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第 02 讲 等差数列及前 n 项和
一、单选题
1．已知等差数列 的前n项和为 ，则n的值为
（ ）
A．8 B．11 C．13 D．17
【答案】D
【分析】根据为 ， 得到 ，结合
，两式相加，再利用等差数列的性质得到 ，利用 求
出 的值.
【详解】 ①，
因为 ， ，所以 ②，
①+②得： ，
由等差数列的性质可知： ，
所以 ，又因为 ，所以 .故选：D
2．已知等差数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质求出公差，再由前n项和公式求出首项，即可得解.
【详解】设等差数列的公差为 ，
则
，即 ，解得 .
又 ，解得 .
所以 ，故选：B
3．设等差数列 的前n项和为 ，且 ， ，则 取最小时， （ ）
A．4045 B．4044 C．2023 D．2022
【答案】D
【分析】由已知，利用等差数列前n项和公式及其性质得 ， ，进而得出结论．
【详解】 等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，
， ，
， ，
，公差 ，则当 时 最小．故选：D
4．在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，
次第每人多十七，要将第八数来言” ．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠，依次每人
分到的比前一人多分17斤绵，则第八个儿子分到的绵是（ ）
A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤
【答案】D
【分析】根据等差数列 的通项公式以及前 项和公式即可求解.
【详解】设8个儿子依次分绵 斤， 斤， 斤，…， 斤，
则数列 是公差为17的等差数列，
因为绵的总重量为996斤，
所以 ，解得 ，
则第八个儿子分到的绵 ．故选：D．
5．在1和10之间插入 个实数，使得这 个数构成递增的等比数列，将这 个
数的乘积记作 ，则 （ ）
A． B．11 C．44 D．52
【答案】C
【分析】由条件结合等比数列通项公式求出 ，再根据指数运算性质及等差数列求和公
式求出 ，由此可求 ，再由等差数列求和公式求 的值.
【详解】设这 个数构成的等比数列为 ，则 ， ，所以 ．又
，所以
．故
．故选：C．
6．“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合．“苏州码子”0~9的写法如下：〇0、〡1、〢2、〣3、〤4、〥5、〦6、〧7、
〨8、〩9．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写．已知某铁路的里程碑
所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在 点处里程碑上刻
着“〣〤”，在 点处里程碑上刻着“〩〢”，则从 点到 点的所有里程碑上所刻数字
之和为（ ）
A．1560 B．1890 C．1925 D．1340
【答案】B
【分析】根据规定确定 ， 两处的里程碑的数值，再由等差数列通项公式确定里程碑的
数量，并利用等差数列前 项和公式求从 点到 点的所有里程碑上所刻数字之和.
【详解】根据题意知， 点处里程碑上刻着数字34， 点处里程碑上刻着数字92，里程碑
上刻的数字成等差数列，公差为2，因此从 点到 点的所有里程碑个数为
，从 点到 点的所有里程碑上所刻数字之和为
，故选：B．
7．已知数列 ， 为等差数列，且公差分别为 ， ，则数列 的公
差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用 即可整理求得公差.
【详解】 ， 为等差数列， 为等差，设其公差为 ，
则 .
故选：D.
二、填空题
8．在数列 中， ， ，则 ______．
【答案】200
【分析】先由等差数列的定义求得数列 是等差数列，进而求得 的通项公式，
即可求解.
【详解】由 ，得 ，而 ，所以数列 是以
为首项， 为公差的等差数列，
则有 ，所以 ，则 ．故答案为：200.
9．数列{an}满足 ， ，则数列{an}的通项公式为___________.【答案】 ．
【分析】已知式两边同除以 ，构造一个等差数列，由等差数列的通项公式可得结论．
【详解】∵ ，所以 ，即 ，
∴ 是等差数列，而 ，
所以 ，所以 ．故答案为： ．
10．已知数列 的前n项和为 ，且 ， ，则 __________．
【答案】
【分析】利用数列的递推式可得 ，构造等比数列，求得
，从而 ，构造等差数列，求得答案.
【详解】由题意得 ，所以 ，解得 ，
又因为 ，于是 ，
因此数列 是以 为首项、2为公比的等比数列，
故 ，于是 ，
因此数列 是以1为首项、1为公差的等差数列，
故 ，故 ,故答案为：
三、解答题
11．已知数列 满足 ， ， 为等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)求满足不等式 的最大正整数 ．
【答案】(1)
(2)62
【分析】（1）求出首项和公差，进而求出通项公式；
（2）利用第一问求出的通项公式，利用累乘法化简得到 ，
得到不等式，求出最大正整数解.（1） ， ，
因为 为等差数列，所以公差 ，
所以 ，
故
（2）由（1）得： ，
，
所以 ，即 ，
因为 ， ，
所以满足不等式 的最大正整数为62.
12．为了净化环境，保护水资源，某化工企业在2020年年底投入100万元购入一套污水处
理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的
维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．
(1)求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；
(2)问：该企业污水处理设备使用几年时年平均污水处理费用最低？最低年平均污水处理费
用是多少万元？
【答案】(1)
(2)该企业污水处理设备使用10年时年平均污水处理费用最低，最低年平均污水处理费用
是21.5万元
【分析】（1）由已知，可设设该企业第x年使用该设备的维护费为 万元，根据题意，可
以得到
的递推关系，然后利用等差数列的定义判定数列 是等差数列，然后利用等
差数列的前n项和公式即可完成对总维护费的求解，进而表示出总费用和平均费用；
（2）由第（1）问求解出的平均费用的表达式，借助基本不等式即可求解最值.
（1）设该企业第x年使用该设备的维护费为 万元，
依题意得， ， ，
因此数列 是以 为首项、2为公差的等差数列，
故该企业使用该设备x年的总维护费为 万元，则总费用为 万元，
因此 ．
（2）由（1）及 ，可得， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，即当 时，y取得最小值．
∴该企业污水处理设备使用10年时年平均污水处理费用最低，最低年平均污水处理费用是
21.5万元．
一、单选题
1．对于数列 ，定义 为数列 的“好数”，已知某数列
的“好数” ，记数列 的前 项和为 ，若 对任意的 恒成立，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 ，可得 ， 时，将 换为
，相减可得 ，通过 ．说明数列 为等差数列，
对任意的 恒成立可化为 ， ，求解即可．
【详解】解：由题意， ，则 ，
当 时， ，
两式相减得 ，
所以 ， ，
当 时， 对上式也成立，
故 ，则 ，则数列 为等差数列，
故 对任意的 恒成立可化为
， ；即 ，解得 .故选：D．
2．已知数列 的各项均为正数，且 ，则数列的 前n项和
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，结合数列前n项和的意义求出 ，进而得 ，再利用等差数列
前n项和公式计算作答.
【详解】因 ，当 时，
，
则 ，而 满足上式，因此 ， ，即 ，
则 ， ，即 是首项为4、公差为4的等差数列，
所以 ．故选：B
3．已知 是首项为－24的等差数列，且从第10项起为正数，则公差d的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得 且 ，结合等差数列的通项公式可得出答案.
【详解】设 的公差为d，则 ， ，
由题意可得， ，解得 ．故选：C
4．设数列 的前n项和为 ，且 ， ，则数列 的前10项
和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】由 和 的关系式，可得出数列 是等差数列，从而得出数列 的通
项公式，再利用裂项相消法求和即可.
【详解】由 得 ，
当 时， ，整理得 ，
所以 是公差为4的等差数列，又因为 ，
所以 ，从而 ，
所以 ，
所以数列 的前10项和为 ．
故选：C
5． 内角 、 、 的对边分别是 、 、 ，若 、 、 成等差数列， ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件可得 ，再结合余弦定理 ，即可求出
【详解】解：因为 、 、 成等差数列，所以 ，
由余弦定理 可得 ，
解得 ，故选：D
6．已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化，构造等差数列，求出通项公式即
可．
【详解】因为 ，所以 ．
又 ，故 ，所以数列 是首项为2，公差为1的等差数列，所以 ，所以 ，则
．故选：D．
7．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到200这
200个数中，能被4除余2且被6除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，
则此数列各项之和为（ ）
A．1666 B．1676 C．1757 D．2646
【答案】A
【分析】根据题意判断出 是12的倍数，进而得到 是以2为首项，以12为公差的
等差数列，最后通过等差数列的通项公式及求和公式得到答案.
【详解】由题意可知 既是4的倍数，又是6的倍数，即 是12的倍数，因此数列
是以2为首项，以12为公差的等差数列，所以 ．又 ，
，所以该数列有17项，各项之和为 ．
故选：A.
二、填空题
8．已知首项均为 的等差数列 与等比数列 满足 ， ，且 的各项
均不相等，设 为数列 的前n项和，则 的最大值与最小值之差为__________．
【答案】 ##0.75
【分析】由题意可求得 ，分 为奇数、偶数讨论 的单调性并求出其最大、
小值即可.
【详解】解：设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q，
则 解得 或 ,
又因为 的各项均不相等，所以 ，则 ．
当n为奇数时， ，易知 单调递减，最大值为 ，且 ；
当n为偶数时， ，易知 单调递增，最小值为 ，且 ．
所以 的最大值为 ，最小值为 ，
所以 的最大值与最小值之差为 ．
故答案为： .
9．在平面直角坐标系中，已知 的坐标为 ，将其绕着原点按逆时针方向旋转 得到
，延长 到 使 ，再将 绕原点按逆时针方向旋转 得到 ，延长 到
使 ，如此继续下去，则点 的坐标为___________.
【答案】
【分析】设 ， ，由条件求出数列 ， 的通项公式，由此确定
点 的坐标.
【详解】设 ，当 ， 时， ， ，
则由已知可得 ， ， ， ，
， ， ， ，
由规律可得当 时，点 ，将 绕原点按逆时针方向旋转 得到 ，
所以 ， ， ， ，
所以 ， ，
故数列 为首项为 ，公差为 的等差数列， 为首项为1，公比为2的等比数列，
所以 ， ，
所以 ， ，所以 ， ，
故点 的横坐标为 ，
点 的横坐标为 ，
故点 的坐标为 ，
故答案为： .
10．数列 满足 ， ，且其前n项和为 ．若 ，则正整数
______．
【答案】
【分析】由 ，得出 为等比数列，求得 ，
得到 ，再求得 ，分m为奇数和m为偶数，两种情况
讨论，列出方程，即可求解.
【详解】由 ，可得 ，
所以 为等比数列，所以 ，
所以 ，所以 ，
又由 ．
①当m为奇数时， ，得 ；
②当m为偶数时， ，得 ，
因为 ，所以 只能为奇数，所以m为偶数时无解．
综上所述， ．
故答案为： .
三、解答题
11．某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为 ，以后学生人数年增长
率为 .该校今年年初有旧实验设备 套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定
每年以当年年初设备数量的10%增加新设备，同时每年淘汰 套旧设备．
(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年淘汰的旧设
备是多少套？
(2)依照（1）的淘汰速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？
参考数据： ， ．【答案】(1) 套
(2)16（年）
【分析】（1）利用配凑法求得明年起第 年学校的实验设备的套数 ，根据“10年后该
校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番”列方程，从而求得每年淘汰的旧设备套
数.
（2）根据 的值以及旧设备的套数求得需要的年数.
（1）
今年学生人数为 ，则10年后学生人数为 ．
设明年起第 年（明年为第1年）学校的实验设备的套数为数列 ，
则 ， ，令 ，则 ，
所以 ，即 ，所以数列 是首项为 ，公比为1.1的等比数
列，
所以 ，即 ．
所以 ，由题意得 ，解得 ．
所以每年淘汰的旧设备为 套．
（2）更换所有需要更换的旧设备共需 （年）．
12．已知数列 满足 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项的和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分 为奇数和 为偶数，求解通项公式；
（2）利用分组求和求解 .
（1）
当 为奇数时， ，所以所有奇数项构成以 为首项，公差为－1的等差数列，
所以 ，
当 为偶数时， ，所以所有偶数项构成以 为首项，公比为3的等比数列，所
以 ，所以 ；
（2）
.
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，
相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中
是举， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为
．已知 成公差为0.1的等差数列，且直线
的斜率为0.725，则 （ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【解析】设 ，则可得关于 的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设 ，则 ，依题意，有 ，且 ，
所以 ，故 ，故选：D
2．（2022·北京·高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”
是“存在正整数 ，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，利用等差数列的通项公式结合充分条件、
必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数.
若 为单调递增数列，则 ，
若 ，则当 时， ；若 ，则 ，
由 可得 ，取 ，则当 时， ，
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数
列.所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
故选：C.
二、填空题
3．（2022·全国·高考真题（文））记 为等差数列 的前n项和．若 ，则
公差 _______．
【答案】2
【解析】转化条件为 ，即可得解.
【详解】由 可得 ，化简得 ，
即 ，解得 .故答案为：2.
三、解答题
4．（2022·天津·高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且
．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合解析法即可得证；
（3）先求得 ，进而由并项求和可得
，再结合错位相减法可得解.
（1）设 公差为d， 公比为 ，则 ，
由 可得 （ 舍去），
所以 ；
（2）证明：因为 所以要证 ，
即证 ，即证 ，
即证 ，
而 显然成立，所以 ；
（3）因为
，
所以
，设
所以 ，则 ，
作差得
，
所以 ，
所以 .
5．（2022·全国·高考真题）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且
．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【解析】（1）设数列 的公差为 ，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得 ，即可解出．
（1）设数列 的公差为 ，所以， ，即可解得， ，
所以原命题得证．
（2）由（1）知， ，所以 ，即 ，
亦即 ，解得 ，所以满足等式的解 ，故集合
中的元素个数为 ．
6．（2022·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等
差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)见解析【解析】（1）利用等差数列的通项公式求得 ，得到 ，
利用和与项的关系得到当 时， ,进而得：
，利用累乘法求得 ，检验对于 也成立，得到 的通项公式
；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到 ，进而证得.
（1）
∵ ，∴ ,∴ ,
又∵ 是公差为 的等差数列，
∴ ,∴ ,
∴当 时， ，
∴ ,
整理得： ,
即 ,
∴
，
显然对于 也成立，
∴ 的通项公式 ；
（2）
∴7．（2022·全国·高考真题（理））记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
【解析】（1）因为 ，即 ①，
当 时， ②，
① ②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以 为公差的等差数列．
（2）
解：由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时 ．
8．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项
和为 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取
值范围．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，（2）因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，
，
，
由已知方程 的判别式大于等于0，
所以 ，
所以 对于任意的 恒成立，
所以 对于任意的 恒成立，
当 时， ，
当 时，由 ，可得
当 时， ，
又 所以
9．（2021·天津·高考真题）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公
比大于0的等比数列， ．
（I）求 和 的通项公式；
（II）记 ，
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明
【解析】（I）因为 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以 ，所以 ，
所以 ；
设等比数列 的公比为 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
所以 ；
（II）（i）由题意， ，所以 ，
所以 ，且 ，
所以数列 是等比数列；
（ii）由题意知， ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
所以 .
10．（2021·全国·高考真题（理））记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项
积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．
【解析】（1）[方法一]：
由已知 得 ,且 ， ,
取 ,由 得 ,
由于 为数列 的前n项积，
所以 ,所以 ，
所以 ,
由于
所以 ，即 ,其中
所以数列 是以 为首项，以 为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是 ． ②
由①②得 ． ③
又 ， ④
由③④得 ．
令 ，由 ，得 ．
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
[方法三]：
由 ，得 ，且 ， ， ．
又因为 ，所以 ，所以
．
在 中，当 时， ．
故数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知 ，得 ， ， ， ，猜想数列 是以 为首项，为公差的等差数列，且 ．
下面用数学归纳法证明．
当 时显然成立．
假设当 时成立，即 ．
那么当 时， ．
综上，猜想对任意的 都成立．
即数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
,
,
当n=1时， ,
当n≥2时, ,显然对于n=1不成立,
∴ .
