文档文本内容
专
题
三
函
数
概
念
与
基
本
初
等
函
数
／
２３
３．３ 指数与指数函数
§
有理指数幂的性质
（２）
ａｒａｓ ａｒ ＋ ｓ ａ ｒ ｓ Ｑ
（ｉ） ＝ （ ＞０， ， ∈ ）；
ａｒ ｓ ａｒｓ ａ ｒ ｓ Ｑ
（ｉｉ）（ ） ＝ （ ＞０， ， ∈ ）；
考点 指数与指数函数 ａｂ ｒ ａｒｂｒ ａ ｂ ｒ Ｑ ．
（ｉｉｉ）（ ） ＝ （ ＞０， ＞０， ∈ ）
１．根式的概念 ４．指数函数的图象与性质
根式的概念 符号表示 备注 ａ ａ
＞１ ０＜ ＜１
一般地 如果ｘｎ ａ 那么ｘ
， ＝ ， ｎ 且ｎ Ｎ∗
叫做ａ的ｎ次方根 ＞１ ∈
图象
当ｎ是奇数时 正数的ｎ次
，
方根是一个正数 负数的ｎ ｎａ 零的ｎ次方根是零
，
次方根是一个负数
定义域 Ｒ
当ｎ是偶数时 ， 正数的ｎ次 值域 ⑥ （ ０ ， ＋∞ ）
方根有两个 这两个数互为 ｎａ ａ 负数没有偶次方根 过定点 （ ， ）
， ± （ ＞０） ⑦ ０ １
相反数
当ｘ 时ｙ 当ｘ 时 ｙ
＞０ ，＞１； ＞０ ，０＜ ＜１；
２．两个重要公式 性质 当ｘ 时 ｙ 当ｘ 时 ｙ
＜０ ，０＜ ＜１ ＜０ ， ＞１
{ ａ ｎ为奇数
① ， ， 在 上是 在 上是
ｎ ａｎ { ａ ａ （－∞，＋∞） （－∞，＋∞）
＝ ａ ② （ ≥０），ｎ为偶数 单调增函数 单调减函数
｜ ｜＝ ａ ａ ； ⑧ ⑨
③ － （ ＜０），
ｎ ａ ｎ ａ 注意ａ必须使ｎ ａ有意义 ．
５．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数
（ ） ＝④ （ ） 大小的关系如图所示 其中 ｃ ｄ ａ ｂ．
３．有理指数幂 ， ０＜ ＜ ＜１＜ ＜
幂的有关概念
（１）
正数的正分数指数幂 ａ ｍ ｎ ｎ ａｍ ａ ｍ ｎ Ｎ∗ 且ｎ
（ｉ） ： ＝ （ ＞０， ， ∈ ， ＞１）；
ｍ
正数的负分数指数幂 ａ－ｎ １ １ ａ ｍ ｎ Ｎ∗
（ｉｉ） ： ＝ ａ ｍ ｎ ＝ ｎ ａｍ（ ＞０， ， ∈ ，
在ｙ轴右侧 图象从上到下相应的底数由大变小
且ｎ ， ；
＞１）； 在ｙ轴左侧 图象从下到上相应的底数由大变小
的正分数指数幂等于 的负分数指数幂没有意义． ， ；
（ｉｉｉ）０ ⑤ ０ ，０ 无论在ｙ轴的左侧还是右侧 底数按逆时针方向变大．
，
， ． －１ ． ２．故 正确．
－１＜２ ∴０６ ＞０６ Ｂ
中， （ ． ）－１ ． ，ｙ ． ｘ 在Ｒ上是增函数， ． ． ，
Ｃ ∵ ０８ ＝１２５ ＝１２５ ０１＜０２
． ０ ． １ ． ０ ． ２，即 ． －０ ． １ ． ０ ． ２．故 错误．
考法一 指数式的大小比较 ∴ 中 １２ ， ５ 函 ＜１ 数 ２５ ｙ ． ｘ ０ 在 ８ Ｒ ＜ 上 １ 是 ２５ 增函数 Ｃ ，且 ． ，
Ｄ ∵ ＝１７ ０３＞０
例１ 下列各式比较大小正确的是 ． ０ ． ３ ． ０ ，又函数ｙ ． ｘ 在Ｒ上是减函数，且 ．
（ ） ∴１７ ＞１７ ＝１ ＝０ ９ ３ １＞
． ２ ． ５ ． ３ ． －１ ． ２ ， ． ３ ． １ ． ０ ． ． ０ ． ３ ． ３ ． １．故 错误．
Ａ．１７ ＞１７ Ｂ．０６ ＞０６ ０ ∴０＜０９ ＜０９ ＝１∴１７ ＞０９ Ｄ ． －０ ． １ ． ０ ． ２ ． ０ ． ３ ． ３ ． １ 答案 Ｂ
Ｃ．０８ ＞１２５ Ｄ．１７ ＜０９
解题导引
方法总结 指数式值大小比较的常见类型 同底不同指数
： ，
同指数不同底 底和指数均不相同．指数式值的大小比较的常用
，
方法 化为相同指数或相同底数后利用相应函数的单调性
：（１） ，
作差或作商法 利用中间量 或 等 比较．
（２） ，（３） （０ １ ）
解析 中， 函数ｙ ． ｘ 在Ｒ上是增函数， ． ，
Ａ ∵ ＝１７ ２５＜３
． ２ ． ５ ． ３．故 错误． 中， ｙ ． ｘ 在Ｒ上是减函数，
∴１７ ＜１７ Ａ Ｂ ∵ ＝０６
A
版
高 考
数
学
／
２４
ａ２
考法二 指数（型）函数的图象和性质 上为增函数，则ｆ（ｔ）在（
０
，
１
］上必为减函数，故３ ＋１
≥１
．
∴
ａ
≥
２
( ) ｘ
｜ ＋２｜ é ö
例２ 已知函数ｙ ＝ ２ １ ． ３ ３或ａ ≤－ ３ ３， ∴ ３ ３ ≤ ａ ＜１ ．故ａ的取值范围是 ë êê ３ ３， １ ÷ ø ．
作出函数图象
（１） ； 方法总结 与指数函数有关的复合函数的单调区间的求解
由图象指出其单调区间
（２） ； 步骤
由图象指出当ｘ取什么值时有最值．
（３） 求复合函数的定义域
解题导引 （１） ；
弄清函数是由哪些基本函数复合而成的
（２） ；
分层逐一求解函数的单调区间
（３） ；
求出复合函数的单调区间 注意 同增异减 ．
（４） （ “ ”）
例４ 函数ｆ ｘ ｘ ｘ 函数ｇ ｘ ｆ ｘ ２
（ ）＝３ ， ∈［－１，１］， （ ）＝［ （ ）］ －
ａｆ ｘ ．
( ) ｘ ２ （ ）＋３
解析 （ ） 由 函 数 解 析 式 可 得 ｙ １ ｜ ＋２｜ （１） 当ａ ＝０ 时 ， 求函数ｇ （ ｘ ） 的值域 ；
１ ＝ ＝
２ 若函数ｇ ｘ 的最小值为ｈ ａ 求ｈ ａ 的表达式
{( )ｘ （２） （ ） （ ）， （ ） ；
１ ＋２ ，ｘ ， 是否存在实数ｍ ｎ同时满足下列条件 ｍ ｎ 当
≥－２ 其图象分成两部分： （３） ， ：① ＞ ＞３；②
２ ｈ ａ 的定义域为 ｎ ｍ 时 值域为 ｎ２ ｍ２ 若存在 求出 ｍ ｎ
２
ｘ ＋２，ｘ
＜－２
．
的
（
值
）
若不存在 说
［
明
，
理
］
由．
， ［ ， ］， ， ，
( )ｘ ； ，
＋２ [ ]
一部分是ｙ ＝ １ （ｘ ≥－２ ）的图象，由下列变换可得到：ｙ 解析 （ ）因为ｆ（ｘ） ｘ，ｘ ［ ， ］，所以 ｘ １ ， ，
２ １ ＝ ３ ∈ －１ １ ３ ∈ ３
( )ｘ 向左平移 个单位 ( )ｘ ＋２ [ ] ３
＝ １ 的图象 ２ → ｙ ＝ １ 的图象； 设ｔ ｘ，ｔ １ ， ，
２ ２ ＝３ ∈ ３
另一部分是ｙ
＝２
ｘ ＋２（ｘ
＜－２
）的图象，由下列变换可得到：ｙ
＝ 则φ（ｔ）
３
ｔ２ ａｔ （ｔ ａ）２ ａ２，图象的对称轴为ｔ ａ．
２
ｘ 的图象 向左平移 ２ 个单位
→
ｙ
＝２
ｘ ＋２的图象，
当ａ
＝
时，
－
φ（
２
ｔ）
＋３
ｔ
＝
２ ，
－
ｔ
[ ＋３
１
－
，
]
，所以φ（ｔ）
[
２８
＝
，
]
．
( ) ｘ ＝０ ＝ ＋３ ∈ ３ ∈ １２
如图（实线）为函数ｙ １ ｜ ＋２｜ 的图象． [ ] ３ ９
＝
２ 故ｇ（ｘ）的值域为 ２８， ．
１２
９
（ ）由（ ）知函数φ（ｔ）的图象的对称轴为直线ｔ ａ，
２ １ ＝
( ) ａ
当ａ １ 时，ｙ ｈ（ａ） φ １ ２８ ２ ；
＜ ｍｉｎ＝ ＝ ＝ －
３ ３ ９ ３
当 １ ａ 时，ｙ ｈ（ａ） φ（ａ） ａ２；
≤ ≤３ ｍｉｎ＝ ＝ ＝３－
３
当ａ 时，ｙ ｈ（ａ） φ（ ） ａ．
＞３ ｍｉｎ＝ ＝ ３ ＝１２－６
（ ）由（ ）中图象观察知函数的单调增区间为（ ， ），单 ì ａ( )
２ １ －∞ －２ ï２８ ２ ａ １ ，
调减区间为［
－２
，
＋∞
）． ïï９ －
３
＜
３
（ ）由（ ）中图象观察知，ｘ 时，函数ｙ
(
１
)
｜
ｘ
＋２｜ 取最
综上，ｈ（ａ）
＝
í
ï ａ２
(
１ ａ
)
，
３ １ ＝－２ ＝ ３－ ≤ ≤３
２ ïï ３
大值，最大值为 ，没有最小值． î ａ（ａ ）．
１ １２－６ ＞３
方法总结 指数型复合函数的图象 （ ）假设满足题意的ｍ，ｎ存在，
（１） ３
因为ｍ ｎ ，所以ｈ（ａ） ａ，
对于指数型复合函数的图象问题 一般从最基本的指数函 ＞ ＞３ ＝１２－６
， 所以函数ｈ（ａ）在（ ， ）上是减函数，
数的图象入手 通过平移 伸缩 对称变换而得到．需特别注意底 ３ ＋∞
数ａ 与 ａ
，
两种不同
、
情况
、
．
又因为ｈ（ａ）的定义域为［ｎ，ｍ］，值域为［ｎ２，ｍ２］，
＞１
对
０
于
＜
指
＜１
数型复合函数图象问题 先求出定义域 对函数 所以
{
１２－６
ｍ
＝
ｎ２，
两式相减得 （ｍ ｎ） （ｍ ｎ）（ｍ ｎ），
式进
（
行
２
化
）
简变形 转化成分段函数 画其
，
图象．
，
１２－６
ｎ
＝
ｍ２． ６ － ＝ － ＋
， ， 因为ｍ ｎ ，所以ｍ ｎ ，所以ｍ ｎ ，与ｍ ｎ 矛盾，
例３ 如果函数ｆ ｘ ａｘ ａｘ ａ２ ａ 且ａ 在区 ＞ ＞３ － ≠０ ＋ ＝６ ＞ ＞３
（ ）＝ （ －３ －１）（ ＞０， ≠１） 所以满足题意的ｍ，ｎ不存在．
间 上是增函数．求实数ａ的取值范围．
［０，＋∞） 方法总结 与指数函数有关的复合函数的定义域 值域的
解析 由题意得ｆ（ｘ） （ａｘ）２ （ ａ２ ）ａｘ，令ｔ ａｘ，ｔ ， 、
＝ － ３ ＋１ ＝ ＞０ 求法
则ｆ（ｔ） ｔ２ （ ａ２ ）ｔ（ｔ ）．当ａ 时，ｔ ａｘ 在［ ， ）上
＝ － ３ ＋１ ＞０ ＞１ ＝ ０ ＋∞ 函数ｙ ａｆ （ ｘ ） ａ 且ａ 的定义域与ｙ ｆ ｘ 的定义
为增函数，此时ｔ ，而对于ｆ（ｔ）而言， ｆ（ｔ）图象的对称轴 ｔ （１） ＝ （ ＞０， ≠１） ＝ （ ）
≥１ ＝ 域相同
ａ２ ；
３ ＋１ ，故ｆ（ｘ）在［ ， ）上不可能为增函数；当 ａ 时，ｔ 先确定ｆ ｘ 的值域 再根据指数函数的单调性确定ｙ
＞２ ０ ＋∞ ０＜ ＜１ （２） （ ） ， ＝
ａ ２ ｘ 在［ ， ）上为减函数，此时 ｔ ，要使ｆ（ｘ）在［ ， ） ａｆ （ ｘ ） （ ａ ＞０， 且ａ ≠１） 的值域． ＝ ０ ＋∞ ０＜ ≤１ ０ ＋∞
