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《数学》三色速记手册
第三章 高等代数
【考点一】多项式的整除法
【考点二】行列式的概念
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【考点三】行列式的性质
【考点四】行列式的计算方法
一、特殊的行列式—上、下三角行列式计算
（主对角线以上或者以下都是0）
（副对角线以上或者以下都是0）
一、特殊的行列式—范德蒙德行列式
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证明：（略）
二、克莱姆法则
则该方程组有唯一解，而且解为：
其中
【考点五】矩阵的计算
一、矩阵的加法
二、数与矩阵的乘积
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三、矩阵与矩阵相乘
注意：矩阵乘法不满足交换律，即：AB≠BA
若AB=0，不能推出A=0或B=0
矩阵乘法不满足消去律即：
若AB=AC且A≠0不能推出B=C
【考点六】几种特殊的矩阵
一、转置矩阵
二、方阵的行列式
三、奇异矩阵与非奇异矩阵
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四、对称矩阵与反对称矩阵（二次型）
五、伴随矩阵—A必须是方阵
【考点七】逆矩阵定义及其求法
可逆矩阵定义：
设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使
AB=BA=E
成立，则称方阵A可逆，并称B是A的逆矩阵,简称逆阵，记作A-1=B。于是有
AA-1=A-1A=E
可逆矩阵说明：
1、可逆矩阵一定是方阵，且适合其逆阵B也一定是方阵；
2、若矩阵A与B满足AB=BA=E，则A与B都可逆，并且互为逆矩阵，即A-1=B，B-1=A；
3、零矩阵是不可逆矩阵；单位矩阵E是可逆矩阵，且其逆矩i阵是其本身。
可逆矩阵具有下列性质：
【考点八】矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵A的初等行（列）变换：
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矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换，统称为矩阵的初等变换。
显然，矩阵的三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换。
新概念-等价矩阵：
（2）性质
矩阵之间的等价关系具有下列基本性质：
新概念---行阶梯形矩阵
从第一行画出一条阶梯线，下方全是零，（1）每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数；
（2）阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元。
具备这样特点的矩阵叫做行阶梯型矩阵。
新概念---行阶梯型矩阵—判定
（1）每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数；
（2）阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元。
新概念---行阶梯型矩阵—化简具体步骤
1、判定第一行第一列元素是否为1，不是先用初等变换为1或者把首行是1的那一行换过
来；
2、以第一行为基础，把每行的首元素化0；
3、画阶梯线，每个阶梯只有一个非0行，如不满足，再以每个台阶为基准，将下面阶梯元
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素化为0；
4、出现0多的某行在上方，也可以先换到下面再进行2-3步。
又一个新概念---行最简形矩阵
行阶梯形矩阵中非零行的第一个元素均为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0。具
有这样特点的矩阵叫做行最简形矩阵。
【考点九】矩阵的秩
定义：若矩阵A中有一个非零r阶子式，且所有r+1阶子式全为零，则矩阵A的秩为r，记
做R（A）=r。
求法：通过初等行变换将给定矩阵化为行阶梯形矩阵，则其中非零行的行数即为给定矩阵的
秩。
性质：乘积的秩不超过其因子的秩。矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。其本质是线性方程
组中有效方程的数目。
求法：
1、行阶梯形变换：通过初等行变换将给定矩阵化为行阶梯形矩阵，则其中非零行的行数即
为给定矩阵的秩。
2、方阵，求行列式的值。
【考点十】n维向量
一、n维向量的概念
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4、列向量组与行向量组的概念
n维向量的运算
满足的运算法则：
【考点十一】线性相关
【考点十二】极大线性无关组及其求法
极大线性无关组的求法-列摆行变换
1、构成
2、对A初等行变换，化成阶梯型矩阵B
3、在B的每一个台阶上去一个非零元所在列对应的向量，构成向量组即极大线性无关组。
（一般规则：同一个台阶取左边第一列）
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