曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
3.2 函数的基本性质
考点一 函数的单调性与最值
1.(2019北京文,3,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y= 1 B.y=2-x
x2
g 1
C.y=lo 1x D.y=
2 x
答案 A 本题主要考查指数函数、对数函数、幂函数的单调性,考查数形结合的思想.考查的核心素养是
直观想象.
1 1
A选项,
2
>0,所以幂函数y= x2在(0,+∞)上单调递增.
B选项,指数函数y=2-x=(1) x 在(0,+∞)上单调递减.
2
1 g
C选项,因为0< <1,所以对数函数y=lo 1x在(0,+∞)上单调递减.
2 2
1
D选项,反比例函数y= 在(0,+∞)上单调递减.
x
解题关键 熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解决本题的关键.
2.(2016北京文,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( )
1
A.y= B.y=cos x
1−x
C.y=ln(x+1) D.y=2-x
1 1 1 1
答案 D 选项A中,y= = 的图象是将y=- 的图象向右平移1个单位得到的,故y=
1−x −(x−1) x 1−x
在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y=cos x在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项
C中,y=ln(x+1)的图象是将y=ln x的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,不符合
题意;选项D符合题意.
评析 本题考查了基本函数的图象和性质以及图象的变换,属中档题.
1
3.(2015课标Ⅱ文,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)- ,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是( )
1+x2曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
A.(1 )
,1
3
B.( 1)∪(1,+∞)
−∞,
3
C.( 1 1)
− ,
3 3
D.( 1)∪(1 )
−∞,− ,+∞
3 3
1 1 2x
答案 A 当x>0时,f(x)=ln(1+x)- ,∴f '(x)= + >0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,∵f(-
1+x2 1+x (1+x2 ) 2
x)=f(x),∴f(x)为偶函数,由f(x)>f(2x-1)得f(|x|)>f(|2x-1|),
1
∴|x|>|2x-1|,即3x2-4x+1<0,解得 <x<1,故选A.
3
4.(2016浙江,7,5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.( )
A.若f(a)≤|b|,则a≤b
B.若f(a)≤2b,则a≤b
C.若f(a)≥|b|,则a≥b
D.若f(a)≥2b,则a≥b
答案 B 依题意得f(a)≥2a,
若f(a)≤2b,则2a≤f(a)≤2b,∴2a≤2b,
又y=2x是R上的增函数,∴a≤b.故选B.
x
5.(2016北京文,10,5分)函数f(x)= (x≥2)的最大值为 .
x−1
答案 2
−1
解析 解法一:∵f '(x)= ,∴x≥2时, f '(x)<0恒成立,
(x−1) 2
∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,
∴f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.
x x−1+1 1
解法二:∵f(x)= = =1+ ,
x−1 x−1 x−1
1 1
∴f(x)的图象是将y= 的图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到的.∵y= 在[2,+∞)上单调递减,
x x曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,故f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.
1
解法三:由题意可得 f(x)=1+ .
x−1
1
∵x≥2,∴x-1≥1,∴0< ≤1,
x−1
1 x
∴1<1+ ≤2,即1< ≤2.
x−1 x−1
故f(x)在[2,+∞)上的最大值为2.
评析 本题考查函数的最值,有多种解法,属中档题.
{
x2,x≤1,
6.(2015浙江文,12,6分)已知函数f(x)= 则f(f(-2))= , f(x)的最小值是 .
6
x+ −6,x>1,
x
1
答案 - ;2√6-6
2
6 1
解析 f(-2)=(-2)2=4,f(f(-2))=f(4)=4+ -6=- .
4 2
当x≤1时, f(x)=x2≥0,
6
当x>1时,f(x)=x+ -6≥2√6-6,
x
当且仅当x=√6时,等号成立,
又2√6-6<0,所以f(x) =2√6-6.
min
7.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-
√2),则a的取值范围是 .
答案 (1 3)
,
2 2
解析 由题意知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(2|a-1|)>f(-√2), f(-√2)=f(√2),所以f(2|a-1|)>f(√2),所以2|
1 1 3
a-1|<
22
,解之得
2
<a<
2
.
考点二 函数的奇偶性与周期性曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
1
1. (2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时, f(-x)=-f(x);当x> 时, f
2
( 1)=f( 1).则f(6)=( )
x+ x−
2 2
A.-2 B.-1 C.0 D.2
答案 D 当x>1时,由f( 1)=f( 1)可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),而f(1)=-f(-1), f(-1)=(-1)3-1=-2,
x+ x−
2 2 2
所以f(6)=f(1)=2,故选D.
2.(2015北京文,3,5分)下列函数中为偶函数的是( )
A.y=x2sin x B.y=x2cos x
C.y=|ln x| D.y=2-x
答案 B A中函数为奇函数,B中函数为偶函数,C与D中函数均为非奇非偶函数,故选B.
3.(2014课标Ⅰ,理3,文5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正
确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
答案 C 由题意可知 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A, f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A
项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B项错误;对于选项C, f(-x)|g(-
x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是
偶函数,故D项错误,选C.
评析 本题考查函数奇偶性的定义及其应用,考查学生的知识应用能力及逻辑推理论证能力,准确理解函数
奇偶性的定义是解决本题的关键.
4.(2011课标,理2,文3,5分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( )
A.y=x3 B.y=|x|+1
C.y=-x2+1 D.y=2-|x|
答案 B y=x3是奇函数,y=-x2+1和y=2-|x|在(0,+∞)上都是减函数,故选B.
评析 本题考查函数的奇偶性和单调性的判定,属容易题.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
5.(2017课标Ⅱ文,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,则f(2)=
.
答案 12
解析 本题主要考查运用函数的奇偶性求函数值.
由题意可知f(2)=-f(-2),∵x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,∴f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=-(-12)=12.
6.(2015课标Ⅰ理,13,5分)若函数f(x)=xln(x+ )为偶函数,则a= .
√a+x2
答案 1
解析 由已知得f(-x)=f(x),即-xln( -x)=xln(x+ ),则ln(x+ )+ln( -x)=0,
√a+x2 √a+x2 √a+x2 √a+x2
∴ln[( )2-x2]=0,得ln a=0,∴a=1.
√a+x2
7.(2014课标Ⅱ文,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, f(3)=3,则f(-1)= .
答案 3
解析 ∵函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,
∴f(2+x)=f(2-x)对任意x恒成立,
令x=1,得f(1)=f(3)=3,
∴f(-1)=f(1)=3.
8.(2012课标文,16,5分)设函数f(x)=(x+1) 2+sinx
的最大值为M,最小值为m,则M+m= .
x2+1
答案 2
解析
f(x)=x2+1+2x+sinx=1+2x+sinx,令g(x)=2x+sinx,则g(x)为奇函数,有g(x)
+g(x) =0,
max min
x2+1 x2+1 x2+1
故M+m=2.
9.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=4x,则f ( 5)+
−
2
f(1)= .
答案 -2
解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x)=-f(-x),又∵f(x)的周期为2,曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
∴f(x+2)=f(x),∴f(x+2)=-f(-x),即f(x+2)+f(-x)=0,令x=-1,得f(1)+f(1)=0,∴f(1)=0.又∵f( 5)=f( 1)=-f(1)
− −
2 2 2
=- 1=-2,∴f( 5)+f(1)=-2.
−
42
2
