北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§3.4 指数与指数函数
基础篇
【基础集训】
考点 指数与指数函数
a2
1.设a>0,将 表示成分数指数幂的形式,其结果是( )
√a·√3 a2
1 5 7 3
A. B. C. D.
a2 a6 a6 a2
答案 C
2.函数y=(1)
x2-2x
的值域为 ( )
2
A.[1 ) B.( 1] C.( 1] D.(0,2]
,+∞ -∞, 0,
2 2 2
答案 D
3.设函数f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N=(1) 0.1 的大小
a
关系是 ( )
A.M=N B.M≤N C.M<N D.M>N
答案 D
4.若函数f(x)=(a2-3)·ax为指数函数,则a= .
答案 2
5.若函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围是 .
答案 (-√2,-1)∪(1,√2)
[教师专用题组]
【基础集训】
考点 指数与指数函数
1 1
1.(2019黑龙江牡丹江一模,8)设函数f(x)= +a,若f(x)为奇函数,则不等式f(x)>- 的解集为 ( )
ex+1 4北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
A.(0,ln 2) B.(-∞,ln 2)
C.(-∞,ln 3) D.(0,ln 3)
1
答案 C 函数f(x)= +a的定义域为R,
ex+1
1 1
因为f(x)为奇函数,所以有f(0)= +a=0,解得a=- ,
2 2
1 1 1 1 1 1 1
则f(x)= - .由y=ex+1为增函数,得f(x)= - 在R上为减函数,且f(ln 3)= - =- ,则f(x)>-
ex+1 2 ex+1 2 eln3+1 2 4
1
⇒f(x)>f(ln 3)⇒x<ln 3,即不等式的解集为(-∞,ln 3),故选C.
4
1
思路分析 根据题意,由奇函数的性质可得f(0)= +a=0,解得a的值,进而分析f(x)的单调性以及f(ln 3)的值,
2
1
据此可得f(x)>- ⇒f(x)>f(ln 3)⇒x<ln 3,即可得答案.
4
2.(2016青海西宁二模,15)若不等式(1)
x2-2ax
<
23x+a2
对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是 .
2
答案 { a | a> 3}
4
解析 原不等式等价于 < ,根据指数函数的单调性可得2ax-x2<3x+a2,即x2+(3-2a)x+a2>0对一
2-x2+2ax 23x+a2
切x∈R恒成立,则必须有(3-2a)2-4a2<0,解得a>3 ,故实数a的取值范围为 { a | a> 3}.
4 4
{x+1,0≤x<1,
3.(2018泰州中学期中,9)已知函数f(x)= 设a>b≥0,若f(a)=f(b),则b·f(a)的取值范围是
1
2x- ,x≥1,
2
.
答案 [3 )
,2
4
{x+1,0≤x<1,
解析 作出函数f(x)= 的图象如图,
1
2x- ,x≥1
2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
因为函数f(x)在[0,1)和[1,+∞)上都是单调递增函数,
所以若满足a>b≥0,f(a)=f(b),
则必有b∈[0,1),a∈[1,+∞).
由图可知,使f(a)=f(b)成立的b的取值范围为b∈[1 ),故f(a)∈[3 ).
,1 ,2
2 2
所以b·f(a)∈[3 ).
,2
4
4.(2017江苏南通、徐州联考,16)已知函数f(x)=3x+λ·3-x(λ∈R).
(1)当λ=1时,试判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
(2)若不等式f(x)≤6在x∈[0,2]上恒成立,求实数λ的取值范围.
解析 (1)函数f(x)为偶函数.
证明:函数f(x)的定义域为R.
当λ=1时, f(x)=3x+3-x, f(-x)=3-x+3x=f(x),
所以函数f(x)为偶函数.
λ
(2)由f(x)≤6得3x+λ·3-x≤6,即3x+ ≤6,
3x
λ
令t=3x(t∈[1,9]),则原不等式等价于t+ ≤6在t∈[1,9]上恒成立,
t
即λ≤-t2+6t在t∈[1,9]上恒成立,
令g(t)=-t2+6t,t∈[1,9],
易知当t=9时,g(t) =g(9)=-27,所以λ≤-27.
min
综合篇
【综合集训】
考法一 指数式的大小比较
1.(2020湖南炎陵一中仿真考试(文))已知a=log
2
3,b=(1) 0.2 ,c=log
4
7,则 ( )
3
A.b<c<a B.a<c<b C.c<a<b D.b<a<c
答案 A
2.(2020山东济宁一中一轮复习质量检测)若a>b,则 ( )
A.ln(a-b)>0 B.3a<3b
C.a3-b3>0 D.|a|>|b|
答案 C北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
3.(2020福建泉州线上测试)已知a= 1 ,b=(e2 1,c=loge,e为自然对数的底数,则a,b,c的大小关系为 .
π3 )6 π
答案 a>b>c
考法二 指数(型)函数的图象和性质
4.(2020广东揭阳三中第一次月考,6)函数f(x)=(1)
x2-6x+5
的单调递减区间为 ( )
3
A.(-∞,+∞) B.[-3,3] C.(-∞,3] D.[3,+∞)
答案 D
9
5.(2019山东潍坊模拟,7)已知函数f(x)=x-4+ ,x∈(0,4),当x=a时, f(x)取得最小值b,则函数g(x)=a|x+b|的图
x+1
象为( )
答案 A
[教师专用题组]
【综合集训】
考法一 指数式的大小比较
1.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷一,4)已知函数f(x)是奇函数,当x>0时, f(x)=ax(a>0且a≠1),且f(lo g
1
4)=-3,则
2
a的值为 ( )
3
A.√3 B.3 C.9 D.
2
答案 A 由f(lo g 1 4)=-3,得f(-2)=-3,又f(x)是奇函数,则有f(2)=3,即a2=3,又a>0,故a=√3.
2
2.已知定义在R上的函数f(x)=2|x|,记a=f(log 2.2),b=f(log0.5),c=f(0.5),则a,b,c的大小关系为 ( )
0.5 2
A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a
答案 D ∵定义在R上的函数f(x)=2|x|,∴a=f(log
0.5
2.2)=2log
2
2.2=2.2,b=f(log
2
0.5)=
2
| log
2
1
2
| =2,c=f(0.5)=20.5=√2.
∴a,b,c的大小关系为c<b<a,故选D.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
3.函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是 .
答案 f(bx)≤f(cx)
解析 由f(x+1)=f(1-x)知:函数f(x)的图象关于直线x=1对称,∴b=2;由f(0)=3知:c=3.
∴f(bx)=f(2x), f(cx)=f(3x).
当x>0时,3x>2x>1,结合函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,
知f(3x)>f(2x),即f(bx)<f(cx);
当x=0时,3x=2x=1,
∴f(3x)=f(2x),即f(bx)=f(cx);
当x<0时,3x<2x<1,结合函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,
知f(3x)>f(2x),即f(bx)<f(cx).
综上知: f(bx)≤f(cx).
3.(2018浙江浙东北联盟期中,8)已知x,y∈R,且5x+7-y≤5y+7-x,则 ( )
A.sin x≤sin y B.x2≤y2
log log
C.5x≤5y D. 1x≤ 1y
7 7
答案 C ∵f(x)=5x-7-x在R上单调递增,∴5x+7-y≤5y+7-x可化为f(x)=5x-7-x≤5y-7-y=f(y),∴x≤y,由指数函数的性质,
可得5x≤5y,故选C.
考法二 指数(型)函数的图象和性质
a
1.无论a为何值,函数y=(a-1)2x- 过定点,则这个定点的坐标是 ( )
2
A.( 1) B.( 1)
1,- 1,
2 2
C.( 1) D.( 1)
-1,- -1,
2 2
答案 C y=(a-1)2x-a=a( 2x- 1)-2x,令2x-1=0,则x=-1,故函数y=(a-1)2x-a过定点( -1,- 1),故选C.
2 2 2 2 2
2.已知函数f(x)=|2x-1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是 ( )
A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b≥0,c>0
C.2-a<2c D.2a+2c<2
答案 D 作出函数f(x)=|2x-1|的图象(如图中实线所示),由a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),结合图象知
f(a)<1,a<0,f(c)<1,c>0,∴0<2a<1,1<2c<2,
∴f(a)=|2a-1|=1-2a,f(c)=|2c-1|=2c-1.
又f(a)>f(c),即1-2a>2c-1,∴2a+2c<2,故选D.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
3.(2017浙江温州十校期末联考,7)设函数f(x)={log
2
(-x),x<0,
若关于x的方程f 2(x)-af(x)=0恰有三个
2x,x≥0,
不同的实数根,则实数a的取值范围是( )
A.[0,+∞) B.(0,+∞)
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
答案 D 作出函数y=f(x)的图象,如图.
由f 2(x)-af(x)=0,得f(x)=0或f(x)=a.显然f(x)=0有一个实数根-1,因此只需f(x)=a有两个不同于-1的实根,利用
图象可得实数a的取值范围是[1,+∞).
5.已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数),若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,则实数m的取值范围是 .
答案 (-∞,4]
解析 令t=|2x-m|,则t=|2x-m|在区间[m )上单调递增,在区间( m]上单调递减,而y=2t为R上
,+∞ -∞,
2 2
m
的增函数,所以要使函数f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)上单调递增,则有 ≤2,即m≤4,所以m的取值范围是 (-∞,4].
2
6.若关于x的方程22x-2xa+a+1=0有两个不同的正实根,则实数a的取值范围为 .
答案 (2+2√2,+∞)
解析 设t=2x,则原方程可变为t2-at+a+1=0①,因为原方程有两个不同的正实根,所以方程①有两个大于1的
实根.
设方程①的两个大于1的实根为t,t,
1 2
{
Δ=(-a)2-4(a+1)>0,
则 (t -1)+(t -1)=(t +t )-2=a-2>0,
1 2 1 2
(t -1)(t -1)=t t -(t +t )+1=(a+1)-a+1>0,
1 2 1 2 1 2
解得a>2+2√2.
