北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
3.2 二次函数与幂函数
一、选择题
1.(2022届太原五中第一次月考,4)若函数f(2-x)=x-x2,则f(x)在[0,1]上的最大值与最小值之和为( )
7
A.-2 B.-
4
1
C.0 D.
4
3
答案 A 令2-x=t,则x=2-t,所以f(t)=(2-t)-(2-t)2=-t2+3t-2,所以f(x)=-x2+3x-2,其图象的对称轴为直线x= ,所
2
以f(x)在[0,1]上单调递增, f(x) =f(1)=0, f(x) =f(0)=-2,所以f(x)在[0,1]上的最大值与最小值之和为-2,故选
max min
A.
2.(2021山西一模,6)在同一直角坐标系中,指数函数y=(b) x ,二次函数y=ax2-bx的图象可能是( )
a
A B
C D
答案 B 二次函数y=ax2-bx=(ax-b)x有两个零点b,0.在A,B选项中,指数函数y=(b) x 在R上单调递增,故
a a
b>1,故A错误,B正确.C,D选项中,指数函数y=(b) x 在R上单调递减,故0<b<1,故C,D错误.故选B.
a a a
3.(2022届河南期中联考,10)已知函数f(x)=x2+bx(b∈R),则“f(x)在(0,+∞)上单调递增”是“f(f(x))在(0,+∞)上
单调递增”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C 若f(x)在(0,+∞)上单调递增,则b≥0,所以当x>0时, f(x)>0,所以f(f(x))在(0,+∞)上单调递增,即充分
性成立.若f(x)在(0,+∞)上不是单调递增的,则b<0, f(f(x))=(x2+bx)2+b(x2+bx)=(x2+bx)(x2+bx+b),易知
y=x2+bx有零点0和-b,y=x2+bx+b有一正一负两个零点,且正零点不等于-b,于是f(f(x))在(0,+∞)上有两个零点,
所以f(f(x))在(0,+∞)上不可能单调递增,所以必要性也成立.综上所述,“f(x)在(0,+∞)上单调递增”是“f(f(x))
在(0,+∞)上单调递增”的充要条件.故选C.
4.(2020海南天一大联考一模,5)不等式(x2+1 1>(3x+5 1的解集为( )
)2 )2
A.[ 5 )∪(4,+∞)
- ,-1
3
B.(-1,4)
C.(4,+∞)
D.(-∞,-1)∪(4,+∞)
1 1 5
答案 A 不等式(x2+1 >(3x+5 等价于x2+1>3x+5≥0,解得- ≤x<-1或x>4,所以原不等式的解集为
)2 )2
3
[ 5 )∪(4,+∞).故选A.
- ,-1
3
5.(2022届山东师范大学附中第二次月考,7)已知幂函数f(x)=(m-1)2 在(0,+∞)上单调递增,函数
xm2-4m+2
g(x)=2x-a,∀x 1∈[1,5],∃x 2∈[1,5],使得f(x
1
)≥g(x
2
)成立,则实数a的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.[-23,+∞)
C.[31,+∞) D.[7,+∞)
答案 A 因为幂函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以
{(m-1)2=1,
⇒m=0,即f(x)=x2,当x∈[1,5]时,值域
m2-4m+2>0
为[1,25].又g(x)=2x-a在R上为增函数,所以当x∈[1,5]时,值域为[2-a,25-a],由题意得1≥2-a,解得a≥1.故选A.
6.(2021河南安阳3月联考,10)已知函数f(x)={|x+1|-1,x≤0,
则函数y= 在区间[m,m+2]
√f (x)+1
-x2+2x,x>0,
(-2≤m≤0)上的最大值的取值范围是( )
A.[2,+∞) B.[0,2] C.[1,+∞) D.[1,√2]北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
{
-x-2,x≤-1,
{
-x-1,x≤-1,
答案 D 由题意知f(x)= 记g(x)=f(x)+1,则g(x)= 作出g(x)的
x,-1<x≤0, x+1,-1<x≤0,
-x2+2x,x>0, -x2+2x+1,x>0,
图象,如图所示.
当m=-2时,y =1;当-2<m<-1时,y = = =
max max √g(m+2) √-(m+2)2+2(m+2)+1 √-(m+1)2+2
∈(1,√2);
当-1≤m≤0时,y =√g(1)=√2.
max
综上,所求最大值的取值范围为[1,√2].故选D.
易错警示 本题的易错点是对m的分类讨论,分类讨论的标准是看g(x)在[m,m+2]上的单调性,易因分类不全
导致结果错误.
7.(2020江西模拟,11)已知k∈R,函数f(x)={ x2-2kx+2k,x≤1, 若关于x的不等式f(x)≥0在x∈R
(x-k-1)ex+e3,x>1.
上恒成立,则k的取值范围为( )
A.[0,e2] B.[2,e2] C.[0,4] D.[0,3]
答案 D (1)当x≤1时, f(x)=x2-2kx+2k,
∴f(x)图象的对称轴为直线x=k,开口向上.
①当k<1时, f(x)在(-∞,k)上递减,在(k,1]上递增,∴当x=k时, f(x)有最小值,即f(k)≥0,∴0≤k<1;
②当k≥1时, f(x)在(-∞,1]上递减,
∴当x=1时, f(x)有最小值,即f(1)=1,
1≥0显然成立,此时k≥1.综上,k≥0.
(2)当x>1时, f(x)=(x-k-1)ex+e3,
∴f '(x)=(x-k)ex,
①当k≤1时, f(x)在(1,+∞)上递增,∴f(x)>f(1)=-ke+e3≥0,∴k≤e2,此时k≤1;
②当k>1时, f(x)在(1,k)上递减,在(k,+∞)上递增,
∴f(x)≥f(k)=-ek+e3≥0,∴k≤3,∴1<k≤3.
综上,0≤k≤3.故选D.北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
8.(2021重庆一中8月月考,8)若函数f(x)=-x2+ax+4有两个零点,一个大于2,另一个小于-1,则a的取值范围是(
)
A.(0,3) B.[0,3]
C.(-3,0) D.(-∞,0)∪(3,+∞)
{f (2)>0,
答案 A 由f(x)=-x2+ax+4有两个零点,一个大于2,另一个小于-1,可得 即
f (-1)>0,
{-22+a·2+4>0,
解得0<a<3,故选A.
-(-1)2+a·(-1)+4>0,
二、填空题
9.(2022届江西新余重点高中第二次月考,14)已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm+1的图象关于原点对称,则满足
(a+1)m>(3-2a)m成立的实数a的取值范围为 .
答案 (2 )
,4
3
解析 ∵函数f(x)=(m2-3m+3)xm+1是幂函数,∴m2-3m+3=1,解得m=1或m=2.当m=1时, f(x)=x2是偶函数,其图
象关于y轴对称,与已知矛盾;当m=2时, f(x)=x3是奇函数,其图象关于原点对称,∴m=2,不等式为(a+1)2>(3-
2
2a)2,化简整理得(3a-2)(a-4)<0,解得 <a<4.
3
10.(2020郑州第二次质量预测,13)幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm的图象关于y轴对称,则实数m= .
答案 2
解析 ∵函数f(x)=(m2-3m+3)xm是幂函数,∴m2-3m+3=1,解得m=1或m=2.
当m=1时,函数y=x的图象不关于y轴对称,舍去;
当m=2时,函数y=x2的图象关于y轴对称,∴m=2.
规律总结 幂函数y=xα,若α为偶数,则图象关于y轴对称.
11.(2021陕西宝鸡二模,15)若函数f(x)={x3,x≤t,
是R上的增函数,则实数t的取值范围是 .
x2,x>t
答案 [0,1]
解析 令x3=x2,解得x=0或x=1,分别作出y=x3和y=x2的图象,当t<0时,y=f(x)不单调,不满足题意;当0≤t≤1时,
两段函数都递增且当x=t时,x2≥x3,满足题意;北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
当t>1时,当x=t时,x3>x2,不满足在R上单调递增,故实数t的取值范围是[0,1].
