北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
3.3 指数与指数函数
考点一 指数及指数幂的运算
5
(2016浙江,12,6分)已知a>b>1.若logb+loga= ,ab=ba,则a= ,b= .
a b
2
答案 4;2
5 1 5 1 1
解析 令logb=t,∵a>b>1,∴0<t<1,由logb+loga= 得,t+ = ,解得t= 或t=2(舍去),即logb= ,∴b=√a,又
a a b a
2 t 2 2 2
a a
ab=ba,∴a√a=(√a)a,即a√a=
a2
,亦即√a=
2
,解得a=4,∴b=2.
1 1
评析 本题考查对数式、指数式的运算,注意logb= ,先求出logb= 是解题的突破口.
a log a a 2
b
考点二 指数函数的图象与性质
1.(2015天津文,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记
a=f(log 3),b=f(log5),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( )
0.5 2
A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a
答案 B 因为f(x)是偶函数,所以m=0,所以f(x)=2|x|-1,且f(x)在[0,+∞)上为增函数,由题意得a=f(log 3)=f(-
0.5
log3)=f(log3),因为log5>log3>0,所以f(log5)>f(log3)>f(0),即b>a>c,故选B.
2 2 2 2 2 2
2.(2013课标Ⅱ文,12,5分)若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是( )
A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞)
C.(0,+∞) D.(-1,+∞)
1 1
答案 D 由2x(x-a)<1得a>x- ,令f(x)=x- ,即a>f(x)有解,则a>f(x) ,又y=f(x)在(0,+∞)上递增,所以
2x 2x min
f(x)>f(0)=-1,所以a>-1,选D.
评析 本题考查了函数的值域与最值的求法,考查了分离参变量的方法,熟悉基本初等函数的单调性是解题
关键.
4 2 1
3.(2016课标Ⅲ,6,5分)已知a= ,b= ,c=2 ,则( )
23 45 53
A.b<a<c B.a<b<c
C.b<c<a D.c<a<b
4 2 1 2 2 2 2
答案 A 因为a= = ,c=2 = ,函数y= 在(0,+∞)上单调递增,所以 < ,即a<c,
23 43 53 53 x3 43 53
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又因为函数y=4x在R上单调递增,所以 2 < 2 ,即b<a,
45 43
所以b<a<c,故选A.
2 2
思路分析 利用指数的运算性质得a= ,c= ,利用幂函数的性质可得a<c.再利用指数函数性质比较a,b得
43 53
b<a,从而得结论.
4.(2016四川文,14,5分)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=4x,则f( 5)+f(2)=
-
2
.
答案 -2
解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0,
又∵f(x)的周期为2,
∴f(2)=0,
又∵f( 5)=f( 1)=-f(1)=- 1=-2,
- -
2 2 2
42
∴f( 5)+f(2)=-2.
-
2
评析 本题考查了函数的奇偶性及周期性,属中档题.
5.(2015山东理,14,5分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= .
3
答案 -
2
解析 ①当a>1时, f(x)在[-1,0]上单调递增,则
{a-1+b=-1,
无解.
a0+b=0,
②当0<a<1时, f(x)在[-1,0]上单调递减,则{a-1+b=0,解得 { a= 1 , ∴a+b=-3.
2
a0+b=-1, 2
b=-2,
评析 本题主要考查指数函数的性质及分类讨论的思想.
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