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3.3 指数运算及指数函数（精讲）
一.根式
1.如果xn＝a，那么叫做a的n次方根；
2.式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数；
3.()n＝．当n为奇数时，＝；当n为偶数时，＝|a|＝
二.分数指数幂的意义
1.分数指数幂
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．③0的分数指数幂：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
2.实数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
三．指数函数的概念、图象与性质
1．指数函数的概念
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数．
易错点：形如y＝kax，y＝ax＋kk∈R且k≠0，a>0且a≠1的函数叫做指数型函数，不是指数函数.
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质
底数 a>1 00时，恒有y>1；当x<0时，恒有00时，恒有01
在定义域R上为增函数 在定义域R上为减函数
注意 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与00，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
三．指数函数的图象与底数大小的比较
1.如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为
c>d>1>a>b>0.由此可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．2.有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换
而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论；
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解；
(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．
3.比较指数式的大小的方法是
(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．
4.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．
考法一 指数幂运算
【例1】（2023·贵州）化简求值
（1） （2） ．
(3) ；(4) （5）已知： ，求 的值．
【一隅三反】
1.（2023·安徽）计算或化简下列各式：
(1) ； (2) ．
(3) ；
(4)已知 ，求下列各式的值：
① ；
② ．2．（2023·云南）解下列方程：
(1) ； (2) ； (3) ；(4) ．
考法二 指数函数的三要素及定点
【例2-1】（2023·广东）函数① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦
；⑧ 中，是指数函数的是_________．
【例2-2】（2023广东湛江）函数 的定义域为________．
【例2-3】（2023·上海奉贤）点 、 都在同一个指数函数的图像上，则t=________．【例2-4】（1）（2023春·湖北咸宁）当 时，函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2023·辽宁丹东）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【例2-5】（1）（2023云南）函数 恒过定点
（2）（2023·全国·高三专题练习）函数 且 的图象恒过定点A，若点A在直线
上，其中 ， ，则 的最小值为__________.
【一隅三反】
1．（2023春·山东滨州）函数 的定义域为
2．（2023·上海）已知函数 是指数函数，求实数a的值 ．
3．（2023·江西）下列函数中，属于指数函数的是_________．（填序号）
① ﹔② ；③ ；④ （a为常数， ， ）；⑤ ；⑥ ﹔⑦
．
4．（2023春·北京顺义）函数 的定义域为___．5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是定义域为 的奇函数，且当 时， ．
求函数 的解析式 .
6．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数 ， ，则其值域为_______．
7．（2023春·上海嘉定）已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是______.
8.（2023北京）函数 且 的图象恒过某定点，则此定点为
考法三 指数函数的单调性及综合运用
【例3-1】（2023春·河南周口）函数 的单调递增区间为______.
【例3-2】（2023湖北）函数 在区间 上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例3-3】（1）（2023春·上海嘉定）不等式 的解集为______．
（2）（2022·海南·校联考模拟预测）不等式 的解集为
【例3-4】（2023·全国·高三专题练习）设 ， ， ，则（ ）．
A． B．C． D．
【一隅三反】
1.（2023新疆）已知函数 |在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是_____.
2.（2022天津）求函数 的单调区间 .
3．（2023·河北）已知函数 ，则不等式 的解集是
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上单调，则a的取值范围是
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系为
_____________
6.．（2023·江苏宿迁）若 ， ，且满足 ，那么（ ）
A． B． C． D．
考法四 指数函数的奇偶性
【例4-1】（2023·全国·高三专题练习）若函数 为奇函数，则 _________【例4-2】2023·全国·高三专题练习）已知函数 为偶函数，则 （ ）
A．-1 B．-2 C．2 D．1
【例4-3】（2023·四川绵阳·统考模拟预测）设函数 在定义域 上满足 ，若 在
上是减函数，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）若 为奇函数，则实数 ______.
2．（2023·山东潍坊·统考二模）已知函数 ，则 （ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
3（2023·辽宁鞍山·校联考一模）函数 是定义在R上的偶函数，且 ，若 ，
，则 （ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ， 是偶函数， 是奇
函数，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．考法五 指数函数的图像
【例5-1】（2023春·内蒙古赤峰）若 的图像如图，（ ， 是常数），则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【例5-2】（2023·北京·人大附中校考三模）已知函数 ， ，则大致图象如图的函数可
能是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023·云南）函数 的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·江苏南京）已知函数 的图象如图所示，则 可以为（ ）A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考法六 指数函数的综合运用
【例6-1】（2023·贵州）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 （单位：与时间 （单位： ）间的关系为 ，其中 ， 是正的常数．如果在前 消除了 的污
染物，则10小时后还剩下百分之几的污染物？（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】（2023春·湖北襄阳）已知函数 ，则 的图象（ ）
A．关于直线 对称B．关于点 对称 C．关于直线 对称D．关于原点对称
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 为偶函数，则函数 的值域为
___________.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若不等式 在R上恒成立，则
实数m的取值范围是________.
3．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若关于 的不等式 在 上
恒成立，则实数 的取值范围是____________.
