北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
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第六章 数列
§6.1 等差数列
— 五年高考 —
考点1 等差数列及其前n项和
1.(2019课标Ⅰ理,9,5分)记S 为等差数列{a}的前n项和.已知S=0,a=5,则 ( )
n n 4 5
A.a=2n-5 B.a=3n-10
n n
1
C.S=2n2-8n D.S= n2-2n
n n
2
答案 A
2.(2020江苏,11,5分)设{a}是公差为d的等差数列,{b}是公比为q的等比数列.已知数列{a+b}
n n n n
的前n项和S=n2-n+2n-1(n∈N*),则d+q的值是 .
n
答案 4
3.(2020课标Ⅱ文,14,5分)记S 为等差数列{a}的前n项和.若a=-2,a+a=2,则S = .
n n 1 2 6 10
答案 25
4.(2020新高考Ⅰ,14,5分)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{a},则{a}的前
n n
n项和为 .
答案 3n2-2n
5.(2019北京理,10,5分)设等差数列{a}的前n项和为S.若a=-3,S=-10,则a= ,S 的最
n n 2 5 5 n
小值为 .
答案 0;-10
6.(2019课标Ⅲ文,14,5分)记S 为等差数列{a}的前n项和.若a=5,a=13,则S = .
n n 3 7 10
答案 100
7.(2019课标Ⅲ理,14,5分)记S 为等差数列{a}的前n项和,若a≠0,a=3a,则 S = .
n n 1 2 1 10
S
5
答案 4
8.(2021新高考Ⅱ,17)记S 为公差不为零的等差数列{a}的前n项和,若a=S,a·a=S.
n n 3 5 2 4 4
(1)求{a}的通项公式;
n
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(2)求使得S>a 成立的n的最小值.
n n
解析 (1)a=S⇒a+2d=5a+10d⇒4a+8d=0⇒a+2d=0⇒a=-2d,①
3 5 1 1 1 1 1
a·a=S⇒(a+d)(a+3d)=4a+6d,②
2 4 4 1 1 1
将①代入②得-d2=-2d⇒d=0(舍)或d=2,
∴a=-2d=-4,∴a=-4+(n-1)×2=2n-6.
1 n
(2)由(1)知a=2n-6,
n
n(n-1)
S=na+ d=-4n+n(n-1)=n2-5n.
n 1
2
S>a⇔n2-5n>2n-6⇔n2-7n+6>0⇔(n-1)(n-6)>0,
n n
解得n<1(舍)或n>6,∴n的最小值为7.
9.(2019课标Ⅰ文,18,12分)记S 为等差数列{a}的前n项和.已知S=-a.
n n 9 5
(1)若a=4,求{a}的通项公式;
3 n
(2)若a>0,求使得S≥a 的n的取值范围.
1 n n
解析 (1)设{a}的公差为d.由S=-a 得a+4d=0.
n 9 5 1
由a=4得a+2d=4.于是a=8,d=-2.
3 1 1
因此{a}的通项公式为a=10-2n.
n n
n(n-9)d
(2)由(1)得a=-4d,故a=(n-5)d,S= .
1 n n
2
由a>0知d<0,故S≥a 等价于n2-11n+10≤0,
1 n n
解得1≤n≤10.
所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N*}.
思路分析 (1)根据题意列出两个关于a 和d的方程,然后解得a 与d,从而得{a}的通项公式.
1 1 n
(2)根据(1)中a 与d的关系,利用等差数列的前n项和公式及通项公式,得出关于n的不等式,
1
从而得出n的取值范围.
10.(2019课标Ⅱ文,18,12分)已知{a}是各项均为正数的等比数列,a=2,a=2a+16.
n 1 3 2
(1)求{a}的通项公式;
n
(2)设b=log a,求数列{b}的前n项和.
n 2 n n
解析 (1)设{a}的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0.解得q=-2(舍去)或q=4.
n
因此{a}的通项公式为a=2×4n-1=22n-1.
n n
(2)由(1)得b=(2n-1)log 2=2n-1,因此数列{b}的前n项和为1+3+…+2n-1=n2.
n 2 n
以下为教师用书专用(1—9)
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1.(2015课标Ⅱ文,5,5分)设S 是等差数列{a}的前n项和.若a+a+a=3,则S= ( )
n n 1 3 5 5
A.5 B.7 C.9 D.11
答案 A ∵{a}为等差数列,∴a+a=2a,
n 1 5 3
得3a=3,则a=1,
3 3
5(a +a )
∴S= 1 5 =5a=5,故选A.
5 3
2
2.(2015课标Ⅰ文,7,5分)已知{a}是公差为1的等差数列,S 为{a}的前n项和.若S=4S,则a =
n n n 8 4 10
( )
17 19
A. B. C.10 D.12
2 2
答案 B 由S
8
=4S
4
得8a
1
+8×7×1=4×(
4a +
4×3
×1
),解得a
1
=1,∴a
10
=a
1
+9d=19,故选B.
2 1 2 2 2
评析 本题主要考查等差数列的前n项和,计算准确是解题关键,属容易题.
3.(2015浙江理,3,5分)已知{a}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S.若a,a,a 成等比数列,
n n 3 4 8
则 ( )
A.ad>0,dS>0 B.ad<0,dS<0
1 4 1 4
C.ad>0,dS<0 D.ad<0,dS>0
1 4 1 4
5
答案 B 由a2=aa,得(a+2d)(a+7d)=(a+3d)2,整理得d(5d+3a)=0,又d≠0,∴a=- d,则ad=-
4 3 8 1 1 1 1 1 3 1
5 2 2
d2<0,又∵S=4a+6d=- d,∴dS=- d2<0,故选B.
4 1 4
3 3 3
4.(2013课标Ⅰ理,7,5分)设等差数列{a}的前n项和为S,若S =-2,S =0,S =3,则m= ( )
n n m-1 m m+1
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 C 解法一:∵S =-2,S =0,S =3,∴a =S -S =2,a =S -S =3,∴公差d=a -a =1,由
m-1 m m+1 m m m-1 m+1 m+1 m m+1 m
n(n-1) n(n-1)
S=na+ d=na+ ,
n 1 1
2 2
m(m-1)
{ma + =0, ①
得 1 2
(m-1)(m-2)
(m-1)a + =-2. ②
1 2
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1-m
由①得a= ,代入②可得m=5.
1
2
解法二:∵数列{a}为等差数列,且前n项和为S,
n n
∴数列{S }也为等差数列.
n
n
S S 2S -2 3
∴ m-1+ m+1= m,即 + =0,解得m=5.经检验为原方程的解.故选C.
m-1 m+1 m m-1 m+1
5.(2016课标Ⅰ,3,5分)已知等差数列{a}前9项的和为27,a =8,则a = ( )
n 10 100
A.100 B.99 C.98 D.97
答案 C 设{a}的公差为d,由等差数列前n项和公式及通项公式,得
n
{ 9×8
S
9
=9a
1
+
2
d=27, 解得{a
1
=-1, a
n
=a
1
+(n-1)d=n-2,∴a
100
=100-2=98.故选C.
d=1,
a =a +9d=8,
10 1
思路分析 用a,d表示S,a ,列方程组求出a,d,从而可求得a .
1 9 10 1 100
6.(2014天津理,11,5分)设{a}是首项为a,公差为-1的等差数列,S 为其前n项和.若S,S,S 成
n 1 n 1 2 4
等比数列,则a 的值为 .
1
1
答案 -
2
1
解析 S=a,S=2a-1,S=4a-6.故(2a-1)2=a×(4a-6),解得a=- .
1 1 2 1 4 1 1 1 1 1
2
7.(2013课标Ⅱ理,16,5分)等差数列{a}的前n项和为S.已知S =0,S =25,则nS 的最小值为
n n 10 15 n
.
答案 -49
解析 由S n =na 1 +n(n-1) d得{ 10a 1 +45d=0,
2 15a +105d=25,
1
2
解得a=-3,d= ,
1
3
n(n-1) 2 1
则S=-3n+ · = (n2-10n),
n
2 3 3
1
所以nS= (n3-10n2),
n
3
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1
令f(x)= (x3-10x2),
3
则 f '(x)=x2-20x=x( 20),当x∈( 20)时, f(x)递减,
x- 1,
3 3 3
当x∈(20 )时, f(x)递增,又6<20<7, f(6)=-48,
,+∞
3 3
f(7)=-49,所以nS 的最小值为-49.
n
评析 本题考查了数列与函数的应用,考查了数列的基本运算,利用导数求最值.本题易忽略n
的取值范围.
8.(2013课标Ⅱ文,17,12分)已知等差数列{a}的公差不为零,a=25,且a,a ,a 成等比数列.
n 1 1 11 13
(1)求{a}的通项公式;
n
(2)求a+a+a+…+a .
1 4 7 3n-2
解析 (1)设{a}的公差为d.由题意,得 =aa ,
n a2 1 13
11
即(a+10d)2=a(a+12d).
1 1 1
于是d(2a+25d)=0.
1
又a=25,所以d=0(舍去)或d=-2.
1
故a=-2n+27.
n
(2)令S=a+a+a+…+a .
n 1 4 7 3n-2
由(1)知a =-6n+31,故{a }是首项为25,公差为-6的等差数列.从而
3n-2 3n-2
n
S= (a+a )
n 1 3n-2
2
n
= (-6n+56)
2
=-3n2+28n.
9.(2012湖北,理18,文20,12分)已知等差数列{a}前三项的和为-3,前三项的积为8.
n
(1)求等差数列{a}的通项公式;
n
(2)若a,a,a 成等比数列,求数列{|a|}的前n项和.
2 3 1 n
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解析 (1)设等差数列{a}的公差为d,则a=a+d,a=a+2d,由题意得
n 2 1 3 1
{ 3a +3d=-3,
1
a (a +d)(a +2d)=8,
1 1 1
解得{a =2, 或{a =-4,
1 1
d=-3 d=3.
所以由等差数列通项公式可得a=2-3(n-1)=-3n+5或a=-4+3(n-1)=3n-7.
n n
故a=-3n+5或a=3n-7.
n n
(2)当a=-3n+5时,a,a,a 分别为-1,-4,2,不成等比数列;
n 2 3 1
当a=3n-7时,a,a,a 分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.
n 2 3 1
{-3n+7, n=1,2,
故|a|=|3n-7|=
n 3n-7, n≥3.
记数列{|a|}的前n项和为S.
n n
当n=1时,S=|a|=4;当n=2时,S=|a|+|a|=5;
1 1 2 1 2
当n≥3时,S=S+|a|+|a|+…+|a|=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)
n 2 3 4 n
(n-2)[2+(3n-7)] 3 11
=5+ = n2- n+10.
2 2 2
当n=2时,满足此式,
{4, n=1,
综上,S=
n 3 11
n2- n+10, n>1.
2 2
评析 本题考查等差、等比数列的基础知识,考查运算求解能力.
考点2 等差数列的性质及应用
1.(2020课标Ⅱ理,4,5分)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心
有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加
9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相
同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石) ( )
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A.3 699块 B.3 474块
C.3 402块 D.3 339块
答案 C
a
2.(2020浙江,7,4分)已知等差数列{a}的前n项和为S,公差d≠0,且 1≤1.记b=S,b =S -
n n 1 2 n+1 2n+2
d
S ,n∈N*,下列等式不可能成立的是 ( )
2n
A.2a=a+a B.2b=b+b
4 2 6 4 2 6
C. =aa D. =bb
a2 2 8 b2 2 8
4 4
答案 D
3.(2020北京,8,4分)在等差数列{a}中,a=-9,a=-1.记T=aa…a(n=1,2,…),则数列{T} ( )
n 1 5 n 1 2 n n
A.有最大项,有最小项 B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项 D.无最大项,无最小项
答案 B
4.(2017浙江,6,4分)已知等差数列{a}的公差为d,前n项和为S,则“d>0”是“S+S>2S”的
n n 4 6 5
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C
5.(2019江苏,8,5分)已知数列{a}(n∈N*)是等差数列,S 是其前n项和.若aa+a=0,S=27,则S
n n 2 5 8 9 8
的值是 .
答案 16
6.(2021新高考Ⅰ,17,10分)已知数列{a n }满足a 1 =1,a n+1
={a
n
+1,n为奇数,
a +2,n为偶数.
n
(1)记b=a ,写出b,b,并求数列{b}的通项公式;
n 2n 1 2 n
(2)求{a}的前20项和.
n
解题指导 (1)由已知条件求出{a}的递推式,从而得出{b}的递推式,再由已知条件求出b,从而
n n 1
求出数列{b}的通项公式.(2)根据题目条件把{a}的前20项分成两组,并用其中偶数项的和表
n n
示前20项的和,再用数列{b}的前10项的和表示,根据等差数列前n项和公式求出结果.
n
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7.(2021全国甲理,18,12分)已知数列{a}的各项均为正数,记S 为{a}的前n项和,从下面①②③
n n n
中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①数列{a}是等差数列;②数列{ }是等差数列;③a=3a.
n √S 2 1
n
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
解题指导 先选两个作为条件,余下一个作为结论,然后进行证明.如果是证明③,利用等差中
项法,即只需2 = + ,通过化简即可得证;如果是证明①或②,可先求数列的通项公式,
√S √S √S
2 1 3
再利用等差数列的定义证明即可.
解析 选①②作为条件,证明③.
证明:设等差数列{a}的公差为d,因为{ }是等差数列,所以2 = + ,即2 =
n √S √S √S √S √2a +d
n 2 1 3 1
+ ,两边平方,得4(2a+d)=a+3a+3d+2 ,整理得4a+d=2
√a √3a +3d 1 1 1 √a (3a +3d) 1
1 1 1 1
,两边平方,得16 +8ad+d2=4(3 +3ad),化简得4 -4ad+d2=0,即
√a (3a +3d) a2 1 a2 1 a2 1 (2a -d)2
1 1 1 1 1 1
=0,所以d=2a,则a=a+d=3a.
1 2 1 1
选①③作为条件,证明②.
证明:设等差数列{a}的公差为d.
n
因为a=3a,即a+d=3a,所以d=2a.
2 1 1 1 1
n(n-1) n(n-1)
所以等差数列{a}的前n项和S=na+ d=na+ ·2a=n2a.又a>0,所以√S =n
n n 1 2 1 2 1 1 1 n
.
√a
1
则 - =(n+1) -n = ,所以数列{ }是公差为 的等差数列.
√S √S √a √a √a √S √a
n+1 n 1 1 1 n 1
选②③作为条件,证明①.
证明:设等差数列{ }的公差为d,因为 = , = = =2 ,所以d= -
√S √S √a √S √a +a √a +3a √a √S
n 1 1 2 1 2 1 1 1 2
=2 - = ,则等差数列{ }的通项公式为 = +(n-1) =n ,所以S=n2a,
√S √a √a √a √S √S √a √a √a n 1
1 1 1 1 n n 1 1 1
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当n≥2时,a=S-S =n2a-(n-1)2a=(2n-1)a,且当n=1时,上式也成立,所以数列{a}的通项公式为
n n n-1 1 1 1 n
a=(2n-1)a,则a -a=(2n+1)a-(2n-1)a=2a,所以数列{a}是公差为2a 的等差数列.
n 1 n+1 n 1 1 1 n 1
方法总结 证明数列{a}是等差数列的方法:
n
(1)定义法:证明a-a =d(n≥2,n∈N*),或a -a=d(n∈N*);
n n-1 n+1 n
(2)等差中项法:证明2a=a +a (n≥2,n∈N*).
n n-1 n+1
以下为教师用书专用(1—3)
1.(2015广东理,10,5分)在等差数列{a}中,若a+a+a+a+a=25,则a+a= .
n 3 4 5 6 7 2 8
答案 10
解析 利用等差数列的性质可得a+a=a+a=2a,从而a+a+a+a+a=5a=25,故a=5,所以
3 7 4 6 5 3 4 5 6 7 5 5
a+a=2a=10.
2 8 5
2.(2015陕西文,13,5分)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的
首项为 .
答案 5
解析 设该数列的首项为a,根据等差数列的性质可得a+2 015=2×1 010,从而a=5.
1 1 1
3.(2014北京理,12,5分)若等差数列{a}满足a+a+a>0,a+a <0,则当n= 时,{a}的前n
n 7 8 9 7 10 n
项和最大.
答案 8
解析 根据题意知a+a+a=3a>0,即a>0.
7 8 9 8 8
又a+a=a+a <0,∴a<0,∴当n=8时,{a}的前n项和最大.
8 9 7 10 9 n
— 三年模拟 —
A组 考点基础题组
考点1 等差数列及其前n项和
1.(2020福建质量检测)等差数列{a}的前n项和为S,若a=4,S =104,则a = ( )
n n 4 13 10
A.10 B.12
C.16 D.20
答案 B
2.(2021湖南永州二模,6)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,
每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度),二十
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四节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长减少或增加的量相同,周而复始.已知每年冬
至的晷长为一丈三尺五寸,夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则下列说法
不正确的是 ( )
A.小寒比大寒的晷长长一尺
B.春分和秋分两个节气的晷长相同
C.小雪的晷长为一丈五寸
D.立春的晷长比立秋的晷长长
答案 C
考点2 等差数列的性质及应用
1.(2020广东揭阳摸底,4)已知等差数列{a}的前n项和S 满足S=5,S=20,则a 等于 ( )
n n 4 9 7
A.-3 B.-5 C.3 D.5
答案 C
2.(2021湖南岳阳一模,4)“中国剩余定理”又称“孙子定理”,讲的是一个关于整除的问题.
现有这样一个整除问题:将1到2 021这2 021个数中,能被3整除余2且被5整除余2的数
按从小到大的顺序排成一列,构成数列{a},则此数列所有项中,中间项的值为 ( )
n
A.992 B.1 022 C.1 007 D.1 037
答案 C
3.(2021广东韶关一模,14)设S 为等差数列{a}的前n项和,a+a=1,则S = ,若a<0,则
n n 6 7 12 7
使得不等式S<0成立的最小整数n= .
n
答案 6;13
4.(2020江苏仿真模拟,6)已知等差数列{a}满足a=2,a =11,则 - = .
n 5 11 a2 a2
8 2
答案 36
B组 综合应用题组
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时间 : 55 分钟 分值 : 70 分
一、单项选择题(每小题5分,共15分)
1.(2020湘赣皖十五校第一次联考)记S 为数列{a}的前n项和,数列{a}对任意的p,q∈N*满足
n n n
a =a+a+13.若a=-7,则当S 取最小值时,n等于 ( )
p+q p q 3 n
A.6 B.7 C.8 D.9
答案 A
1
2.(2021山东聊城二模,8)已知数列{a},a= ,其中f(n)为最接近√n的整数,若{a}的前m项
n n f (n) n
和为20,则m=( )
A.15 B.30 C.60 D.110
答案 D
3.(2021重庆二模,4)已知公差不为0的等差数列{a}中,a+a=a,a= ,则a =( )
n 2 4 6 9 a2 10
6
5
A. B.5 C.10 D.40
2
答案 A
二、多项选择题(每小题5分,共15分)
1
4.(2020百师联盟练习题五,6)对于数列{a },令b=a- ,下列说法正确的是 ( )
n n n a
n
A.若数列{a}是单调递增数列,则数列{b}也是单调递增数列
n n
B.若数列{a}是单调递减数列,则数列{b}也是单调递减数列
n n
C.若a=3n-1,则数列{b}有最小值
n n
D.若a
n
=1-(
-
1) n ,则数列{b
n
}有最大值
2
答案 CD
5.(2021湖南衡阳联考(一),10)设数列{a}的前n项和为S,若 S 为常数,则称数列{a}为“吉祥
n n 2n n
S
4n
数列”,则下列数列{b}为“吉祥数列”的是 ( )
n
A.b=n B.b=(-1)n(n+1)
n n
C.b=4n-2 D.b=2n
n n
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答案 BC
6.(2021江苏南通海门一中期末,11)在悠久灿烂的中国古代文化中,数学文化是其中一朵绚丽
的奇葩.《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一,大约创作于公
元5世纪.书中有如下问题:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈,问日益几
何?”.其大意为:“有一女子擅长织布,织布的速度一天比一天快,从第二天起,每天比前一天多
织相同数量的布,第一天织5尺,一个月共织了九匹三丈,问从第二天起,每天比前一天多织多
少尺布?”.已知1匹=4丈,1丈=10尺,若这一个月有30天,记该女子这一个月中的第n天所织
布的尺数为a
n
,b
n
=2a n,对于数列{a
n
}、{b
n
},下列选项中正确的为( )
A.b =8b B.{b}是等比数列
10 5 n
C.a
1
b
30
=105 D. a
3
+a
5
+a
7
=209
a +a +a 193
2 4 6
答案 BD
三、填空题(共5分)
7.(2021河北衡水中学全国高三第二次联考,15)已知等差数列{a}满足a=3,a 是a 与a 的等比
n 2 3 1 9
n
中项,则∑a 的值为 .
2i
i=1
3
答案 3n或 n(n+1)
2
四、解答题(共35分)
8.(2020湖南衡阳一模)已知{a}为等差数列,前n项和为S,a=9,S=135.
n n 3 9
(1)求数列{a}的通项公式;
n
(2)记数列{ 1 }的前n项和为T,证明:1≤T<1.
n n
a 6 3
2n
解析 (1)设公差为d,
由题意得{ a
1
+2d=9, 解得{a
1
=3,
9a +36d=135, d=3,
1
∴a=3n.
n
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(2)证明:令c
n
= 1 ,则c
n
=1(1) n ,
a 3 2
2n
1 1
则0<c≤c= ,∴T≥T= ,
n 1 n 1
6 6
1[ (1) n]
1-
又T=1×2 2 =1[ (1) n]<1,
n 1-
3 1 3 2 3
1-
2
1 1
∴ ≤T< .
n
6 3
9.(2020福建漳州第二次适应性测试,17)已知数列{a}的前n项和为S,a>0,2S= +a,n∈N*.
n n n n a2 n
n
(1)求a;
n
1
(2)若b= ,数列{b}的前n项和为T,求T.
n S n n n
n
解析 (1)由2S= +a 得,2a= +a,
1 a2 1 1 a2 1
1 1
解得a=0(舍去)或a=1,∴a=1.
1 1 1
∵2S= +a,n∈N*,
n a2 n
n
∴2S = +a ,n≥2,
n-1 a2 n-1
n-1
两式相减得,2(S-S )= - +a-a ,n≥2,
n n-1 a2 a2 n n-1
n n-1
∴2a= - +a-a ,n≥2, - -(a+a )=0,n≥2,
n a2 a2 n n-1 a2 a2 n n-1
n n-1 n n-1
(a+a )(a-a -1)=0,n≥2,
n n-1 n n-1
∵a+a >0,∴a-a =1,n≥2,
n n-1 n n-1
∴{a}为等差数列,公差为1,
n
又∵a=1,∴a=n,n∈N*.
1 n
n(n+1)
(2)由(1)得S= ,n∈N*,
n
2
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∴b
n
= 1 = 2 =2(1
-
1 ),
S n(n+1) n n+1
n
∴T=2[( 1) (1 1) (1 1 )]
n 1- + - +…+ -
2 2 3 n n+1
=2( 1 )= 2n .
1-
n+1 n+1
10.(2021辽宁开原三模,18)给出以下三个条件:①4a,3a,2a 成等差数列;②∀n∈N*,点(n,S)均
3 4 5 n
在函数y=2x-a的图象上,其中a为常数;③S=7.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充
3
完整,并求解.
设{a}是一个公比为q(q>0,且q≠1)的等比数列,且它的首项a=1, .
n 1
(1)求数列{a}的通项公式;
n
(2)令b=2log a+1(n∈N*),证明:数列{ 1 }的前n项和T<1.
n 2 n n
b b 2
n n+1
解析 (1)选①进行作答.因为4a,3a,2a 成等差数列,所以6a=4a+2a,即6a·q=4a+2aq2,解
3 4 5 4 3 5 3 3 3
得q=1(舍)或q=2,所以a=2n-1.
n
选②进行作答.由题意得S=2n-a,因为a=S=2-a=1,所以a=1,所以S=2n-1,
n 1 1 n
当n≥2时,S =2n-1-1,则a=S-S =2n-1,当n=1时,a=1,符合上式,所以a=2n-1.
n-1 n n n-1 1 n
选③作答.由S=7,得a+a+a=7,即a+a·q+a·q2=7,解得q=2或q=-3,又因为q>0,所以q=2,所
3 1 2 3 1 1 1
以a=2n-1.
n
(2)证明:b=2log 2n-1+1=2n-1,n∈N*,
n 2
则 1 = 1 =1( 1
-
1 ),所以T
n
=
b b (2n-1)(2n+1) 2 2n-1 2n+1
n n+1
1( 1 1 1 1 1 )=1( 1 ),
1- + - +…+ - 1-
2 3 3 5 2n-1 2n+1 2 2n+1
1 1
因为n∈N*,所以1- <1,所以T< ,得证.
2n+1 n 2
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— 一年原创 —
1.(2021 5·3原创题)在等差数列{a}中,a>0, a <-1,则S>0且S 最小时的正整数n= ( )
n 1 10 n n
a
9
A.1 B.9 C.17 D.18
答案 C
2.(2021 5·3原创题)已知圆O的半径为5,|OP|=3,过点P的2 021条弦的长度组成一个等差数
列{a},最短弦长为a,最长弦长为a ,则其公差为 ( )
n 1 2 021
1 1 3 1
A. B. C. D.
2 020 1 010 1 010 505
答案 B
2
3.(2021 5·3原创题)已知{a}是各项均为正数的等差数列,⃗OP= (a⃗OA+a⃗OB),其中P在AB
n 3 9
3
1 4
上,则 + 的最小值为 ( )
a a
5 7
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 B
4.(2021 5·3原创题)若函数f(x)=log (x-1)+2,数列{a}是首项为2,公差为3的等差数列,则
2 n
f (a n )+f (a n+1 ) 与f(a n +a n+1 )的大小关系是 ( )
2 2
A.f (a
n
)+f (a
n+1
) >f(a
n
+a
n+1
) B.f (a
n
)+f (a
n+1
) <f(a
n
+a
n+1
)
2 2 2 2
C.f (a )+f (a ) =f(a +a ) D.不确定
n n+1 n n+1
2 2
答案 B
5.(2021 5·3原创题)中国现存的排列最整齐的大型塔群——宁夏一百零八塔(共108座塔),从
上往下各行塔数依次为1,3,3,5,5,7,…,从第六行起,每一行的塔数与它上一行的塔数之差为同
一个常数,则该塔群的行数为 ( )
A.10 B.11 C.12 D.13
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版》
答案 C
{ 3a +(a -1)3+sin(a -1)=8,
6.(2021 5·3原创题)等差数列{a}满足: 3 3 3 S 是
n n
3a +(a -1)3+sin(a -1)=-2,
2 019 2 019 2 019
其前n项和,则S = .
2 021
答案 2 021
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