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3.3 指数运算及指数函数（精练）（提升版）
题组一 指数运算
1．（2022·重庆市） =_____________.
【答案】110
【解析】由幂的运算法则及根式意义可知，
，故填 .
2．（2022·宁夏）计算： =_____________
【答案】4
【解析】 .
3．（2022·江西）已知 ，则 _______________．
【答案】3
【解析】因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，故答案为：3．
4．（2022·广东·节选）计算：
(1)(2) ；
(3)
（4）求值：
【答案】(1) （2） （3）625（4）
【解析】
(1)
（2）
（3）原式
.
（4）
题组二 单调性
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ，且 ，若 在 上
单调，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数 ，其中 ，且 ，
因为函数 在 上单调，又因为函数 在 上为减函数，
所以函数 在 上为减函数，则函数 在 上为减函数，可得 ，
且有 ，解得 .综上可知，实数 的取值范围是 .故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 且 ，函数 ，满足对任意实数 ，
，都有 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． ， C． D． ，
【答案】D
【解析】 对任意实数 ， ，都有 成立，
在定义域上是增函数，函数 在 ， 上是增函数，
在 上也是增函数，且 ， ，解可得， ．故选：D.
3（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 在 上是增函数，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由题意 在 上是增函数，可得函数在 上是增函数，
且在 上也是增函数，且有 .
故有 ，解得 .故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .若 ，都有
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意可知，函数 在 上是增函数，则 ，解得 .故选：B.
5．（2022·河北）若函数 是 上的单调递增函数，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 是R上的单调递增函数， ，
解得: ， 故选：D.6．（2022·全国·高三专题练习）若函数 的值域是 ，则 的单调递增区间是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令
由于 的值域是 ，所以 的值域是
因此有 ，解得
这时 ，
由于 的单调递减区间是 ， 在R上递减；
所以 的单调递增区间是 答案：A
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若函数 在 上单调递增，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知， ，即 ；由 得
只需保证 在 上恒成立，则 在 上恒成立，即 ；又函数 在 上单调递增，则需满足 ，综上，实数 的取值范围是 .故选：C.
8．（2022·全国·高三专题练习）函数 在 上单调，则实数 的取值范围是
______.
【答案】
【解析】当 时， ， ，
所以 ， ，
所以x=0不是 的极值点，
因为 在 上单调，
所以 ，解得 ，
当 ， 在 上单调递增，
当 ， 为开口向上的抛物线，所以 在 上单调递增，
所以 在 上为单调递增函数，
所以当 时， 为单调递增函数，
所以 或 ，
所以 或 （舍）
解得 满足题意.
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：
9．（2022·全国·高三专题练习）求函数 的单调区间 .【答案】增区间为[-2,+∞)，减区间为(-∞,-2).
【解析】设t＝ >0，又y＝t2－8t＋17=（t-4）2+1在(0，4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增.令
≤4，得x≥－2，令 >4，得x<－2.
而函数t＝ 在R上单调递减，所以函数 的增区间为 [-2,+∞)，减区间为(-
∞,-2).
10（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，若 在 上单调递增，则 的取值
范围是__________．
【答案】
【解析】因函数 在 上单调递增，则有 在 上递增，
于是得 ， 在 上也递增，于是得 ，即 ，并且有 ，即 ，
解得 ，综上得： ，所以 的取值范围是 .故答案为：
题组三 值域
1．（2022·北京·二模）若函数 的定义域和值域的交集为空集，则正数 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】因为 ，所以 的定义域为 ， ，
当 时 ，则 在 上单调递增，所以 ；
要使定义域和值域的交集为空集，显然 ，
当 时 ，
若 则 ，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，
若 时 在 上单调递减，此时 ，
则 ，
所以 ，解得 ，即
故选：B
2．（2022·陕西陕西）已知 ，若函数 有最小值，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】①当 时，二次函数 的对称轴为直线 ，
此时函数 在区间 上单调递减， ，
函数 在区间 上单调递减， ，
欲使函数 有最小值，需 ，解得： 与 矛盾.
②当 时，函数 的对称轴为直线 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，此时函数 在区间 上的最小值为 ，
函数 在区间 上单调递减，此时， ，
欲使函数 有最小值，需 ，解得 与 矛盾；
③当 时，二次函数 的对称轴为直线 ，
在区间 上的最小值为 ，
在区间 上单调递增， ，
欲使函数 有最小值，需 ，即 ，∴ .
综上所述，实数 的取值范围是 .故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 处取得最小值，且
，则实数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由函数 在 处取得最小值得 ，则 且
当 时 ，又 ，
所以 ，得 ．
又 ，所以 ，即 ，整理得 ， ，解得 ．
综上， .
故选：C．
4（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知函数 （ 为常数），函数 的最小
值为 ，则实数 的取值可以是（ ）
A．-1 B．2 C．1 D．0
【答案】CD
【解析】当 时， 单调递减，且当 时，函数取得最小值为 ；
要使原分段函数有最小值为 ，
则当 时， 恒成立，
当 时，满足；
当 时，需 ，即 ．
综上，实数 的取值范围为 ．
结合选项可得，实数 的取值可以是1，0．
故选：CD．
5．（2022·辽宁锦州·一模）已知函数 的值域为R，则实数a的取值范围是
___________.
【答案】
【解析】当 时， ，当 时， ，
因为函数的值域为 ，所以 ，解得： .故答案为：6．（2022·北京）若函数 的值域为 ，则实数 的一个取值可以为_____.
【答案】1
【解析】如果 ， ，其值域为 ，
，不符合题意；
如果 ，当 时， ，
就是把函数 的部分 以x轴为对称轴翻折上去，
∴此时 的最小值为0， 的最小值为-1，值域为 ，
所以 ，不妨取 ；
故答案为：1.
7．（2022·辽宁实验中学模拟预测）偶函数 的值域为______．
【答案】
【解析】由题设， ，故 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，又 ，
所以 的值域为 .故答案为： .
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 （ ， ）的最大值为 ，则实数
_________.
【答案】16
【解析】∵ 函数 在 上为减函数，又数 （ ， ）的最大值为 ，
∴ 的最小值为3，即 的最小值为9，又由基本不等式可得 ，当且仅当 时等号成立，
∴ ，∴
故答案为：16.
9．（2022·河南·郑州一中）已知 （ 且 ），若 有最小值，则实数
的取值范围是_____.
【答案】
【解析】①当 时，
当 ， ，单调递增，此时 ；
当 ， ，单调递减； ， ，单调递增，
故 时， 的最小值为 ；
故若 有最小值，则 ；
②当 时，
当 ， ，单调递减，此时 ；
当 时， ，单调递增，此时 ；
故若 有最小值，则 ，解得 .
综上，实数 的取值范围是 .
故答案为:10．（2022·江西·二模）设函数 ，若 是函数 的最大值，则实数 的取值
范围为_______．
【答案】
【解析】因为 ，
当 时 函数单调递减且 ，
当 时 ，可得在 时函数单调递减，在 单调递增，
若 ， ，则 在 处取得最大值，不符题意；
若 ， ，则 在 处取得最大值，
且 ，解得 ，
综上可得 的范围是 ．
故答案为：
题组四 指数式比较大小
1．（2021·安徽函数 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ，易知 在 上单调递增，因为 ， ， ，
所以 ，所以 ，即 .
故选：B.
2．（2022·江西鹰潭）设 ， ， ，则 的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】①先比较 ： ， ，设函数 ，
则 ，得函数 在 单调递减， 得函数 在 单调递增
所以 即 ；
②再比较 ：由①知 ，
而 ， 设 ，
当 ， ， 单调递增，当 ， ， 单调递减，
所以 ，而 ，
所以 ，
故选：A
3．（2022·天津河东·一模）设 是定义域为R的偶函数，且在 上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 是定义域为R的偶函数，且在 上单调递增，
所以在 上单调递减，
又 ，
所以 ，
即 ，
故选：B
4．（2022·广西）设 是定义域为R的偶函数，且在 上单调递增，若 ，
， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意 是定义域为R的偶函数，
，
，，
，
，
，
，
由于 在 上单调递增，所以 .
故选：D
5．（2022·江苏·金陵中学模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 ；
令 ， ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ；
同理 ，所以 ，即 ，也即 ，
所以 ，
所以 .综上， ，故选：D.6．（2022·江西·模拟预测（理））已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， 所以 ；
又
构造 ，
则
因为 ， ，
由于函数 的分母为正数，此时只需要判断分子 的符号，
设
则 在R上递增， ，即当 时， 的分子总是正数，
，
，即 ，
应用排除法，
故选：B.
7．（2022·全国·信阳高中高三阶段练习（理））已知 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对 ， ， 取对数得： ， ， ，
令 ( )， ，令 ， ，即 在 上单调递增，
由 得， ，于是得 ，又 ，
因此， ，即 在 上单调递增，从而得 ，
即 ， ，所以 .
故选：B
8（2022·全国·高三专题练习）若 （ ），则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 ，可得 ，
令 ，则 在 上单调递增，且 ， ，
， ， ，则A正确，B错误；
与 的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.
题组五 解指数式不等式
1．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数 为偶函数，则满足 的 的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 ，可得 ，即 ，
∴ ，可知 ， ，当 时， 恒成立 且 单调递增， 恒成立 且 单调递增，
∴ 在 上单调递增，
∴ 的解集为 ．
2（2022·广东）（多选）若不等式 的解集中有且仅有一个整数，则实数a的范围可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】令 ，
由题意得，不等式 有且只有一个整数解，
当 时， ，即两个函数图象均过原点.
当 时，函数图象如下所示，
原不等式的解集为 ，不只有一个整数解，不符合题意；
当 时，设函数 与 的图象的交点为 ，
若 在第一象限，则原不等式的解集为 ，如下所示，要使解集中有且只有一个整数解，只需 ，
所以 ，即 ，解得 .
若 在第三象限，则原不等式的解集为 ，如下所示，
要使解集中有且只有一个整数解，只需 ，
所以 ，即 ，解得 .故选：BD.
3．（2022·河南）若关于x的不等式 有实数解，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由题知 ，而 ，所以 ，
又 ，所以 ．
因为关于 的不等式 有实数解，
即 有实数解，所以 ，即 ．
故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的奇函数，若不等式
在 上恒成立，则整数m的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 对于 恒成立，
即 ，整理可得： ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，
所以不等式 即不等式 ，
可得 在 上恒成立，
所以 ，令 ，则
令 ， ，
因为 ，当且仅当 即 时等号成立，
所以 ，
所以 ，即得 ，
所以整数m的最大值为 ，
故选：B
5．（2022·上海市进才中学高三期中）设函数 ，若存在 使不等式
成立，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】由 ，得 ，两边同除 ，
即 ，又 ，当且仅当 ，
即 时取等号,所以 ，所以 .故答案为：
6（2022·广东佛山·三模）已知函数 的图象关于原点对称，若 ，则 的取值
范围为________．
【答案】
【解析】定义在R上函数 的图象关于原点对称，
则 ，解之得 ，经检验符合题意
均为R上增函数，则 为R上增函数，又 ，
则不等式 等价于 ，解之得
故答案为：
7．（2022·浙江·高三专题练习）已知 对一切 上恒成立，则实数a的取值范围
是______．
【答案】
【解析】 可化为 ，
令 ，由 ，得 ，
则 ，
在 上递减，当 时 取得最大值为 ，
所以 ．故答案为 ．
8．（2022·全国·高三专题练习（文））若 ，不等式 恒成立，则实数 的取
值范围是______．
【答案】
【解析】令 ，∵ ，∴ ，
∵ 恒成立，∴ 恒成立，
∵ ，当且仅当 时，即 时，表达式取得最小值，
∴ ，故答案为 ．
题组六 指数函数的定点1．（2022·全国·高三专题练习）若函数 恒过点 ，则函数
在 上的最小值是_____.
【答案】
【解析】函数 恒过点 ，则 ，区间 变为 ，
由函数 ，令 ，则 ，
利用二次函数的单调性，当 时， ，则函数 在 上的最小值是 .
故答案为： .
2．（2020·江西）若函数 ( 且 )的图像经过定点 ，则函数
的最大值为___________.
【答案】
【解析】由于函数 是由函数 ( 且 )向左平移 个单位,再向下平移 个单位
得到,
所以函数 ( 且 )的图像经过定点 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立.
故答案为: .
3．（2021·广东函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，其中， ，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】令 ，可得 ，此时 ，所以
因为点 在直线上，则： ，
所以 ，
当且仅当 即 时等号成立.
综上可得： 的最小值为 .
故答案为： .
