曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
3.3 二次函数、幂函数、指数函数与对数函数
三年模拟
一、选择题
1.(2022重庆模拟,4)已知二次函数y=x2-4x+a的两个零点都在区间(1,+∞)内,则a的取值范
围是( )
A.(-∞,4) B.(3,+∞)
C.(3,4) D.(-∞,3)
答案 C 二次函数y=x2-4x+a图象的对称轴为直线x=2,开口向上,在(-∞,2)上单调递减,
在(2,+∞)上单调递增.要使二次函数f(x)=x2-4x+a的两个零点都在区间(1,+∞)内,
{f (1)=1-4+a>0,
需 解得3<a<4故实数a的取值范围是(3,4),故选C.
f (2)=4-8+a<0,
2.(2022青桐鸣3月质量检测,4)已知5a=8,4b=5,则ab=( )
3 4
A.2 B. C. D.1
2 3
答案 B 因为5a=8,4b=5,所以(4b)a=8,即22ab=23,
3
而函数y=2x在R上单调递增,所以2ab=3,所以ab= .故选B.
2
3.(2022四川达州二诊,7)1707年Euler发现了指数与对数的互逆关系:当a>0,a≠1时,ax=N
等价于x=logN.若ex=12.5,lg 2≈0.301 0,lg e≈0.434 3,则x的值约为( )
a
A.3.219 0 B.2.325 6 C.2.525 9 D.2.731 6
100
lg 2-3×0.301 0
答案 C 由ex=12.5得x=ln 12.5=lg12.5 8 lg100-3lg2≈
= = 0.434 3
lg e lg e lg e
≈2.525 9.故选C.
4.(2022江西上饶六校二模,4)已知a=2ln e,b=ln√10,c=10lg e,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a
答案 C a=2ln e=ln e2=2,b=ln√10,∵e2>√10,∴a>b,∵c=10lg e=e,∴c>a>b.故选C.
5.(2022河南三模,11)已知f(x-1)为定义在R上的奇函数, f(1)=0,且f(x)在[-1,0)上单调递
增,在[0,+∞)上单调递减,则不等式f(2x-5)<0的解集为( )
A.(2,log 6)
2
B.(-∞,1)∪(2,log
2
6)
C.(log 6,+∞)
2
D.(1,2)∪(log
2
6,+∞)
答案 D 因为f(x-1)为定义在R上的奇函数,所以f(x)的图象关于点(-1,0)对称,且
f(-1)=0,
又f(1)=0,所以f(-3)=0.
依题意可得,当-3<x<-1或x>1时,f(x)<0.
所以f(2x-5)<0等价于-3<2x-5<-1或2x-5>1,
解得1<x<2或x>log 6.
2
故所求解集为(1,2)∪(log
2
6,+∞).故选D.
6.(2022安徽含山中学三模,8)已知a=20.9,b=30.5,c=2sin 1,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a
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答案 D 因为a=20.9,b=30.5,所以a10=(20.9)10=29,b10=(30.5)10=35,而29>35,故a>b.又2sin
π
1<2sin =√3=b,故c<b,所以c<b<a.故选D.
3
7.(2022陕西渭南二模,10)已知函数f(x)=
ex
,若f(lg(log 10))=a,则f(lg(lg 3))=( )
3
ex+e-x
A.ea-1 B.3a-1 C.e1-3a D.1-a
答案 D f(x)=
ex e-x ex
=1,又
的定义域为R,且f(-x)+f(x)= +
ex+e-x ex+e-x ex+e-x
lg(log 10)=-lg(lg 3),所以f(lg(lg 3))+f(lg(log 10))=1,所以f(lg(lg 3))=1-a.故选D.
3 3
8.(2022江西二模,10)已知函数f(x)={x2-2,x≥0,若f(a)=f(a+3),则g(x)=ax2+x的单调递
x+3,x<0,
增区间为( )
A.(1 ) ( 1)
,+∞ B. -∞,
8 8
C.(1 ) ( 1)
,+∞ D. -∞,
2 2
答案 D 依题意,得
{a+3=(a+3)2-2, ( 1)上单调
解得a=-1,故g(x)=-x2+x,可知g(x)在 -∞,
a<0≤a+3, 2
递增,故选D.
9.(2022吉林调研(二),3)设α∈{1
,1,2
},使函数y=xα的定义域是R,且为偶函数的所有α
2
的值是( )
1 1
A.2 B.1,2 C. ,2D. ,1,2
2 2
1 1
答案 A 当α= 时,y=xα=√x,定义域为[0,+∞),故α≠ ;
2 2
当α=1时,y=xα=x,定义域为R,为奇函数,故α≠1;
当α=2时,y=xα=x2,定义域为R,为偶函数,故α=2.故选A.
10.(2022河南名校联盟1月联考,9)下列函数中,既是奇函数,又是R上的单调函数的是(
)
1
A.f(x)=ln(|x|+1) B.f(x)= x3-x
3
C.f(x)={ x2+2x(x≥0) D.f(x)=x-1
-x2+2x(x<0)
答案 C 对于A,f(x)=ln(|x|+1),f(x)为偶函数,不符合题意;
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1
对于B,f(x)= x3-x,f(x)为奇函数,又f '(x)=x2-1,令f '(x)=0,解得x=±1,所以f(x)在(-∞,-1),
3
(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,所以f(x)在R上不是单调函数,不符合题意;
对于C,f(x)={ x2+2x(x≥0), 当x>0时,-x<0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x=-f(x),同
-x2+2x(x<0),
理,x≤0也有f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,当x≥0时, f(x)=x2+2x在[0,+∞)上单调递增,
又f(x)为奇函数,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,即在R上单调递增,符合题意;
1
对于D,f(x)=x-1= ,f(x)的定义域为{x|x≠0}, f(x) 在 (-∞,0),(0,+∞) 上单调递减 , 但在 R 上不是
x
单调函数,不符合题意.故选C.
11.(2022安徽六安一模,11)设函数f(x)=2-
√x2+4
,g(x)=ln(ax2-4x+1),若对任意的x 1∈R,都
存在实数x ,使得f(x )=g(x )成立,则实数a的取值范围为( )
2 1 2
A.(-∞,4] B.(0,4] C.[0,4] D.(0,2]
答案 A 设g(x)的值域为A,而f(x)的值域为(-∞,0],由已知有(-∞,0]⊆A,所以(0,1]是
2
h(x)=ax2-4x+1值域的子集, 当a<0时,h(x)图象开口向下且对称轴x= <0,又h(0)=1,显然
a
(0,1]是h(x)值域的子集,符合题设;
当a=0时,y=-4x+1,显然(0,1]是h(x)值域的子集,符合题设;
2
当a>0时,h(x)图象开口向上且对称轴x= >0,此时只需Δ=16-4a≥0,即a≤4时,(0,1]是h(x)
a
值域的子集.综上,a∈(-∞,4].故选A.
12.(2022广东佛山二模,7)设a,b,c∈R且a≠0,函数g(x)=ax2+bx+c,f(x)=(x+2)g(x),若f(x)+f(-
x)=0,则下列判断正确的是( )
A.g(x)的最大值为-a B.g(x)的最小值为-a
C.g(2+x)=g(2-x) D.g(2+x)=g(-x)
答案 D 依题意,f(x)=(x+2)(ax2+bx+c)=ax3+(2a+b)·x2+(2b+c)x+2c,
{2a+b=0,
因为f(x)+f(-x)=0,所以 即b=-2a,c=0,
2c=0,
因此,g(x)=ax2-2ax=a(x-1)2-a,而a≠0,当a>0时,g(x)的最小值为-a,当a<0时,g(x)的最大值为-
a,A,B都不正确;
g(2+x)=a(x+1)2-a,g(2-x)=a(-x+1)2-a,g(-x)=a(-x-1)2-a=a(x+1)2-a,即g(2+x)≠g(2-x),g(2+x)=g(-
x),因此,C不正确,D正确.故选D.
1
13.(2021陕西榆林高考模拟,11)已知a=log 7,b=log 343,c= +4log 2,则( )
3 25 9
2
A.b>a>c B.c>a>b
C.a>b>c D.b>c>a
答案 A b=log 343=3log 7 1+4log 2=log 48<log 49=log 7=a,所以
25 3 >log37=a,c= 9 9 9 3
log 25 2
3
b>a>c,故选A.
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1
14.(2022安徽模拟,12)已知函数f(x)=log (2x-1+2)- x,若f(a)≥f(2a+1)恒成立,则实数a的取
2
2
值范围是( )
A.[-1,1] B.(-∞,-1]
C.[0,+∞) D.(-∞,-1]∪[0,+∞)
1
答案 A 设g(x)=log (2x+1)- x,
2
2
可知g(x)是偶函数,且在[0,+∞)上单调递增.
1 1 1
f(x)=log (2x-1+2)- x=log2[2(2x-2+1)]- x=log2(2x-2+1)- (x-2)=g(x-2),
2
2 2 2
则f(x)的图象关于直线x=2对称,
且在[2,+∞)上单调递增.
由f(a)≥f(2a+1)得|a-2|≥|2a-1|,
所以(a-2)2≥(2a-1)2,所以-1≤a≤1.故选A.
15.(2022昌平二模,9)已知函数f(x)=ax2-4ax+2(a<0),则关于x的不等式f(x)>log x的解集
2
是( )
A.(-∞,4) B.(0,1)
C.(0,4) D.(4,+∞)
答案 C f(x)在区间(-∞,2)上单调递增,在区间(2,+∞)上单调递减,且
f(0)=2,f(x) =f(2)=2-4a>2,函数y=log x在区间(0,+∞)上单调递增,且log 2=1<2,显然不等
max 2 2
式f(x)>log x在区间(0,2)成立,排除选项B、D,又x>0,所以排除选项A,故选C.
2
1
16.(2022门头沟一模,6)已知a=log 2,b=20.1,c= ,则( )
3
3
A.c<a<b B.a<c<b C.c<b<a D.a<b<c
1
答案 A 因为20.1>20=1,所以b>1.因为log √3<log32<log33,所以 <a<1,所以
3
2
c<a<b,故选A.
2π
17.(2022丰台二模,7)已知a=30.5,b=log 2,c=tan ,则( )
3
3
A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.a>c>b
2π
答案 A a=30.5>30=1.因为0=log 1<log 2<log 3=1,所以0<b<1.c=tan =-√3,所以
3 3 3
3
a>b>c.故选A.
18.(2022密云二模,6)已知x>y,则下列各式中一定成立的是( )
A.1 1 B.(1) x >(1) y
<
x y 2 2
C.ln(x+1)>ln(y+1) D.2x+2-y>2
答案 D 取x=1,y=-1.
1 1 1 1
对于A, =1, =-1, > ,∴A错误;
x y x y
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对于B,(1) x 1,(1) y =2,(1) x <(1) y ,∴B错误;
=
2 2 2 2 2
对于C,当y=-1时,ln(y+1)不存在,∴C错误;
对于D,∵ x>y,∴2x>2y,∴ 2x+2-y>2y+2-y≥2,当且仅当y=0时等号成立,∴ 2x+2-y>2,D正确,
故选D.
19.(2022房山二模,3)已知a=(1) 0.2 ,b=log
4
0.2,c=log
2
3,则( )
3
A.c>a>b B.a>c>b C.a>b>c D.b>c>a
答案 A (1) 0.2 <(1) 0 =1,所以0<a<1;log
4
0.2<log
4
1=0,所以b<0;log
2
3>log
2
2=1,所以c>1,
3 3
综上,c>a>b,故选A.
20.(2022朝阳期末,7)某纯净水制造厂在净化水的过程中,每增加一次过滤可使水中杂质
减少50%.若杂质减少到原来的10%以下,则至少需要过滤( )
A.2次 B.3次 C.4次 D.5次
答案 C 设水中的杂质含量为m,过滤n次后杂质减少到原来的10%,∴m·(1) n
2
1
=m·10%,则n=log
1 10
=log
2
10=1+log
2
5,又2<log
2
5<3,∴n>3,∴至少需要过滤4次.故选C.
2
21.(多选)(2022广东普宁二中9月月考,12)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之
一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名
的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:
[-3.2]=-4,[2.3]=2.已知函数f(x)= 2x 1,若g(x)=[f(x)],则下列叙述正确的是( )
-
1+2x 2
A.f(x)是奇函数
B.f(x)在R上是减函数
C.g(x)是偶函数
D.g(x)的值域是{-1,0}
答案 AD 易知f(x)的定义域为R.因为f(x)=
2x 1 1 1 1 1 2-x 1 1 1 1 1
- =1- - = - ,所以f(-x)= - = - =-f(x),则函数f(x)为奇函数,故A中叙述正确;易证f(x)= -
1+2x 2 1+2x 2 2 1+2x 1+2-x 2 1+2x 2 2 1+2x
在R上单调递增,故B中叙述错误;
g(x)的定义域为R,因为f(x)=
1 1 [1 1 ] [1 1 ]
- ,则g(1)=[f(1)]= - =0,g(-1)=[f(-1)]= - =-1,因为
2 1+2x 2 1+2 2 1
1+
2
g(-1)≠g(1),所以函数g(x)不是偶函数,故C中叙述错误;
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1 1
因为1+2x>1,所以- <f(x)< ,故g(x)=[f(x)]的值域为{-1,0},故D中叙述正确.故选AD.
2 2
22.(多选)(2021江苏常州一模,12)已知正数x,y,z满足3x=4y=12z,则( )
1 2 1
A.6z<3x<4y B. + =
x y z
C.x+y>4z D.xy<4z2
答案 AC 令3x=4y=12z=m(m>1),则log 3 m=x,log 4 m=y,log 12 m=z,由换底公式得
1 1 1 1 1 1 1 2 4 4 3 81 1 1 1 xy 4x2y2-xy(x+ y)2 xy(x- y)2
=logm3, =logm4, =logm12,则有 + = ,故选项B错误;对于选项A,因为 - =logm12-logm9=logm >0,所以x>2z,又 - =logm81-logm64=logm >0,所以4 y>3x,所以4 y>3x>6z,故选项A正确;对于选项C、D,因为 + = ,所以z= ,即xy=z(x+ y),所以4z2-xy= =-
x y z x y z z x 3 x y 64 x y z x+ y (x+ y)2 (x+ y)2
<0,所以xy>4z2,则z(x+y)>4z2,即x+y>4z,所以选项C正确,选项D错误.故选AC.
23.(多选)(2022重庆八中摸底,11)设函数f(x)=x·ln x,则关于x的方程|f(x)|=m的实数根的
个数可能为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
答案 BCD
f '(x)=ln x+1,由f '(x)>0得x>
1 1 ( 1) (1 )上单
,由f '(x)<0得0<x< ,故函数f(x)在 0, 上单调递减,在 ,+∞
e e e e
调递增.当x→0+时, f(x)→0, f(1) 1 1 1, f(1)=0,则函数y=|f(x)|的图象与直线
= ln =-
e e e e
y=m如图所示,平移直线y=m可知,函数y=|f(x)|的图象与直线y=m的交点个数可能为
0,1,2,3,则关于x的方程|f(x)|=m的实数根的个数可能是0,1,2,3,故选BCD.
二、填空题
24.(2022通州一模,13)幂函数f(x)=xm在(0,+∞)上单调递增,g(x)=xn在(0,+∞)上单调递减,能
够使y=f(x)-g(x)是奇函数的一组整数m,n的值依次是 .
答案 1,-1(答案不唯一)
解析 只需m为正奇数,n为负奇数.
25.(2022哈尔滨九中开学考,14)已知幂函数f(x)的图象过点(-8,-2),且f(a+1)≤-f(a-3),则a的
取值范围是 .
答案 (-∞,1]
1 1
解析 设f(x)=xα,则(-8)α=-2⇒α=
3
,所以f(x)=
x3
, f(x)在R上递增,且为奇函数,所以
f(a+1)≤-f(a-3)=f(3-a)⇒a+1≤3-a⇒a≤1.
26.(2022内蒙古赤峰4月模拟,15)写出一个同时具有下列性质的函数f(x)= .
①f(-x)=f(x);
②当x∈(0,+∞)时,f(x)>0;
③f(x x )=f(x )·f(x ).
1 2 1 2
答案 x2(答案不唯一)
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解析 由所给性质知f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上恒正,且f(x)是偶函数,f(x x )=f(x )·f(x ),符合偶
1 2 1 2
数次幂函数的性质,如:f(x)=x2满足条件.
27.(2022海淀二模,12)不等式(1) x >1的解集为 .
2
答案 (-∞,0)
解析 因为函数y=(1) x 在R上单调递减,且(1) x >(1) 0 =1,所以x<0.
2 2 2
28.(2022顺义二模,12)已知函数f(x)=ln x,若f(ab)=1,则f(a4)+f(b4)= .
答案 4
解析 由f(ab)=ln(ab)=1,得ab=e,所以f(a4)+f(b4)=ln a4+ln b4=ln(a4b4)=ln e4=4.
29.(2022新疆石河子一中模拟,14)函数y=a2-x+7(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,P在幂函数
f(x)=xα的图象上,则f(3)= .
答案 27
解析 因为函数y=a2-x+7(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,所以由指数型函数性质得P(2,8),
因为P在幂函数f(x)=xα的图象上,所以2α=8,解得α=3,所以f(x)=x3,f(3)=27.
一年创新
1.(2022皖南八校三模,12)函数f(x)=ln(ex+1)
在区间
[
-e,-
1]∪[1
,e
]上的最大值与
x e e
最小值之和为( )
e
A.1 B. C.2 D.e
2
答案 A f(x)=
(ex+1)
ln
x x x x
-
ln(ex+1) ln(ex+1) 1 1 ln(ex+1)-ln e2 1 e2 1 ln(e2+e 2) 1
= - + = + = + = +
x x 2 2 x 2 x 2 x 2
.
x x
令g(x)=ln(e2+e - 2),x∈ [ -e,- 1] ∪
e
x
x x
-
[1 ] ln(e 2+e2)=-g(x),
,e ,易知定义域关于原点对称,g(-x)=
e -x
故g(x)为奇函数,g(x)在区间[ 1]∪[1 ]上的最大值与最小值之和为0,
-e,- ,e
e e
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故函数f(x)=ln(ex+1)
=g(x)+
1
在区间
[
-e,-
1]∪[1
,e
]上的最大值与最小值之和
x 2 e e
为1.故选A.
2.(2022 5·3改编题)已知定义在R上的偶函数f(x)对任意实数x满足f(2-x)=f(x),且
1
x∈[0,1]时, f(x)=2x2,则方程f(x)= |x|在[-4,6]上的所有根的和为 .
2
答案 0
解析 ∵f(2-x)=f(x),∴函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1,又f(x)是偶函数,∴f(2-
x)=f(x)=f(-x),∴函数f(x)的最小正周期为2.又x∈[0,1]时, f(x)=2x2,∴可画出f(x)的大致图
象如图所示:
1
函数f(x)的图象和y= |x|的图象在[-4,6]上的交点关于y轴对称,故所有根的和为0.
2
1
思路分析 直接利用函数f(x)的周期性、对称性画出图象,利用f(x)=2x2与y= |x|的性质,
2
确定两函数图象的交点的性质,从而可得出结果.
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