3.3 双曲线及其标准方程
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：双曲线的定义................................................................ 2
考点二：双曲线的标准方程.......................................................... 2
考点三：双曲线方程的求解.......................................................... 3
考点四：由双曲线标准方程求参数范围............................................3
考点五：双曲线的焦点三角形....................................................... 3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：双曲线的定义及辨析....................................................... 3
题型二：双曲线的标准方程的求解..................................................6
题型三：双曲线轨迹方程............................................................. 8
题型四：由双曲线的方程求参数...................................................11
题型五：根据方程表示双曲线求参数范围....................................... 11
题型六：求双曲线焦点三角形周长与面积....................................... 13
题型七：利用焦点三角形求其他量................................................14
题型八：利用双曲线定义求线段和差最值问题................................. 15
模块三：综合巩固....................................................................... 17
3.3 双曲线及其标准方程
模块一：基础知识
考点一：双曲线的定义
一般地,我们把平面内与两个定点
1
2
,
F F 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于
1
2
F F )的点的轨迹叫做双
曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
注意：（1）距离的差要加绝对值,否则只有双曲线的一支,若
1
2
,
F F 分别表示双曲线的左、右焦点,则有以下
两种情形：
①若点P 满足
2
1
2
0
PF
PF
a a
,则点P 在左支上,如图（1）
②若点P 满足
1
2
2
0
PF
PF
a a
,则点P 在右支上,如图（2）
（2）注意定义中的“小于
1
2
F F ”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”．
①若2
2
a
c
,即
1
2
1
2
PF
PF
F F
,根据平面几何知识知,当
1
2
1
2
PF
PF
F F
时,动点轨迹是以F2 为
端点向右延伸的一条射线；当
2
1
1
2
PF
PF
F F
时,动点轨迹是以F1 为端点向左延伸的一条射线．
②若2
2
a
c
,即
1
2
1
2
PF
PF
F F
,根据平面几何知识知,动点轨迹不存在．
（3）注意定义中的“非零”这一限制条件,若差的绝对值等于零,则动点轨迹是线段
1
2
F F 的垂直平分线．
考点二：双曲线的标准方程
1、双曲线的两种标准方程
焦点位置
焦点在x 轴
焦点在y 轴
图形
标准方程
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
2
2
2
2
1
0,
0
y
x
a
b
a
b
焦点坐标
1
,0
F
c
、
2
,0
F c
1 0,
F
c
、
2 0,
F
c
, ,
a b c 的关系
2
2
2
c
a
b
考点三：双曲线方程的求解
1.用定义法求双曲线的标准方程
根据双曲线的定义，确定
的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程.
2.用待定系数法求双曲线的标准方程
用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x 轴还是y 轴上，设出标准方程，再由条件确定
a2，b2 的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为
或
，再根据条件求解.
考点四：由双曲线标准方程求参数范围
1.对于方程
2
2
1
x
y
m
n
，当
0
mn
时表示双曲线；
当
0,
0
m
n
时表示焦点在x 轴上的双曲线；当
0,
0
m
n
时表示焦点在y 轴上的双曲线.
2.对于方程
2
2
1
x
y
m
n
，当
0
mn
时表示双曲线；
当
0,
0
m
n
时表示焦点在x 轴上的双曲线；当
0,
0
m
n
时表示焦点在y 轴上的双曲线.
3.已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根
据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。
考点五：双曲线的焦点三角形
1.①根据双曲线的定义求出
1
2
2
PF
PF
a ；
②利用余弦定理表示出
1
PF 、
2
PF 、
1
2
F F 之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出
1
2
PF
PF 的值；
④利用公式
1
2
1
2
1
sin
2
S
PF
PF
F PF 求得面积。
2.利用公式
1
2
1
2
p
S
F F
y
求得面积；
3.若双曲线中焦点三角形的顶角
1
2
F PF
，则面积
2
tan 2
b
S
，结论适用于选择或填空题。
模块二：题型分类
题型一：双曲线的定义及辨析
1.已知双曲线
�2
9 −
�2
16 = 1 的左右焦点分别为�1，�2，点�在双曲线上，��1 = 7，则��2 =（
）
A．13
B．10
C．1
D．13 或1
2．已知动点
( , )
M x y 满足
2
2
2
2
(
2)
(
2)
4
x
y
x
y
，则动点M 的轨迹是（
）
A．射线
B．直线
C．椭圆
D．双曲线的一支
3．已知点
1 0, 2
F
，
2 0,2
F
，则在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹为双曲线的是（
）
A．
1
2
3
PF
PF
B．
1
2
3
PF
PF
C．
1
2
4
PF
PF
D．
1
2
4
PF
PF
4.已知P 为双曲线
2
2
1
9
16
x
y
右支上一点，
1
2
,
F F 为双曲线的左右焦点，
1
2
PF
PF
等于（
）
A．8
B．6
C．4
D．3
5.化简方程
2
2
2
2
5
5
8
x
y
x
y
的结果是（
）
A．
2
2
1
4
3
x
y
B．
2
2
1
9
16
x
y
C．
2
2
6
25
1
1
x
y
D．
2
2
1
16
9
x
y
6.已知双曲线�:
�2
5 −�2 = 1 的左、右焦点分别为�1, �2，点�是�的左支上一点，则��1 −��2 =（
）
A．2 5
B．−2 5
C．±
5
D．±2 5
7.设
1F 、
2
F 是两定点，
1
2
6
F F
，动点P 满足
1
2
4
PF
PF
，则动点P 的轨迹是（
）
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．一条射线
D．轨迹不存在
8.若点M 在双曲线
2
2
1
16
4
x
y
上，双曲线的焦点为
1
2
,
F F ，且
1
2
3
MF
MF
，则
2
MF 等于（
）
A．2
B．4
C．8
D．12
9.在平面直角坐标系���中，已知双曲线�：
�2
4 −�2 = 1 的左焦点为�，点�在�的右支上，�关于�的对称点
为�，则��−��=（
）
A．−2 5
B．2 5
C．−4
D．4
10.已知�1, �2为双曲线�2 −
�2
3 = 1 的左，右焦点，�为坐标原点，�为双曲线上一点，且cos∠�1��2 =
7
25，
则�到�轴的距离为（
）
A．2
B．
7
3
C．
21
3
D．
57
3
11．（多选）已知平面直角坐标系中，点
1,0
A
、
1 0
B
,
，点P 为平面内一动点，且
2
PA
PB
a a
R ，
则下列说法准确的是（
）
A．当
0
a
时，点P 的轨迹为一直线
B．当
1
a 时，点P 的轨迹为一射线
C．当
1
a 时，点P 的轨迹不存在
D．当
1
2
a
时，点P 的轨迹是双曲线
12．（多选）已知
1
2
( 3,0),
(3,0)
F
F
，满足条件
1
2
2
1
PF
PF
m
的动点P 的轨迹是双曲线的一支．则下列
数据中，m 可以是（
）
A．1
2
B．2
C．1
D．3
13.（多选）在平面直角坐标系xOy 中，已知点
2,0 ,
2,0 ,
A
B
P
是一个动点，则下列说法正确的是（
）
A．若
4
PA
PB
，则点P 的轨迹为椭圆
B．若
2
PA
PB
，则点P 的轨迹为双曲线
C．若
2
2
|
|
|
|
4
PA
PB
，则点P 的轨迹为一条直线
D．若|
| |
|
PA
PB
PA
PB
，则点P 的轨迹为圆
14．如图，小明在ABCD 外的某处出发，在ABCD 范围内存在一条界线，已知小明出发点与界线一侧某点
的距离为a，若该界线另一侧也始终存在一个点与小明出发点的距离a，根据你的判断，你觉得该界线可
能是（
）
A．椭圆的一部分
B．一段圆弧
C．双曲线的一部分
D．抛物线的一部分
题型二：双曲线的标准方程的求解
1．在双曲线的标准方程中，若
6,
8
a
b
，则其标准方程是（
）
A．
2
2
1
36
64
y
x
B．
2
2
1
64
36
x
y
C．
2
2
1
36
64
x
y
D．
2
2
1
36
64
x
y
或
2
2
1
36
64
y
x
2.已知点�−2,0 , �2,0 ，动点�满足��−��= 2 2，则动点�的轨迹方程为（
）
A．
�2
2 −
�2
2 = 1 �≥
2
B．
�2
2 −
�2
2 = 1
C．
�2
4 −
�2
2 = 1 �≥2
D．
�2
4 −
�2
2 = 1
3.双曲线经过点
1,0
，焦点分别为
1
2,0
F
、
2 2,0
F
，则双曲线的方程为（
）
A．
2
2
1
2
x
y
B．
2
2
1
2
y
x
C．
2
2
1
3
x
y
D．
2
2
1
3
y
x
4.已知点
1
2
4,0 ,
4,0
F
F
，曲线上的动点P 到
1
2
,
F F 的距离之差为6，则曲线方程为（
）
A．
2
2
1
0
9
7
x
y
x
B．
2
2
1
9
7
x
y
C．
2
2
1
0
9
7
y
x
y
D．
2
2
1
9
7
y
x
5．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)
6
c ，焦点在x 轴上，且过点
5,2
A
；
(2)经过两点
7, 6 2
A
，
7, 3
B
.
6．已知
1
5,0
F
、
2 5,0
F
两点，根据下列条件，写出动点M 的轨迹方程．
(1)
1
2
10
MF
MF
；
(2)
1
2
8
MF
MF
；
(3)
1
2
6
MF
MF
．
7.设中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的焦距为16，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离的差的绝
对值等于6，双曲线的方程为（
）
A．
�2
9 −
�2
55 = 1
B．
�2
9 −
�2
7 = 1
C．
�2
100 −
�2
64 = 1
D．
�2
7 −
�2
9 = 1
8.已知双曲线的左､右焦点分别为�1 −3,0 , �2 3,0 , �为双曲线上一点，且��2 −��1
= 2，则双曲线的
标准方程为（
）
A．�2 −
�2
8 = 1
B．�2 −
�2
10 = 1
C．
�2
8 −�2 = 1
D．
�2
10 −�2 = 1
9.以椭圆
2
2
1
9
16
x
y
的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（
）
A．
2
2
1
7
9
y
x
B．
2
2
1
7
9
x
y
C．
2
2
1
9
16
y
x
D．
2
2
1
9
16
x
y
10.与椭圆C ：
2
2
1
15
6
x
y
共焦点且过点
2,
2
P
的双曲线的标准方程为（
）
A．
2
2
1
16
7
x
y
B．
2
2
1
6
3
x
y
C．
2
2
1
3
6
x
y
D．
2
2
1
9
16
x
y
11．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)
6
c ，焦点在x 轴上，且过点
5,2
A
；
(2)
4
b
，一个焦点的坐标是
8,0
；
(3)经过两点
7, 6 2
A
，
7, 3
B
．
12．分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是( 5,0),(5,0)
，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8；
(2)双曲线的一个焦点坐标是(0, 6)
，且双曲线经过点
( 5,6)
A
．
13.根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)�= 4，经过点�1, −
4 10
3
；
(2)以椭圆
�2
8 +
�2
5 = 1 长轴的端点为焦点，且经过点3,
10 ；
(3)过点�3,
15
4 ，�−
16
3 , 5 且焦点在坐标轴上.
题型三：双曲线轨迹方程
1.已知动圆与圆�1: (�+ 4)2 + �2 = 1 及圆�2: (�−4)2 + �2 = 9 都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（
）
A．�2 −
�2
15 = 1
B．�2 −
�2
15 = 1(�≤−1)
C．
�2
15 −�2 = 1
D．
�2
15 −�2 = 1(�≤−
15)
2.设�1、�2是两定点，�1�2 = 6，动点P 满足��1 −��2 = 4，则动点P 的轨迹是（
）
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．一条射线
D．轨迹不存在
3.与圆
2
2
1
x
y
及圆
2
2
8
12
0
x
y
x
都外切的圆的圆心在（
）
A．椭圆上
B．双曲线上的一支上C．抛物线上
D．圆上
4．与两圆
2
2
4
x
y
及
2
2
8
15
0
x
y
x
都外切的圆的圆心的轨迹为（
）
A．椭圆
B．双曲线的一支
C．抛物线
D．圆
5．已知圆
2
2
:(
2)
9
A
x
y
，圆
2
2
:(
2)
1
B
x
y
，圆C 与圆A 、圆B 外切，则圆心C 的轨迹方程
为
．
6.已知�( −2,0), �(2,0)，��−��= 4，则动点P 的轨迹是（
）
A．双曲线
B．双曲线左支
C．一条射线
D．双曲线右支
7．动点
( , )
M x y 与定点
(4,0)
F
的距离和它到定直线
9
:
4
l x
距离的比是常数4
3 ，求动点M 的轨迹.
8．已知动点M 与两定点
3 0
A , ，
3,0
B
构成
MAB
△
，且直线MA ，MB 的斜率之积为4，求动点M 的轨
迹方程.
9.已知
3,2 ,
3, 2
A
B
，若动点M 满足直线MA 与直线MB 的斜率之积为1
3 ，则动点M 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1,
3
3
x
y
x
B．
2
2
1,
3
3
x
y
x
C．
2
2
1
3
x
y
D．
2
2
1
3
x
y
10.如图，定圆O的半径为定长r ，A 是圆O外一个定点，P 是圆O上任意一点.线段AP 的垂直平分线l 与直
线OP 相交于点Q ，当点P 在圆O上运动时，点Q 的轨迹是（
）
A．射线
B．椭圆
C．双曲线
D．圆
11.已知
2,0
M
，圆
:
C
2
2
4
0
x
x
y
，动圆P 经过M 点且与圆C 相切，则动圆圆心P 的轨迹方程是（
）
A．
2
2
1
1
3
y
x
x
B．
2
2
1
3
3
x
y
x
C．
2
2
1
3
y
x
D．
2
2
1
3
x
y
12.已知�−2,0 ，圆�: �2 −4�+ �2 = 0，动圆�经过�点且与圆�相切，则动圆圆心�的轨迹方程是（
）
A．�2 −
�2
3 = 1 �≥1
B．
�2
3 −�2 = 1 �≥
3
C．�2 −
�2
3 = 1
D．
�2
3 −�2 = 1
13．M 是一个动点，MA 与直线y
x
垂直，垂足A 位于第一象限，MB 与直线y
x
垂直，垂足B 位于第
四象限，若四边形OAMB （O为原点）的面积为4，则动点M 的轨迹方程是（
）
A．
2
2
8
y
x
B．
2
2
16
x
y
C．
2
2
8(
0)
x
y
x
D．
2
2
16(
0)
x
y
x
14．已知圆
2
2
: (
4)
16
M
x
y
，M 为圆心，P 为圆上任意一点，定点
(4,0)
A
，线段PA 的垂直平分线l 与
直线PM 相交于点Q ，则当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1(
2)
4
12
x
y
x
B．
2
2
1
4
12
x
y
C．
2
2
1(
1)
3
y
x
x
D．
2
2
1
3
y
x
15．已知椭圆C 的方程为
2
2
1
4
2
x
y
，其左､右顶点分别为
,
A B ，一条垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于
,
E F 两
点，直线AE 与直线BF 相交于点M ，则点M 的轨迹方程为
.
16.求下列动圆的圆心�的轨迹方程：
(1)与圆�1: �2 + �−2 2 = 1 和圆�2: �2 + �+ 2 2 = 4 都内切；
(2)与圆�1: �+ 3 2 + �2 = 9 内切，且与圆�2: �−3 2 + �2 = 1 外切；
(3)在△���中，�−3,0 ，�3,0 ，直线��，��的斜率之积为
16
9 ，求顶点�的轨迹方程.
17.直线�= �和�=−�上各有一点�, �（其中点�, �的纵坐标分别为��, ��且满足����< 0），△���的面积
为4，则��的中点�的轨迹方程为（
）
A．�2 + �2 = 4
B．�2 −�2 = 4
C．�2 −�2 = 4
D．�2 + �2 = 8
题型四：由双曲线的方程求参数
1．若双曲线
2
2
1
3
x
y
m
的一个焦点为( 2,0)
，则m 的值为（
）
A．
7
B．1
C．1
D．7
2．若双曲线
2
2
1(
4)
5
4
x
y
的焦距为4，则（
）
A．
1
2
B．1
C．2
D．5
2
3．双曲线
2
2
1
2
x
y
a
与椭圆
2
2
2
1
4
x
y
a
的焦点相同，则a 等于（
）
A．1
B．2
C．1 或2
D．2
4．若双曲线
2
2
2
1(
0)
x
y
a
a
的右焦点与圆
2
2
8
0
x
y
x
的圆心重合，则
a
.
5．双曲线
2
2
15
(
0)
x
y
a a
与椭圆
2
2
1
25
9
x
y
的焦点相同，则实数
a
.
题型五：根据方程表示双曲线求参数范围
1.已知方程
2
2
1
3
2
y
x
m
m
表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是（）
A．
2
，
B．
5
2 2
，
C．
3
，
D．5 3
2
，
2．已知曲线
2
2
1
2
3
5
x
y
m
m
表示双曲线，则实数m 的取值范围是（
）
A．
3
,
5,
2
B．
5,
C．
3
, 2
D．3 ,5
2
3.若方程
2
2
1
7
1
x
y
m
m
表示双曲线，则实数m 的取值范围是
.
4．“
4
k
”是“方程
2
2
1
2
4
x
y
k
k
表示的曲线是双曲线”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5.已知曲线�:
�2
6 +
�2
�= 1(�≠0)，则“�∈(0,6)”是“曲线�的焦点在�轴上”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6.若方程
2
2
(1
)
1
m x
my
表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为
.
7．写出使“方程
2
2
1
3
x
y
m
m
表示焦点在x 轴上的双曲线”的m 的一个值
.
8．已知曲线
2
2
1
2
1
x
y
m
m
是焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是
．
9．（多选）已知方程
2
2
1
4
1
x
y
t
t
表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（
）
A．当1
4
t
时，曲线C 是椭圆
B．当
4
t
或
1
t 时，曲线C 是双曲线
C．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则
5
1
2
t
D．若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则
4
t
10.若方程
�2
3−�+
�2
�−1 = 1 所表示的曲线为�，则下面四个命题中正确的是（
）
A．若�为椭圆，则1 < �< 3
B．若�为双曲线，则�> 3 或�< 1
C．曲线�不可能是圆
D．若�为椭圆，且长轴在�轴上，则1 < �< 2
11．（多选）若关于,x y 的方程
2
2
2
1
2
0
x
y
xy
x
y
表示的曲线为C ，则（
）
A．当
1
时，C 表示双曲线
B．当
0
时，C 表示两条直线
C．当
1
时，C 表示圆
D．当
2
时，C 表示关于坐标轴对称的椭圆
题型六：求双曲线焦点三角形周长与面积
1.已知双曲线�：
�2
16 −
�2
9 = 1 的左，右焦点分别为�1，�2，过�2的直线与双曲线�的右支交于�，�两点，且
��= 6，则△�1��的周长为（
）
A．20
B．22
C．28
D．36
2.已知
1F ，
2
F 分别是双曲线
2
2
:
1
9
4
y
x
C
的上、下焦点，过
1F 的直线l 交C 于A，B 两点，若AB 的长等于
虚轴长的3 倍，则
2
ABF
△
的周长为
．
3．已知双曲线
2
2
:
1
16
4
x
y
C
的左、右焦点分别为
1
2
F
F
、
，在左支上过
1F 的弦AB 的长为4，那么
2
ABF
△
的
周长是（
）
A．24
B．20
C．16
D．8
4.双曲线16�2 −9�2 = 144 的左、右两焦点分别为�1, �2，点�在双曲线上，且��1 ⋅��2 = 64，求△��1�2
的面积．
5.设
1
2
,
F F 是双曲线
2
2
1
5
4
x
y
的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且
1
2
:
2:1
PF
PF
，则
1
2
PF F
△
的面积等
于
．
6．若椭圆
2
2
1
0
x
y
m
t
m
t
与双曲线
2
2
1
0,
0
x
y
n
t
n
t
有相同的焦点
1F ，
2
F ，P 是两曲线的一个
交点，则
1
2
F PF
△
的面积是（
）
A．2
t
B．t
C．2t
D．4t
7.设�1，�2为双曲线
�2
9 −
�2
4 = 1 的两个焦点，点�在双曲线上，且满足��1 ⊥��2，则△�1��2的面积是
8.已知双曲线C：
�2
4 −
�2
3 = 1 的左、右焦点分别为�1，�2，点P 在双曲线C 上，O 为坐标原点，若��= ��1 ，
则△��1�2的面积为（
）
A．
1
2
B．1
C．2
D．3
9.双曲线�:
�2
9 −
�2
16 = 1 的右支上一点�在第一象限，�1，�2分别为双曲线�的左、右焦点，�为△��1�2的内
心，若内切圆�的半径为1，则△��1�2的面积等于（
）
A．24
B．12
C．
32
3
D．
16
3
题型七：利用焦点三角形求其他量
1.若
1
2
,
F F 是双曲线
2
2
1
9
16
x
y
的两个焦点，P 是双曲线左支上的点，且
1
2
F PF
△
的面积是16，则
1
2
|
| |
|
PF
PF
2．已知
1F ，2
F 分别是双曲线
2
2
:
1
2
y
C x
的左、右两个焦点，点M 在双曲线的右支上，且
1
2
6
MF
MF
，
则
1
2
MF F
（
）
A．30
B．45
C．60
D．90
3.已知双曲线的方程是
�2
16 −
�2
8 = 1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点�1的距离为10，点N 是��1的中
点，O 为坐标原点，则��=
.
4.已知双曲线
2
2
1
9
4
x
y
，1
2
,
F F 是它的两个焦点，O 为坐标原点，P 是双曲线右支上一点，
1
2
3
cos
5
F PF
，则
PO
（
）
A．10
B．15
C．2 5
D．33
5.设点P 在双曲线
�2
9 −
�2
16 = 1 上，�1, �2为双曲线的两个焦点，且��1 : ��2 = 1: 3，则△�1��2的周长等
于
，cos∠�1��2 =
．
6．已知
1
2
F
F
、
分别是双曲线
2
2
:
1
4
3
x
y
C
的左、右焦点，O是坐标原点，点P 是双曲线C 上一点，且
10
OP
，则
1
2
cos
F PF
（
）
A．1
3
B．1
2
C．3
5
D．2
3
7．已知双曲线
2
2
1
5
y
x
的左、右焦点分别为
1F ，2
F ，点M 位于双曲线的右支上，1F M 交左支于N ，
2
MNF
的内切圆I 的半径为1，I 与
2
NF ，MN 分别切于点P ，R ，则cos
RNP
.
8.设双曲线
�2
4 −
�2
3 = 1 的左、右焦点分别为�1，�2，�为双曲线右支上一点，且|��1| = 3|��2|，则∠�1��2
的大小为
．
9.已知双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1(�, �> 0)的焦点为�1, �2，离心率为2，点�是�上一点，若△��1�2的面积为��，
则∠�1��2为（
）
A．锐角
B．直角
C．钝角
D．不能确定
10.已知�1，�2分别为双曲线�：
�2
�2 −
�2
�2 = 1 �> 0, �> 0 的左、右焦点，左右顶点分别为�1, �2，离心率为
2，点�为双曲线C 上一点，直线�1�，�2�的斜率之和为
6 15
5 ，△��1�2的面积为15，则�=（
）
A．2 2
B．2
C．2
D．1
11.已知点�1, �2分别为双曲线�:
�2
4 −
�2
5 = 1 的左､右焦点，过点�1的直线�交双曲线�的右支第一象限于点�，
若△�1��2的内切圆的半径为1，则直线�的斜率为（
）
A．
5
13
B．
5
12
C．1
D．3
题型八：利用双曲线定义求线段和差最值问题
1．已知F 是双曲线C：
2
2
1
8
y
x
的右焦点，P 是C 的左支上一点，
0, 7
A
，则PA
PF
的最小值为
（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
2.已知
0,4
A
，双曲线
2
2
1
4
5
x
y
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，点P 是双曲线左支上一点，则
2
|
|
PA
PF
的最小值为（
）
A．5
B．7
C．9
D．11
3．设
1F ，
2
F 为双曲线C：
2
2
1
3
x
y
的左、右焦点，Q 为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当
1
QF
PQ
取最小值时，
2
QF 的值为（
）
A．3
2
B．
3
2
C．
6
2
D．
6
2
4.已知圆
2
2
:
(
4)
1
C x
y
上有一动点P ，双曲线
2
2
1
9
7
: x
M
y
的左焦点为F ，且双曲线的右支上有一动
点Q ，则PQ
QF
的最小值为（
）
A．4 2
1
B．4 2
5
C．4 2
7
D．4 2
5
5.已知双曲线�:
�2
4 −
�2
4 = 1 的左焦点为�，点�是双曲线�右支上的一点，点�是圆�: �2 + (�−2 2)2 = 1
上的一点，则��+ ��的最小值为（
）
A．5
B．5 + 2 2
C．7
D．8
6．过双曲线
2
2
2
1
16
x
y
a
的左焦点F 作圆
2
2
2 2
3
x
y
a
a
的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于
P，点M 为线段FP 的中点，连接MO，则MO
MT
的最大值为
．
7．P 为双曲线
2
2
1
15
y
x
右支上一点，M，N 分别是圆
2
2
4
4
x
y
和
2
2
4
1
x
y
上的点，则
PM
PN
的最大值为
.
8．已知点
1,2
M
，点P 是双曲线
2
2
:
1
9
16
x
y
C
左支上的动点，
2
F 为其右焦点，N 是圆
2
2
:
5
1
D
x
y
的
动点，则PM
PN
的最小值为
．
9.已知
(6,4)
A
，双曲线C：
2
2
1
4
5
x
y
的左焦点为F，P 是双曲线C 的右支上的动点，则|
|
|
|
PF
PA
的最大
值是（
）
A．1
B．2
C．109
D．9
10.已知双曲线
2
2
:
1
4
5
y
x
C
的下焦点为F ，
3,7
A
，P 是双曲线C 上支上的动点，则PF
PA
的最大值
是（
）
A．不存在
B．8
C．7
D．6
11.已知�1，�2为双曲线�:
�2
4 −
�2
2 = 1 的左、右焦点，点P 是C 的右支上的一点，则
��1
2
��2 的最小值为（
）
A．16
B．18
C．8 + 4 2
D．9 +
15 2
2
12.已知点�是双曲线�1:
�2
4 −�2 = 1 的上焦点，�是�1下支上的一点，点�是圆�2: �2 + �2 −4�+ 3 = 0 上
一点，则��+ ��的最小值是（
）
A．7
B．6
C．5
D．4 2 −1
13．已知点
5 4
A
,
，点F 是双曲线
2
2
:
1
4
5
x
y
C
-
= 的右焦点，点P 是双曲线C 右支上一动点，则当APF
的
周长取得最小时APF
的面积为
;
14．已知
1
2
F
F
，
分别是双曲线
2
2
2
:
1(
0)
3
x
y
C
a
a
的左、右焦点，P 是C 左支上一动点，(0,2 3)
A
，△
2
APF
周长的最小值为10，求此时△
1
2
PFF 的面积=
.
模块三：综合巩固
1.已知双曲线的方程为
2
2
1
5
4
x
y
，则该双曲线的焦距为（
）
A．2
B．4
C．2 5
D．6
2．M 是双曲线
2
2
1
4
12
x
y
上一点，点
1
2
,
F F 分别是双曲线左右焦点，若
1
5
MF
，则
2
MF （
）
A．9 或1
B．1
C．9
D．9 或2
3.已知双曲线的实轴长为4 ，焦点为
4,0 , 4,0
，则该双曲线的标准方程为（
）
A．
2
2
1
4
12
x
y
B．
2
2
1
12
4
x
y
C．
2
2
1
5
y
x
D．
2
2
1
5
y
x
4．在平面直角坐标系中，一动圆C 与x 轴切于点
(4,0)
A
，分别过点
( 5,0),
(5,0)
M
N
作圆C 的切线并交于
点P (点P 不在x 轴上)，则点P 的轨迹方程为（）
A．
2
2
1(
4)
16
9
x
y
x
B．
2
2
1(
4)
16
9
x
y
x
C．
2
2
1(
4
16
9
x
y
x
或
4)
x
D．
2
2
1
16
9
x
y
5.已知AB 是平面内两点，且|
| 6
AB
，判断当P 点满足下列哪个条件时其轨迹不存在（
）
A．|
|
|
| 2024
PA
PB
B．|
|
|
| 2024
PA
PB
C．|
| |
| 2024
PA
PB
D．|
|
|
| 2023
PA
PB
6．已知椭圆
2
2
:
1
5
x
y
M
m
和双曲线
2
2
:
1
5
6
x
y
C
m
，则m 的取值范围为（
）
A．
0,
B．
0,6
C．
0,5
5,6
D．
6,
7.若方程
2
2
1
3
6
x
y
m
m
表示双曲线，则m 的取值范围是（
）
A．
3
m 或
6
m
B．3
6
m
C．
6
m 或
3
m
D．6
3
m
8．已知双曲线
2
2
2
:
1(
0)
y
C x
m
m
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，直线l 经过
2
F 且与C 的右支相交于A，B
两点，若
2
AB
，则
1
ABF
的周长为（
）
A．6
B．8
C．10
D．12
9.设P 是双曲线
2
2
1
16
20
x
y
上一点，
1
2
,
F F 分别是双曲线左右两个焦点，若
1
9
PF
，则
2
PF 等于（
）
A．1
B．17
C．1 或17
D．5 或13
10.与圆A ：
2
2
5
49
x
y
和圆B ：
2
2
5
1
x
y
都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
3
4
x
y
B．
2
2
1
9
16
x
y
C．
2
2
1
3
9
16
x
y
x
D．
2
2
1
3
9
16
x
y
x
11．如图所示，双曲线型冷却塔的外形，是离心率为3 的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，已知
该冷却塔的上口半径为3cm，下口半径为4cm，高为8cm（数据以外壁即冷却塔外侧表面计算），则冷却
塔的最小直径为（
）
A．
574
8
cm
B．
287
8
cm
C．
574
4
cm
D．
287
4
cm
12．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个
焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学
装置由有公共焦点
1F 、
2
F 的椭圆T与双曲线S 构成，现一光线从左焦点
1F 发出，依次经S 与T反射，又回
到了点
1F ，历时1t 秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点
1F 发出，经T两次反射后又回到了点
1F ，
历时2t 秒：若2
1
3
t
t
，则T的长轴长与S 的实轴长之比为（
）
A．3: 2
B．4:3
C．2:1
D．3:1
13．已知
1F 、
2
F 分别为双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点，且
2
1
2
2b
F F
a
，点P 为双曲线右支上一
点，I 为
1
2
PF F
△
内心，若
1
2
1 2
IPF
IPF
IF F
S
S
S
l
=
+
△
△
△
，则的值为（
）
A．
5
2
B．1
2
C．
5
1
2
D．
5
1
2
14．（多选）已知m ，n 为两个不相等非零实数，则方程
0
mx
y
n
，与
2
2
nx
my
mn
所表示的曲线不
可能是（
）
A．
B．
C．
D．
15.（多选）已知m nR
､
，则方程
2
2
2
1
m x
ny
表示的曲线可能是（
）
A．两条直线
B．圆
C．焦点在x 轴的椭圆
D．焦点在y 轴的双曲线
16．
（多选）若双曲线
1
C ：
2
2
1
3
x
y
与双曲线
2
C 关于直线
1
y
x
对称，则双曲线
2
C 的焦点坐标可能为（
）
A．
3, 1
B．
3,1
C．
1, 1
D．
1,1
17.(多选)已知左、右焦点分别是
1F ，2
F 的双曲线
2
2
1
4
x
y
上有一点
( , )
P m n （m ，
0
n
），且
1
2
15
cos
16
F PF
，
则（
）
A．
1
2
31
sin
16
F PF
B．
1
2
16
PF PF
C．
1
2
PF F
△
的面积为31
D．
1
2
PF F
△
的周长为12
2 5
18．已知F 是双曲线
2
2
1
16
9
x
y
的左焦点，
4,4 ,
A
P 是双曲线右支上的动点，则PF
PA
的最小值
为
.
19.若点P 是双曲线
2
2
:
1
4
12
x
y
C
上一点，
1F ，
2
F 分别为C 的左、右焦点，
1
9
PF
，则
2
PF
.
20.以椭圆
2
2
1
8
4
x
y
的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为
．
21．已知点F1，F2分别是双曲线
2
2
1
9
16
x
y
=1 的左、右焦点，若点P 是双曲线左支上的点，且
1
2
32
PF
PF
，
则△
1
2
F PF 的面积为
.
22.已知P 是双曲线
2
2
1
9
7
x
y
上的点，F 为双曲线的右焦点，点A 的坐标为
5,1 ，则PF
PA
的最小值
是
．
23．已知动圆C 与圆
2
2
1 : (
3)
4
C
x
y
，圆
2
2
2:(
3)
4
C
x
y
中的一个外切､一个内切，求动圆圆心C 的
轨迹方程为
24．双曲线C 的渐近线方程为
2 3
3
y
x
，一个焦点为
(0,
7)
F
，点
( 2,0)
A
，点P 为双曲线第一象限内
的点，则当点P 的位置变化时，
PAF
△
周长的最小值为
.
25．已知点P 在双曲线
2
2
:
1
16
9
x
y
C
上，若,
P Q 两点关于原点O对称，直线
1
PF 与圆
2
2
2
x
y
r
相切于点M
且
1
2OM
OP
OF
，其中
1
2
,
F F 分别为双曲线C 的左､右焦点，则
1
PFQ
△
的面积为
．
26.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是
5,0 , 5,0
，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；
(2)焦点在x 轴上，经过点
4, 2
P
和点
2 6,2 2
Q
．
(3)经过点
( 3,2 7)
P
和
( 6 2, 7)
Q
．
(4)已知与椭圆
2
2
1
49
24
x
y
共焦点的双曲线过点
5 ,
6
2
P
27．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦点在x 轴上，
2 5
a
，经过点
5,2
A
；
(2)经过
7, 6 2
A
、
2 7,3
B
两点．
(3)过点
2,2
P
，且与椭圆
2
2
1
9
4
x
y
有相同焦点双曲线方程.
28．已知
1( 4,0)
F
､
2(4,0)
F
是双曲线
2
2
:
1
0
4
x
y
C
m
m
的两个焦点，点M 是双曲线C 上一点，且
1
2
60
F MF
，求
1
2
F MF
△
的面积.
29．已知方程
2
2
1
2
1
x
y
k
k
表示的图形是：（1）双曲线；（2）椭圆；（3）圆．试分别求出k 的取值范围．
30．已知双曲线
2
2
2
x
y
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，过点
2
F 的动直线与双曲线相交于
,
A B 两点．若动
点M 满足
1
1
1
1
F M
F A
F B
FO
（其中O为坐标原点），求点M 的轨迹方程；
31.已知双曲线
2
2
2
:
1(
0)
2
y
x
C
a
a
的上、下焦点分别是
1
2
,
F F ，P 为双曲线C 上支上的动点，
1
2
4
F F
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若
1
2
π
3
F PF
，求
1
2
PF
PF
．
32．已知圆
1
O ：
2
2
5
1
x
y
的圆心为
1
O ，圆
2
O ：
2
2
5
9
x
y
的圆心为
2
O ，动圆M 与圆
1
O 和圆
2
O
均外切，记动圆M 圆心的轨迹为曲线C .
(1)求C 的方程；
(2)若P 是C 上一点，且
1
2
O P
O P
，求
1
2
O O P
△
的面积.
