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3.4 对数运算及对数函数（精练）（提升版）
题组一 对数运算
（2022·河南·节选）求值：
(1) .
(2) .
(3) ；
(4) .
（5）2log 2－log ＋log 8－ ；
3 3 3
（6）(log 125＋log 25＋log 5)·(log 2＋log 4＋log 8)．
2 4 8 5 25 125
（7） lg25＋lg2＋lg ＋lg(0.01)－1；
（8）(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；
（9(log 2＋log 2)·(log 3＋log 3)；
3 9 4 8
（10）2log 2－log ＋log 8－3log 5；
3 3 3 5
【答案】(1) （2）-1 (3)1 (4)2.（5）－1；（6）13. （7） ；（8）2；（9） ；（10）－1.
【解析】(1)原式 .
(2)
（3）原式= .
（4）原式= = =2.
（5）原式＝2log 2－5log 2＋2＋3log 2－3＝－1.
3 3 3（6）原式
.
（7）原式＝
（8）原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.
（9）(log 2＋log 2)·(log 3＋log 3)＝ · ＝ ·
3 9 4 8
＝ · ＝ .
（10）2log 2－log ＋log 8－3log 5＝log 22＋log (32×2－5)＋log 23－3＝log (22×32×2－5×23)－3
3 3 3 5 3 3 3 3
＝log 32－3＝2－3＝－1.
3
题组二 对数函数的单调性
1．（2022·河南）已知函数 ，则 （ ）
A．是奇函数，且在 上单调递增 B．是奇函数，且在 上单调递减
C．是偶函数，且在 上单调递增 D．是偶函数，且在 上单调递减
【答案】D
【解析】对于 ，有 ，解得 ，
∴ 的定义域为 ，关于原点对称.函数 为偶函数.
，内层函数 在 上为减函数，外层函数 为增函数，
函数 在 上为减函数.故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知函数 在区间 ， 上是增函数，则
实数 可取（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】BC
【解析】因为 时， 恒成立，所以 ，所以 , 为负数，
因为函数 在 上是增函数，所以要使 在 上是增函数，
则需函数 是减函数，所以 ，所以 ，实数 的取值范围为 ，故选：BC.
3．（2021·福建·高三阶段练习）（多选）已知函数 （ 且 ）在
上单调递减，且关于 的方程 有 个不相等的实数解，则 的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】因为 是 上单调递减函数，
所以 即 ，所以 ，作出函数 与 的图象，如图：
由图知：方程 在 上只有一解，
因为方程 有 个不相等的实数解，
则 在 只有一解，所以 ，可得
所以实数 的取值范围为 ，故选项AB正确；故选：AB.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知 在区间 上单调递减，则实数 的取值范
围是_____________.
【答案】
【解析】由题可知， 在区间 上单调递减，
设 ，而外层函数 在定义域内单调递减，
则可知内层函数 在区间 上单调递增，
由于二次函数 的对称轴为 ，
由已知，应有 ，且满足当 时， ，即 ，解得： ，所以实数 的取值范围是 .故答案为： .
5．（2022·四川·石室中学三模）若函数 在区间 上是单调增函数，则实数a的取
值范围是______．
【答案】
【解析】由函数 在区间 上是单调增函数，只需
函数 在 上是单调增函数，且当 时 恒成立，所以满足 解得
．故答案为：
6．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ln(ax2＋x)在区间(0，1)内单调递增，则实数a的取值范围为
________.
【答案】
【解析】若函数f(x)＝ln(ax2＋x)在区间(0，1)内单调递增，
即函数g(x)＝ax2＋x在(0，1)内单调递增，
当a＝0时，g(x)＝x在(0，1)内单调递增，符合题意，
当a>0时，g(x)的对称轴 ，g(x)在(0，1)内单调递增，符合题意，
当a<0时，需满足g(x)的对称轴 ，解得－ ≤a＜0，综上，a≥－ .故答案为：
7．（2022·湖北·高三期末）已知函数 的单调递增区间为 ，则 _____________．
【答案】
【解析】由题知 ，解得 或 ，所以函数的定义域为 或 ，
因为函数 在 时单调递增，在 时单调递减，函数 在 上单调递增，所以函数 的单调递增区间为 ，故 故答案为：
8（2022·云南昭通·高三期末）已知 且 ，若函数 在 上是单调递
增函数，则a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由复合函数单调性可知，
①当 时， ，解得 ；
②当 时， ，解得 ，
所以a的取值范周是 .故答案为： .
9．（2021·天津·南开中学高三阶段练习）若函数 在区间 上是增函数，则实数
的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题设，令 ，而 为增函数，
∴要使 在 上是增函数，即 在 上为增函数，
∴ 或 ，可得 或 ，
∴ 的取值范围是 .故答案为：10（2022·北京师范大学天津附属中学高三阶段练习）已知函数 对任意两个不相等
的实数 、 ，都满足不等式 ，则实数 的取值范围__________．
【答案】
【解析】设 ，由 可得 ，所以，函数 在 上单调递增，
设 ，由于外层函数 为减函数，故函数 在 上单调递减，
且对任意的 ， 恒成立，所以， ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .故答案为： .
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是 的递减函数，则实数 的取值范
围是___________.
【答案】
【解析】要使函数 是 的递减函数，只需 ，
当 时， 不成立；
当 时， 可化为 ，解得： ，即实数 的范围是 .故答案为： .
题组三 对数函数的值域（最值）
1．（2022·全国·高三专题练习（理））下列函数中最小值为8的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，取 ，则 ，最小值不为8；
对于B，因为 ，但 无解，从而此函数的最小值不为8，
对于C，取 ，则 ，此函数的最小值不为8，
对于D， ，当且仅当 时等号成立，故此函数的最小值为8，故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若对任意的 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，当 时， ；
当 时， .所以， .若对任意的 ，不等式 恒成立，则 ，
所以， ，解得 .因此，实数 的取值范围是 .故选：B.
3．（2022·全国·一模（理））已知函数 ， ，若对任意 ，存在
，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵对任意 ，存在 ，使得 ，∴
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ∴ ，解得 ，故选：A.
4．（2022·广东）若 且 在 上恒正，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 , 且 ，在 上恒正,
令 ，所以当 时， 的对称轴方程为 ，知 ，即 .
当 时， ，满足或 或 解不等式得： ，
所以实数 的取值范围是 .故选： .
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令 ，由于函数 的值域为 ，
所以，函数 的值域包含 .
①当 时，函数 的值域为 ，合乎题意；
②当 时，若函数 的值域包含 ，
则 ，解得 或 .
综上所述，实数 的取值范围是 .故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的值域为R．则实数a的取值范围
是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 的值域为R
令 ，则
的值域必须包含区间
当 时，则
当 时， 符合题意；
当 时， 不符合题意；
当 时， ，解得
，即实数 的取值范围是
故选：A
7（2022·北京·高三专题练习）若函数 的值域为 ，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 时， ，
当 时， ，分两种情况：
（i）当 时， ，所以只需 ，得 .即
（ii）当 时， ，所以只需 显然成立，得 .综上，a的取值范围是 .故选：D.
8．（2022·全国·高三专题练习）求函数y＝lg（sin2x+2cosx+2）在 上的最大值___，最小值
_____．
【答案】 lg4 lg
【解析】由题意，sin2x+2cosx+2＝1﹣cos2x+2cosx+2＝﹣（cosx﹣1）2+4，
∵ ，∴cosx∈[ ，1]，
则当cosx＝1时，sin2x+2cosx+2取得最大值4，
当cosx 时，sin2x+2cosx+2取得最小值 ，即当 时，函数有意义，
设t＝sin2x+2cosx+2，则 t≤4，则lg lgt≤lg4，
即函数的最大值为lg4，最小值为lg ，故答案为：lg4，lg
8．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，设函数 ，则
______．
【答案】5
【解析】由题意得 ，∴ ，∴ 的定义域为[1，3]，
，
设 ， ，
则 ，在[0，1]上为增函数，
∴当 即 时， ，当 即 时， ，
∴ ．
故答案为：5．
10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的值域为R，则实数a的取值
范围是_________.
【答案】
【解析】 值域为R，
设 ，所以 可以取遍 中任意一个数，所以
所以 的取值为
故答案为：
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 有最小值，则实数 的范围是
______．
【答案】
【解析】因为 时， ，若 有最小值，则 单调递减，并且满足
，解得 ，所以实数 的范围是 ．
故答案为：
12．（2022·全国·高三专题练习）若函数 的值域为 ，则实数m的取值范围为
________.【答案】
【解析】当 时， ，
因为函数 在 时是单调递增函数，
所以有 ，即 ，
当 时， ，根据指数复合函数的单调性的性质可知：
函数在 时，单调递减，在 时，单调递增，
当 时，由 ，可得 ，即 ，
因为函数 的值域为 ，所以有 ，
即必有 ，而 ，所以不成立；
当 时，此时 ，而 ，
因为函数 的值域为 ，
所以必有 ， ，而 ，
所以 ，
故答案为：
13（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域是 ，则实数 的取值范围是
___________.
【答案】
【解析】设 ，由 的值域为R，
知 可以取所有的正值，
又 ，当且仅当 时等号成立，故 的值域为 ，所以只需满足 即可，即 故答案为：
14（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的值域为R，其中 ，则a的最大值为
____.
【答案】﹣e2
【解析】设g（x）＝ ，若f（x）的值域为R，则g（x）能取到一切的正实数，即存在x，使得g
（x）≤0，原问题转化为g（x）min≤0．
令g'（x）＝ex+a＝0， ，解得x＝ln（﹣a），
当x＜ln（﹣a）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；
当x＞ln（﹣a）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增．
∴g（x）min＝g（ln（﹣a））＝ ＝a[ln（﹣a）﹣2]≤0，
∵a＜0，∴ln（﹣a）﹣2≥0，解得a≤﹣e2．
∴a的最大值为﹣e2．
故答案为：﹣e2．
题组四 对数式比较大小
1．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知 ， ， ，则1a，b，c的大小
关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，
，
∴ .故选：A.
2．（2022·湖北·模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】 ， ，
因为 ，所以 ,故 .故选：B
3．（2022·天津市武清区杨村第一中学二模）设 ，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意， ，
，所以 故选：A
4．（2022·天津和平·三模）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，即 ；
因为 ，所以 ，即 ，综上， ．故选：D．
5．（2022·辽宁·育明高中高三阶段练习）设 ， ， ，则下列
选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令 ，则 ，令 ，解得 ，
故当 时， 单调递减，故 ，即 ，
则 .令 ，则 ，
故当 时， 单调递增， 时， 单调递减，
则 ，即 .
，故 ；
，故 ；
综上所述： .故选：D.
6．（2022·陕西西安·一模（理））已知 ， ， 则a，b，c的大小关系是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】先比较 ，易知 ,故 ，即
又 ，故 时 ， 时
故 ， 而 ，故 ，有 故选：A
7．（2022·江西·模拟预测（理））已知实数a，b满足 ， ，则下列判断正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，所以 ；
由 且 ，所以 ，所以 ，
令 ， ，令 ，则 ，
则 ， 等价于 ， ；
又 ，
所以当 时， ，故 ，所以 .
故选：D.
8．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知函数 的图像关于直线 对称，且当
， 成立，若 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 的图像关于直线 对称，可知函数 的图像关于直线 对称，即
为偶函数，构造 ，当 ， ，故 在 上
单调递减，且易知 为奇函数，故 在 上单调递减，由 ，所以
.故选：D.
9．（2022·河南·许昌高中高三开学考试（文））已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，，
，
又 为定义域上的增函数，
所以 .
故选：D
10．（2022·河南·三模（理））已知 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ，由于 ，所以 ，
设 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 ，
所以 ，两边同乘以3得： ，即 ，
又 ，
所以 ，两边同乘以2得： ，即 ，
综上： .
故选：A
11．（2022·广西南宁·一模（理））已知 是定义在 上的函数，对任意两个不相等的正数 ，
都有 .记 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】对任意两个不相等的正数 ， ，
则有函数 在 上单调递减，
令 ， ，即 在 上单调递减，
于是得 ，即有 ，从而有 ，
因此， ，则有 ，所以 .故选：A
题组五 解对数式不等式
1．（2022·江西赣州）已知实数 满足 ，则直线 与圆 有公共点的
概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以1≤1−a≤8，即 ，
因为直线 与圆 有公共点，所以 ，解得 ，
所以直线 与圆 有公共点的概率为 故选：D
2．（2022·四川绵阳·一模）设函数 则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由题意， 在 单调递增，且 故 或
解得： 故选：D
3．（2022·四川遂宁·三模（文））设函数 且 ，则 的
取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ， ，
， ，
函数 在 上是奇函数．
当 时，函数 单调递增，因此函数 在 上单调递增．
又 ，则 ，即 ，
即 ，
，即 ，而 ，
，即 ，而 ，
，解得 ．实数 的取值范围为 ．故选：B．
4．（2022·湖南岳阳·二模）已知函数 且 ，则正实数a
的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由解析式知：函数定义域为 ，令 ，
由 ，即 为奇函数，
所以 等价于 ，而 ，
由 、 在 上递增，故 在 上递增，
所以 ，可得 .故选：B
5．（2022·贵州毕节·模拟预测（文））函数 ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 的定义域满足 ，即定义域为 ，
又 ，故 为奇函数，
而 在 上随x的增大而减小，
故 在 上为单调递减函数，
则由不等式 可得不等式 ，
故 ，解得 ，
故选：D
6．（2022·陕西渭南·一模（文））若 ，且 ，函数 ，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 得： ，即 定义域为 ；
，
当 时， 为增函数， 在 上单调递增；
，
当 时， 在 上单调递增， 在 上单调递增，
在 上单调递增，
在 上单调递增，又 ，
则由 得： ， ，
解得： 或 ，即 的解集为 .
故选：B.
7．（2022·全国·模拟预测）已知函数 ，不等式 的解集为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】函数 的定义域为 ，且 ，所以 为奇函数，
在 上递增，则可得在 上单调递增， 可以变为
，即 ，所以 ，
，记 ， 在 上是增函数，且 ，所以
的解集为 ，故选：C．
8．（2022·全国·江西师大附中）已知函数 则不等式 的解集为______．
【答案】
【解析】当 时，不等式 为 ，解得 ；
当 时，不等式 为 ，易知 ，解得
；
当 时，不等式 为 ，解得 ；
综上，解集为： .
故答案为： .
9．（2022·全国·高三专题练习）若函数 为奇函数，则不等式 的解
集为___________.
【答案】【解析】因为函数 为R上的奇函数，所以 ，解得 ，检验可得此时
，函数 为R上的奇函数，
所以 ，易知 为R上的增函数，
所以不等式 等价于 ，
所以 ，解得 ，
所以原不等式的解集为 .
故答案为： .
10．（2022·上海·复旦附中模拟预测）已知函数 ，若m满足
，则实数m的取值范围是____________
【答案】
【解析】 定义域为R，且 ，所以 为偶函数，
因为 ，所以 ，
所以 等价于 ，
而 ，所以 ，
又因为当 时， 且单调递增， 且 单调递增，
所以 在 为单调增函数，故 ，解得： .故答案为：
题组六 对数函数的定点
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 （ ，且 ）的图象恒过定点 ，若点
在椭圆 上，则 的最小值为（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
【答案】C
【解析】对于函数 ，令 得 ，则函数图象恒过定点 ，
将其代入椭圆方程得 （ ），
则 .
当且仅当 时， 有最小值9.
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， 恒过定点 ，过定点 的直线
与坐标轴的正半轴相交，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，即 ，得 ，则 ，
则 且 ， ，
由 ．
当且仅当 ， 时，等号成立，故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 （ 且 ）的图象恒过点 ，且点 在角
的终边上，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据对数函数的性质，易知点 ，故 ，
所以 ．故选：D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 恒过定点A，则过点 且以A点
为圆心的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数 ，当 时，
所以函数 恒过定点A
所以过点 且以A点为圆心的圆的方程为 故选：B
5．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知函数 的图像恒过定点 ，又点
的坐标满足方程 ，则 的最大值为_____．
【答案】
【解析】 过定点 ，所以 ,所以
故 ，当且仅当 时等号成立.故答案为：
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的图象经过定点 ，若正
数x，y满足 ，则 的最小值是__________
【答案】
【解析】函数
令 ，可得 ，代入函数可得 ， 定点 的坐标 ，
代入 可得 ，那么 ，
又 ，则 .
当且仅当 即 时，取等号， 的最小值 .故答案为：
7．（2022·天津市新华中学模拟预测）函数 的图像恒过定点 ，过点 的直
线 与圆 相切，则直线 的方程是___________________．
【答案】． 或
【解析】当 ,即 时, ,即函数过定点 .
由圆的方程可得圆心 ,半径 ,
当切线 的斜率不存在时,直线方程为 ,此时直线和圆相切,
当直线斜率k存在时,直线方程为 ,
即 ,圆心 到直线的距离 ,
即 ,
平方的 ,
即 ,此时对应的直线方程为 ,
综上切线方程为 或 .
故答案为 或 .
