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专升本数学必背知识点 第一章 函数的极限和连续性 第一节 函 数 一、求函数的值或表达式 【例题】 若f (x)  2x3,则f (x1)  ( ). A. 2x1 B. 2x1 C. 2x2 D. x2 【答案】 B 【解析】 f (x1) 2(x1)3 2x23 2x1. 二、函数  的三要素 f x 1. 定义域：x的取值范围 （1）常见函数的定义域 1 a. 函数y  ,其中x0. x b. 函数y  x，其中x 0. c. 函数y log x(a 0且a 1)，其中x0. a （2）函数的间断点 2. 对应法则： f 运算程序 3. 值域：y的取值范围 三、基本初等函数 1. 常函数 y c (c为常数)； 2. 幂函数 y  xa (a为实数)； 1 （1）幂为负数时，y  x-m  “不看负号，分之一” xm n （2） 幂为分数时，y  xm  m xn 遵循“上里下外” 3. 指数函数 y ax (a 0,a 1)（1）指数函数图表： （2） 指数函数常用公式： a. aman amn am b. amn an c. (am)n amn d. (ab)n anbn 4. 对数函数 y log x(a 0,a 1) a （1）对数函数图表：（2）对数函数常用公式： a. log (MN) log M log N a a a M b. log log M log N a N a a c. log Mn nlog M a a 5. 三角函数 （1）正弦函数 y sinx （2）余弦函数 y cosx （3）正切函数 y  tanx （4）余切函数 y cotx 6. 反三角函数 （1）反正弦函数 y arcsinx （2）反余弦函数 y arccosx （3）反正切函数 y arctanx（4）反余切函数 y arccotx 【补充】三角函数特殊值 四、函数的性质 1. 单调性 设函数y  f(x)在某区间内有定义, 如果对于任意两点x  x , 1 2 （1）都有 f(x ) f(x ),则称函数 f(x)在该区间上单调增加. 1 2 （2）都有 f(x ) f(x ),则称函数 f(x)在该区间上单调减少. 1 2 2. 有界性 设函数 y  f(x)在某区间内有定义, 若存在M 0,对该区间内任意的 x,都有 f(x)  M ,则称函数y  f(x)在该区间上有界。第二节 极 限 一、极限运算（直接代入） 1. 数列极限 如果当n时, 数列{x }无限趋近于某个确定的常数a, 则称常数a n 为数列{x }当n时的极限, 记为 n limx a或者x a(n). n n n 上式可读作“当n趋于无穷大时, x 的极限等于a或x 趋于a”. n n 如果不存在这样的常数 a , 就说数列{x }没有极限, 或者说数列{x } n n 发散,习惯上也称limx 不存在。 n x 2. 函数极限 （1）左极限 如果函数 f(x)在x 的某一个左侧区间 x ,x 有定义, 当x从x 的 0 0 0 0 左侧趋近于x (记作x x)时, 函数 f(x)无限趋近于某一个确定的常数 0 0 A,则称A为函数 f(x)当x x 时的左极限, 记为 0 lim f(x) A(f(x) A). xx 0 0 （2）右极限 如果函数 f(x)在x 的某一个右侧区间 x ,x 有定义, 当x从x 的 0 0 0 0 右侧趋近于x (记作x x)时, 函数 f(x)无限趋近于某一个确定的常数 0 0 A,则称A为函数 f(x)当x x 时的左极限, 记为 0 lim f(x) A(f(x) A). xx 0 0 （3）极限的充要条件 lim f(x)  A lim f(x)  lim f(x)  A. xx xx xx 0 0 0 （4）运算法则 设有函数 f(x),g(x),若lim f(x) A,lim g(x) B,则 xx xx 0 0a. lim[f(x)g(x)] lim f(x)limg(x) AB. xx 0 xx 0 xx 0 b. lim[f(x)g(x)] lim f(x)limg(x) AB. xx 0 xx 0 xx 0 lim f(x) f(x) A c. lim  xx 0  (B 0). xx g(x) lim g(x) B 0 xx 0 二、两个重要极限 sinx sin 1. lim 1 即 lim 1 x0 x 0 1 1 1 2. lim(1 )x e 即 lim(1 ) e或lim(1 ) e x x  0 1 【例题】 lim  13x  x x0 【答案】 e3 1 1 【解析】 lim  13x  1 x lim[1(3x)]x lim[1(3x)]3x (3) e3. x0 x0 x0 三、无穷小量 1. 等价无穷小 当x0时，x ~sinx, x ~ tanx, x ~arcsinx, x ~arctanx， 1 x~ln(1x), x~ex1, 1cosx~ x2， 2 (1x)a 1~ ax(a为实常数，a0). 即，当 0时， ~sin , ~ tan , ~arcsin , ~arctan ， 1 2 ~ln(1 ), ~ e 1, 1cos ~ ， 2 (1 )a 1~ a (a为实常数，a0). x2 【例题】 lim x2sin(x2) 【答案】 1 【解析】 x0时，sinx~ xx2时,x20，sin(x2)~ x2 x2 x2 lim lim 1 x2sin(x2) x2 x2 2. 无穷小量的比较 f(x) 设 f(x),g(x)是同一变化过程中的无穷小, lim 这一过程中的极限, g(x) 那么： f(x) （1）如果lim 0, 则称 f(x)是比g(x)的高阶无穷小. g(x) f(x) （2）如果lim , 则称 f(x)是比g(x)的低阶无穷小. g(x) f(x) （3）如果lim c0, 则称 f(x)与g(x)是同阶无穷小. g(x) f(x) （4）如果 lim 1 , 则称 f(x) 与 g(x) 是等价无穷小, 记作 g(x) f(x)g(x). 四、分子分母同时除以指数最高次幂（“抓大头”）： 0, m n;  P(x) a xm a xm1a a lim  lim m m1 0   m , m  n; xQ(x) xb n xn b n1 xn1b 0  b n  , m  n. 五、曲线的渐近线 1. 若lim f  x a(常数),则直线y a为曲线y  f(x)的水平渐近线. x 2. 若lim f(x) , 则直线x x 是曲线y  f(x)的铅直渐近线. 0 xx 0第三节 连 续 一、 分段函数的连续性 lim f(x) f(x ) lim f(x) lim f(x) f(x ) xx 0 0 xx 0  xx 0  0 1  ex,x0 【例题】 若函数 f(x)2 在x0处连续, 则常数a   a,x0 1 A.0 B. 2 C.1 D.2 【答案】 B 1 1 【解析】 函数在x0处连续, 则lim f(x)lim ex  a  f(0). x0 x0 2 2 第二章 微分学 第一节 导数与微分 一、求导公式 (1) C 0（C为常数） (2) (xn)  nxn1 (n R) 1 (3) (log a x) xlna (a  0,a 1) (4) (ln x)  1 x (5) (ax) ax lna (a  0,a 1) (6) (ex)  ex (7) (sin x) cosx (8) (cos x)  sin x 1 1 (9) (tan x) sec2 x (10) (cot x)    csc2x cos2 x sin2 x (11) (secx) tan xsecx (12) (csc x)  cot xcsc x 1 1 (13) (arcsin x) (14) (arccos x)   1 x2 1 x2 1 1 (15) (arctan x) (16) (arccot x)   1 x2 1 x2 二、微分 按微分公式dy  ydx, 微分运算则可转化为求导运算。计算微分, 只需先求出 y, 代入公式即可求得微分。 【例题】 y 2xsinx, 求dy  . 【答案】 (2cosx)dx 【解析】 y(2x)(sinx)2cosx, dy  ydx(2cosx)dx. 三、导数的四则运算 设函数u(x),v(x)在点x处可导, 则： 1. [u(x)v(x)]u(x)v(x). 2. [u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x)； [Cu(x)]Cu(x), (C是常数).  u(x) u(x)v(x)u(x)v(x) 3.    , [v(x) 0]; v(x) v2(x)   1  v(x)    , [v(x) 0]. v(x) v2(x) 四、复合函数求导（链式法则） 设 y  f (u)，u  g(x)复合成 y  f[g(x)], 若u  g(x) 在点 x 处可导, y  f (u)在相应点u  g(x)可导,则复合函数 y  f[g(x)]在点 x 可导,且有链 式法则 dy dy du    f(u)g(x). dx du dx 【例题】 设函数y  34x2 , 求y 4x 【答案】 y 34x2【解析】 y  34x2，令y  u，u 34x2, 1 4x y( u)(34x2) (8x) 2 u 34x2 五、高阶导数 运用求导公式有几阶求几次导。 六、参数方程求导 x  f (t) 设方程是由  ，所确定，其中f (t)，g(t)为可导函数，f(t)  0， y  g(t) 则： dy dy g(t) dt   dx dx f (t) dt x12t2 【例题】设函数  , 求y y sint dy dt (sint) cost 【解析】 y   . dx (12t2) 4t dt 七、隐函数求导 设 y f(x)是由方程 F(x,y)0 确定, 求 y只需直接由方程 F(x,y)0 关 于x求导, 将y认作中间变量, 用复合函数链式法则. 口诀：逐项求导，遇 y乘y. 【例题】设函数x2 3y4  x2y 1, 求 y 【解析】等号两边同时对x求导得, 2x12y3y12y0,提出 y得, (12y3 2)y12x, 12x 移项得, y . 12y3 2 第二节 洛必达法则 0 一、" "型 0 如果函数 f(x),g(x)满足条件： 1. 在点x 的某一去心邻域（或 x  N ）内可导, 且g(x)0； 0 2. lim f(x)0，lim g(x)0； xx xx 0 0 (x) (x) f(x) 3. lim 存在（或为无穷大）, xx g(x) 0 (x) f(x) f (x) 则 lim  lim . xx g(x) xx g(x) 0 0 (x) (x) ex ex 【例题】 求极限lim x0 sinx 【答案】 -2 ex ex (ex ex) ex ex 【解析】 lim lim lim  2 x0 sin x x0 (sin x) x0 cosx 第三节 导数的应用 一、导数的几何意义 1. 切线斜率 函数y  f(x)在切点(x , f(x ))处的导数 f(x )即为切线的斜率. 0 0 0 2. 法线方程 曲线y  f(x)在点(x , f(x ))处的切线方程为 0 0 y f(x ) f(x )(xx ) 0 0 0 3. 切线方程曲线y  f(x)在点(x , f(x ))处的法线方程为 0 0 1 y f(x ) (xx ), (f(x )0) 0 f(x ) 0 0 0 二、函数的单调性 设y= f(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导. 1. 若对于任意的x (a,b), 有 f(x)0, 则 y= f(x)在(a,b)上为单调 增加的函数. 2. 若对于任意的x(a,b), 有 f(x)0, 则 y = f(x)在(a,b)上为单调 减少的函数. 三、驻点 使得函数的导数值为零的点, 称为函数的驻点, 即 f(x)=0 的根称为驻 点. 四、极值 1. 定义 设函数y  f(x)在点x 的某一邻域内有定义. 0 （1）若除点x 外, 在该邻域内, 恒有 f(x) f(x ), 则称 f(x)在点x 0 0 0 处取得极大值 f(x ), 点x 称为 f(x)的极大值点. 0 0 （2）若除点x 外, 在该邻域内, 恒有 f(x) f(x ), 则称 f(x)在点x 0 0 0 处取得极小值 f(x ), 点x 称为 f(x)的极小值点. 0 0 函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 函数的极大值点与极小值点 统称为函数的极值点. 2. 函数取得极值第一种充分条件 设函数 y  f(x) 在点 x 的某一邻域内可导, 且 f(x ) =0(或在点 x 处 0 0 0 f(x)不存在).若在此邻域内:（1）当x x 时 f(x)0, 而当x x 时, f(x)0, 则 f(x)在点x 处 0 0 0 取得极大值 f(x ). 0 （2）当x x 时 f(x)0, 而当x x 时, f(x)0, 则 f(x)在点x 处 0 0 0 取得极小值 f(x ). 0 若当x x 与x x 时, f(x)不改变符号, 则 f(x)在点x 处不取得极值. 0 0 0 3. 函数取得极值第二种充分条件 设函数y  f(x)在点x 处具有二阶可导, 且 f(x )=0, f(x )≠0.若 0 0 0 （1） f(x )0,则 f(x)在点x 处取得极大值 f(x ). 0 0 0 （2） f(x )0,则 f(x)在点x 处取得极小值 f(x ). 0 0 0 五、凹凸区间 如果在某区间内, 曲线弧位于其上任意一点切线的上方, 则称曲线在 这个区间内是凹的；如果在某区间内, 曲线弧位于其上任意一点切线的下方, 则称曲线在这个区间内是凸的. 判定方法：设函数y  f(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内二阶可导. 1. 若在(a,b)内有 f(x)0. 则曲线y  f(x)在(a,b)内为凹的. 2. 若在(a,b)内有 f(x)0, 则曲线y  f(x)在(a,b)内为凸的. 六、拐点 连续曲线上凹弧和凸弧的分界点, 称为曲线的拐点. 对于在(a,b)内的连续曲线弧y  f(x), 判定拐点的一般方法是： 1. 求出该函数的二阶导数, 并求出使二阶导数等于零的点, 以及二 阶导数不存在的点. 2. 判定上述各点两侧, 函数的二阶导数是否异号, 如果 f(x)在x 0 的两侧异号, 则(x , f(x ))为曲线弧 y  f(x)的拐点. 0 0第四节 偏导数与全微分 一、 一阶偏导 1. 表示方式： 二元函数 z  f(x,y) 在点 P (x ,y ) 处对 x 的偏导数, 常记为 0 0 0 z f 或 或f (x ,y )或z . x xx 0 x xx 0 x 0 0 x xx 0 yy yy yy 0 0 0 同理, 函数z  f(x,y)在点P (x ,y )处对y的偏导数, 常记为 0 0 0 z f 或 或f (x ,y )或z . y xx 0 y xx 0 y 0 0 y xx 0 yy yy yy 0 0 0 z 2. 计算方法：对于二元函数z  f(x,y),求 , 只需把 f(x,y)中的y看 x z 成常数, 按一元函数求导法对x求导；求 , 只需把 f(x,y)中的x看成常数, y 按一元函数求导法对y求导. y z 【例题】 设z ln(x ), 则  x x (1,0) 【答案】 1 z 1 y x2  y z 【解析】  (1 )= , 则 1 x y x2 x3xy x (1,0) x x 二、二阶偏导 1. 表示方式：函数z  f(x,y)在区域D内偏导数 f (x,y), f (x,y)一般仍 x y 为x,y的二元函数, 可以对它们再次求偏导数（若存在）, 称偏导数的偏导数 为二阶偏导数, 共有四种情形：  z 2z f  ( )  , xx x x x2  z 2z f  ( ) , xy y x xy z 2z f  ( ) , yx x y yx  z 2z f  ( ) . yy y y y2 2. 计算方法：与一阶偏导的方法相同, 再次求偏导。 【例题】 设z exy, 求该函数的二阶偏导数. 2x 2z 2z 2z 【答案】  y2exy, exy xyexy,  x2exy, exy xyexy. x2 xy y2 yx z z 【解析】 由于  yexy,  xexy,所以 x y 2x  z      y2exy, x2 xx  2z  z      exy xyexy, xy x y  2z  z      exy xyexy, yx y x  2z  z      x2exy y2 y y  三、二元函数全微分 求二元函数z  f (x,y)的全微分的方法： z z z z 先求偏导数 , , 然后代入微分计算公式dz  dx dy , 进而得 x y x y 全微分. 【例题】 设z 2xy2xy , 求该函数的全微分. 【答案】 dz (2y2  y)dx(4xyx)dy. z z 【解析】 由于 2y2+y， 4xyx x yz z 于是 dz  dx dy(2y2 y)dx(4xyx)dy. x y 第三章 一元函数积分学 第一节 不定积分 函数 f(x)在区间I 上的所有原函数的全体F(x)C叫做 f(x)在区间I 上的 不定积分, 记作 f(x)dx, 即 f (x)dx  F(x)C. 其中记号 称为积分号, f(x)称为被积函数, f(x)dx称为被积表达式, x 称为积分变量. 一、不定积分的性质 1.kf(x)dx k f (x)dx (k为不等于0的常数).   2. f (x) g(x) dx   f (x)dxg(x)dx. 3.( f (x)dx) f (x)或d f(x)dx  f(x)dx.   4.  f(x)dx f(x)C或df (x) f (x)C. 二、不定积分基本公式 1. 0dxC. 1 2. xadx xa1C（a  1）. a1 1 3.  dxlnx C. x 1 x 4. axdx ax C，特别地e dxex C. lna 5. sinxdxcosxC. 6. cosxdxsinxC. 1 7.  dx tanxC. cos2x1 8.  dxcotxC. sin2x 1 9.  dxarcsinxC. 1x2 1 10.  dxarctanxC. 1x2 三、第一换元法积分法（凑微分法） 设 f(u)具有原函数F(u), u (x)可导, 则有换元公式  f  (x)  (x)dx   f  (x)  d(x)  f (u)du  F(u)C  F  (x)  C. 四、分部积分法 设函数u u(x), vv(x)具有连续的导函数, 则有uvdxuvvudx, 即 udv uvvdu. 第二节 定积分 一、牛顿-莱布尼茨公式 设函数 f(x)在区间[a,b]上连续, F(x)是 f(x)的一个原函数, 则 b b  f (x)dx  F(x)  F(b)F(a). a a