文档文本内容
专
题
三
函
数
概
念
与
基
本
初
等
函
数
／
２５
３．４ 对数与对数函数
§
Ｍ
Ｍ Ｎ
ｂ．ｌｏｇａ Ｎ ＝ｌｏｇａ －ｌｏｇａ ；
Ｍｎ ｎ Ｍ ｎ Ｒ ．
ｃ．ｌｏｇａ ＝④ ｌｏｇａ （ ∈ ）
考点 对数与对数函数 ３．对数函数的图象与性质
１．对数的概念
ａ ａ
＞１ ０＜ ＜１
对数的定义
（１）
如果ａｘ Ｎ ａ 且ａ 那么指数ｘ叫做以ａ为底Ｎ的
＝ （ ＞０ ≠１）， 图
对数 ， 记作ｘ ＝ｌｏｇａ Ｎ ， 其中ａ叫做对数的底数 ， Ｎ 叫做真数． 象
几种常见对数
（２）
对数形式 特点 记法
定义域
一般对数 底数为ａ
（
ａ
＞０
且ａ
≠１） ｌｏｇａ
Ｎ ：（０，＋∞）
常用对数 底数为 Ｎ 值域 Ｒ
１０ ｌｇ ：
自然对数 底数为 ｅ ｌｎ Ｎ 过点 （１，０）， 即ｘ ＝１ 时 ， ｙ ＝０
２．对数的性质与运算法则 性
质
当ｘ 时 ｙ 当ｘ 时 ｙ
对数的性质 ＞１ ， ＞０； ＞１ ， ＜０；
（１） 当 ｘ 时 ｙ 当 ｘ 时 ｙ
ａｌｏｇａＮ Ｎ ａ 且ａ Ｎ ０＜ ＜１ ， ＜０ ０＜ ＜１ ， ＞０
ａ． ＝① （ ＞０ ≠１， ＞０）；
ａＮ Ｎ ａ 且ａ ．
ｂ．ｌｏｇａ ＝② （ ＞０ ≠１） 是 上的增函数 是 上的减函数
对数的重要公式 （０，＋∞） （０，＋∞）
（２）
Ｎ
４．反函数
ａ． 换底公式 ：ｌｏｇｂ Ｎ ＝ ｌ ｌ ｏ ｏ ｇ ｇ ａ ａ ｂ（ ａ ， ｂ均大于零且不等于 １， Ｎ ＞０）； 指数函数ｙ ＝ ａｘ （ ａ ＞０， 且ａ ≠１） 与对数函数ｙ ＝ｌｏｇａ ｘ （ ａ ＞０， 且
ａ 互为反函数 它们的图象关于直线ｙ ｘ对称．其图象关系
ｂ １ 推广 ｂ ｃ ｄ ｄ ａ ｂ ｃ均大 ≠１） ， ＝
ｂ．ｌｏｇａ ＝ ａ， ：ｌｏｇａ ·ｌｏｇｂ ·ｌｏｇｃ ＝ｌｏｇａ （ ， ， 如图所示．
ｌｏｇｂ
于零且不等于 ｄ大于零
１， ）；
ｎ
Ｍｎ Ｍ ａ 且ａ ｍ ｎ Ｒ Ｍ ｍ ．
ｃ．ｌｏｇａｍ ＝ ｍｌｏｇａ （ ＞０ ≠１， ， ∈ ， ＞０， ≠０）
对数的运算法则
（３）
如果ａ 且ａ Ｍ Ｎ 那么
＞０ ≠１， ＞０， ＞０，
ＭＮ Ｍ Ｎ
ａ．ｌｏｇａ（ ）＝③ ｌｏｇａ ＋ｌｏｇａ ；
( )
２
ａ １ ３
ａ２ ａ ２ ＋ －
所以ａ １ ２ ＋２ －１ ２ ２ ， １ （ ａ）
＋１－ ａ＝ ａ ＝ ａ ＞０ ａ－ １－ ＝
２ ２ ２ ２
考法一 对数式大小的比较方法 ( ) ２
ａ １ １
例１ （１） 设ａ ＝０ ． ５ ０ ． ４ ， ｂ ＝ｌｏｇ０ ． ４０ ． ３， ｃ ＝ｌｏｇ８０ ． ４， 则ａ ， ｂ ， ｃ的 １－２
ａ
ａ ＋２
ａ２
＝
２ －
２ ａ
＋
２ ＞０ ，
大小关系是 ２ ２
（ ）
ａ ｂ ｃ ｃ ｂ ａ ｃ ａ ｂ ｂ ｃ ａ 所以ａ １ ａ，
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜ ＋１＞ ａ＞１－
２
（２） 设 １ ＜ ａ ＜１， ｍ ＝ｌｏｇａ（ ａ ＋１）， ｎ ＝ｌｏｇａ（１－ ａ ）， ｐ ＝ｌｏｇａ １ ａ， 则 又 １ ａ ， ２ ２ ＜ ＜１
２
ｍ ｎ ｐ的大小关系是
， ， （ ） 所以 （ａ ） １ （ ａ）， ｎ ｍ ｐ ｍ ｐ ｎ ｌｏｇａ ＋１ ＜ｌｏｇａ ａ＜ｌｏｇａ １－
Ａ． ＞ ＞ Ｂ． ＞ ＞ ２
ｐ ｎ ｍ ｎ ｐ ｍ 即ｍ ｐ ｎ．故选 ．
Ｃ． ＞ ＞ Ｄ． ＞ ＞ ＜ ＜ Ｄ
解析 （ １ ） ∵０＜ ａ ＝０ ． ５ ０ ． ４ ＜０ ． ５ ０ ＝１ ，ｂ ＝ｌｏｇ０ ． ４０ ． ３＞ｌｏｇ０ ． ４０ ． ４＝１ ，ｃ 答案 （ １ ）Ｃ （ ２ ）Ｄ
． ， ｃ ａ ｂ． 方法总结 对数式大小的比较方法
＝ｌｏｇ８０４＜ｌｏｇ８１＝０ ∴ ＜ ＜
（ ）因为 １ ａ ，
２ ＜ ＜１
２
A
版
高
考
数
学
／
２６
故函数ｙ ｘ 的大致图象如选项 所示．故选 ．
＝ｌｏｇａ｜ ｜ Ｂ Ｂ
（ ）当ｘ 时， ｆ（ｘ） ｘ ，
２ ≥１ ＝１＋ｌｏｇ２ ≥１
则有当ｘ 时， ｆ（ｘ） （ａ ）ｘ ａ必须是增函数，
＜１ ＝ －１ ＋４－２
且最大值大于或等于 才能满足ｆ（ｘ）的值域为Ｒ，
１
{ａ ，
可得 －１＞０
ａ ａ ，
－１＋４－２ ≥１
解得 ａ ，即ａ （ ， ］．
１＜ ≤２ ∈ １ ２
考法二 对数函数的图象与性质的应用 （ ）当ａ 时， ｆ（ｘ） （ ａｘ）在［ ， ］上是减函数，
３ ＞１ ＝ｌｏｇａ ８－ １ ２
例２ 若函数ｙ ａ｜ ｘ ｜ ａ 且ａ 的值域为 ｙ ｙ 由于ｆ（ｘ） 在［ ， ］上恒成立，
（１） ＝ （ ＞０， ≠１） ｛ ｜ ≥ ＞１ １ ２
１｝， 则函数ｙ ＝ｌｏｇａ｜ ｘ ｜ 的图象大致是 （ ） 所以ｆ（ｘ） ｍｉｎ＝ｌｏｇａ （ ８－２ ａ） ＞１ ，
故 ａ ａ，
８－２ ＞
即 ａ ８ ；
１＜ ＜
３
当 ａ 时， ｆ（ｘ） （ ａｘ）在［ ， ］上是增函数，
０＜ ＜１ ＝ｌｏｇａ ８－ １ ２
由于ｆ（ｘ） 在［ ， ］上恒成立，
{ ａ ｘ ａ ｘ ＞１ １ ２
（２） 已知函数ｆ （ ｘ ）＝ （ －１） ｘ ＋ ｘ ４－２ ． ， ＜１，若ｆ （ ｘ ） 的值域为 所以ｆ（ｘ） ｍｉｎ＝ｌｏｇａ （ ８－ ａ） ＞１ ，且 ８－２ ａ ＞０ ，
Ｒ 则实数ａ的取值范围是
１＋ｌｏｇ２ ，
．
≥１ 所以ａ
＞４
，且ａ
＜４
，
，
故这样的ａ不存在．
（３） 已知函数ｆ （ ｘ ）＝ｌｏｇａ（８－ ａｘ ）（ ａ ＞０， 且ａ ≠１）， 若ｆ （ ｘ ）＞１ ( )
在区间 上恒成立 则实数ａ的取值范围为 ． 综上可知，实数ａ的取值范围是 １ ，８ ．
［１，２］ ， ３
解题导引 ( )
答案 （ ）Ｂ （ ）（ ， ］ （ ） ，８
１ ２ １ ２ ３ １
３
（１） 方法总结 １．对一些可通过平移 对称作出其图象的对数
、
函数型问题 在求解其单调性 单调区间 值域 最值 零点
， （ ）、 （ ）、
时 常利用数形结合法求解．
（２） ，
２．研究复合函数ｙ ｆ ｘ 的单调性 最值 时 应先研究
＝ｌｏｇａ （ ） （ ） ，
（３） 其定义域 结合函数ｕ ｆ ｘ 及ｙ ｕ的单调性 最值 确定函
， ＝ （ ） ＝ｌｏｇａ （ ）
解析 （ ）因为函数ｙ ａ｜ ｘ ｜（ａ ，且ａ ）的值域为｛ｙ ｙ 数ｙ ｆ ｘ 的单调性 最值 其中ａ 且ａ ．
１ ＝ ＞０ ≠１ ｜ ≥ ＝ｌｏｇａ （ ） （ ）（ ＞０， ≠１）
｝，所以ａ ，故ｙ ｘ 为偶函数且在（ ， ）上单调递增，
１ ＞１ ＝ｌｏｇａ｜ ｜ ０ ＋∞
