北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
11.5 变量间的相关关系、统计案例
一、选择题
1.(2021西南名校联盟联考,3)已知甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的线性相关系数分别为0.46,0.79,-
0.92,0.85,则( )
A.甲组数据变量间的线性相关程度最强
B.乙组数据变量间的线性相关程度最弱
C.丙组数据变量间的线性相关程度最强
D.丁组数据变量间的线性相关程度最强
答案 C 线性相关系数的绝对值越大,线性相关程度越强.
甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的线性相关系数分别为0.46,0.79,-0.92,0.85,所以丙组数据变量间的线
性相关程度最强.故选C.
2.(2020陕西铜川二模,5)四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得回归直线方程,
分别得到以下四个结论:
①y与x负相关且^=2.347x-6.423;
y
②y与x负相关且^=-3.476x+5.648;
y
③y与x正相关且^=5.437x+8.493;
y
④y与x正相关且^=-4.326x-4.578.
y
其中不正确的结论的序号是( )
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
答案 D ①中y与x负相关,而斜率为正,不正确;④中y与x正相关而斜率为负,不正确;易知②③正确.故选
D.
3.(2022届四川绵阳阶段测试,3)某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行了调查,5家
商场的价格x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如表所示:
价格x(元) 9 9.5 10 10.5 11
销售量y(件) 11 10 8 6 5北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
按公式计算,y与x的回归直线方程是^=-3.2x+^,相关系数|r|=0.992,则下列说法错误的是( )
y a
A.变量x,y线性负相关且相关性较强
B.^=40
a
C.当x=8.5时,y的估计值为12.8
D.相应于点(10.5,6)的残差为0.4
答案 D 对于A,由表可知,y随x的增大而变小,且相关系数|r|=0.992,与1较接近,故变量x,y线性负相关且
1 1 ^ ^
相关性较强,故A正确;对于B,x= ×(9+9.5+10+10.5+11)=10,y= ×(11+10+8+6+5)=8,∵回归直线y =-3.2x+
a
5 5
恒过定点(10,8),∴8=-3.2×10+^,解得^=40,故B正确;对于C,当x=8.5时,^=-3.2×8.5+40=12.8,故C正确;对于
a a y
D,相应于点(10.5,6)的残差^=6-(-3.2×10.5+40)=-0.4,故D错误.故选D.
e
4.(2022届四川模拟,8)已知回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为(5,6),则回归直线方程为( )
A.^=-0.15x+1.23
y
B.^=-2.38x+1.23
y
C.^=1.23x-2.38
y
D.^=1.23x-0.15
y
答案 D 设回归直线方程为^=1.23x+a,∵样本点的中心为(5,6),回归直线过样本点的中
y
心,∴6=1.23×5+a,∴a=-0.15,∴回归直线方程为^=1.23x-0.15.故选D.
y
5.(2022届哈尔滨模拟,10)已知某种商品的广告费支出x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)之间具有线性相关
关系,利用下表中的五组数据求得回归直线方程为^=^x+^,根据该回归方程,预测当x=8时,^=84.8,则^=(
y b a y b
)
x 2 3 4 5 6
y 25 37 50 56 64北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
A.9.4 B.9.5 C.9.6 D.9.8
^ ^
{
2+3+4+5+6 25+37+50+56+64 46.4=4b+a,
^
答案 C 由题表得,x=
5
=4,y=
5
=46.4,则
^ ^
得b
84.8=8b+a,
84.8-46.4
= =9.6.
4
6.(2022届成都树德中学10月阶段测,3)某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及价格进行调查,5
家商场的售价x(单位:元)和销售量y(单位:件)之间的一组数据如表所示:
售价x 9 9.5 10 10.5 11
销售量y 11 10 8 6 5
按公式计算,y与x的回归直线方程是^=-3.2·x+^,相关系数|r|=0.986,则下列说法错误的是( )
y a
A.变量x,y线性负相关且相关性较强
B.^=40
a
C.当x=8.5时,y的估计值为12.8
D.相应于点(10.5,6)的残差为0.4
答案 D 由题表可知y随x的增大而减少,可认为变量x,y线性负相关,且由相关系数|r|=0.986知相关性
1 1
强,A中说法正确;价格平均值x= ×(9+9.5+10+10.5+11)=10,销售量平均值y= ×(11+10+8+6+5)=8,故回归
5 5
直线过点(10,8),故8=-3.2×10+^⇒^=40,B中说法正确;当x=8.5时,^=-3.2×8.5+40=12.8,C中说法正确;相应于
a a y
点(10.5,6)的残差^=6-(-3.2×10.5+40)=-0.4,D中说法不正确.故选D.
e
二、解答题
7.(2021成都二诊,18)某种机械设备随着使用年限的增加,它的使用功能逐渐减退,使用价值逐年减少,通常把
它使用价值逐年减少的“量”换算成费用,称之为“失效费”.某种机械设备的使用年限x(单位:年)与失效费
y(单位:万元)的统计数据如下表所示:
使用年限x
1 2 3 4 5 6 7
(单位:年)北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
失效费y
2.90 3.30 3.60 4.40 4.80 5.20 5.90
(单位:万元)
(1)由上表数据可知,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明;(精确到0.01)
(2)求出y关于x的线性回归方程,并估算该种机械设备使用10年的失效费.
n
∑(x -x)(y - y)
i i
i=1
参考公式:相关系数r= .
√ n n
∑(x -x)2∑(y - y)2
i i
i=1 i=1
n
∑(x -x)(y - y)
i i
线性回归方程 ^ = ^ x+ ^ 中斜率和截距最小二乘估计计算公式: ^ =i=1 , ^ =y- ^ .
y b a b a bx
n
∑(x -x)2
i
i=1
7 7
参考数据:∑(x-x)(y-y)=14.00,∑(y-y)2=7.08,√198.24≈14.10.
i i i
i=1 i=1
1+2+3+4+5+6+7
解析 (1)由题意,知x= =4,
7
2.90+3.30+3.60+4.40+4.80+5.20+5.90
y= =4.30,
7
7
∑(x-x)2=(1-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2+(7-4)2=28,
i
i=1
14.00 14.00 14.00
∴r= = ≈ ≈0.99.
√28×7.08 √198.24 14.10
因为y与x的相关系数近似为0.99,所以y与x的线性相关程度相当大,从而可以用线性回归模型拟合y与x
的关系.
7
∑(x -x)(y - y)
(2)∵ ^ =i=1 i i = 14 =0.5,
b
7 28
∑(x -x)2
i
i=1
∴^= -^ =4.3-0.5×4=2.3.
y
a bx
∴y关于x的线性回归方程为^=0.5x+2.3.
y
将x=10代入线性回归方程,得^=0.5×10+2.3=7.3.
y
∴估算该种机械设备使用10年的失效费为7.3万元.
8.(2022届广西柳州铁一中学“韬智杯”大联考,17)某班的50名学生进行不记名问卷调查,内容为本周使用
手机的时长,数据统计如下:北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
时长(小时) [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25]
女生人数 4 11 3 2 0
男生人数 3 17 6 3 1
(1)求这50名学生本周使用手机的平均时长(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)若时长为[0,10)被认定“不依赖手机”,时长为[10,25]被认定“依赖手机”,根据以上数据完成2×2列联表:
不依赖手机 依赖手机 总计
女生
男生
总计
能否在犯错概率不超过0.15的前提下,认为依赖手机与学生的性别有关系?
P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
0
n(ad-bc)2
参考公式:K2= ,n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
1
解析 (1)这50名学生本周使用手机的平均时长为
50
×[2.5×(4+3)+7.5×(11+17)+12.5×(3+6)+17.5×(2+3)+22.5×(0+1)]=9(小时).
(2)根据题意得列联表如下:
不依赖手机 依赖手机 总计
女生 15 5 20
男生 20 10 30
总计 35 15 50
50×(15×10-5×20)2
K2= ≈0.397<2.072,所以不能在犯错概率不超过0.15的前提下,认为依赖手机与
20×30×35×15
学生的性别有关系.
9.(2022届吉林桦甸四中10月月考,19)为了迎接期末考试,学生甲参加考前的5次模拟考试,下面是学生甲参
加5次模拟考试的数学成绩表:
x 1 2 3 4 5
y 90 100 105 105 100北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
(1)已知该考生的模拟考试成绩y与模拟考试的次数x满足回归直线方程 =^ +^,若把本次期末考试看作
y
bx a
第6次模拟考试,试估计该考生的期末数学成绩;
(2)把这5次模拟考试的数学成绩单放在5个相同的信封中,从中随机抽取3份成绩单进行研究,设抽取的考
试成绩不等于平均值y的个数为η,求η的分布列与数学期望.
n n
∑(x -x)(y - y) ∑x y -nx y
i i i i
参考公式: ^ =i=1 =i=1 ,y= ^ + ^ .
b bx a
n n
∑(x -x)2 ∑x2-nx2
i i
i=1 i=1
1+2+3+4+5
解析 (1)由题表中的数据,可得x= =3,
5
90+100+105+105+100 5 5
y= =100,∑xy=1×90+2×100+3×105+4×105+5×100=1 525,∑x2
5 i i i
i=1 i=1
5
∑x y -5x y
i i 1 525-5×3×100
=12+22+32+42+52=55,则 ^ =i=1 = =2.5,可得 ^ =y- ^ =100-2.5×3=92.5,故
b 5 55-5×32 a bx
∑x2-5x2
i
i=1
回归直线方程为^=2.5x+92.5,当x=6时,^=2.5×6+92.5=107.5,所以估计该考生的期末数学成绩为107.5分.
y y
(2)随机变量η的所有可能取值为1,2,3,
C2C1
3
C1C2
3
C3
1
则P(η=1)= 2 3= ,P(η=2)= 2 3= ,P(η=3)= 3= ,故随机变量η的分布列为:
C3 10 C3 5 C3 10
5 5 5
η 1 2 3
3 3 1
P
10 5 10
3 3 1 9
E(η)=1× +2× +3× = .
10 5 10 5
10.(2022届昆明质检,17)“微信运动”是手机APP推出的多款健康运动软件中的一款,某学校140名教师均
在微信好友群中参与了“微信运动”,对运动10 000步或以上的教师授予“运动达人”称号,低于10 000
步称为“参与者”.为了解教师们的运动情况,选取了教师们在某日的运动数据进行分析,统计结果如下:
运动达人 参与者 合计
男教师 60 20 80
女教师 40 20 60北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
合计 100 40 140
(1)根据上表说明,能否在犯错误概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关;
(2)从获得“运动达人”称号的教师中采用按性别分层抽样的方法选取5人参加全国第四届“万步有约”全
国健走激励大赛某赛区的活动,若从选取的5人中随机抽取2人作为代表参加开幕式,求抽取的2人都为女
教师的概率.
n(ad-bc)2
参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
参考数据:
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
0
k 3.841 6.635 10.828
0
140×(60×20-40×20)2
解析 (1)∵K2= ≈1.167<3.841,
80×60×100×40
∴不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关.
60 40
(2)根据分层抽样方法得:参赛的男教师有 ×5=3人,参赛的女教师有 ×5=2人,抽取的男教师记为
100 100
A,B,C;女教师记为a,b.从抽取的这五名教师中随机选取2名,有AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab共10种选
1
法,其中2人都是女教师的选法有ab一种,故抽取的2人都为女教师的概率P= .
10
11.(2022届吉林重点高中月考,19)新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外所有的其他能源汽车,被认为能
减少空气污染和缓解能源短缺.在当今提倡全球环保的前提下,新能源汽车产业必将成为未来汽车产业发展
的导向与目标.新能源汽车也越来越受到消费者的青睐.某机构调查了某地区近期购车的200位车主的性别
与购车种类情况,得到数据如下:
购置传统
购置新能源汽车 合计
燃油汽车
男性 100 20 120
女性 50 30 80
合计 150 50 200
(1)根据表中数据,判断是否有99.9%的把握认为购置新能源汽车与性别有关;
(2)用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出6位,参加关于“新能源汽车驾驶体
验”的问卷调查,并从这6位车主中随机抽取2位车主赠送一份小礼物,求这2位获赠礼品的车主中至少有1
位女性车主的概率.
n(ad-bc)2
参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
