北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
3.3 指数与指数函数
一、选择题
√ b √ a
1.(2020成都嘉祥外国语学校考试,3)已知ab=-5,则a - +b - 的值是( )
a b
A.2√5 B.0 C.-2√5 D.±2√5
答案 B ∵ab=-5,∴a与b异号,
∴a√ b+b√ a=a√ ab+b√ ab=a√ 5 +b√ 5 =a √5 +b √5 =0,故选B.
- - - -
a b a2 b2 a2 b2 |a| |b|
2.(2022届河南名校联盟11月月考,9)函数f(x)的定义域为D,若对于任意x
1
、x 2∈D,当x
1
+x
2
=2a时,恒有
f(x)+f(x)=2b,则函数f(x)的图象关于点(a,b)中心对称.已知函数f(x)=2·3x ,则f( 1 )+f
1 2
3x+√3 2 022
( 2 )+f( 3 )+…+f(2 021)的值为( )
2 022 2 022 2 022
A.4 042 B.2 021√3
C.2 022 D.2 021
答案 D 因为f(x)+f(1-x)= 2·3x + 2·31-x =2 3x + 3 =2( 3x + √3 )
3x+√3 31-x+√3 3x+√3 3+√3·3x 3x+√3 √3+3x
=2,所以由题意可得当x+x=1时,恒有f(x)+f(x)=2.
1 2 1 2
令S=f( 1 )+f( 2 )+f( 3 )+…+f(2 021),
2 022 2 022 2 022 2 022
则S=f(2 021)+f(2 020)+f(2 019)+…+f( 1 ),
2 022 2 022 2 022 2 022
两式相加得2S=2 021×2,所以S=2 021.故选D.
3.(2017北京,5,5分)已知函数f(x)=3x-(1) x ,则f(x)( )
3
A.是偶函数,且在R上是增函数北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
B.是奇函数,且在R上是增函数
C.是偶函数,且在R上是减函数
D.是奇函数,且在R上是减函数
答案 B 易知函数f(x)的定义域为R,
∵f(-x)=3-x-(1) -x =(1) x -3x=-f(x),
3 3
∴f(x)为奇函数,
又∵y=3x在R上为增函数,y=-(1) x 在R上为增函数,∴f(x)=3x-(1) x 在R上是增函数.故选B.
3 3
4.(2022届安徽安庆月考,4)已知函数f(x)=e|x|,记a=f(log
2
3),b=f(
log
1),c=f(2.11.2),则a,b,c的大小关系为(
32
)
A.a<b<c B.b<a<c
C.c<b<a D.b<c<a
答案 B 函数f(x)=e|x|的定义域为R,且f(-x)=e|-x|=e|x|=f(x),则f(x)为偶函数.当x>0时,f(x)=ex,f(x)在(0,+∞)上单
调递增,∵2=log4>log3>log2=1,0<log2<log3=1,2.11.2>2.11=2.1>2,
2 2 2 3 3
∴2.11.2>log
2
3>log
3
2>0,则f(2.11.2)>f(log
2
3)>f(log
3
2),又f(
log
1)=f(-log
3
2)=f(log
3
2),
32
∴f(2.11.2)>f(log
2
3)>f(
log
1),即b<a<c,故选B.
32
5.(2021河北唐山模拟,5)已知f(x)=2x-(1) x ,若f(m)+f(n)>0,则( )
2
A.m+n>0 B.m+n<0
C.m-n>0 D.m-n<0北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 A 由f(x)=2x-(1) x ,x∈R得f(-x)=2-x-(1) -x =(1) x -2x=-f(x),所以f(x)是定义域R上的奇函数,因为
2 2 2
y=2x和y= (1) x 均是R上的增函数,所以f(x)是增函数.又f(m)+f(n)>0,所以f(m)>-f(n)=f(-n),所以m>-n,所以
-
2
m+n>0.
思路分析 先判断f(x)是定义域R上的奇函数,且是增函数,再由f(m)+f(n)>0得出m>-n,即可得出结论.
6.(2021郑州模拟,4)已知函数f(x)=ax3-bx+1,若f(2)=5,则f(-2)=( )
A.-5 B.-3 C.3 D.5
答案 B f(x)=ax3-bx+1,x∈R,则f(-x)=a(-x)3-b×(-x)+1=-ax3+bx+1,则f(x)+f(-x)=2,则有f(2)+f(-2)=2,而f(2)=5,
所以f(-2)=-3,故选B.
解题关键 根据题意,求出f(-x)的表达式,进而可得f(x)+f(-x)=2,由f(2)的值计算可得答案.
7.(2021四川南充第二次适应性模拟,10)定义在R上的函数f(x)=-3|x+m|+2为偶函数,a=f( 1),b=f
log
22
((1) 1 ),c=f(m),则( )
3
2
A.c<a<b B.a<c<b
C.a<b<c D.b<a<c
答案 C 根据函数f(x)=-3|x+m|+2为偶函数,得f(-x)=f(x),即-3|-x+m|+2=-3|x+m|+2,变形可得|-x+m|=|x+m|,必有
m=0.则f(x)=-3|x|+2, f(x)在[0,+∞)上单调递减,
a=f(
log
1)=f(-1)=f(1),b=f((1)
3
1 )=f(√
3
1),c=f(m)=f(0),则有a<b<c,故选C.
22 2 2
思路分析 由函数f(x)为偶函数求出m的值,即可得f(x)的解析式,分析可得f(x)在[0,+∞)上单调递减,据此分
析可得答案.
8.(2022届广西柳州“韬智杯”大联考,12)已知函数y=f(x)的定义域为R,y=f(x+1)为偶函数,对任意x,x,当
1 2
x>x≥1时, f(x)单调递增,则关于a的不等式f(9a+1)<f(3a-5)的解集为( )
1 2
A.(-∞,1) B.(-∞,log2)
3
C.(log2,1) D.(1,+∞)
3
答案 B 因为y=f(x+1)为偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),得函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
因为y=f(x)在[1,+∞)上为增函数,所以函数y=f(x)在(-∞,1]上为减函数.不等式f(9a+1)<f(3a-5)等价于|9a+1-1|<|
3a-5-1|,即|3a-6|>9a⇒3a-6>9a或3a-6<-9a,令3a=t(t>0),得t2-t+6<0或t2+t-6<0.解得0<t<2,即0<3a<2,所以a<log
3
2.故
选B.
9.(2022届河南重点中学模拟一,11)f(x)=2x-e|x|
的最大值与最小值之差为( )
e|x|
4 4
A.-4 B. C. -4 D.0
e e
答案 B f(x)=2x-e|x| = 2x -1,设g(x)= 2x ,x∈(-∞,+∞),则g(x)=f(x)+1.∵g(-x)=- 2x =-g(x),∴g(x)为奇
e|x| e|x| e|x| e|-x|
函数,图象关于原点对称,且g(x)的最大值与最小值互为相反数.
又∵g(x) =f(x) +1,g(x) =f(x) +1,
max max min min
且g(x) +g(x) =0,
max min
∴f(x) -f(x) =(g(x) -1)-(g(x) -1)=g(x) -g(x) =2g(x) .
max min max min max min max
2x 2-2x 2(1-x)
当x>0时,g(x)= ,g'(x)= = ,
ex ex ex
2x 2
故g(x)= (x>0)的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+∞),所以g(x) =g(1)= ,所以f(x)的最大值与最小值
ex max e
4
之差为 .故选B.
e
10.(2020陕西安康月考,12)设函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D内是单调增函数;②存在
[m,n]⊆D(n>m),使得f(x)在[m,n]上的值域为[m,n],那么就称y=f(x)是定义域为D的“成功函数”.若函数
g(x)=log(a2x+t)(a>0且a≠1)是定义域为R的“成功函数”,则t的取值范围是( )
a
A.{ 1} B.{ 1}
t|0<t< t|0<t≤
4 4
C.{ 1} D.{ 1}
t|t< t|t>
4 4
答案 A 因为g(x)=log(a2x+t)(a>0且a≠1)是定义域为R的“成功函数”,所以g(x)为增函数,且g(x)在[m,n]
a
上的值域为[m,n],故g(m)=m,g(n)=n,即g(x)=x有两个不相同的实数根.log(a2x+t)=x,即a2x-ax+t=0.令s=ax,s>0,
a
{ t>0, 1
即s2-s+t=0有两个不同的正数根,可得 解得0<t< .故选A.
Δ=1-4t>0. 4北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
方法点睛 利用“成功函数”的定义以及对数函数的单调性可构造a2x-ax+t=0,换元后利用方程有两个正根
列不等式组求解即可.
二、填空题
11.(2020黑龙江大庆龙凤模拟,13)函数f(x)=ax+1+1(a>0,且a≠1)的图象过定点P,则P点坐标为 .
答案 (-1,2)
解析 由于函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,1),所以令x+1=0,可得x=-1, f(-1)=2,故函数f(x)=ax+1+1(a>0,
且a≠1)的图象过定点(-1,2).
12.(2019北京,13,5分)设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a= ;若f(x)是R上的增函数,则a
的取值范围是 .
答案 -1;(-∞,0]
解析 ∵f(x)=ex+ae-x为奇函数,∴f(-x)+f(x)=0,即e-x+aex+ex+ae-x=0,∴(a+1)(ex+e-x)=0,∴a=-1.∵f(x)是R上的增函
数,
∴f '(x)≥0恒成立,∴ex-ae-x≥0,即e2x-a≥0,∴a≤e2x,又∵e2x>0,∴a≤0.当a=0时, f(x)=ex是增函数,满足题意,故a≤0.
13.(2021安徽阜阳太和一中月考,16)下列说法中,正确的是 (填序号).
①任取x>0,均有3x>2x;
②当a>0,且a≠1时,有a3>a2;
③y=(√3)-x是增函数;
④y=2|x|的最小值为1;
⑤在同一坐标系中,y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称.
答案 ①④⑤
解析 对于②,当0<a<1时,a3<a2,故②不正确.
x
对于③,y=( )-x=(√3) ,因为0<√3<1,故y=( )-x是减函数,故③不正确.易知①④⑤正确.
√3 √3
3 3
14.(2022届长春月考,16)函数y= 的值域为 .
2-x2+2
答案 (0,4]
解析 由于y=-x2+2≤2,且y=2x在R上单调递增,故0< ≤4.即函数的值域为(0,4].
2-x2+2
15.(2022届合肥联考,16)已知函数f(x)=|4x-3|+2,若函数g(x)=[f(x)]2-3mf(x)+2m2+m-1有4个零点,则m的取值
范围是 .北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 (3 )∪(2,3)
,2
2
解析 令[f(x)]2-3mf(x)+2m2+m-1=0,解得f(x)=2m-1或f(x)=m+1.
f(x)的图象如图所示,只需{2<2m-1<5,且2m-1≠m+1.解得m∈(3 )∪(2,3).
,2
2<1+m<5, 2
三、解答题
16.(2020广东梅州模拟,18)已知函数f(x)=(a2-3a+3)ax是指数函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)判断函数F(x)=f(x)-f(-x)的奇偶性,并证明;
(3)解不等式log(1-x)>log(x+2).
a a
解析
(1)由f(x)是指数函数得{a2-3a+3=1,
a>0且a≠1,
解得a=2或a=1(舍去),∴f(x)=2x.
(2)F(x)为奇函数.证明:F(x)=2x-2-x,定义域为R,则F(-x)=2-x-2x=-(2x-2-x)=-F(x),∴F(x)是奇函数.
(3)由log(1-x)>log(x+2)得1-x>x+2>0,
2 2
∴-2<x<- 1 ,∴原不等式的解集为 { x | -2<x<- 1}.
2 2
思路分析 (1)利用指数函数的定义求出a,即可求f(x)的表达式;
(2)利用奇偶函数定义即可判断F(x)=f(x)-f(-x)的奇偶性;
(3)根据(1)中所求a的值及函数y=logx的单调性化简不等式并求解集.
a
