北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§9.4 双曲线
基础篇
【基础集训】
考点一 双曲线的定义及标准方程
x2 y2
1.若m为实数,则“1<m<2”是“曲线C: + =1表示双曲线”的( )
m m-2
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
2.已知双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O
a2 b2
为原点),则双曲线的方程为( )
x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1 C. -y2=1 D.x2- =1
4 12 12 4 3 3
答案 D
x2 y2 x2 y2
3.若实数k满足0<k<5,则曲线 - =1与曲线 - =1的( )
16 5-k 16-k 5
A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
答案 D
x2 y2
4.已知F为双曲线C: - =1的左焦点,P,Q为双曲线C同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点
4 9
A(√13,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为 .
答案 32
5.已知A,B两地相距800 m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s,且声速为340 m/s,求炮弹爆炸点的轨迹
方程.
考点二 双曲线的几何性质
6.双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为 ,则C的焦距等于 ( )
√3
a2 b2
A.2 B.2√2 C.4 D.4√2
答案 C
7.已知点P为双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)右支上一点,F,F 分别为C的左,右焦点,直线PF 与C的一条渐近
1 2 1
a2 b2
线垂直,垂足为H,若|PF|=4|HF|,则该双曲线的离心率为 ( )
1 1北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
√15 √21 5 7
A. B. C. D.
3 3 3 3
答案 C
8.(多选题)已知双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F(-5,0),F(5,0),则能使双曲线C的方程为
1 2
a2 b2
x2 y2
- =1的是( )
16 9
A.离心率为5 B.双曲线过点( 9)
5,
4 4
C.渐近线方程为3x±4y=0 D.实轴长为4
答案 ABC
9.已知F为双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的
a2 b2
斜率为3,则C的离心率为 .
答案 2
[教师专用题组]
【基础集训】
考点一 双曲线的定义及标准方程
1.(2018广东肇庆二模,4)已知双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的一个焦点坐标为(4,0),且双曲线的两条渐近线互
a2 b2
相垂直,则该双曲线的方程为 ( )
x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1
8 8 16 16
y2 x2 x2 y2 y2 x2
C. - =1 D. - =1或 - =1
8 8 8 8 8 8
答案 A
由双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的一个焦点坐标为(4,0),可得c=4,即有a2+b2=c2=16,
a2 b2
由双曲线的两条渐近线互相垂直,
b b
即直线y= x和直线y=- x垂直,
a a
可得a=b,则a=b=2√2,
x2 y2
则该双曲线的方程为 - =1.故选A.
8 8
x2 y2
2.(2019北京延庆一模,2)“0<k<1”是“方程 - =1表示双曲线”的 ( )
k-1 k+2
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
x2 y2
答案 D - =1表示双曲线⇔(k-1)·(k+2)>0⇔k<-2或k>1,
k-1 k+2
x2 y2
所以“0<k<1”是“方程 - =1表示双曲线”的既不充分也不必要条件,故选D.
k-1 k+2
3.已知平面内两定点F(-2,0),F(2,0),下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是 ( )
1 2
A.|PF|-|PF|=±3 B.|PF|-|PF|=±4
1 2 1 2
C.|PF
1
|-|PF
2
|=±5 D.
|PF |2
-
|PF |2
=±4
1 2
答案 A 当|PF|-|PF|=±3时,||PF|-|PF||=3<|FF|=4,满足双曲线的定义,所以动点P的轨迹是双曲线.故选A.
1 2 1 2 1 2
x2
4.(2018北京延庆一模,9)设双曲线 -y2=1的焦点为F,F,P为双曲线上的一点,若|PF|=3,则|PF|= .
1 2 1 2
4
答案 7
解析 由双曲线的定义可得||PF|-|PF||=4,所以|PF|-|PF|=±4,所以|PF|=7(负值舍去).
2 1 2 1 2
5.(2020河南焦作期初定位考试,15)已知双曲线x2-y2
=1(b>0)的左、右焦点分别为F、F,P为右支上一点
1 2
4 b2
且直线PF 与x轴垂直,若|PF|=2|PF|,则△PFF 的面积为 .
2 1 2 1 2
答案 8√3
解析 由双曲线x2 -y2 =1知a2=4,即a=2,由双曲线定义知|PF
1
|-|PF
2
|=2a=4①,又|PF
1
|=2|PF
2
|②,由①②得|PF
1
|
4 b2
1 1
=8,|PF|=4,又PF⊥FF,∴|FF|2=|PF|2-|PF|2=64-16=48,∴|FF|=4√3,∴S = ×|FF|×|PF|= ×4√3
2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 △PF 1 F 2 2 1 2 2 2
×4=8√3.
考点二 双曲线的几何性质
x2 y2 x2 y2
1.(2019福建莆田一中9月月考,11)已知椭圆C: + =1(a>b>0)与双曲线C: - =1(a>0,b>0)有相同
1 1 1 2 2 2
a2 b2 a2 b2
1 1 2 2
的焦点F,F,点P是两条曲线的一个公共点,且PF⊥PF,e,e 分别是两曲线C,C 的离心率,则9 + 的最小
1 2 1 2 1 2 1 2 e2 e2
1 2
值是( )
A.4 B.6 C.8 D.16
答案 C 由题意设焦距为2c.椭圆长轴长为2a,双曲线实轴长为2a,取椭圆与双曲线在第一象限的交点为
1 2
P,由椭圆和双曲线定义分别有|PF
1
|+|PF
2
|=2a
1
,①
|PF
1
|-|PF
2
|=2a
2
,②
∵PF
1
⊥PF
2
,∴|PF
1
|2+|PF
2
|2=4c2,③
①2+②2,得|PF
1
|2+|PF
2
|2=2
a2
+2
a2
,④
1 2
将④代入③得 a2 + a2 =2c2,
1 2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
9c2 c2 9a2 a2
则9 e2+ e2= + =5+ 2+ 1 ≥8(当且仅当 a2=3 a2时取“=”),故9 e2+ e2的最小值为8.
1 2 a2 a2 2a2 2a2 1 2 1 2
1 2 1 2
思路分析 由题意设焦距为2c.椭圆长轴长为2a,双曲线实轴长为2a,设椭圆与双曲线在第一象限的交点为
1 2
P,由已知条件结合椭圆与双曲线的定义推出 + =2c2,从而得出9 + 的最小值.
a2 a2 e2 e2
1 2 1 2
2.(2018天津九校联考,5)设双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F、F,以F 为圆心,|FF|为半径
1 2 1 1 2
a2 b2
的圆与双曲线在第一、二象限内分别交于A、B两点,若|FB|=3|FA|,则该双曲线的离心率为 ( )
1 2
5 4 3
A. B. C. D.2
4 3 2
答案 C 根据已知可得,|FB|=|FA|=3|FA|,
1 1 2
又∵|FA|-|FA|=2a,
1 2
∴2|FA|=2a,即|FA|=a,|FA|=3a,
2 2 1
又∵|FA|=|FF|=2c,∴2c=3a,
1 1 2
c 3
∴e= = .
a 2
3.(2020北京清华大学中学生标准学术能力11月测试,10)已知F、F
分别为双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、
1 2
a2 b2
右焦点,若在双曲线右支上存在点P,使得点F 到直线PF 的距离为a,则该双曲线的离心率的取值范围是(
2 1
)
A.( √5) B.(√5 ) C.(1, ) D.( ,+∞)
1, ,+∞ √5 √5
2 2
答案 B 本题考查双曲线的离心率、点到直线的距离,通过双曲线的几何性质考查学生运用化归与转化、
数形结合的思想方法解决问题的能力,渗透数学运算与直观想象的核心素养.
不妨设点P在第一象限,过点F 2 作F 2 A⊥PF 1 ,则|AF 1 |= √|F F |2-|F A|2 = √4c2-a2 ,∴直线PF 1 的斜
1 2 2
率 =tan∠AFF= a ,双曲线的一条渐近线的斜率为b,则有 a <b,即4c2-5a2>0,从而e2=
k 1 2
PF 1 √4c2-a2 a √4c2-a2 a
c2 >5,因此离心率e>√5,因而离心率e的取值范围是(√5 ).
,+∞
a2 4 2 2
综合篇
【综合集训】
考法一 求双曲线方程的方法
x2 y2
1.(2020山东济南6月模拟,6)已知双曲线C的方程为 - =1,则下列说法错误的是 ( )
16 9北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
A.双曲线C的实轴长为8
3
B.双曲线C的渐近线方程为y=± x
4
C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为3
9
D.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为
4
答案 D
2.(2020山东青岛二模,7)已知曲线C的方程为 x2 - y2 =1(k∈R),则下列结论正确的是 ( )
k2-2 6-k
A.当k=8时,曲线C为椭圆,其焦距为4+√15
B.当k=2时,曲线C为双曲线,其离心率为√3
C.存在实数k,使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线
D.当k=3时,曲线C为双曲线,其渐近线与圆(x-4)2+y2=9相切
答案 B
3.(2020河北正定中学第三次阶段质量检测,9)已知双曲线x2-y2
=1(b>0)的左、右焦点分别为F、F,过点F
1 2 2
4 b2
的直线交双曲线右支于A、B两点,若△ABF 是等腰三角形,且∠A=120°,则△ABF 的周长为 ( )
1 1
16√3
A. +8 B.4(√2-1)
3
4√3
C. +8 D.2(√3-2)
3
答案 A
x2 y2
4.(2020山东德州6月二模,13)已知双曲线C过点(2√3,-1),且与双曲线 - =1有相同的渐近线,则双曲线
12 6
C的标准方程为 .
x2 y2
答案 - =1
10 5
考法二 求双曲线的离心率(或取值范围)的方法
5.(2020湖南长沙明德中学月考,10)已知双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F,过原点的直
1 2
a2 b2
线与双曲线C交于A,B两点,若∠AFB=60°,△ABF 的面积为√3a2,则双曲线的离心率为 ( )
2 2
√5 2√3
A. B. C.2 D.√5
2 3
答案 C
6.(2020湖北襄阳四中3月月考,12)已知离心率为2的双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F(-
1
a2 b2
√3
c,0),F(c,0),直线y= (x+c)与双曲线C在第一象限的交点为P,∠PFF 的平分线与PF 交于点Q,若|PF|=λ|
2 1 2 2 2
3
PQ|,则λ的值是 ( )北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
4√3-4 4√3-1 2√3 3+2√3
A. B. C. D.
3 3 3 3
答案 B
7.(多选题)(2020山东滨州二模,10)设F,F
分别为双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若在双曲线右支
1 2
a2 b2
上存在点P,满足|PF|=|FF|,且F 到直线PF 的距离等于双曲线的实轴长,则下列关于该双曲线的结论正确的
2 1 2 2 1
是 ( )
A.渐近线方程为4x±3y=0 B.渐近线方程为3x±4y=0
5 5
C.离心率为 D.离心率为
3 4
答案 AC
8.(2019福建福州3月联考,10)如图,双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F,过F 作直线与C
1 2 2
a2 b2
的渐近线交于P点,若等腰△PFF 的底边PF 的长等于C的半焦距,则C的离心率为 ( )
1 2 2
2√3 2 2√6 3
A. B. C. D.
3 3 3 2
答案 C
9.(2020山东济南二模,16)已知F,F
分别是双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过点F 向一条渐近线作
1 2 1
a2 b2
垂线,交双曲线右支于点P,直线FP与y轴交于点Q(P,Q在x轴同侧),连接QF,若△PQF 的内切圆圆心恰好
2 1 1
落在以FF 为直径的圆上,则∠FPF 的大小为 ,双曲线的离心率为 .
1 2 1 2
答案 90°;√5
[教师专用题组]
【综合集训】
考法一 求双曲线方程的方法
y2 x2
1.(2019贵州黔东南州一模,9)双曲线M与双曲线N: - =1有共同的渐近线,且M经过抛物线y=-x2-4x的
4 2
顶点,则M的方程为 ( )
y2 x2 y2 x2
A. - =1 B. - =1
16 8 8 4
x2 y2 x2 y2
C. - =1 D. - =1
6 12 14 28北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
y2 x2
答案 B 依题意可设M的方程为 - =λ(λ≠0),抛物线y=-x2-4x=-(x+2)2+4的顶点为(-2,4),将(-2,4)代入M
4 2
y2 x2
的方程,得λ=2,则M的方程为 - =1.
8 4
2.(2018黑龙江仿真模拟(三),8)已知双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y= x,一个焦点坐标
√3
a2 b2
为(2,0),则双曲线C的方程为 ( )
x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1
2 6 6 2
y2 x2
C.x2- =1 D. -y2=1
3 3
答案 C 双曲线x2 -y2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y= x,可得b= ,
√3 √3
a2 b2 a
它的一个焦点坐标为(2,0),可得c=2,
即a2+b2=4,
∴a=1,b=√3,
y2
所求双曲线方程为x2- =1.
3
故选C.
3.(2019宁夏石嘴山三中一模,10)已知F,F
分别为双曲线E:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左,右焦点.过右焦点F 的直
1 2 2
a2 b2
线l:x+y=c在第一象限内与双曲线E的渐近线交于点P,与y轴正半轴交于点Q,且点P为QF 的中点,△QFF
2 1 2
的面积为4,则双曲线E的方程为( )
x2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. -y2=1 B. - =1 C. - =1 D. - =1
2 2 2 4 4 4 3
答案 B 双曲线E:x2 -y2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=bx,
a2 b2 a
代入直线x+y=c,可得P( ac
,
bc ),且Q(0,c),F
2
(c,0),
a+b a+b
2ac 2bc
由点P为QF 的中点,可得c= = ,可得a=b,
2 a+b a+b
△QFF 的面积为4,
1 2
1
即 ·2c·c=4,
2
解得c=2,故a=b=√2,
x2 y2
则双曲线的方程为 - =1.
2 2
故选B.
