文档文本内容
A
版
高
考
数
学
／
１８
３．２ 二次函数与幂函数
§
ｍ ｎ ｂ ｍ ｎ
＋ ， 则ｆ（ｘ）的最大值为ｆ（ｎ）；若 ＋ ，则ｆ（ｘ）的最大值
－ ａ≥
２ ２ ２
为ｆ（ｍ）．
考点一 二次函数 ｂ
（ ）当 ［ｍ，ｎ］，即给定的区间在对称轴的一侧时，
１．二次函数的解析式 ２ － ａ∉
２
（１）
一般式
：
ｆ
（
ｘ
）＝
ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ
（
ａ
≠０）； ｆ（ｘ）在［ｍ，ｎ］上是单调函数，若
ｂ
ｍ，则ｆ（ｘ）在［ｍ，ｎ］上是增
顶点式 若二次函数图象的顶点坐标为 ｈ ｋ 则其解 － ａ＜
（２） ： （ ， ）， ２
析式为ｆ （ ｘ ）＝① ａ（ｘ － ｈ）２ ＋ ｋ（ａ ≠０ ） ； 函数， ｆ（ｘ）的最小值是ｆ（ｍ），最大值是ｆ（ｎ）；若ｎ ｂ ，则ｆ（ｘ）
＜－ ａ
两根式 若相应一元二次方程的两根为ｘ ｘ 则其解析 ２
（３） ： １， ２， 在［ｍ，ｎ］上是减函数， ｆ（ｘ）的最小值是ｆ（ｎ），最大值是ｆ（ｍ）．
式为ｆ ｘ ａ（ｘ ｘ ）（ｘ ｘ ）（ａ ） ．
２． （ 二 ） 次 ＝ 函 ② 数 的图 － 象 １ 和性 － 质 ２ ≠０ （ ）当不能确定 ｂ 是否属于区间［ｍ，ｎ］时，则需分类讨
３ － ａ
解析式 ｆ
（
ｘ
）＝
ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ
（
ａ
＞０）
ｆ
（
ｘ
）＝
ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ
（
ａ
＜０） 论，以对称轴与区间的
２
关系确定讨论的标准，然后转化为上述
（ ）（ ）两种情形求最值．
１ ２
图象
考点二 幂函数
１．幂函数的定义
定义域 Ｒ Ｒ 一般地 形如ｙ ｘα α Ｒ 的函数称为幂函数 其中α为常数．
， ＝ （ ∈ ） ，
值域 [ ４ ａｃ － ａ ｂ２ ，＋∞ ) ③ ( －∞ ，４ ａｃ － ａ ｂ２ ] ２．幂函数ｙ ＝ ｘ，ｙ ＝ ｘ２，ｙ ＝ ｘ３，ｙ ＝ ｘ１ ２，ｙ ＝ １ ｘ 的图象
４ ４
最值 ｆ ｘ ４
ａｃ
－
ｂ２
ｆ ｘ ４
ａｃ
－
ｂ２
（ ）ｍｉｎ＝ ａ （ ）ｍａｘ＝④ ａ
４ ４
( ｂ ]
在 ， 上
⑤ －∞ － ａ ( ｂ ]
２ 在 上单调递增
单调递减 －∞，－ ａ ，
单调性 ， ２
[ ｂ ) [ ｂ )
在 ， 上 在 上单调递减
⑥ － ａ ＋∞ － ａ，＋∞
２ ２
单调递增
奇偶性 当ｂ 时为偶函数 当ｂ 时为非奇非偶函数
３．幂函数ｙ
＝
ｘ，ｙ
＝
ｘ２，ｙ
＝
ｘ３，ｙ
＝
ｘ１
２
，ｙ
＝
１
ｘ
的性质
＝０ ， ≠０
顶点 ( ｂ ４ ａｃ － ｂ２ ) ｙ ＝ ｘ ｙ ＝ ｘ２ ｙ ＝ ｘ３ ｙ ＝ ｘ１ ２ ｙ ＝ ｘ－１
坐标 － ａ， ａ
２ ４ 定义域 Ｒ Ｒ Ｒ （－∞，０）∪
［０，＋∞）
ｂ （０，＋∞）
对称性 图象关于 直线ｘ 对称
⑦ ＝－ ａ 值域 Ｒ Ｒ （－∞，０）∪
２ ［０，＋∞） ［０，＋∞）
（０，＋∞）
知识拓展 二次函数ｆ（ｘ） ａｘ２ ｂｘ ｃ（ａ ）在区间［ｍ，ｎ］ 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
＝ ＋ ＋ ＞０
上的最大值或最小值如下： 上减 上减
单调性 增 （－∞，０） ， 增 增 （－∞，０） ，
ｂ 上增 上减
（ ）当 ［ｍ，ｎ］，即对称轴在所给区间内时， ｆ（ｘ）的最 （０，＋∞） （０，＋∞）
１ － ａ∈ 定点
２ （０，０），（１，１） （１，１）
( ｂ ) ａｃ ｂ２ ｂ
小值在对称轴处取得，其最小值是 ｆ ４ － ；若
－ ａ ＝ ａ － ａ≤
２ ４ ２
ａ ａ Ｒ．
， ∈
求ｆ ｘ 在 上的最小值ｇ ａ
（１） （ ） ［０，２］ （ ）；
若关于ｘ的方程ｆ ｘ ａ ｘ ａ ｘ ｘ ＋１ （２） （２ ）＝（ ＋１）·４ － ·（２ ＋１）－２ ＋３
考法一 求二次函数在闭区间上的最值（值域） 有正实数根 求实数ａ的取值范围．
，
例１ （２０１９山西晋中模拟，１８）已知ｆ ｘ ａｘ２ ｘ 解题导引 通过讨论ａ的范围 结合二次函数的性质
（ ）＝ －２ ＋１－ （１） ，
专
题
三
函
数
概
念
与
基
本
初
等
函
数
／
１９
求出函数的单调区间 求出函数的最小值即可 或
， ； Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．１ －１ Ｄ．０
（２）
化简方程
，
得到
４
ｘ
－
ａ
·２
ｘ
＋２＝０，
令ｔ
＝２
ｘ
（
ｔ
＞０），
问题转 解析
∵
函数ｆ（ｘ）
＝
ｘ２
－２
ｘ
＋１＝
（ｘ
－１
）２ 在区间［ａ，ａ
＋２
］上
化为 ２ ｔ ａ在 上有实根 求出ａ的取值范围即可． 的最大值为 ，ｆ（ ） ｆ（ ） ， 函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ａ ］上
ｔ ＋ ＝ （１，＋∞） ， ４ －１ ＝ ３ ＝４ ∴ ＋２
的最大值在ｘ 或ｘ 处取得．
解析 （ １ ）当ａ ＝０ 时， ｆ（ｘ） ＝－２ ｘ ＋１ 在［ ０ ， ２ ］上单调递减， 结合二次 ＝ 函 － 数 １ 图象 ＝ 可 ３ 得ａ ，或ａ ， ａ ，或ａ ．
＝－１ ＋２＝３ ∴ ＝－１ ＝１
故最小值ｇ（ａ） ｆ（ ） ． 故选 ．
＝ ２ ＝－３ Ｃ
当ａ
≠０
时， ｆ（ｘ）
＝
ａｘ２
－２
ｘ
＋１－
ａ是关于ｘ的二次函数，其图
答案 Ｃ
象的对称轴为直线ｘ １ ． 例 （２０１６皖北第一次联考，８）已知函数ｆ ｘ ｘ２ ａｘ
＝ ａ （ ）＝－ ＋２ ＋
ａ在区间 上的最大值为 则ａ的值为
１－ ［０，１］ ２， （ ）
当ａ 时，ｘ １ ，此时ｆ（ｘ）在［ ， ］上单调递减， 或
① ＜０ ＝ ａ ＜０ ０ ２ Ａ．２ Ｂ．－１ －３
或 或
故最小值ｇ（ａ） ｆ（ ） ａ ； Ｃ．２ －３ Ｄ．－１ ２
＝ ２ ＝３ －３
解析 函数ｆ（ｘ） （ｘ ａ）２ ａ２ ａ 图象的对称轴为ｘ ａ，
当ａ 时，ｘ １ ， ＝－ － ＋ － ＋１ ＝
② ＞０ ＝ ａ ＞０ 且开口向下，分三种情况讨论如下：
当１ （ ， ），即ａ １ 时， ｆ（ｘ）在
(
，１
)
上单调递减，在 ①
当ａ
≤０
时，函数ｆ（ｘ）
＝－
ｘ２
＋２
ａｘ
＋１－
ａ在区间［
０
，
１
］上是
( ) ａ ∈ ０ ２ ＞ ２ ( ０ ) ａ 减函数， ∴ ｆ（ｘ） ｍａｘ＝ ｆ（ ０ ） ＝１－ ａ，由 １－ ａ ＝２ ，得ａ ＝－１ ．
１ ， 上单调递增，故最小值ｇ（ａ） ｆ １ ａ １ ； 当 ａ 时，函数ｆ（ｘ） ｘ２ ａｘ ａ在区间［ ，ａ］上
ａ ２ ＝ ａ ＝１－ － ａ ② ０＜ ≤１ ＝－ ＋２ ＋１－ ０
是增函数，在（ａ， ］上是减函数，
１
当 １ ［ ， ），即 ａ １ 时， ｆ（ｘ）在［ ， ］上单调 ｆ（ｘ） ｆ（ａ） ａ２ ａ２ ａ ａ２ ａ ，由ａ２ ａ ，解
ａ ∈ ２ ＋∞ ０＜ ≤ ０ ２ ∴ ｍａｘ＝ ＝－ ＋２ ＋１－ ＝ － ＋１ － ＋１＝２
２
递减，
得ａ １＋ ５或ａ １－ ５， ａ ， 两个值都不满足，舍去．
＝ ＝ ∵０＜ ≤１ ∴
故最小值ｇ（ａ） ｆ（ ） ａ ． ２ ２
＝
ì ï
２
ａ
＝３
，ａ
－３
１ ， ③
当ａ
＞１
时，函数ｆ（ｘ）
＝－
ｘ２
＋２
ａｘ
＋１－
ａ在区间［
０
，
１
］上是增
ï３ －３ ≤ 函数， ｆ（ｘ） ｆ（ ） ａ ａ ， ａ ．
综上所述，ｇ（ａ） í ２ ∴ ｍａｘ＝ １ ＝－１＋２ ＋１－ ＝２ ∴ ＝２
＝ï
ï １ ａ，ａ １ ．
综上可知，ａ
＝－１
或ａ
＝２
．
î１－ ａ － ＞ 答案 Ｄ
２
（ａ ＋１ （ ） ２ ４ ） ｘ ｆ － （ ａ ２ （ ｘ ２ ） ｘ ＝ ＋ （ １ ） ａ ＋ － １ ２ ） ｘ ＋ ４ １ ＋ ｘ － ３ ａ ， （ ２ ｘ ＋１ ） －２ ｘ ＋１ ＋３ 即ａ· ４ ｘ －２ ｘ ＋１ ＋１－ ａ ＝ 和最 例 大 值 设 为 函数ｆ （ ｘ ）＝２ ｘ２ －６ ｘ ＋３， ｘ ∈［１，４］， 则ｆ （ ｘ ） 的最小值
化简得 ｘ ａ· ｘ ， （ ）
４ － ２ ＋２＝０
令ｔ ＝２ ｘ（ｔ ＞０ ）， Ａ． ３ ，１１ Ｂ．－１，３
则方程变形为ｔ２ ａｔ ， ２
－ ＋２＝０
根据题意得，原方程 ４ ｘ － ａ· ２ ｘ ＋２＝０ 有正实数根， Ｃ．－ ２ ３ ，４ Ｄ．－ ２ ３ ，１１
即关于ｔ的一元二次方程ｔ２ ａｔ 有大于 的实数根，
－ ＋２＝０ １ 解析 函数图象的对称轴方程为ｘ －６ ３ ．
而方程ｔ２ － ａｔ ＋２＝０⇔ ２ ｔ ＋ ｔ ＝ ａ在（ １ ， ＋∞ ）上有实根， ＝－ ２×２ ＝ ２
ａ ， 抛物线开口向上， ３ ［ ， ］，
令Ｆ（ｔ） ２ ｔ，ｔ （ ， ）， ∵ ＝２＞０ ∴ ∵ ∈ １ ４
＝ ｔ ＋ ∈ １ ＋∞ ２
当ｘ ３ 时，ｆ（ｘ）取得最小值且ｆ（ｘ） ３ ；
则Ｆ（ｔ）在（ ， ）上的值域为［ ， ）， ∴ ＝ 最小值＝－
１ ＋∞ ２ ２ ＋∞ ２ ２
故ａ ［ ， ）． 当ｘ 时，ｆ（ｘ）取得最大值，且ｆ（ｘ） ．故选 ．
∈ ２ ２ ＋∞ ＝４ 最大值＝１１ Ｄ
方法总结 二次函数求最值问题 一般先用配方法化成ｙ 答案 Ｄ
， ＝
ａ ｘ ｍ ２ ｎ ａ 的形式 得其图象的顶点坐标为 ｍ ｎ 对称轴为 例 （２０１６浙江名校（柯桥中学）交流卷四，１８）已知ｆ ｘ
（ － ） ＋ （ ≠０） ， （ ， ）， （ ）
直线ｘ
＝
ｍ
，
再结合二次函数的图象求解
，
常见的有三种类型
： ＝
ｘ２
－３
ａ２
，
ｇ
（
ｘ
）＝（２
ａ
＋１）
ｘ．
对称轴 区间都是给定的 若ｆ ｘ ｇ ｘ 的解集中有且仅有一个整数 求ａ的取值 （１） 、 ； （１） （ ）＜ （ ） ，
对称轴动 区间固定 范围
（２） ， ； ；
对称轴定 区间变动．解决这类问题的思路是抓住 三点 若 ｆ ｘ ｇ ｘ ａ在ｘ ａ 上恒成立 试确定ａ
（３） ， “ （２） ｜ （ ）－ （ ）｜≤４ ∈［１，４ ］ ，
一轴 进行数形结合 三点指的是区间两个端点及两个端点的中 的取值范围．
” ，
点 一轴指的是对称轴．具体方法是利用函数的单调性及分类讨 解题导引
，
论的思想求解．
由Ｆ ａ２ 讨论 对于 通常要分对称轴在区间内 对称轴在区间外 构造函数Ｆ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ （０）＝－３ ≤０，
（２）、（３）， 、 （１） （ ）＝ （ ）－ （ ） → 实数ａ是不是 →
两大类情况进行讨论． ０
简单地讲 轴在区间外 端点处取最值 轴在区间内 顶点和 ａ 时 求出不等式解集 {Ｆ
， ， ， ， ＝０ ， ａ 时 仅需 （１）≥０，
端点处有最值． 并进行检验 舍去 → ≠０ ， Ｆ
（ ） （－１）≥０
经典例题教师用书
解不等式组得结论
例 若函数ｆ ｘ ｘ２ ｘ 在区间 ａ ａ 上的最大值为 →
（ ）＝ －２ ＋１ ［ ， ＋２］
则ａ的值为 利用特殊值 和区间的
４， （ ） １
（ ２ ） 定义 得实数ａ的范围 →
，
A
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高
考
数
学
／
２０
讨论函数Ｆ ｘ 在区间
（ ） 得结论
内的最大值和最小值→
解析 （ ）令Ｆ（ｘ） ｆ（ｘ） ｇ（ｘ） ｘ２ （ ａ ）ｘ ａ２，
１ ＝ － ＝ － ２ ＋１ －３
若ａ ，则ｆ（ｘ） ｇ（ｘ）的解集为（ ， ），不满足条件；
＝０ ＜ ０ １
若ａ ，则Ｆ（ ） ａ２ ，
≠０ ０ ＝－３ ＜０
所以 {Ｆ（ １ ） ≥０ ， 解得１－ ７ ａ ． ì ïｍ １ ，
Ｆ（ －１ ） ≥０ ， ３ ≤ ＜０ ì ï ｆ（ ０ ） ＞０ ， ï ＞－ ２
综上可知，ａ的取值范围为 é ë êê１－ ３ ７， ０ ÷ ö ø ． 则 î í ï ï ï ｆ Δ （ ≥ １ ） ０ ｍ ＞ ， ０ ， ⇒ í ï ï ï ｍ ｍ ＞－ ２ １ ， 或ｍ ，
（ ）根据题意知，ａ １ ，且 ｆ（ ） ｇ（ ） ａ， ０＜－ ＜１ ï ≥１＋ ２ ≤１－ ２
２ ＞ ｜ １ － １ ｜≤４ î ｍ ．
４ －１＜ ＜０
( ]
可得 １ ａ ２ ， 故ｍ的取值范围是 １ ， ．
＜ ≤ － １－ ２
４ ３ ２
所以Ｆ（ｘ） ｘ２ （ ａ ）ｘ ａ２ 的图象的对称轴为直线ｘ ａ 方法总结 研究二次函数零点的分布 一般情况下需要从
＝ － ２ ＋１ －３ ＝ ，
( ]
１ ，且ａ １ ３ ，７ ．若 １ ａ １ ， 以下三个方面考虑
＋ ＋ ∈ ＜ ≤ ：
２ ２ ４ ６ ４ ２ 一元二次方程根的判别式
{ Ｆ（ ） ａ， { ａ ａ２ ａ， （１） ；
则 ｜ １ ｜≤４ 即 ｜－２ －３ ｜≤４ 解得 ａ ２ ，所 对应二次函数区间端点函数值的正负
Ｆ（ ａ） ａ， ａ２ ａ ａ， ０≤ ≤ （２） ；
｜ ４ ｜≤４ ｜５ －４ ｜≤４ ３ ｂ
对应二次函数图象 抛物线的对称轴ｘ 与区间
以 １ ａ １ ； （３） ——— ＝－ ａ
＜ ≤ ２
４ ２ 端点的位置关系．
ì Ｆ（ ） ａ，
ï
ï
｜
Ｆ（
１
ａ）
｜≤４
ａ，
设ｘ
１，
ｘ
２
是实系数一元二次方程ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ
＝０（
ａ
＞０）
的两实
若 １ ａ ２ ，则í｜ ４ ｜≤４ 根 则ｘ ｘ 的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如下表
２ ＜ ≤ ３ î ï ï Ｆ ( ａ ＋ １ ) ≤４ ａ， ， 零点的 １， 分 ２ 布 ：
图象 满足条件
２
（ｍ，ｎ，ｐ为常数）
ì
ï｜－２
ａ
－３
ａ２
｜≤４
ａ，
即í
ï
｜５
ａ２
－４
ａ
｜≤４
ａ，
解得３－ ５ ａ ３＋ ５，
ì ï
ï
Δ ＞
ｂ
０
î
ï
ï １６
ａ２
＋４
ａ
＋１
≤４
ａ， ８
≤ ≤
８
ｘ
１＜
ｘ
２＜
ｍ í
ïï －
２
ａ＜
ｍ
４ îｆ ｍ
（ ）＞０
所以 １ ａ ３＋ ５． ìΔ
＜ ≤ ï ï ＞０
２ ８ ｂ
ｍ ｘ ｘ í ｍ
综上，ａ的取值范围是 １ ａ ３＋ ５． ＜ １＜ ２ ïï － ２ ａ＞
＜ ≤ îｆ ｍ
４ ８ （ ）＞０
考法二 一元二次方程根的分布
ｘ ｍ ｘ ｆ ｍ
１＜ ＜ ２ （ ）＜０
例２ 已知关于ｘ的二次方程ｘ２ ｍｘ ｍ ．
＋２ ＋２ ＋１＝０
若方程有两根 其中一根在区间 内 另一根在区 ì ï Δ ＞０
间 （１） 内 求ｍ的取值 ， 范围 （－１，０） ， ïï ｍ ｂ ｎ
（１，２） ， ； ｍ ｘ ｘ ｎ í ＜－ ａ＜
若方程两根均在区间 内 求ｍ的取值范围． ＜ １＜ ２＜ ï ２
（２） （０，１） ， ｆ ｍ
解析 令ｆ（ｘ） ＝ ｘ２ ＋２ ｍｘ ＋２ ｍ ＋１ ． î ï ｆ
（
（ ｎ
）
）
＞
＞
０
０
（ ）由条件知，抛物线ｆ（ｘ） ｘ２ ｍｘ ｍ 与ｘ轴的交点 {ｆ ｍ
１ ＝ ＋２ ＋２ ＋１ （ ）＞０
的横坐标分别在区间（ ， ）和（ ， ）内，如图所示， ｍ ｘ ｎ ｘ ｐ ｆ ｎ
－１ ０ １ ２ ＜ １＜ ＜ ２＜ （ ）＜０
ì ｆ ｐ
ïｍ １ ， （ ）＞０
ï ＜－
ìｆ（ ） ｍ ， ２
ï ０ ＝２ ＋１＜０ ïｍ Ｒ，
ïｆ（ ） ， ï ∈
则í －１ ＝２＞０ í
ïｆ（ ） ｍ ，⇒ïｍ １ ，
ï １ ＝４ ＋２＜０ ＜－
îｆ（ ） ｍ ï ２ {Δ
２ ＝６ ＋５＞０ ï ＝０，
ïｍ ５ ． ｂ 或ｆ ｍ ｆ ｎ
î ＞－ ｍ ｎ （ ）·（ ）＜０
６ 只有一个零点 ＜－ ａ＜
( ) ２
故ｍ的取值范围是 ５ ， １ ． 在 ｍ ｎ 之间 {ｆ ｍ {ｆ ｎ
－ － （ ， ） （ ）＝０， （ ）＝０
６ ２ 或 ｂ ｍ ｎ或 ｍ ｎ ｂ
（ ）抛物线与ｘ轴的两个交点的横坐标均落在区间（ ， ） ｍ ＜－ ａ＜ ＋ ＋ ＜－ ａ＜ ｎ
２ ０ １ ２ ２ ２ ２
内，如图所示，
专
题
三
函
数
概
念
与
基
本
初
等
函
数
／
２１
经典例题教师用书 答案 Ａ
例 已知函数ｆ （ ｘ ）＝（ ｍ －２） ｘ２ ＋ ｍｘ ＋（２ ｍ ＋１）（ ｍ ≠２） 的两个 例 （２０１７江西九江七校联考，１３）若方程ｘ２ － ｍｘ ＋ ｍ －１＝０
零点分别在区间
（－１，０）
和区间
（１，２）
内
，
则实数ｍ的取值范围是
有两实根 则其中一根大于 另一根小于 的充要条件是
， ２， ２
．
（ ）
( ) [ ]
１ １ １ １ 解析 令ｆ（ｘ） ｘ２ ｍｘ ｍ ，由已知得ｆ（ ） ｍ ．
Ａ． ， Ｂ． ， ＝ － ＋ －１ ２ ＜０⇒ ＞３
( ４ ２ ) ( ４ ２ ) 答案 ｍ
＞３
１ １ １ １
Ｃ． － ， Ｄ． － ，
２ ４ ４ ２ 考法三 幂函数的图象及性质的应用
解析 当ｍ ，即ｍ 时，
① －２＞０ ＞２ 例３ （２０２０广东揭阳三中第一次月考，７）如图的曲
ì ï ｆ（ －１ ） ＝２ ｍ －１＞０ ， （１）
ïｆ（ ） ｍ ， 线是幂函数ｙ ｘｎ 在第一象限内的图象．已知ｎ分别取 １ 四
需满足í ０ ＝２ ＋１＜０ 无解． ＝ ±２，±
ïｆ（ ） ｍ ， ２
ï １ ＝４ －１＜０ 个值 与曲线Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ 相应的ｎ依次为
îｆ（ ２ ） ＝８ ｍ －７＞０ ， ， １， ２， ３， ４ （ ）
当ｍ ，即ｍ 时， １ １
② －２＜０ ＜２ Ａ．２， ，－ ，－２
ìｆ（ ） ｍ ， ２ ２
ï －１ ＝２ －１＜０
ïｆ（ ） ｍ ， ( ) １ １
需满足í ０ ＝２ ＋１＞０ 解得ｍ １ ，１ ，故选 ． Ｂ．２， ，－２，－
ïｆ（ ） ｍ ， ∈ Ａ ２ ２
ï １ ＝４ －１＞０ ４ ２
îｆ（ ） ｍ ， １ １
２ ＝８ －７＜０ Ｃ．－ ，－２，２，
答案 Ａ ２ ２
１ １
例 若关于ｘ的方程 ｍ ｘ２ ｍｘ ｍ 的两根异号 Ｄ．－２，－ ， ，２
（ ＋３） －４ ＋２ －１＝０ ， ２ ２
且负根的绝对值比正根大 那么实数ｍ的取值范围是 （多选题） （２０１９ 湖北荆门一模，４ 改编） 已知点
， （ ） （２）
ｍ ｍ ( )
Ａ．－３＜ ＜０ Ｂ．０＜ ＜３ １ 在幂函数ｆ ｘ 的图象上 则ｆ ｘ 是
ｍ 或ｍ ｍ 或ｍ ２， （ ） ， （ ） （ ）
Ｃ． ＜－３ ＞０ Ｄ． ＜０ ＞３ ２
解析 由题意知， 奇函数
Ａ．
偶函数
ì ï Δ ＝１６ ｍ２ －４ （ｍ ＋３ ）（ ２ ｍ －１ ） ＞０ ， ① Ｂ．
定义域每个区间内的减函数
ïïｘ ｘ ４ ｍ ， Ｃ．
í
ï
１＋ ２＝ｍ
＋３
＜０ ②
Ｄ．
定义域每个区间内的增函数
ｍ 解题导引 根据幂函数图象的变化规律求解． 先根
ïïｘ ｘ ２ －１ ， （１） （２）
î １ ２＝ ｍ
＋３
＜０ ③ 据题设条件求出幂函数的解析式
，
后根据解析式判断各选项．
由 解得 ｍ ．故选 ．
①②③ －３＜ ＜０ Ａ 解析 （ ）根据幂函数的图象与性质，得在直线ｘ 的右
１ ＝１
答案 Ａ
侧越远离ｘ轴的曲线，指数越大，所以与曲线Ｃ ，Ｃ ，Ｃ ，Ｃ 相应
例 （２０１８山东德州期中，８）已知ｆ ｘ ａｘ２ ｂ ａ ｘ ｃ ｂ １ ２ ３ ４
（ ）＝ ＋（ － ） ＋ － 的ｎ依次为 ，１ ， １ ， ．故选 ．
其中ａ ｂ ｃ且ａ 若ａ ｂ ｃ ｘ ｘ 为ｆ ｘ 的两个零点 ２ － －２ Ａ
（ ＞ ＞ ≠０）， ＋ ＋ ＝０， １、 ２ （ ） ， ２ ２
则 ｘ ｘ 的取值范围为 ( )
｜ １－ ( ２｜ ) （ ） （ ２ ）设ｙ ＝ ｆ（ｘ） ＝ ｘα，把 ２ ，１ 代入函数解析式中，得 ２ α ＝
３ ２
Ａ． ，２ ３ Ｂ．（２，２ ３）
２ １ ，解得α ， 幂函数ｆ（ｘ） ｘ－１，ｘ （ ， ） （ ， ），
＝－１ ∴ ＝ ∈ －∞ ０ ∪ ０ ＋∞
Ｃ．（１，２） Ｄ．（１，２ ３） ２
ｃ ｆ（ｘ）是定义域上的奇函数，且在定义域的每个区间内是单调
解析 ａ ｂ ｃ，ａ ｂ ｃ ， ａ ，ｃ ，ｂ ａ ｃ， ． ∴
∵ ＞ ＞ ＋ ＋ ＝０ ∴ ＞０ ＜０ ＝－ － ∴ ａ ＜０ 减函数．故选
ＡＣ．
由根与系数的关系可得ｘ ｘ ａ － ｂ ２ ａ ＋ ｃ ｃ ，ｘ ·ｘ 答案 （ １ ）Ａ （ ２ ）ＡＣ
１＋ ２＝ ａ ＝ ａ ＝２＋ ａ １ ２＝ 经典例题教师用书
ｃ ｂ ａ ｃ ｃ
－ ＋２ ２ ， 例 （２０１７ 江西九江七校联考，４） 幂函数 ｆ ｘ
ａ ＝ ａ ＝１＋ ａ （ ）＝
( ｃ ) ２ ( ｃ) （
ｍ２
－４
ｍ
＋４）
ｘｍ２－６ ｍ ＋８在
（０，＋∞）
上为增函数
，
则ｍ的值为
（ ）
（ｘ ｘ ）２ （ｘ ｘ ）２ ｘ ｘ ２ 或
∴ １－ ２ ＝ １＋ ２ －４ １ ２ ＝ ２＋ ａ －４ １＋ ａ ＝ Ａ．１ ３ Ｂ．１
( ｃ ) ２ ｃ ( ｃ ) ２ Ｃ．３ Ｄ．２
４ ． 解题导引
ａ － ａ ＝ ａ －２ －４
ａ ｂ ｃ ｂ 利用幂函数定义 ｍ２ － ｍ ＋ ＝
ｘ ｘ － ，ｘ ·ｘ － ， → ４ ４ １ 得结论 ∵ １＋ ２＝ ａ ＞０ １ ２＝ ａ ＜０ →
利用ｆ ｘ 在 ＋
ｃ ｃ ｃ （ ） （０， ∞） ｍ２ － ｍ ＋ ＞
， ２ ， １ ， 上递增 → ６ ８ ０
∴２＋ ａ ＞０ １＋ ａ ＜０ ∴ －２＜ ａ ＜－
２
９ ( ｃ ) ２ ， 解析 由题意得 ｍ２ －４ ｍ ＋４＝１ ，ｍ２ －６ ｍ ＋８＞０ ，解得 ｍ ＝１ ，
∴ ＜ ａ －２ －４＜１２ 选 ．
４ Ｂ
( )
ｘ ｘ ３ ， ．故选 ． 答案 Ｂ
∴ ｜ １－ ２｜∈ ２ ３ Ａ ２ 例 （２０１９上海春，１０，５分）如图 正方形ＯＡＢＣ的边长为
，
A
版
高
考
数
学
／
２２
ａ （ ａ ＞１）， 函数ｙ ＝３ ｘ２ 的图象交ＡＢ于点Ｑ ， 函数ｙ ＝ ｘ－２ １的图象交 仅当 ｔ ＝ １ ｔ ，即ｔ２ ＝ ３ 时取等号，此时ａ ＝ ３ ．
ＢＣ于点Ｐ 则当 ＡＱ ＣＰ 最小时 ａ的值为 ．
， ｜ ｜＋｜ ｜ ， ３
答案
３
例 （２０１７山西一模，１３）已知函数ｆ ｘ ｘ２－ ｍ是定义在区
（ ）＝
间 ｍ ｍ２ ｍ 上的奇函数 则ｆ ｍ ．
［－３－ ， － ］ ， （ ）＝
解析 由已知有 ｍ ｍ２ ｍ ，即ｍ２ ｍ ， ｍ
－３－ ＋ － ＝０ －２ －３＝０ ∴ ＝３
或ｍ ；
＝－１
解析 依题意得Ｑç
æ ａ
，ａ
ö
÷，Ｐ
æ
çａ，１
ö
÷，
当ｍ
＝３
时，函数为ｆ（ｘ）
＝
ｘ－１，ｘ
∈
［
－６
，
６
］，而ｆ（ｘ）在ｘ
＝０
处
è ø è ａø 无意义，故舍去．当ｍ 时，函数为ｆ（ｘ） ｘ３，此时ｘ ［ ， ］，
３ ＝－１ ＝ ∈ －２ ２
ａ ａ ｆ（ｍ） ｆ（ ） （ ）３ ．综上可得， ｆ（ｍ） ．
则 ＡＱ ＣＰ １ １ ，记 ａ ｔ（ｔ ）， ｆ（ｔ） ∴ ＝ －１ ＝ －１ ＝－１ ＝－１
｜ ｜＋｜ ｜＝ ＋ ａ ＝ ＋ ａ ＝ ＞１ ＝ 答案
３ ３ －１
ｔ ｔ
ＡＱ ＣＰ ，则ｆ（ｔ） １ ，所以ｆ（ｔ） １ １ ，当且
｜ ｜＋｜ ｜ ＝ ＋ ｔ ＝ ＋ ｔ ≥２
３ ３ ３
