
函数模型及其应 与函数有关的实 数形结合
2020北京,15 5 填空题 中 逻辑推理
用 际应用问题 直接法
数学运算
对数函数、反比例函数
2020北京,11 5 填空题 易 求函数的定义域 定义法 数学运算
的定义域
由零点个数求参数的范 数学运算
2020天津,9 5 选择题 难 函数零点 数形结合
围 逻辑推理
2.命题规律与探究
1.从2020年高考情况来看,本章内容为高考热点,考题难度覆盖易、中、难,题型主要以选择题或填空题的形
式出现.
2.本章内容在2020年高考试题中多以基本初等函数,特别是指数、对数函数为载体,如新高考Ⅰ卷第6题,课
标Ⅰ卷第8(文)、12(理)题、北京卷第6、11题等,这些题以指数、对数运算为主线,考查了指数、对数函数
的图象及性质.
3.在处理函数性质的相关问题时,可利用数形结合法画出函数图象,综合考查函数的单调性、奇偶性、对称
性,并注意函数与不等式的转化运用,如新高考Ⅰ卷第8题.
4.本章重点考查的核心素养为数学运算和逻辑推理.
3.命题变化与趋势
1.高考对本章内容的考查较为稳定,考查方式及题目难度与往年相比变化不大,延续此前的考试风格.
2.考查内容主要体现在以下方面:①函数模型及其应用,如新高考Ⅰ卷第6题,基于新冠肺炎疫情初始阶段累
计感染病例数的数学模型的研究成果,考查了相关的数学知识和从资料中提取信息的能力,突出数学模型的
应用,同时考查了利用单调性解不等式、比较大小,利用周期性求函数值;②结合函数性质、分段函数考查函
数的零点与方程的根的问题;③函数与其他知识结合考查,如函数性质与数列结合考查,函数知识在概率问题
中的应用等.常以这些内容为考查重点,同时需要加强对数形结合思想和分类讨论思想在解决函数问题中的
应用,备考时需给予关注和强化.
3.适当关注函数与其他章节知识的交汇应用,如在数列中求最值,解决解析几何中最值问题以及函数在实际
问题中的应用.
§3.1 函数的概念北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
基础篇
【基础集训】
考点一 函数的有关概念
1.设函数f(x)=lg(1-x),则函数f(f(x))的定义域为 ( )
A.(-9,+∞) B.(-9,1) C.[-9,+∞) D.[-9,1)
答案 B
2.下列函数为同一函数的是 ( )
A.y=x2-2x和y=t2-2t B.y=x0和y=1
C.y= 和y=x+1 D.y=lg x2和y=2lg x
√(x+1)2
答案 A
1
3.函数f(x)= +√x2-1+(x-4)0的定义域为 .
2-|x|
答案 {x|x<-2或-2<x≤-1或1≤x<2或2<x<4或x>4}
f (2x-1)
4.若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)= 的定义域为 .
√x-1
答案 ( 3]
1,
2
考点二 函数的表示方法
5.下列图象可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域,以N={y|0≤y≤1}为值域的函数的是 ( )
答案 C
6.已知f(2x+1)=x2-2x,则f(x)= ,
f(3)= .
1 3 5
答案 x2- x+ ;-1
4 2 4
7.已知函数f(x)={ x2+1,x>0, 则f( f ( - 1))= .
-x2+1,x<0, 2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
25
答案
16
8.设函数f(x)={x2+2x+2,x≤0,
若f(f(a))=2,则a= .
-x2,x>0.
答案 √2
[教师专用题组]
【基础集训】
考点一 函数的有关概念
若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则f(1)= ( )
A.2 B.0 C.1 D.-1
答案 A 令x=1,得2f(1)-f(-1)=4①,令x=-1,得2f(-1)-f(1)=-2②,
联立①②,解得f(1)=2.故选A.
考点二 函数的表示方法
1.已知函数f(x)={2x+1,x<1,
若f(f(0))=4a,则实数a等于 ( )
x2+ax,x≥1,
1 4
A. B. C.2 D.9
2 5
答案 C f(f(0))=f(2)=4+2a=4a⇒a=2,选C.
2.(2020浙江Z20联盟开学联考,6)已知函数f(x)={|x+2|-1,x≤0,
若f(a)≤1,则实数a的取值范围是
log x,x>0,
2
( )
A.(-∞,-4]∪[2,+∞) B.[-1,2]
C.[-4,0)∪(0,2] D.[-4,2]
答案 D 本题考查分段函数的概念以及不等式的解法;考查学生数学运算的能力和分类讨论的思想;考查
了数学运算的核心素养.
由f(a)≤1得{ a≤0, 或{ a>0, 解得-4≤a≤0或0<a≤2,即实数a的取值范围是[-4,2],故选D.
|a+2|-1≤1 log a≤1,
2
3.(2019河南洛阳模拟,7)若函数f(x)={ 8-2x,x≤2, (a>0且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围
3+log x,x>2
a
是 ( )
A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(1,2]
D.(√52,2]
答案 D 当x≤2时,f(x)=8-2x∈[4,8),
当x>2时,f(x)=3+logx,
a
∵函数f(x)的值域是[4,+∞),
∴当x>2时的值域是[4,+∞)的子集,北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
若0<a<1,则函数f(x)为减函数,不满足条件.
∴a>1.当x>2时,f(x)=3+logx是增函数,且f(x)>3+log2,
a a
此时只需4≤3+log2<8,即1≤log2<5,
a a
1 1
也即1≤ <5,则 <loga≤1,
log a 5 2
2
解得 <a≤2,即实数a的取值范围是( ,2].故选D.
√52 √52
4.(2018福建福州模拟,6)设函数f(x)={ 0,x≤0, 则满足f(x2-2)>f(x)的x的取值范围是 ( )
2x-2-x,x>0,
A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-∞,-√2)∪(√2,+∞)
C.(-∞,-√2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(√2,+∞)
答案 C 由题意知,x>0时, f(x)递增,故f(x)>f(0)=0,又x≤0时, f(x)=0,故若f(x2-2)>f(x),则x2-2>x,且x2-2>0,解得
x>2或x<-√2,故选C.
{
ex,x≤0,
5.(2019北京西城期末文,13)设函数f(x)= 则f(f(0))= ;若方程f(x)=b有且仅有3
1
-x2+x+ ,x>0,
4
个不同的实数根,则实数b的取值范围是 .
答案 1;(1 1)
,
4 4 2
1 1
解析 ∵f(0)=e0=1,∴f(f(0))=f(1)=-12+1+ = .
4 4
作出分段函数y=f(x)的图象,再观察y=b的图象.
∴b∈(1 1)时,方程f(x)=b有且仅有3个不同的实数根.
,
4 2
综合篇
【综合集训】
考法一 函数定义域的求法
1.函数y= 的定义域是 ( )
√1-log x
2
A.(-∞,2] B.(0,2] C.(-∞,1] D.[1,2]北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
答案 B
2.若函数f(x)= 的定义域为一切实数,则实数m的取值范围是 .
√mx2+mx+1
答案 [0,4]
f (x2)
3.已知函数y=f(x)的定义域是[0,2],那么g(x)= 的定义域是 .
1+lg(x+1)
答案 ( 9 )∪( 9 ]
-1,- - ,√2
10 10
考法二 函数解析式的求法
4.若二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,则g(x)的解析式为 ( )
A.g(x)=2x2-3x B.g(x)=3x2-2x
C.g(x)=3x2+2x D.g(x)=-3x2-2x
答案 B
5.已知函数f(x)满足f(x)+2f(-x)=ex,则函数f(x)的解析式为 .
2 1
答案 f(x)= e-x- ex
3 3
6.已知函数f(x)= ax ,若f(x)+f(1)=3,则f(x)+f(2-x)= .
x-1 x
答案 6
考法三 分段函数问题的解题策略
7.(2019山西太原三中模拟,10)设函数f(x)={ x2-1(x≥2), 若f(m)=3,则实数m的值为( )
log x(0<x<2),
2
A.-2 B.8 C.1 D.2
答案 D
{ 2x+a,x<1,
8.已知实数a≠0,函数f(x)= 若f(1-a)=f(1+a),则a的值为( )
-x-2a,x≥1,
3 3 3 3
A.- B. C.- D.
4 4 5 5
答案 A
1
{
-x3,x≤-1,
9.若函数f(x)= 则f(f(-8))= ( )
2
x+ -7,x>-1,
x
A.-2 B.2 C.-4 D.4
答案 C
10.已知f(x)={ log 3 x,x>0, 且f(0)=2, f(-1)=3,则f(f(-3))= ( )
ax+b(a>0且a≠1),x≤0,
A.-2 B.2 C.3 D.-3北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
答案 B
11.(2020山西平遥中学第一次月考)已知函数f(x)={log
2
(1-x),x<1,
若f(x)=-1,则x= .
3x-10,x≥1.
1
答案 2或
2
[教师专用题组]
【综合集训】
考法一 函数定义域的求法
1.(2020浙江镇海中学分校检测,6)已知函数f(x)= 的定义域是R,则实数a的取
√a·4x+a·2x+3a-6
值范围是 ( )
A.[2,+∞) B.[24 ) C.( 24] D.( 24]
,+∞ 0, -∞,
11 11 11
6 6 6
答案 A 令t=2x(t>0),则at2+at+3a-6≥0对t>0恒成立,所以a≥ ,又 < =2,所以a≥2.故选
t2+t+3 t2+t+3 3
A.
易错警示 忽视t>0,容易错选B.
f (2x-1)
2.(2019华南师范大学附属中学月考,8)已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则函数g(x)= 的定义域是
ln(1-x)
( )
A.[0,1] B.(0,1) C.[0,1) D.(0,1]
答案 B 由函数f(x)的定义域为[-1,1],得-1≤x≤1,令-1≤2x-1≤1,解得0≤x≤1,又由1-x>0且1-x≠1,解得x<1且
x≠0,所以函数g(x)的定义域为(0,1),故选B.
g
3.(2019徐州检测,3)函数f(x)的定义域是[-1,1],则函数f(lo
1
x)的定义域为 .
2
答案 [1 ]
,2
2
解析 因为f(x)的定义域是[-1,1],所以-1≤log x≤1,所以1≤x≤2,故所求定义域为[1 ].
1 ,2
2 2 2
考法二 函数解析式的求法
1.(2018重庆巴蜀中学二诊,4)与函数y=10lg(x-1)的图象相同的函数是( )
A.y=x-1 B.y=|x-1|
C.y=(
x-1
)
2 D.y=x2-1
√x-1 x+1
答案 C 函数y=10lg(x-1)的定义域为{x|x>1},且y=x-1.对于A,它的定义域为R,故不符合题意;对于B,它的定义
