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【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题11 数列多选题 （新高考通用）
1．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）数列 的通项为
，它的前 项和为 ，前 项积为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．数列 是递减数列 B．当 或者 时， 有最大值
C．当 或者 时， 有最大值 D． 和 都没有最小值
【答案】ABC
【分析】根据数列的通项得出数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列,然
后根据等差数列的特征分别对每个选项进行分析即可求解.
【详解】因为数列 的通项为 ，则 ，所以数列 是以
为首项，以 为公差的等差数列，因为公差 ，所以数列 是递减数列，故选
项 正确；
因为 ，当 时， ；当 时， ，因为 ，所以当
或者 时， 有最大值，故选项 正确；
由 可知： ， ， ，所以当 或者 时，
有最大值，故选项 正确；
根据数列前30项为正数，从第31项开始为负数可知： 无最小值，
因为 ，当 时， ，但零乘任何数仍得零，所以 有最小值 ，故选项
错误，
故选： .2．（2023·广东梅州·统考一模）设 是公差为 （ ）的无穷等差数列 的前
项和，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 是数列 的最大项
B．若数列 有最小项，则
C．若数列 是递减数列，则对任意的： ，均有
D．若对任意的 ，均有 ，则数列 是递增数列
【答案】BD
【分析】取特殊数列判断A；由等差数列前 项和的函数特性判断B；取特殊数列结合
数列的单调性判断C；讨论数列 是递减数列的情况，从而证明D.
【详解】对于A：取数列 为首项为4，公差为 的等差数列， ，故
A错误；
对于B：等差数列 中，公差 ， ， 是
关于n的二次函数.当数列 有最小项，即 有最小值， 对应的二次函数有最小值，
对应的函数图象开口向上， ，B正确；
对于C：取数列 为首项为1，公差为 的等差数列， ，
，即 恒成立，此时数列
是递减数列，而 ，故C错误；
对于D：若数列 是递减数列，则 ，一定存在实数 ，当
时，之后所有项都为负数，不能保证对任意 ，均有 .
故若对任意 ，均有 ，有数列 是递增数列，故D正确．
故选：BD3．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）已知正m边形 ，一质点M从
点出发，每一步移动均为等可能的到达与其相邻两个顶点之一．经过n次移动，记质
点M又回到 点的方式数共有 种，且其概率为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 ， D．若 ，则
【答案】BCD
【分析】根据所给规则，直接判断A，根据规则，分析变化规律，归纳得出结论判断
B，根据规则直接判断C，列举所有可能由古典概型求解判断D.
【详解】对A， 时，如图，
经3步从 回到 ，仅有 ，
与 两种，所以 ，故A错误；
对B，若 时，如图，
与 ，记从 出发经过n步到 的方法数为 ，
则 (先走两步回到 有2种，化归为 ，先走两步到 有2种，化
归为 )，所以 ，因为 ，所以 ，故B正确；
对C， 时，显然走奇数步无法回到 ，故 ，故C正确；
对D， 时，走6步共有 种走法(每一步顺时针或逆时针)， 出发回到 有2种情形，①一
个方向连续走6步，有2种；②2个方向各走3步，有 种，所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：BCD
4．（2023·吉林·东北师大附中校考二模）已知数列 ， ， ，
的前 项的和为 ，前 项的积为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】令 可求得 的值，推导出 ，分析可知数列 中的奇数项和偶
数项分别成以 为公比的等比数列，求出数列 的通项公式，逐项判断可得出合适
的选项.
【详解】数列 中， ， ，
当 时，则有 ，可得 ，
当 时，由 可得 ，
上述两个等式相除可得 ，B对；
所以，数列 中的奇数项和偶数项分别成以 为公比的等比数列，当 为奇数时，设 ，则 ，
当 为偶数时，设 ，则 ，
故对任意的 ， ，所以， ，A错；
，所以数列 为等比数列，且该数列的首项为 ，公比为 ，
则 ，C对；
，D对.
故选：BCD.
5．（2023秋·吉林辽源·高三校联考期末）设 ， 分别为等差数列 的公差与前n
项和，若 ，则下列论断中正确的有（ ）
A．当 时， 取最大值 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】BCD
【分析】根据等差数列的通项公式及前n项和公式，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】设等差数列 的首项为 ，则
由 ，得 ，解得 ，
所以 ，
当 时，当 时， 取最小值；当 时，当 时， 取最大值；故A错
误；
当 时， ，故B正确；
当 时， ，故C正确；当 时， ，
，
所以 ，故D正确.
故选：BCD.
6．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期末）数列 满足 ，
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．数列 的和为
C．若数列 ，则数列
D．数列 有最小项
【答案】ABC
【分析】逐项代入分析即可求解.
【详解】根据 ，
所以 为等差数列，
所以 ,
所以 ，
所以 ，
故选项A正确；，
所以数列 的和为
，
故选项B正确；
，
，
故选项C正确；
令 ，
所以所以 ，
所以 ，
所以数列 没有最小项，故选项D错误；
故选：ABC.
7．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）数列 满足 ，
，数列 的前n项和为 ，且 ，则
下列正确的是（ ）
A．
B．数列 的前n项和
C．数列 的前n项和D．
【答案】BCD
【分析】求得数列 的通项公式判断选项A；求得数列 的前n项判断选项
B；求得数列 的前n项和，进而判断选项C；求得数列 的前 项和 进而
判断选项D.
【详解】由 ，有 ，又
所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，则 ，
则 ，则 ，A错误；
由 ，可得 ，解之得
又 时， ，则 ，整理得
则数列 是首项为3公比为3 的等比数列，则 ，
则数列 的前 项和
，B正确；
，则数列 的前 项和
，C正确；
设数列 的前 项和 ，则 ， ，
两式相减得
整理得 ，则当 时， ，D正确.
故选：BCD.
8．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知各项均为正数的数列 满足：
，且 ， 是数列 的前n项和，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】A.将条件变形，利用求根公式，即可求解；
B.根据通项公式求 ；
C.作除法，和1比较大小，即可判断；
D.利用通项公式求 ，再构造函数证明 ，利用不等式变形，结合等
差数列求和，即可证明.
【详解】A. ，变形为 ，
根据求根公式可知 ，因为 ，
所以 ，故A错误；B. ，故B正确；
C. ，
，
所以 （ ）,故C正确；
D.
所以
，
设 ， ，
，当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，所以当 时，函数 取得最大
值0，所以 ，即 ，当 时，等号成立，
所以 ， ，
所以
，故D正确.
故选：BCD
9．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）数列 满足： ，
，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． ，C． 是等比数列 D． ，
【答案】ABD
【分析】令 得出 ，可判断选项A；由已知构造
与已知等式作差，可判断选项B，C；数列 的首项为 ，从第2项开始构成等
比数列，求和即可判断选项D.
【详解】在 中，令 ，则 ， ， ．
A正确．
当 时，将 与 ，
两式相减得， ，即 ．而 ，所以B正确，C不正
确．
因为 ， ，所以D正确．
故选：ABD．
10．（2023·辽宁沈阳·统考一模） 是各项均为正数的等差数列，其公差 ，
是等比数列，若 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】对于函数 的零点为 ，分类讨论结合导数分析
可得当 时， ，当 时， ，即可判断结果.
【详解】由题意可设：等比数列 的公比为 ，由 ， ，可得 ，
则 ，
构建 ，即 ，
若 ， ，则 ，即 为函数 的零点，
当 时，则 在 上单调递减，
故 在 内至多有一个零点，不合题意；
当 时，则 ，
∵ ，则 在 上单调递增，故 在 上至多
有一个零点，
当 在 内无零点，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，则 在 内至多有一个零点，不合题意；
当 在 内有零点，设为 ，
当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
可得当 时， ，当 时， ，
故 ，即 ， ，
A、D正确，B、C错误.
故选：AD.
11．（2023·辽宁·校联考一模）设等差数列 的前 项和是 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC【分析】设等差数列公差为d，由题目条件，可得 ，
由此可得各选项正误.
【详解】设等差数列公差为d，则由题目条件有：
.
A选项， ，故A错误；
B选项， ，故B正确；
C选项， ，故C正确；
D选项，注意到 ，
，又由 知 为单调递减数列，则
，故D错误.
故选：BC.
12．（2023秋·江苏·高三南京师大附中校联考期末）已知数列 为等差数列，首项
为1，公差为2，数列 为等比数列，首项为1，公比为2，设 ， 为数列
的前 项和，则当 时， 的取值可以是下面选项中的（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】AB
【分析】由已知分别得到等差数列与等比数列的通项公式，求得数列 的通项公式，
利用数列的分组求和法可得数列 的前 项和 ，验证得答案.
【详解】依题意得： ， ，
，则数列 为递增数列，其前 项和
，
当 时， ，
当 时， ，
的取值可以是8，9，
故选：AB．
13．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）若数列 有 ，
为 前n项积， 有 ，则（ ）
A． 为等差数列（ ） B．可能
C． 为等差数列 D． 第n项可能与n无关
【答案】BD
【分析】结合递推式 ，取 ，求 的通项公式判断选项A错
误，求 判断B，由递推式 ，取 ，判断C，求数列 的通项公
式判断D.
【详解】因为 ，所以 ，所以当 时，
，
若 ，则 ， 不存在，A错误；
因为 时， ，所以 ，所以 ，又 ，
所以可能 ，B正确；
因为 ，取 ，则 ，此时 不存在，C错误；D正确；
故选：BD.14．（2023秋·山东滨州·高三统考期末）已知数列 的前 项和为 ，若 ，
，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 是等比数列
C． 是单调递增数列 D．
【答案】AC
【分析】由已知得出 ，可判断A选项的正误；利用等比数列的定义可判断
B选项的正误；利用数列的单调性可判断C选项的正误；利用作差法可判断D选项的
正误.
【详解】对于A选项，由 得 ，故 ，A正确；
对于B选项，将 ， 两式相减得 ，
即 ，又令 ，得 ，
，所以 从第二项开始成等比数列，公比为 ，
故 时， ，即 ，所以， ，
故B选项错误；
对于C选项，因为 .当 时， ，
当 时， .
所以， ，令 ，
则 时， ，即 ，而 ，所以数列 单调递增，C选项正确；
对于D选项，当 时， ，
显然成立，故 恒成立，D选项错误.
故选：AC.
15．（2023秋·山东德州·高三统考期末）已知数列 的前 项和为 ，且 ，
则（ ）
A． B．
C．数列 为等差数列 D． 为奇数时，
【答案】ABD
【分析】利用并项求和法可判断AD选项；利用等差数列的定义可判断BC选项.
【详解】对于A选项， ，A对；
对于B选项，因为 ，则 ，
对任意的 ，由 可得 ，
上述两个等式作差可得 ，
所以，数列 中的奇数项成以 为首项，公差为 的等差数列，
数列 中的偶数项成以 为首项，公差为 的等差数列，
当 为奇数时，设 ，则 ，
当 为偶数时，设 ，则 ，
综上所述， ，B对；对于C选项， ，故数列 不是等差数列，C错；
对于D选项，当 为奇数时，设 ，则 ，
则
，D对.
故选：ABD.
16．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）等比数列 的前 项和为 ，前 项的积
，且 ， ，则下列选项中成立的是（ ）
A．对任意正整数 ， B．
C．数列 一定是等比数列 D．
【答案】ABC
【分析】设公比为 ，首项为 ，依题意可得 ， ，即可得到 ，从而
判断数列的单调性，即可判断BD，再根据等比数列前 项和公式及等比数列的定义判
断C，最后根据等比中项及作差法判断A.
【详解】解：设公比为 ，首项为 ，因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以数列 是各项为正数的等比数列且 ，所以数列 单调递减，则
，故B正确，D错误；
所以 ，则 ， ，
则 ，则 ，
所以 ，
又 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，故C正确；
因为 ，所以 ，
即 ，故A正确；
故选：ABC
17．（2023·湖北·校联考模拟预测）数列 各项均为正数，其前n项和 ，且满足
，下列四个结论中正确的是（ ）
A． 为等比数列 B． 为递减数列
C． 中存在大于3的项 D． 中存在小于 的项
【答案】BD
【分析】对于A：假设数列 为等比数列，设其公比为q，求出 ，不合乎题意；
对于B：求出 ，得到 ，即可证明；对于C：先求
出 ，由数列 为递减数列，即可判断；对于D：利用单调性证明.
【详解】对于A：假设数列 为等比数列，设其公比为q，则 ，即，
所以， ，可得 ，解得 ，不合乎题意，故数列
不是等比数列，故A错；
对于B：当 时， .因为 ，所以 ，所以
，可得 ，所以数列 为递减数列，故B对；
对于C：由题意可知， ，当 时， ，可得 ；由B知数列
为递减数列，故C错；
对于D：因为数列 各项均为正数，其前n项和 ，所以随着n的增大， 递增.
而 恒成立，所以 递减，且 ，
所以 中必存在小于 的项
故选：BD.
18．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知数列 的项数均
为 （ 为确定的正整数，且 ），若 ，
，则（ ）
A． 中可能有 项为1 B． 中至多有 项为1
C． 可能是以 为公比的等比数列 D． 可能是以2为公比的等比数列
【答案】AC【分析】利用 求出数列 ，再根据 的取值判断即可.
【详解】由题意可得 ①， ②，
①-②得 ，同理可得 ，
所以数列 中仅有1项为1，
因为 ，所以B错误；当 时，A正确；
，所以当 时， 是以 为公比的等比数列，C正确，D错误；
故选：AC
19．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数
学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契
数列用递推的方式可如下定义：用 表示斐波那契数列的第n项，则数列 满足：
， ，记 ，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 是递增数列 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由数列的递推公式可判断A,B；利用累加法计算可判断选项C,D.
【详解】对A，由 知， 的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，
21，34，55，
其中，第一二项相等，不满足递增性，故A错误；
对B，根据递推公式 ，得 ，故B
正确；
对C， ，，
，
……，
，
∴ ，即 ，故C正确；
对D，由递推式，得 ， ，…， ，
累加得 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，故D正确；
故选：BCD．
20．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知数列 满足 ，且
， 是数列 的前 项和，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】对于A,证明数列 单调递减即得解；对于B，证明 即得解；
对于C，随着 减小，从而 增大．即得解；对于D，证明 即得解.
【详解】对于A: , , 在 单调递增, 在单调递减, ,当且仅当 时,
若 ,又因为 则 ,则 ，则 ,又因为
所以 所以 ，
设 ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增.
所以 所以 所以
由 , 当 时,
因为 ，所以 ,则 ,同理得 ,
当 时， ；
所以 ，所以数列 单调递减.则 , 所以选项A正确.
对于B：由前面得 ．下面证明 ．
只需证明 ，令 ，
，
令 ，则 ，
∴ 成立．所以 ，
所以 ，
所以选项B错误；对于C： ，设 ，设
，
则 ．所以函数 单调递减，所以随着 减小，
从而 增大．所以 ，即 ．所以C错误．
对于D：一般地，证明： ．
只需证明 ．
．令 ，
则 ，
∴ 成立．所以 ，所以 ．所以D正确．
故选： .
21．（2023·浙江·校联考模拟预测）数列 定义如下： ， ，若对于任意
，数列的前 项已定义，则对于 ，定义 ， 为其前n项
和，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 的第 项为 B．数列 的第2023项为
C．数列 的前 项和为 D．
【答案】ACD
【分析】由数列的定义，对通项和前n项和的性质进行讨论，验证选项是否正确.
【详解】
…，，故A选项正确；
，
，故B选项错误；
， ，…，当 时， ，
所以 ，故C选项正确；
当 时， ，
，故D选项正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：解决新定义问题，首先考查对定义的理解。其次是考查满足新定
义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是
在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质.第三是
考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新
的性质.
22．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）数列 前 项和为 ，若
，且 ，则以下结论正确的有（ ）
A．
B．数列 为递增数列
C．数列 为等差数列
D． 的最大值为
【答案】BCD
【分析】对A：取特值，结合 ，运算求解即可；对B：根据题意可得，结合数列单调性分析判断；对C：可得
，作差即可得结果；对D：利用累加法求得
，整理可得 ，结合对勾函数的单调性分析运算.
【详解】由 ，可得：
对A：令 可得： ， ，则 ，
令 可得： ，
即 ，则
，
由 ，解得
，A错误；
对B：对 ，则 ，
故数列 为递增数列，B正确；
对C：当 时，可得 ，则 ，
故数列 为等差数列，C正确；
对D：∵ ，
则
，
且 ，故
且 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，
可得 ，对 恒成立，
故当 时， 取最大值 ，D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：解决数列与函数综合问题的注意点
(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所
以它的图象是一群孤立的点．
(2)转化以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是
非常容易忽视的问题．
(3)利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条
件的转化．
23．（2023·云南昆明·安宁市第一中学校考模拟预测）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家
用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，
如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑
色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列 ，正方形数构
成数列 ，则下列说法正确的是（ ）
A．B．1225既是三角形数，又是正方形数
C．
D． ， ，总存在 ， ，使得 成立
【答案】BCD
【分析】根据给定信息，求出数列 、 的通项，再逐一分析各个选项即可判断
作答.
【详解】依题意，数列 中， ， ，
，
于是得 ， 满
足上式，
数列 中， ， ， ，
于是得 ， 满足
上式，
因此 ，
对于A， ，则 ，A不
正确；
对于B，因为 ，则 ，又 ，则 ，B
正确；
对于C， ，
则 ，C正
确；
对于D， ， ，取 ，则，
所以 ， ，总存在 ， ，使得 成立，D正确.
故选：BCD
【点睛】易错点睛：裂项法求和问题，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪
些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负
相消是此法的根源与目的．
24．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）记 表示与实数x最接近的整
数，数列 的通项公式为 ，其前n项和为 ．设 ，则下
列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由 时，可判定A错误；由 得 ，可判定B
正确；由 ，可得 ，根据 是 左侧
的最接近的整数，可判定C正确；根据题意归纳得到数列 中，有2个1，4个 ，
6个 ，8个 ， ，结合等差数列求和公式，可判定D正确.
【详解】由题意，记 表示与实数 最接近的整数，且 ，
对于A，当 时，可得 ， ，故A错误；
对于B，由 ，即 ，可得 ，
可得 成立，故B正确；对于C，由 ，可得 ，平方可得
，
因为 ，且 不是整数，
其中 是 左侧的最接近的整数，
所以 成立，所以C正确；
对于D，当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
归纳可得数列 中，有2个1，4个 ，6个 ，8个 ，
又由 构成首项为2，公差为2的等差数列，可得其前n项和为
，
令 ，解得 ，
所以 ，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：与数列的新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新
问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方
法，进行信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义
的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
25．（2023·重庆·统考模拟预测）已知数列 满足 ， ， ，则下列结论正确的有（ ）．
A．数列 是递增数列 B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】对A：根据数列单调性的定义分析证明；对B：先证 ，结合累加法
运算求解；对C：可得 ，结合裂项相消法分析运
算；对D：先证 ，结合累积法可得 ，再
根据等比数列求和分析运算.
【详解】对A： ，当且仅当 时，等号成立，
即 ，注意到 ，故 ，
可知对 ， ，即 ，即 ，
故数列 是递增数列，A正确；
对B：∵ ，
由A可得：对 ， ，则 ，当且仅当 时，
等号成立，
故 ，即 ，
则 ，即 ；
当 时，则 也满足 ；
综上所述： ，B正确；
对C：∵ ，则 ，注意到 ，即 ，
∴ ，即 ，
故 ，
可得 ，C正确；
对D：∵ ，
注意到 ，则 ，
故 ，可得 ，
则 ，
当 时，则
，
当 时， ，
故 .
则 ，D错误；
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：
（1）根据题意证明 ，放缩结合等比数列运算求解；
（2）根据题意整理可得 ，裂项相消求和；（3）可证 ，放缩结合等比数列的通项公式与求和公式运算求解.
26．（2023·福建漳州·统考三模）已知数列 ， ，且满足 ，
，则（ ）
A． B． 的最大值为
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据递推关系式可求得 ，知A错误；由 ，采用作商法可证得
数列 为正项递减数列，由此知B正确；由递推关系式可求得 ，采用
累加法，结合 可推导得C正确；结合C中，采用放缩法得
，裂项相消可求得D正确.
【详解】对于A，当 时， ，即 ，解得： ；
当 时， ，即 ，解得： ；
当 时， ，即 ，解得： ；
，A错误；
对于B，由 得： ，
又 ， ， ， ， ，
数列 为正项递减数列， ，B正确；对于C，由 得： ， ，
，
数列 为正项递减数列， ， （当且仅当 时取等
号），
，即 ， ，C正确；
对于D，由C知： ，
，
，D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用数列递推关系式研究数列的有关性质、数列求和
与数列放缩的知识；本题判断CD选项的关键是能够对于数列的通项进行准确的放缩，
从而根据不等关系，结合数列求和方法来得到结论.
27．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）在数列 中，若对于任意 ，都有
，则（ ）
A．当 或 时，数列 为常数列
B．当 时，数列 为递减数列，且
C．当 时，数列 为递增数列
D．当 时，数列 为单调数列
【答案】ABC【分析】直接代入计算判断A；由题知 ， ，
再依次讨论BC选项即可判断；根据 无法确定符号判断D.
【详解】解：对于A选项，由 得 ，
所以，当 时， ，是常数列；
当 时， 是常数列，故A选项正确；
对于B选项， ，
因为 ，
所以，当 时， ，即 ，
同理可得， ，
所以 ，即 ，
所以数列 为递减数列，且 ，故B选项正确；
对于C选项，当 时，由 得
，即
由 得 ，
所以， ，
同理可得 ，所以 ，即 ，
所以，数列 为递增数列，故C选项正确；
对于D选项，当 时，由 ，即 ，
由 得 ，符号不确定，
所以 符号不确定，
所以，当 时，数列 的单调性无法确定，故错误.
故选：ABC
28．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）已知递增的正整数列 的前n项和为
．以下条件能得出 为等差数列的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】用 与 的关系，计算判断A和B；按 的奇偶求出 ，再结合递增的正整
数列推出 判断C；按给定条件求出数列 的通项，再结合递增的正整数
列求出 判断D作答.
【详解】对于A， 时， ，当 时，
满足 ，
而且 时， ，则 为等差数列，A正确；对于B， ，当 时， 不满足上式，
得 ，因此数列 不是等差数列，B错误；
对于C， ，即 为隔项等差数列，且 是递增的正整数列，
则 ， ， ，且 ，有 ，
即 ，
于是 ， ，因此 ，
所以 为等差数列，C正确；
对于D， ， ，
， ，即数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， ，
则 ，
从 到 中间恰有 项： ，它们是递增的正整
数，
而 到 中间有 个递增的正整数，无法一一对应，
若 ，则会出现如：2，4，5，8，9，10，11，16…的数列，非等差数列，D错误.
故选：AC
29．（2023秋·湖南株洲·高三校联考期末）已知数列 满足 ，
数列 前 项和为 ，则下列叙述正确的有（ ）
A． B．
C． D．【答案】ABD
【分析】根据数列的作差，放缩，累加，等方法即可求解.
【详解】 ，
又 ，
归纳可得 ，
故选项A正确；
数列 单调递减，
当 时， ；
当 时， .故选项D正确；
，
，
，
，
，
又 ，
，，
，
,
，
所以当 时，
.
故选项C错误；
， 故选项B正确；
故选：ABD.
30．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知数列 满足
，且 ， 是数列 的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对于选项A，B证明数列 为单调递减数列即得解；对于选项C，证明随着
减小，从而 增大，即得解；对于选项D，证明 ，即得解.
【详解】解：对于选项A、B，因为 ， ，所以 ，设 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，则 ，
所以 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
因为 ，所以这种情况不存在，
则数列 满足当 时， ，为单调递减数列，
故A选项正确，B选项错误；
对于选项C，
令 ，设
则 ，
所以函数 单调递减，所以随着 减小，从而 增大，
所以 ，即 ，所以C选项正确，
对于选项D，由前面得 ，
下面证明 ，只需证明
，令 ，则 ，所以 ，
令 ，则 ，
成立，则
所以
所以D选项正确；
故选：ACD.
【点睛】易错点睛：本题主要考查函数、不等式与数列的综合问题，属于难题.解决该
问题应该注意的事项：
（1）数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；
（2）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往
往是很容易被忽视的问题；
（3）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中
相关限制条件的转化.
