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4.2.2 等差数列的前n项和
思维导图
常见考法考点一 等差数列的基本量
【例1】（2020·陕西省安康中学其他（理））记 为等差数列 的前 项和， ， ，
则 （ ）
A．-77 B．-70 C．-49 D．-42
【答案】A
【解析】由 ，得 ，∴ ， ， .故选:A
【一隅三反】
1．（2020·内蒙古赤峰）若等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则公差
（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】∵ ， ∴ ， ，解得 .故选：A.
2．（2020·河南信阳·其他（文））正项等差数列 的前 和为 ，已知 ，则 =
（ ）
A．35 B．36 C．45 D．54
【答案】C
【解析】 正项等差数列 的前 项和 ， ， ，
解得 或 （舍）， ，故选C.
3．（2020·湖北十堰）已知等差数列 的前n项和 满足 ，则
（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，又 ，所以 ．故 ，解得 ．故选：D.
考点二 前n项和S 与等差中项
n
【例2】(1）（2020·云南省云天化中学高一期末）等差数列 中， ，则数列 前11项和
（ ）
A．12 B．60 C．66 D．72
（2）．（2020·吉林朝阳·长春外国语学校开学考试）设 是等差数列 的前n项和，若 则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】(1)C（2）A
【解析】（1）在等差数列 中， ，所以
所以 .故选：C.
（2）在等差数列{a}中，由 ，得 故选：A
n
（1）如果 为等差数列，若 ，则 ．
(2)要注意等差数列前 项和公式的灵活应用，如 .
【一隅三反】1．（2020·四川成都·二模（文））若数列 为等差数列，且满足 ， 为数列 的前
项和，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，由等差数列性质，若 ，则 得，
． 为数列 的前 项和，则 ．故选： ．
2．（2020·河北运河·沧州市一中月考）若两个等差数列 的前n项和分别为 ， ，且满足
，则 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
又因为 ，所以 .故选：D
3．（2020·河北新华·石家庄新世纪外国语学校期中）两等差数列 和 ，前n项和分别为 ， ，
且 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在 为等差数列中，当 ， ， ， 时， ．
所以 ，
又因为 ，所以 ．故选：A．
4．（2020·湖南宁乡一中）在等差数列 中， ，则此数列前 项的和
是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由等差数列的性质可得： ， ，
代入已知可得 ，即 ，
故数列的前 项之和 ．故选 ．
考点三 前n项和S 的性质
n
【例3】（1）（2020·陕西省洛南中学高二月考）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项
之和为30，则其公差为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
（2）．（2019·陕西武功·高三月考（理））设等差数列 的前 项和为 若 , ，则 (
)
A．45 B．54 C．72 D．81
（3）（2020·浙江吴兴·湖州中学）设 为等差数列 的前 项和，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）D（2）B（3）A
【解析】（1）因为某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，因此数列的第一、三、
五、七、九项的和，写出数列的第二、四、六、八、十项的和，都用首项和公差表示，两式相减，得到结
果．5a+20d=15，5a+25d=30，d=3，选B
1 1
（2）因为 为等差数列，所以 为等差数列，
所以 即 ，所以 ，故选B.
（3）设等差数列 的公差为 ，
则 ，则 ，
因此， .故选：A.
一般地，如果 为等差数列， 为其前 项和，则有性质：
（1）若 ，则 ；
（2） 且 ；
（3） 且 为等差数列；
（4） 为等差数列
【一隅三反】
1．（2020·山东省临沂第一中学高二期中）一个等差数列共有 项，若前 项的和为100，后 项的和为200，则中间 项的和为（ ）
A．75 B．100 C．50 D．125
【答案】A
【解析】设等差数列前 项的和为 ，由等差数列的性质可得，中间的 项的和可设为 ，后 项的和
设为 ，由题意得 ， ，解得 ， ，
故中间的 项的和为75，故选：A．
2．（2020·河北运河·沧州市一中月考） 是等差数列 }的前n项和，若 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，根据 是一个首项为 ，公差为 的等差数列，
各项分别为 ，故 .故选： .
3．（2020·黑龙江龙凤·大庆四中月考（理））在等差数列 中， ，其前 项和为 ，若
，则 （ ）
A．0 B．2018 C． D．2020
【答案】D
【解析】设等差数列 的公差为d，由等差数列的性质可得 为等差数列， 的公
差为 . ， ，解得 .则 .故选：D.
考点四 前n项和S 的最值
n
【例4】（2020·陕西省洛南中学高二月考）已知数列 中 ，则数列
的前 项和 最大时， 的值为（ ）
A．8 B．7或8 C．8或9 D．9
【答案】C
【解析】 ， 数列 是等差数列，并且公差为 ，
，
对称轴是 ， ，所以当 或 时， 取得最大值.故选：C
【一隅三反】
1．（2021·河南淇滨·鹤壁高中高二月考）等差数列{a}的前n项和为S，S ＞0，S ＜0，则满足aa ＜0
n n 100 101 n n+1
的n＝（ ）
A．50 B．51 C．100 D．101
【答案】A
【解析】根据题意，等差数列 中， ， ，
则有 ，则有 ；
又由 ，则有 ；则有 ，
若 ，必有 ；故选：A
2．（2020·吉林南关·长春市实验中学）已知数列 是等差数列，若 ， ，且数列 的前 项和 有最大值，那么 取得最小正值时 等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】因为等差数列的前 项和有最大值，故可得
因为 ，故可得 ，
整理得 ，即 ，
又因为 ，故可得 .
又因为 ， ，故 取得最小正值时n等于 .故选：D.
3．（2020·安徽金安·六安一中高一期中（文））已知等差数列 的前n项和为 ， ， ，
则当S取得最小值时，n的值为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】因为 ，故 .
因为 ，故 ，所以 ，
所以当 时， 取得最小值.故选：C.
4．（2020·安徽金安·六安一中高一期中（理））已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，
，则 ， ，…， 中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由 ，得到 ；
由 ，得到 ，
∴等差数列 为递减数列，
且 ，
, ,
当 时， ，且 最大， 最小，所以 最大；
当 时， ，此时 ；
当 时， ，且 ， ，所以 ，
综上所述， ， ，…， 中最大的是 .
故选：C．
考点五 含有绝对值的求和
【例5】（2021·河南淇滨·鹤壁高中高二月考）已知两个等差数列 、 ，其中 ， ，
，记 前 项和为 ， ．
（1）求数列 与 的通项公式；
（2）记 ，设 ，求 ．【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】（1） ，当 时， ，
满足 ， .
设等差数列 的公差为 ，则 ，
；
（2）由（1）知， ， ．
当 时， ；
当 时， ．
综上所述， .
【一隅三反】
1．（2019·浙江吴兴·湖州中学高一月考）已知等差数列 中， ， ，记 ，
记 的前 项和为 ， 的前 项和为 .
（1）求首项 和公差 ；
（2）求 和 的表达式【答案】（1） ， ；（2） ， .
【解析】（1）由题可得 ，解得 ， ；
（2）由（1）可知 ，
， ，
当 ，即 时， ,
当 时，
，
.
2．（2020·安徽月考）已知数列 的前n项和为 ，且 ( ).
（1）求 的最小值；
（2）求数列 的前20项和.
【答案】（1） .（2）
【解析】（1） ，又 ，所以当 或 时， 取得最小值，且最小值为 .
（2）当 时， ，
所以 .
当 时， 满足上式，
所以 .
由 ，解得 ，于是数列 前9项为负，第10项为0，第11到20项为正.
所以数列 的前20项和为
.
3．（2020·商丘市第一高级中学期末）已知数列 的前 项和 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）因为 ，
所以当 时， ，
又因为 时， 适合上式，所以 ；
（2）因为 .
①当 时， ，所以 ；
②当 时， ，
所以
.
所以 .
