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第一学期期中质量监测九年级数学试卷
本试卷共4页，满分120分，考试用时120分钟
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图案中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义：“把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能完全重合”可以得到
答案．
【详解】解：轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能完全重合，所以 A，B，C沿
一条直线对折后都不能满足直线两旁的部分能完全重合，所以都不是轴对称图形，只有D符合．
故选D．
的
【点睛】本题考查 是“轴对称图形的定义” 的应用，所以熟练掌握概念是关键．
2. 下列函数中，y是x的二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】形如 的函数即为二次函数，据此进行判断即可．
【详解】解：A中当 时．y是x的一次函数，则A不符合题意；
B是一次函数，则B不符合题意；
C是一次函数，则C不符合题意；
D符合二次函数定义，它是二次函数，则D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的概念，掌握相关知识是解题的关键．
的
3. 用配方法解方程2x2＋4x-3＝0时，配方结果正确 是（ ）A. (x＋1)2＝4 B. (x＋1)2＝2 C. (x＋1)2＝ D. (x＋1)2＝
【答案】C
【解析】
【分析】把常数项移到方程右边，二次项系数化为1，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方
式的形式即可．
【详解】解：∵2x2＋4x-3＝0，
∴2x2＋4x＝3，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平
方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
4. 若二次函数 的图象经过 三点，则a、b、c 的大小关系是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先求出二次函数的对称轴以及开口方向，然后根据二
次函数的增减性和对称性解答即可．
【详解】解：∵
∴二次函数的对称轴为直线 ，抛物线开口向上，
∴ 时，y随x的增大而减小， 时，y随x的增大而增大，∵ 到3的距离为4，2到3的距离为1，4.5到3的距离为1.5，
∴a、b、c的大小关系 .
故选：D．
5. 如图矩形的长为 ，宽为4，点O是各组三角形的对称中心，则图中阴影面积为（ ）
.
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在矩形中，点O是各组三角形的对称中心，由 可求得结果．
【详解】解：在矩形中，点O是各组三角形的对称中心，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称的性质；理解中心对称的性质是解题的关键．
6. 对于抛物线 ，下列判断正确的是( )
A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是
C. 对称轴为直线 D. 当 时，
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论．
【详解】解：A、∵ ，∴抛物线的开口向下，本选项错误，
B、抛物线的顶点为 ，本选项错误，
C、抛物线的对称轴为： ，本选项正确，D、把 代入 ，解得： ，本选项错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一对照四个选项即可得出结论．
7. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义及根的判别式可得到 且 ，求解即可．
【详解】解：由题意得， 且
解得 且
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式，即当 时，方程有两个不相等的实
数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
8. 如图，点 ， 分别为 的边 ， 上的点，连接 并延长至 ，使 ，连接 ．
若 ， ， ，则 的长等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】先证明 ADE FCE，从而得AD=CF，进而即可求解．
∆ ≅∆
【详解】∵ ，
∴∠F=∠ADE，
在 ADE和 FCE中，
∆ ∆
∵ ，
∴ ADE FCE（ASA），
∴∆AD=C≅F=∆3，
∴BD=AB-AD=5-3=2，
故选B．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握ASA证明三角形形全等，是解题的关键．
9. 如图，在 中， ， ， ，将 绕点A顺时针旋转度得到 ，当
点B的对应点D恰好落在 边上时，则 的长为（ ）
A. 1.4 B. 1.6 C. 1.8 D. 2.2
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转的性质得到 ，进而证明 为等边三角形，得到 ，则
．
【详解】解；由旋转的性质可知， ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
故选：B．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质与判定条件是解
题的关键．
10. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对
于下列命题：①2a+b=0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④8a+c＞0．其中正确的有（ ）
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的图象和性质逐项判断即可.
【详解】①因为点（-1，0），（3，0）在二次函数上，所以 a-b+c=0，9a+3b+c=0，两式作差可得
8a+4b=0，故2a+b=0，则①正确；
②由图形可知，该二次函数的a＞0，c＜0，顶点的横坐标- =1＞0，则b＜0，知abc＞0，故②错误；
③函数图象与x轴两个交点，可知b2-4ac＞0，故③正确；
④由图象可知− ＝1，则b=-2a，因（3，0）在函数图象上，故9a+3b+c=0，将b=-2a代入得3a+c=0，由
函数图象知a＞0，故3a+c+5a＞0，即8a+c＞0．故④正确．
故选A
【点睛】本题考查学生对二次函数图象与系数的理解，并且会巧妙的对一些式子进行变形得到想要的结论．
二、填空题
11. 点 关于 轴对称的点的坐标为_____
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标的变化规律是解答本题
的关键．
根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【详解】解：由已知条件：
所求点是点 关于 轴对称的点，
关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，
所求点的坐标为 ，
故答案为 ．
12. 二次函数 的图像的顶点坐标为____________．
【答案】
【解析】
【分析】将二次函数解析式整理为顶点式，即可获得答案．
【详解】解：∵ ，
∴该二次函数的图像的顶点坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，将原二次函数解析式整理为顶点式是解题关键．
13. 设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】先根据根与系数的关系得到 ， ，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得 ， ，
∴ ．
故答案是： ．【点睛】本题考查一元二次方程根于系数的关系式，解题的关键是掌握韦达定理公式．
14. 如图，在菱形ABDC中，∠B=40°，点E在CD上，点A在线段DE上的垂直平分线上，则∠BAE的度
数为__________．
【答案】110°
【解析】
【分析】根据菱形的性质得到AB=BD，∠BAD=∠BDA=70°=∠ADE，根据垂直平分线的性质和等边对等角
得到∠ADE=∠AED=70°，从而算出∠DAE，相加即可．
【详解】解：∵四边形ABDC是菱形，
∴AB=BD，∠BAD=∠BDA，
∵∠B=40°，
∴∠BAD=∠BDA=70°=∠ADE，
∵点A在线段DE上的垂直平分线上，
∴AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=70°，
∴∠DAE=40°，
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=110°，
故答案为：110°．
【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质和等边对等角，解题的关键是根据图形的性质得到相
等线段，从而计算角的度数．
15. 如图，在菱形 中， °，在对角线 上任取一点Р（端点除外），连接 、 ．
在BA的延长线上取一点Q，使 ．当点Р在线段 上移动时：① ；②当点P沿
CA方向运动时， 的度数先变小，后变大；③ ；④ ．其中，说法正确的序号是
___________．【答案】①③④
【解析】
【分析】利用 证明 即可推出①和④正确；作点 到 和 的距离，根据角平分
线判定定理推出 ，证明 ，从而求出 为定值，验证②错误；
即可推出③正确．
【详解】解：连接 ，过点 分别作 于点 ， 于点 ，如图所示，
为
四边形 菱形，
， ．
，
，
， ，
①和④正确．
， ，
为等边三角形，
．
， ，， ．
，
．
，
．
为定值．
②不正确．
， ，
是等边三角形．
， ，
，
， ，
．
．
③正确．
故答案为：①③④
【点睛】本题考查的是菱形的性质，涉及到的知识点有三角形全等和角平分线的性质判定，作对辅助线是
解题的关键．
三、解答题
16. 解下列方程
（1）用配方法解方程：
（2）用公式法解方程：【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【详解】
化简得
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能正确运用各种方法解一元二次方程是解此题的关键．
17. 如图，在 中， ， 是 的角平分线，点 在边 上， 交 于点 ，
， ， .
（1）求 的度数.
（2）求 的长度.【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）根据 ， 是 的角平分线，证得 AD⊥BC，根据 ，
，证得 为等边三角形，作EH⊥BC于H，利用平行线的判定和性质即可求得答案；
（2）在 中，求得 ，在 中，求得 ，继而求得答案．
的
【详解】（1）∵ ， 是 角平分线，
∴AD⊥BC， ，
∵ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
过E作EH⊥BC于H，∴ ， ，
∵AD⊥BC，EH⊥BC，
∴AD∥EH，
∴ ；
（2）在 中， ， ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴
∴
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形中30 角的应用，
等腰三角形“三线合一”的应用是解题的关键．
18. 已知四边形OABC是边长为4的正方形，分别以OA、OC所在的直线为x轴、y轴，建立如图1所示的
平面直角坐标系，直线l经过A、C两点．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）若P是直线l上的一个动点，请直接写出当△OPA是等腰三角形时点P的坐标；
（3）如图2，若点D是OC的中点，E是直线l上的一个动点，求使OE+DE取得最小值时点E的坐标．【答案】（1）
（2）P点坐标为（0，4）或（2，2）或 或
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意易得A，C两点坐标，设出一次函数解析式，待定系数法求函数解析式即可；
（2）设出 点坐标，分别表示出 ， ， 的长，然后根据等腰三角形两腰相等分三种情况列方
程求解即可；
（3）由题意可知点O与点B关于直线l对称，连接BD，与l的交点即为点E，求出DB的解析式与l的解
析式联立可得E的坐标．
【小问1详解】
解：设直线l的函数表达式为 ，将A（4，0）和C（0，4）代入得 ，
解得 ，
∴直线l的函数表达式 ；
【小问2详解】
解：设 点坐标为 ，则 ， ， ，
①当 ，则 ，解得 ， （舍去），
∴ 点坐标为 ；
②当 ，则 ，解得 ， ，
∴ 点坐标为 或 ；
③当 ，则 ，解得 ，∴ 点坐标为 ；
综上所述， 点坐标为 或 或 或 ；
【小问3详解】
解：由题意知O与B关于直线l对称，如图连接DB，交AC于点E，则点E为所求，此时OE+DE取得最
小值，
设DB所在直线为 ，将点D（0，2）、B（4，4）代入得 ，
解得 ，
∴直线DB为 ，
联立方程组： ，
解得 ，
∴点E的坐标为 ．
【点睛】本题考查了一次函数的应用；解题的关键在于对等腰三角形腰的不同情况的讨论，考查了学生对
一次函数与几何图形的综合运用的能力，要求学生能对平面图形中的最短距离求解时巧妙地运用线段之间的转化．
19. 张师傅今年初开了一家商店，二月份开始盈利，二月份的盈利是5000元，四月份的盈利达到7200元，
且从今年二月到四月，每月盈利的平均增长率都相同．求每月盈利的平均增长率．
【答案】20%
【解析】
【分析】设该商店的月平均增长率为x，根据等量关系：二月份盈利额×（1＋增长率）2＝四月份的盈利额
列出方程求解即可．
【详解】解：设每月盈利平均增长率为x，
根据题意得：5000（1＋x）2＝7200．
解得：x＝20%，x＝−220%（不符合题意，舍去），
1 2
答：每月盈利的平均增长率为20%．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）2＝后来
的量，其中增长用＋，减少用−，难度一般．
20. 如图， 的三个顶点坐标分别为 ．
（1）作 关于y轴对称的图形 ，并写出点 的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使得 最小，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）图见解析；
（2）
【解析】【分析】（1）找到A、B、C关于y轴的对称点即可；
（2）作B点关于x轴对称的对称点 ，连接 ，与x轴交点即为P．
【小问1详解】
如图所示：
如图所示： ；
【小问2详解】
如图所示： ．
【点睛】本题考查了作图—轴对称变换，找到x轴、y轴，即可找到对称点，要注意点的坐标相对应．
21. 某网店销售一种文具袋，成本为30元/件，每天的销售量 （件）与销售单价 （元）之间满足一次函
数关系，其图象如图所示．
（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）如果规定每天的销量不低于240件，那么当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是
多少？
【答案】（1）y=-10x+700； （2）当销售单价为46元时，每天利润最大，为3840元．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）根据“总利润 每件利润 销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式，再结合 的取值范围，利用
二次函数的性质求解可得．
【详解】解：（1）设 ，
将 、 代入，得： ，
解得： ，
则 ；
（2）设每天获取的利润为 ，
则
，
又 ，
，
时， 随 的增大而增大，
当 时， 取得最大值，最大值为 ，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目
蕴含的相等关系，并熟练掌握二次函数的性质求最大值．
22. 在边长为10厘米的等边三角形△ABC中，如果点M，N都以3厘米/秒的速度匀速同时出发．
（1）若点M在线段AC上由A向C运动，点N在线段BC上由C向B运动．
①如图①，当BD＝6，且点M，N在线段上移动了2s，此时△AMD和△BND是否全等，请说明理由．
②求两点从开始运动经过几秒后，△CMN是直角三角形．
（2）若点M在线段AC上由A向点C方向运动，点N在线段CB上由C向点B方向运动，运动的过程中，连接直线AN，BM，交点为E，探究所成夹角∠BEN的变化情况，结合计算加以说明．
【答案】（1）①证明见解析；②经过 或 秒后，△CMN是直角三角形；（2）∠BEN＝60°，证明
见解析
【解析】
【分析】（1）①根据题意得出AM＝BD，AD＝BN，根据等边三角形的性质得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，
利用SAS定理证明△AMD≌△BDN；
②分∠CNM＝90°、∠CMN＝90°两种情况，根据直角三角形的性质列式计算即可；
（2）证明△ABM≌△CAN，根据全等三角形的性质得到∠ABM＝∠CAN，根据三角形的外角性质计算，
得到答案．
【详解】（1）①∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
当点M，N在线段上移动了2s时，AM＝6厘米，CN＝6厘米，
∴BN＝BC﹣CN＝4厘米，
∵AB＝10厘米，BD＝6厘米，
∴AD＝4厘米，
∴AM＝BD，AD＝BN，
在△AMD和△BDN中，
，
∴△AMD≌△BDN（SAS）；
②设经过t秒后，△CMN是直角三角形，
由题意得：CM＝（10﹣3t）厘米，CN＝3t厘米，
当∠CNM＝90°时，
∵∠C＝60°，∴∠CMN＝30°，
∴CM＝2CN，即10﹣3t＝2×3t，
解得：t＝ ，
当∠CMN＝90°时，CN＝2CM，即2（10﹣3t）＝3t，
解得：t＝ ，
综上所述：经过 或 秒后，△CMN是直角三角形；
（2）如图所示，由题意得：AM＝CN，
在△ABM和△CAN中，
，
∴△ABM≌△CAN（SAS），
∴∠ABM＝∠CAN，
∴∠BEN＝∠ABE+∠BAE＝∠CAN+∠BAE＝60°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判断以及列一元一次方程动点相关问题，两边和它们的夹角对应相等的
两个三角形全等；一元一次方程与几何图形的相结合的题，多数会涉及到动点的问题，需要对动点的位置
进行讨论，讨论时要注意讨论全面，做到不重不漏，通常会按照从左到右或从上到下的方位进行考虑．
23. 已知二次函数图象的顶点坐标为 ，直线 与该二次函数的图象交于A，B两点，其中
A点的坐标为 ，B点在y轴上．（1）求m的值及这个二次函数的解析式；
（2）在x轴上找一点Q，使 的周长最小，求出此时Q点坐标；
【答案】（1） ， ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）将A点坐标分别代入抛物线和直线解析式，即可求出m的值及这个二次函数的解析式；
（2）使 的周长最小，即是求 的值最小，作B点关于x轴的对称点 ，当A、Q、 三
点在一条直线上时， 的周长最小，求出直线 的解析式，进而可得Q点坐标．
【小问1详解】
解：设抛物线的解析式为 ，
∵点 在抛物线上，则 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
∵点 在直线 上，
∴ ，
解得 ；
【小问2详解】解：∵ ，
∴直线解析式为 ，
当 时， ，即 ，
∴B点关于x轴的对称点 点的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
将A、 两点坐标代入 ，得 ，
解得 ， ，
∴直线 的解析式为 ，
如图，当A、Q、 三点在一条直线上时， 的值最小，即 的周长最小，Q点为直线
与x轴的交点，
当 时，即 ，
解得 ，
∴Q点坐标为 ．【点睛】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式，轴对称最短路径问
题，解题时注意数形结合思想的运用．
