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专题04 函数的解析式
专项突破一 待定系数法
1．设 为一次函数，且 ．若 ，则 的解析式为（ ）
A． 或 B．
C． D．
【解析】设 ，其中 ，则 ，
所以， ，解得 或 .
当 时， ，此时 ，合乎题意；
当 时， ，此时 ，不合乎题意.
综上所述， .故选：B.
2．幂函数 的图象经过函数 且 所过的定点，则 的值等于（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【解析】设幂函数 ，函数 且 过定点 ，
代入幂函数 ，得 ，解得 ，所以 ，所以 .故选：B.
3．已知函数 是定义在 上的增函数，且 ， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
【解析】令 ，即有 ，因函数 是定义在 上的增函数，则t为常数，因此 ，从而 ，解得 ，于是得 ，显然函数 在
上递增，所以 .故选：B
4．已知二次函数f（x）的图象经过点（-3，2），顶点是（-2，3），则函数f（x）的解析式为
___________.
【解析】根据顶点为（-2，3），设 ，
由f（x）过点（-3，2），得 ，解得a=-1，所以
5．已知函数 恒过定点P，点P恰好在幂函数 的图象上，则
___________.
【解析】设 ，因为 恒过 ，则 ，所以 ，
所以 ，则
6．（1）已知 是一次函数，且 ，求 ；
（2）已知 是二次函数，且满足 ，求 .
【解析】（1）设 ，则
因为 ，所以 ，
所以 解得 或 ，所以 或
（2）设 ，由 ，得 ，
由 ，得 ，
整理，得 ，所以 所以 ，所以7．已知 是二次函数，且满足 ， ， .
(1)求函数 的解析式；
(2)当 时，表示出函数 的最小值 ，并求出 的最小值.
【解析】(1)设 ，
因为 ，所以函数 关于 对称，所以 ，
又 ， ，所以 ，解得 ，所以 ；
(2)由（1）得，函数 关于 对称，当 时，函数 在 上递增，
所以 ，
所以当 时， ， ，
当 ，即 时，函数 在 上递减，
所以 ，
所以当 时， ， ，
当 时，函数 在 上递减，在 上递增，所以 ，
所以当 时， ，综上所述， ， .
8．已知函数 为二次函数，不等式 的解集是 ，且 在区间 上的最小值为 .
(1)求 的解析式；
(2)设函数 在 上的最大值为 ，求 的表达式.
【解析】(1)因为不等式 的解集是 ，所以 的两根为1和5，且函数开口向下，故可设
，所以函数的对称轴为 ，所以当 时，
，解得 ，故 ，即
(2)因为 ，
当 时，即 时， 在 上单调递增，所以 ，
当 时，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ；
当 时， 在 上单调递减，所以 ；
综合以上得
9．已知一次函数 满足 ， .
(1)求实数a､b的值；
(2)令 ，求函数 的解析式.【解析】(1)由题意可得 解之得
(2)由（1）可得 ，则
故有
专项突破二 换元法
1．设函数 ，则 的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ，则 且 ，所以， ，因此， .
故选：B.
2．已知 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【解析】因 ，则设 ，有 ，而 ，则有 ，
于是得 ，所以 ，故选：C
3．若 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】令 ， ，则 ，
则 ， ，∴函数 的解析式为 .故选：C.
4．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 ，
令 ，则 ，
所以，对于 ，即 .故选：A
5．已知 是定义域为 上的单调增函数，且对任意 ，都有 ，则 的值为
（ ）
A．12 B．14 C． D．18
【解析】因为 是定义域为 上的单调增函数，且对任意 ，都有 ，
所以 必是常数，设 （k为常数），得 ，
所以 ，解得 ，∴ ，因此 .故选：B
6．已知函数 ，那么 的表达式是___________.
【解析】 ，令 ，则 ，故
，故 ，
7．已知 ，则 ______.
【解析】因为 ，令 ，则 ， ，所以 ，所以 ，
8．若 ，则 ______．【解析】设 ，则 ，所以 .
9．若函数 ，则 ______．
【解析】令 ，则 ，∴ ，故 ，∴ .
10．已知定义在 上的单调函数 ，若对任意 都有 ，则
_____
【解析】令 ，则 ， ，
即 ，得 ， ，所以 .
专项突破三 配凑法
1．已知函数 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为 ，所以 .故选:B
2．已知函数 满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【解析】 ，
故选：A
3．已知 求 =（ ）
A． B．C． D．
【解析】 ，令 ， ，
则 ，故选：D.
4．若函数 满足 ，则 的解析式是__________
【解析】因为 ，所以 .
5．已知 ，则 ______．
【解析】 ，把 整体换成x，可得 ，所以 ．
6．已知函数 ，则函数 的解析式为 ______.
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
7．若 ，则 ______.
【解析】 ， ，则 .
8．已知函数y＝f(x)满足 ，求函数y＝f(x)的解析式．
【解析】 ，其中 ，所以 .
专项突破四 构造方程组法1．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】由 ，得
，解得 .故选：A.
2．若函数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 满足 ---①
所以 ---②
联立①②，得 ，解得 ，∴ ，故选：A
3．已知函数 满足 ，则 ___________.
【解析】因为 ①，所以 ②，
② ①得， ．
4．若 ，则 ______．
【解析】由 ①，
将 用 代替得 ②，
由①②得 .5．设函数 是 → 的函数，满足对一切 ，都有 ，则 的解析式为
______．
【解析】由 ，得 ，
将 和 看成两个未知数，可解得 ，
当 时， ，解得 ，综上，
6．已知函数 对 的一切实数都有 ，则 ______．
【解析】 ， ， ，
专项突破五 利用奇偶性
1．已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则当 时， （ ）
A． B． C． D．
【解析】 时， ， ，∴ ，故选：C.
2．设 为奇函数，且当 时， ，则当 时， （ ）
A． B．
C． D．
【解析】设 ，则 ，所以 ，
又 为奇函数，所以 ，
所以当 时， .故选：B.3．已知 是定义在 上的偶函数，当 时， ，则当 时， （ ）
A． B．
C． D．
解析】因为函数 是定义在 上的偶函数，且当 时 ，
设 ，则 ， ,故选：B．
4．若 是定义在 的奇函数，且 是偶函数，当 时， ，则 时
的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由题意可得 ，即 ，
当 时， ，所以， .故选：B.
5．若定义在R上的偶函数 和奇函数 满足 ，则 的解析式为
___________.
【解析】由题意得： ，即 ①， ②，②-①得：
，解得： .
6．已知函数 是 上的奇函数，当 时， .
(1)当 时，求 解析式；
(2)若 ，求实数 的取值范围.【解析】(1)因为函数 是 上的奇函数，当 时， ，
所以当 时， ， 所以 ，
因为 ，所以 ，
故当 时， .
(2)由（1）知， ，
当 时， ，易知此时函数单调递增，由奇函数性质得，
当 时， 也单调递增，所以函数 是 上的增函数，
因为 ，所以 ，
即 ，又因为函数 是 上的增函数，
所以 ，解得 .故实数 的取值范围为： .
7．已知函数 是定义在 上的奇函数，且 时， ， .
(1)求 在区间 上的解析式；
(2)若对 ，则 ，使得 成立，求 的取值范围.
【解析】(1)设 ，则 ， ，
即当 时， .
(2)当 时， ；当 时， ；
又因为 ，所以，函数 在 上的值域为 ，在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ， ，
因为 ，则 ，使得 成立，则 ，解得 .
8．定义 上的奇函数 ，已知当 时， .
(1)求 在 上的解析式；
(2)当 时，不等式 恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】(1) 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，
， ，即当 时 ，
设 ， ， ，
时， ；
(2) ， 恒成立，即 ， 时恒成立，
即 ， 时恒成立， ， ， 时恒成立，
在 上单调递减，
时， 的最大值为 ，
，即实数 的取值范围是 ．
