北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
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§2.4 指数函数与对数函数
— 五年高考 —
考点1 指数式与对数式
1.(2021全国甲理,4,5分)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通
常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满
足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(
1√010≈1.259) ( )
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
答案 C
2.(2020课标Ⅰ文,8,5分)设alog 4=2,则4-a=( )
3
1 1 1 1
A. B. C. D.
16 9 8 6
答案 B
2
3.(2020课标Ⅲ文,10,5分)设a=log 2,b=log 3,c= ,则 ( )
3 5
3
A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b
答案 A
4.(2020天津,6,5分)设a=30.7,b=(1) -0.8 ,c=log
0.7
0.8,则a,b,c的大小关系为 ( )
3
A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b
答案 D
5.(2020课标Ⅰ理,12,5分)若2a+log a=4b+2log b,则 ( )
2 4
A.a>2b B.a<2b
C.a>b2 D.a<b2
答案 B
6.(2020课标Ⅲ理,12,5分)已知55<84,134<85.设a=log 3,b=log 5,c=log 8,则 ( )
5 8 13
A.a<b<c B.b<a<c
C.b<c<a D.c<a<b
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答案 A
7.(2018上海,11,5分)已知常数a>0,函数f(x)= 2x 的图象经过点P( 6)、Q( 1),若
p, q,-
2x+ax 5 5
2p+q=36pq,则a= .
答案 6
以下为教师用书专用
5
(2016浙江,12,6分)已知a>b>1.若log b+log a= ,ab=ba,则a= ,b= .
a b
2
答案 4;2
5 1 5 1
解析 令log b=t,∵a>b>1,∴0<t<1,由log b+log a= 得,t+ = ,解得t= 或t=2(舍去),即log b=
a a b a
2 t 2 2
1 a a
2
,∴b=√a,又ab=ba,∴a√a=(√a)a,即a√a=
a2
,亦即√a=
2
,解得a=4,∴b=2.
1 1
评析 本题考查对数式、指数式的运算,注意log b= ,先求出log b= 是解题的突破
a log a a 2
b
口.
考点2 指数函数与对数函数
1.(2019天津理,6,5分)已知a=log 2,b=log 0.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为 ( )
5 0.5
A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b
答案 A
1
2.(2018天津理,5,5分)已知a=log e,b=ln 2,c=log ,则a,b,c的大小关系为 ( )
2 1 3
2
A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b
答案 D
3.(2020课标Ⅱ,文12,理11,5分)若2x-2y<3-x-3-y,则 ( )
A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0
C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0
答案 A
4.(2018课标Ⅲ理,12,5分)设a=log 0.3,b=log 0.3,则 ( )
0.2 2
A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0
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C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b
答案 B
5.(2017天津理,6,5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-
log 5.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为 ( )
2
A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a
答案 C
6.(2017课标Ⅰ文,9,5分)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则 ( )
A. f(x)在(0,2)单调递增
B. f(x)在(0,2)单调递减
C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称
D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称
答案 C
7.(2017课标Ⅱ文,8,5分)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是 ( )
A.(-∞,-2) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(4,+∞)
答案 D
8.(2019北京理,13,5分)设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a= ;若f(x)是R
上的增函数,则a的取值范围是 .
答案 -1;(-∞,0]
以下为教师用书专用(1—10)
1.(2015天津文,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记
a=f(log 3),b=f(log 5),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为 ( )
0.5 2
A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a
答案 B 因为f(x)是偶函数,所以m=0,所以f(x)=2|x|-1,且f(x)在[0,+∞)上为增函数,由题意得
a=f(log 3)=f(-log 3)=f(log 3),因为log 5>log 3>0,所以f(log 5)>f(log 3)>f(0),即b>a>c,故选B.
0.5 2 2 2 2 2 2
2.(2013课标Ⅱ文,12,5分)若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是( )
A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞)
C.(0,+∞) D.(-1,+∞)
1 1
答案 D 由2x(x-a)<1得a>x- ,令f(x)=x- ,即a>f(x)有解,则a>f(x) ,又y=f(x)在(0,+∞)上递
2x 2x min
增,所以f(x)>f(0)=-1,所以a>-1,选D.
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评析 本题考查了函数的值域与最值的求法,考查了分离参变量的方法,熟悉基本初等函数的
单调性是解题关键.
3.(2016课标Ⅲ,6,5分)已知a= 4,b= 2,c=2 1,则( )
23 45 53
A.b<a<c B.a<b<c
C.b<c<a D.c<a<b
答案 A 因为a= 4= 2,c=2 1= 2,函数y= 2 在(0,+∞)上单调递增,所以 2< 2,即a<c,
23 43 53 53 x3 43 53
又因为函数y=4x在R上单调递增,所以 2< 2,即b<a,
45 43
所以b<a<c,故选A.
思路分析 利用指数的运算性质得a= 2,c= 2,利用幂函数的性质可得a<c.再利用指数函数
43 53
性质比较a,b得b<a,从而得结论.
4.(2016四川文,14,5分)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=4x,则f
( 5)+f(2)= .
-
2
答案 -2
解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0,
又∵f(x)的周期为2,
∴f(2)=0,
又∵f( 5)=f( 1)=-f(1)=- 1=-2,
- -
2 2 2
42
∴f( 5)+f(2)=-2.
-
2
评析 本题考查了函数的奇偶性及周期性,属中档题.
5.(2015山东理,14,5分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=
.
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3
答案 -
2
解析 ①当a>1时,
f(x)在[-1,0]上单调递增,则{a-1+b=-1,
无解.
a0+b=0,
②当0<a<1时, f(x)在[-1,0]上单调递减,则{a-1+b=0,解得 { a= 1 , ∴a+b=-3.
2
a0+b=-1, 2
b=-2,
评析 本题主要考查指数函数的性质及分类讨论的思想.
6.(2019天津文,5,5分)已知a=log 7,b=log 8,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为 ( )
2 3
A.c<b<a B.a<b<c
C.b<c<a D.c<a<b
答案 A 本题考查指数函数与对数函数的图象和性质;通过对对数式的估算或适当“缩
放”考查学生的直观想象与逻辑推理的核心素养.
显然c=0.30.2∈(0,1).
因为log 3<log 8<log 9,所以1<b<2.
3 3 3
因为log 7>log 4=2,所以a>2.
2 2
故c<b<a.选A.
7.(2016课标Ⅰ文,8,5分)若a>b>0,0<c<1,则( )
A.log c<log c B.loga<logb
a b c c
C.ac<bc D.ca>cb
答案 B ∵0<c<1,∴当a>b>1时,log c>log c,A项错误;
a b
∵0<c<1,∴y=logx在(0,+∞)上单调递减,又a>b>0,
c
∴loga<logb,B项正确;
c c
∵0<c<1,∴函数y=xc在(0,+∞)上单调递增,
又∵a>b>0,∴ac>bc,C项错误;
∵0<c<1,∴y=cx在(0,+∞)上单调递减,
又∵a>b>0,∴ca<cb,D项错误.故选B.
评析 本题主要考查了幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质,熟练掌握幂函数、指数
函数、对数函数的图象和性质是解题的关键.
8.(2013课标Ⅱ理,8,5分)设a=log 6,b=log 10,c=log 14,则 ( )
3 5 7
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A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c
答案 D 由对数运算法则得a=log 6=1+log 2,b=1+log 2,c=1+log 2,由对数函数图象得
3 3 5 7
log 2>log 2>log 2,所以a>b>c,故选D.
3 5 7
9.(2013课标Ⅱ文,8,5分)设a=log 2,b=log 2,c=log 3,则 ( )
3 5 2
A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b
1
答案 D ∵√3<2<3,1<2<√5,3>2,∴log √3<log 2<log 3,log 1<log 2<log √5,log 3>log 2,∴
3 3 3 5 5 5 2 2
2
1
<a<1,0<b< ,c>1,
2
∴c>a>b.故选D.
1
10.(2012课标文,11,5分)当0<x≤ 时,4x<log x,则a的取值范围是 ( )
a
2
A.( √2) B.(√2 ) C.(1, ) D.( ,2)
0, ,1 √2 √2
2 2
1
答案 B 易知0<a<1,则函数y=4x与y=log x的大致图象如图,则只需满足log >2,解得a>
a a
2
√2 √2
,∴ <a<1,故选B.
2 2
评析 本题考查了利用数形结合解指数、对数不等式.
— 三年模拟 —
A组 考点基础题组
考点1 指数式与对数式
1.(2021江苏百校联考4月第三次考,3)《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著,内
有中国特色的十四种算法.它最早记录中国古代关于大数的记法:“黄帝为法,数有十等.及其
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用也,乃有三焉.十等者,亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载.三等者,谓上、中、下也.
其下数者,十十变之,若言十万曰亿,十亿曰兆,十兆曰京也.中数者,万万变之,若言万万曰亿,万
万亿曰兆,万万兆曰京.上数者,数穷则变,若言万万曰亿,亿亿曰兆,兆兆曰京也.从亿至载,终于
大衍.下数浅短,计事则不尽,上数宏阔,世不可用.故其传业,唯以中数耳.”我们现在用的是中
数之法:万万为亿,万亿为兆,万兆为京,……,即104=1万,108=1亿,1012=1兆,1016=1京,……,地球的
质量大约是5.965秭千克,5.965秭的位数是 ( )
A.21 B.20 C.25 D.24
答案 C
2.(2021河北秦皇岛二模,4)为了保证信息安全传输,有一种系统称为秘密密钥密码系统,其加
密、解密原理如下:明文x 密文t 密文t 明文y.现在加密密钥为
t=2ax+1(a>0,且a≠1),解密密钥为y=3t-5,过程如下:发送方发送明文“1”,通过加密后得到密文
“18”,再发送密文“18”,接受方通过解密密钥解密得明文“49”.若接受方接到明文“4”,
则发送方发送的明文为 ( )
3 7
A.-log 2 B.log +1 C.162 D.log -1
3 3 3
2 2
答案 A
3.(2020湖南衡阳一模)已知f(x)是定义域为R的偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,若a=f(log
1
2
3),b=f(2-1.2),c=f(1),则a、b、c的大小关系为 ( )
2
A.a>c>b B.b>c>a C.b>a>c D.a>b>c
答案 B
4.(2020山东夏季高考模拟,8)若a>b>c>1且ac<b2,则( )
A.log b>log c>loga B.logb>log a>log c
a b c c b a
C.log c>log b>loga D.log a>logb>log c
b a c b c a
答案 B
5.(多选题)(2021江苏常州一模,12)已知正数x,y,z,满足3x=4y=12z,则( )
1 2 1
A.6z<3x<4y B. + =
x y z
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C.x+y>4z D.xy<4z2
答案 AC
考点2 指数函数与对数函数
1.(2021上海杨浦一模,14)下列函数中,值域为(0,+∞)的是 ( )
2
A.y=x2 B.y= C.y=2x D.y=|log x|
2
x
答案 C
2.(2021湖北九师联盟2月质量检测,5)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调
递增,则 ( )
A. f(20.6)<f(-log 13)<f(-3)
3
B. f(-3)<f(20.6)<f(-log 13)
3
C. f(-3)<f(-log 13)<f(20.6)
3
D. f(20.6)<f(-3)<f(-log 13)
3
答案 A
3.(2020广东揭阳三中第一次月考,6)函数f(x)=(1)
x2-6x+5
的单调递减区间为 ( )
3
A.(-∞,+∞) B.[-3,3] C.(-∞,3] D.[3,+∞)
答案 D
4.(2020广东揭阳摸底,6)已知函数f(x)=lo ( 1),则下列判断:
g x+
1 x
2
①f(x)的定义域为(0,+∞);②f(x)的值域为[-1,+∞);
③f(x)是奇函数;④f(x)在(0,1)上单调递增.
其中正确的是 ( )
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
答案 C
5.(2019湖北、山东部分重点中学高三第一次联考,7)已知函数y=4x-3·2x+3,若其值域为[1,7],则
x可能的取值范围是 ( )
A.[2,4] B.(-∞,0]
C.(0,1]∪[2,4] D.(-∞,0]∪[1,2]
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答案 D
6.(2021上海崇明二模,7)设f(x)=lg x,若f(1-a)-f(a)>0,则实数a的取值范围是 .
答案 ( 1)
0,
2
B组 综合应用题组
时间 : 40 分钟 分值 : 45 分
一、单项选择题(每小题5分,共20分)
1 1
1.(2021广东珠海一模,3)已知α=2ln3,β=
e
-
3
,γ=ln
3
,则α,β,γ的大小关系是 ( )
A.α<β<γ B.β<α<γ C.γ<β<α D.β<γ<α
答案 C
1
2.(2021湖南永州二模,4)已知a=log ,b=30.7,c=sin 3,则 ( )
3
2
A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.b>c>a
答案 D
3.(2020山东济宁一中质量检测,3)若a>b,则 ( )
A.ln(a-b)>0 B.3a<3b C.a3-b3>0 D.|a|>|b|
答案 C
4.(2019湖南长沙一模,10)设平行于x轴的直线l分别与函数y=2x和y=2x+1的图象相交于点
A,B,若函数y=2x的图象上存在点C,使得△ABC为等边三角形,则这样的直线l ( )
A.不存在 B.有且只有一条
C.至少有两条 D.有无数条
答案 B
二、多项选择题(每小题5分,共10分)
5.(2021河北唐山二模,10)已知a>b>0,且ab=4,则 ( )
A.2a-b>1 B.log a-log b>1
2 2
C.2a+2b>8 D.log a·log b<1
2 2
答案 ACD
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1
6.(2021重庆一模,11)a,b,c∈R,且b>0,若ea=ln b= ,则a,b,c的大小关系可以是 ( )
c
A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.a<c<b
答案 ACD
三、填空题(每小题5分,共15分)
7.(2021上海杨浦一模,8)设函数f(x)为偶函数,当x≥0时, f(x)=2x-1,则不等式f(x)>1的解集为
.
答案 (-∞,-1)∪(1,+∞)
8.(2021上海杨浦一模,9)方程1+log x=log (x2-3)的解为 .
2 2
答案 x=3
9.(2020福建泉州3月适应性测试,14)已知a= 1,b=(e2 1,c=log e,e为自然对数的底数,则a,b,c
π3 )6 π
的大小关系为 .
答案 a>b>c
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— 一年原创 —
1.(多选题)(2021 5·3原创题)已知函数定义域是D,定义:(1)f(x)在D内是单调函数,(2)存在区间
A=[m n]⊆D,使得f(x)在A上的值域是[m,n],那么称函数f(x)为“理想函数”,区间A是“理
,
2 2
想区间”.则下列说法中正确的是 ( )
A.若函数f(x)=2x,则任意区间A=[m n]⊆R都是“理想区间”
,
2 2
B.若f(x)=ex-1,则f(x)是“理想函数”
C.若f(x)=log a (ax+h)(a>0,且a≠1)是“理想函数”,则h∈( - 1 ,0 )
4
D.若f(x)=log (2x-2),则f(x)是“理想函数”
2
答案 ABC
{
ex,x>0,
2.(2021 5·3原创题)设f(x)=
1
2- ,x≤0.
ex
(1)判断函数f(x)的单调性;
(2)试问函数f(x)的图象是否有对称中心?若有,请求出对称中心;若没有,请说明理由;
(3)当x<0时, f(x-a)+f(x+ln x2)≤2恒成立,求实数a的取值范围.
解析 (1)x>0时, f(x)是增函数;
x≤0时, f '(x)=e-x>0,故f(x)在(-∞,0]上是增函数,
1
又∵f(0)=1=e0=2- ,
e0
∴f(x)在R上是增函数.
(2)函数f(x)的图象有对称中心.
∵f(-x)={2-ex,x>0,
e-x,x≤0,
x>0时, f(-x)+f(x)=2-ex+ex=2;
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1
x≤0时, f(-x)+f(x)=e-x+2- =2,
ex
∴f(x)+f(-x)=2,即f(x)的图象关于点(0,1)中心对称.
(3)由f(x-a)+f(x+ln x2)≤2得f(x+ln x2)≤2-f(x-a),
即f(x+ln x2)≤f(a-x),
故x+ln x2≤a-x,
∴a≥2x+ln x2.令g(x)=2x+ln x2,
则a≥g(x) .
max
x<0时,g(x)=2x+2ln(-x),
则g'(x)=2( 1),
1+
x
当x∈(-1,0)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(-∞,-1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
∴g(x) =g(-1)=-2,∴a≥-2.
max
综上,a∈[-2,+∞).
12 / 12
