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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 14 练 导数的概念及其意义、导数的运算（精
练）
1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.
1
2.能根据导数的定义求函数y=c（c为常数），y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=√x等函数的导数.
x
3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复
合函数（限于形如f (ax+b)）的导数，会使用导数公式表.
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）设函数 ，则曲线 在点 处的切线与两坐标轴所围
成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点 处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得
其面积.
【详解】 ，
则 ，
即该切线方程为 ，即 ，令 ，则 ，令 ，则 ，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积 .
故选：A.
2．（2023·全国·高考真题）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方
程即可求解.
【详解】设曲线 在点 处的切线方程为 ，
因为 ，
所以 ，
所以
所以
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
故选：C
二、填空题
3．（2024·全国·高考真题）若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则
.
【答案】【分析】先求出曲线 在 的切线方程，再设曲线 的切点为 ，
求出 ，利用公切线斜率相等求出 ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.
【详解】由 得 ， ，
故曲线 在 处的切线方程为 ；
由 得 ，
设切线与曲线 相切的切点为 ，
由两曲线有公切线得 ，解得 ，则切点为 ，
切线方程为 ，
根据两切线重合,所以 ，解得 .
故答案为：
4．（2022·全国·高考真题）曲线 过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
【答案】
【分析】分 和 两种情况，当 时设切点为 ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜
率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 ，即可求出切线方程，当 时同理可得；
【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求
分 和 两种情况，当 时设切点为 ，求出函数 导函数，即可求出切线的斜率，从而
表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 ，即可求出切线方程，当 时同理可得；
解： 因为 ，
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
故答案为： ；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
因为 是偶函数，图象为：
所以当 时的切线，只需找到 关于y轴的对称直线 即可.
[方法三]：
因为 ，
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
故答案为： ； .
5．（2022·全国·高考真题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是
．
【答案】
【分析】设出切点横坐标 ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于 的方程，
根据此方程应有两个不同的实数根，求得 的取值范围.
【详解】∵ ，∴ ，
设切点为 ,则 ,切线斜率 ,
切线方程为： ,
∵切线过原点，∴ ,
整理得： ,
∵切线有两条，∴ ,解得 或 ,
∴ 的取值范围是 ,
故答案为：
【A级 基础巩固练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）下列求导运算正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用求导公式和求导法则进行判断即可.
【详解】 ，故A错误；
因为 是个常数，所以 ，故B错误；
，故C正确；
，故D错误．
故选：C．
2．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知函数 ,则 （ ）
A． B． C． D．-3
【答案】C
【分析】两边分别求导,再赋值即可解决.
【详解】两边求导,得 ,令 ,即 ,解得 .
故选：C.
3．（23-24高二下·贵州贵阳·阶段练习）曲线 在 处的切线与坐标轴围成的面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】运用导数求得切线方程，再求得切线与两坐标轴的交点，进而可求得三角形面积.
【详解】由 ，则 ，
，所以 在 处切线的方程为 ，即 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为 .
故选：A.
4．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数 ，则曲线 在 处的切
线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出函数 的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即可.
【详解】函数 ，求导得 ，则 ，而 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 .
故选：A
5．（2024·河北邯郸·二模）设函数 的图像与 轴相交于点 ，则该曲线在点 处的切线方
程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 可计算出切点坐标，结合导数的几何意义可得切线斜率，即可得解.
【详解】令 ，即 ，即 ，解得 ，故 ， ，则 ，
则其切线方程为： ，即 .
故选：C.
6．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）函数 在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出函数的导数，从而得到切线的斜率，由点斜式公式求出切线方程.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
所以切线方程为 ，
即 .
故选：C
7．（2022·全国·模拟预测）已知函数 ，若曲线 存在与y轴垂直的切线，则a的最大
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可推出方程 有实根，分离参数即方程 有实根．由此构造函数 ，
利用导数求出其最值，即可求得答案.
【详解】由 ，得 ，因为曲线 存在与y轴垂直的切线，所以方程 有实根，
即方程 有实根．
设 ，则 ，当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，故 ，
又当 趋向于负无穷大时， 也趋向于负无穷大，当 趋向于正无穷大时， 趋向于0，
所以 ，
则a的最大值为 ，
故选：C．
8．（2024·福建漳州·一模）若曲线 在点 处的切线方程为 ，则 （ ）
A．3 B． C．0 D．1
【答案】C
【分析】
根据题意结合导数的几何意义列式求解即可.
【详解】因为 ，则 ，
由题意可得： ，解得 ，所以 .
故选：C.
9．（2024·河南·模拟预测）函数 与直线 相切于点 ，则点 的横坐标为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【分析】设出 ，求导，直线 的斜率为 ，根据导数的几何意义得到方程，求出横坐标
【详解】设函数 与直线 相切于点 ，直线 的斜率为 ，
，所以 ，所以 ．
故选：B．
10．（23-24高二下·山东泰安·阶段练习）若函数 的图像在点 处的切线恰为直
线 ，则 （ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由条件可得 ， ，即可求得 ．
【详解】函数 的导数为 ，
由题意可得，图像在点 处的切线恰为直线 ，
所以 ， ，解得 ， ，
即 ．
故选：D．
二、多选题
11．（23-24高三上·河南·阶段练习）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得.
【详解】对于选项A，因为 ，故A正确；对于选项B，因为 ，故B错误；
对于选项C，因为 ，故C正确；
对于选项D，因为 ，故D错误．
故选：AC．
12．（22-23高三上·安徽·阶段练习）过点 的直线与函数 的图象相切于点 ，则
的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据过函数图象上一点处的切线与导数之间的关系求解.
【详解】因为 ，所以 ，
由题意得直线 的斜率 ，
即 ，解得 或
故选:AD.
13．（22-23高二上·黑龙江双鸭山·期末）已知曲线 ，则曲线过点 的切线方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】设出切点坐标，对函数求导求出切线斜率，利用点斜式方程写出切线，将 代入，解方程计
算出切点坐标，进而得出切线方程．
【详解】设切点坐标为 ，， 切线斜率为
切线方程为
曲线过点 ，代入得
可化简为 ，即 ，解得 或
则曲线过点 的切线方程为 或
故选：BD
三、填空题
14．（2024·湖北·二模） 是 在 处的切线方程，则 ．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义求出斜率，再求切线方程即可.
【详解】令 ， ，
则 ，则方程为 ，将 代入方程，得 ，解得 ，
故答案为：
15．（22-23高三下·全国·阶段练习）已知曲线 在点 处与直线 平行，则曲线 在点 处
切线方程为 ．
【答案】
【分析】求导得导函数，根据平行得到 ，结合点斜式即可求解.
【详解】 ，则 ，切线斜率为 ，
由于切线与直线 平行，切线斜率为 ，
于是得 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．故答案为：
16．（23-24高三下·山东·开学考试）已知函数 与 相切，则
．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义进行求解即可.
【详解】显然该函数的定义域为全体正实数，
设切点为 ，则 ，
由题知 ，解得 ， 舍去，
所以切点为 ，
代入直线方程得 ．
故答案为： ．
17．（2024·甘肃兰州·一模）函数 （e是自然对数的底）在 处的切线方程是 ．
【答案】
【分析】求导可得斜率，即可求解直线方程.
【详解】因为 ，
故 ， ，
所以切线方程为 ，
故答案为：
18．（2024·四川·模拟预测）写出与函数 在 处有公共切线的一个函数 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】求出函数的导函数，即可 ， ，依题意只需满足 ， 即可，找到
一个符合题意的解析式即可.
【详解】因为 ，所以 ，则 ， ，依题意只需满足 ， 即可，
不妨令 ，则 ，则 ，又 ，符合题意．
故答案为： （答案不唯一）
19．（2024·四川·模拟预测）已知 ，直线 与曲线 相切，则
．
【答案】2
【分析】根据导数的几何意义设切点坐标为 ，求导由斜率可得 的值，从而代入曲线方程与切线方
程可得 ，即可得 的值.
【详解】设切点坐标为 ，对函数 求导得 ，
则切线斜率 ，得 ，
所以 ，且 ，
则 ，即 ．
故答案为：2.
【B级 能力提升练】
一、单选题
1．（23-24高三上·广西·开学考试）曲线 在A点处的切线与直线 垂直，则切
线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由切线与直线 垂直可得切线的斜率，利用导数的几何意义可得切点坐标，从而可求切线方程.
【详解】由 ，得 ， ，
设 ， ，则 ，
由题意可得，直线 的斜率为 ，所以曲线 在过点 处的切线的斜率为3，
所以 ，解得 ，
则可得切点 ，所以切线方程为 ，即 .
故选：D．
2．（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）已知函数 ，直线 过点 且与曲线
相切，则直线 的斜率为（ ）
A．24 B． 或 C．45 D．0或45
【答案】B
【分析】设直线 与曲线 相切的切点为 并求切线方程，将点 代入切线方程，从而解
方程即可得到结果.
【详解】由 ，得 ，
设直线 与曲线 相切的切点为 ，
则 在 处的切线斜率为 ，
所以，切线方程为 ，
将点 的坐标代入并整理，得 ，
即 ，解得 或 ，
所以直线 的斜率为24或 .
故选：B.3．（2024·重庆渝中·模拟预测）若斜率为1的直线 与曲线 和圆 都相切，则实数
的值为（ ）
A． B．1 C．3 D． 或3
【答案】D
【分析】设直线 与曲线 的切点为 ，先根据导数的几何意义求出 在切点
处的切线方程，再根据直线与圆相切和圆心到直线距离的关系列式求解即可．
【详解】设直线l与曲线 的切点为 ，
由 ，则 ，
则 ， ，即切点为 ，
所以直线l为 ，又直线l与圆 都相切，
则有 ，解得 或 .
故选：D.
4．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知直线 与函数 的图象相切（ ），则
（e为自然对数的底数）的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．e
【答案】C
【分析】设切点为 ，根据切点在切线和曲线上，以及切点处的导数等于切线斜率，联立求解可得
，则 ，构造函数 ，利用导数求最小值即可.
【详解】设直线 与函数 的图象相切于点 ，则 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，所以 ，所以 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增.
所以，当 时， 取得最小值 ，
所以 的最小值为2.
故选：C
5．（2024·内蒙古·三模）若过点 可以作曲线 的两条切线，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设出切点，求导，利用导数几何意义求出切线方程，代入 ，得到 ，构造
，求导，得到函数单调性，从而得到 ，结合当 时，
，当 时， ，从而得到答案.
【详解】在曲线 上任取一点 ，对函数 求导，得 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .由题意可知，点 在直线 上，可得 .
令 ，则 .
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以 ，且当 时， ，当 时， ，
又直线 与曲线 的图象有两个交点，
所以 的取值范围为 .
故选：C
6．（2025·四川内江·模拟预测）若过点 可以作两条直线与曲线 相切，则下列选项正
确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设切点 ，根据切线经过点 ，得到 ，令 ，
转化为 与 有两个不同的交点求解.
【详解】设切点 ，
因为 ，所以 ，
所以点P处的切线方程为 ，
又因为切线经过点 ，
所以 ，即 ，令 ，
则 与 有两个不同的交点，
，
当 时， 恒成立，所以 单调递增，不合题意；
当 时，当 时， ，当 时， ，
所以 ，则 ，即 ，
故选：B
二、多选题
7．（2024·湖南·二模）下列函数的图象与直线 相切的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】假设选项中的曲线与直线 相切，利用导数的几何意义求出对应斜率是否为1，求得切点进
行逐一判断即可得出结论.
【详解】选项A中，若 与 相切，设切点为 ，
易知 ，则 ，解得 ，即切点为 ，切线为 ，A正确；
选项B中，若 与 相切，设切点为 ，
易知 ，则 ，解得 ，切点为 ，切线方程为 ，即B错误；
选项C中，若 与 相切，设切点为 ，易知 ，则 ，解得 ，
当 时，切点为 ，切线方程为 ，C正确；
选项D中，易知 与 有三个交点， ，
又 ，显然在三个交点处的斜率均不是1，所以 不是切线，D错误.
故选：AC
8．（23-24高三上·广东深圳·期末）若直线 与曲线 相切，则 的取值可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】BCD
【分析】设出切点，利用导数几何意义得出 ，由切点既在直线上又在曲线上得出 ，由
此将 转化为函数 求值域可得.
【详解】设切点为 ，
因为 ，所以 .
又因为切点 在直线 上，
所以 ，解得 ，
所以 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，所以 ，又当 .
故 的取值范围为 .
故选：BCD.
三、填空题
9．（2024·湖北·模拟预测）写出函数 的一条斜率为正的切线方程： ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据导数的几何意义结合导数运算求导函数，取定义域内的点作切点，求斜率与切点坐标即可得
切线方程.
【详解】 ， ，则 ，
取切点为 ，则斜率为 ，
又 ，
则切线方程为： ，即 .
故答案为： （答案不唯一）
10．（23-24高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数 ，过原点作曲线
的切线 ，则切线 的斜率为 ．
【答案】
【分析】设出切点，求得切点处 的切线方程，根据其过点 ，求得切点横坐标，即可求得切线斜
率.
【详解】根据题意得， ，设切点坐标为 ，则 ，所以切线 的方程为 ，
将点 代入，可得 ，整理得 ，
故 ，解得 ，
故 ，即切线 的斜率为 ．
故答案为： .
11．（2024·山东·一模）已知A，B分别为直线 和曲线 上的点，则 的最小值为
．
【答案】 /
【分析】由题意 的最小值为 到直线 上距离的最小值，再设 ，则当 处的切线与
平行时取得最小值.
【详解】由题意 的最小值为曲线上点 到直线 距离的最小值，
设 ，则 为增函数，
令 则 ，故当 时 ， 单调递减；当 时 ， 单调递增.
故 ，即 在曲线 下方.
则当 处的切线与 平行时 取得最小值.
设 ，对 求导有 ，由 可得 .
故当 时取最小值 .故答案为：
12．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数 ，且 为曲线 的一条切线，
则 ．
【答案】2
【分析】求出函数 的导数，设出切点坐标，利用导数的几何意义，结合已知切线求出a值.
【详解】设 与曲线 相切的切点 ，
由 求导得 ，切线斜率为 ，
因此切线方程为 ，
依题意， ，且 ，联立消去 得 ，
令函数 ， ，求导得 ，
当 时， ，当 时， ，因此函数 在 上递减，在 上递增，
当 时， ，则 时， ，
所以 .
故答案为：2
13．（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）若曲线 上存在垂直于 轴的切线，则 的范
围是
【答案】
【分析】由题意函数 的定义域 ，求导 ．因为存在垂直于 轴的切线，
故此时斜率为 ，问题转化为 内导函数 存在零点，求解参数 ．
【详解】
由题意函数 的定义域 ，
求导 ，因为存在垂直于 轴的切线，故此时斜率为 ，
即 ， 存在零点，
故 ，即
令 ， ，则 ，
故 ，
故答案为：
【C级 拓广探索练】
一、单选题
1．（2024·浙江金华·三模）若存在直线与曲线 ， 都相切，则a的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数分别求得与 相切的切线方程，可得 ，进而可得
有解，从而利用导数可求 的范围.【详解】设直线与 相切与点 ，因为 ，
所以切线方程 ，即 ，
设直线与 相切与点 ，
因为 ，所以切线方程 ，即 ，
，
所以 有解，
令 ， ，
所以函数 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
的范围为 .
故选：A.
【点睛】思路点睛：本题考查曲线公切线相关问题的求解，求解曲线公切线的基本思路是假设切点坐标，
利用导数的几何意义分别求得两曲线的切线方程，根据切线方程的唯一性构造方程组来进行求解.
2．（2024·河北秦皇岛·二模）已知直线 与函数 的图象相切，则函数 的图
象在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义，求出 ， ，构造函数 ，
，求出 ，求出函数 的图象在 处的切线方程，求出切线与坐标轴围成的三角形的面积得解.
【详解】设切点为 ，又 ，所以
解得 ， ， .
令 ， ，所以 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 .
函数 的图象在 处的切线方程为 ，
即 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以函数 的图象在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积 ，
即函数 的图象在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积的最小值为 .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是求出 ，构造函数 ，
，求出 的最小值.
二、多选题
3．（23-24高三下·山东济南·开学考试）假设直线 与曲线 相切，若切点唯一，则称直线 与曲线 单
切；若切点有两个，则称直线 与曲线 双切；若 还与曲线 相交，则称直线 与曲线 交切.已知函数 ，则（ ）
A．直线 与曲线 双切
B．直线 与曲线 单切
C．直线 与曲线 交切
D．存在唯一的直线，与曲线 单切且交切
【答案】AC
【分析】利用函数 的图象可作出 的图象，数形结合，即可判断A，C；结合单切
的含义以及导数的几何意义可判断B；根据函数图象的对称性可判断D.
【详解】令 ，则 ，
令 或 ；令 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
的极大值为 ，极小值为 ，
且 时， 或 ，
由此可得 的图象，继而可作出 的图象，如图：
对于A，C，直线 与曲线 相切，切点为 ，故直线 与曲线 双切，同时 还与曲线 相交，
故直线 与曲线 交切，A，C正确；
对于B，由于 ，则 ，故曲线 不存在斜率为 的切线，
令 ，解得 ，即曲线 斜率为4的切线的切点横坐标位于 内，
结合 的图象知：曲线 斜率为 的切线的切点横坐标位于 内，故作出直线 与
曲线 相交，B错误；
对于D，由于 定义域为R，满足 ，故 为偶函数，其
图象关于y轴对称，
故不存在唯一的直线，与曲线 单切且交切，
否则若存在直线与曲线 单切且交切，如图 ，则必存在关于y轴对称的直线 与曲线 单
切且交切，D错误，
故选：AC
三、填空题
4．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）若点 ，则 两点间距离 的最小值
为 .
【答案】 /
【分析】由题意可得点 在直线 上，点 在曲线 上，在曲线 上找到与直线
平行的切线，则该切线与直线 的距离即为 的最小值.【详解】点 在直线 上，点 在曲线 上，
即求 的最小值等价于求直线 上的点到曲线 上的点的距离的最小值，
过 上的点 作 的切线，可得 ，
令 ，可得 ，故该切线为 ，
则直线 与 的距离即为 的最小值，
此时 ，即 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于观察出点 在直线 上，点 在曲线 上，则可
借助求直线 上的点到曲线 上的点的距离的最小值得到 的最小值.
5．（2024·广西来宾·一模）已知函数 ，动直线 与 的图象分别交于A，B两点，
曲线 在点A和点B的两条切线相交于点C，当 为直角三角形时，它的面积为 .
【答案】1
【分析】根据题意，可得 是偶函数，则 关于 轴对称，C在 轴上，设 ，不妨设点 在
轴右侧，利用导数的几何意义求出 ，根据直线 与直线 垂直，可求得 ，再求出切线
的方程得点 坐标，求出 .
【详解】由 ， ，
又 ，所以函数 是偶函数.如图，由对称性可得直线 与 图象的交点 关于 轴对称，曲线 在点A和点B的两条
切线的交点C在 轴上，
设 ，不妨设点 在 轴右侧，则 ，即 ，得 ，
又 ，所以曲线在点 处切线的斜率为 ，由对称性得 ，
，解得 ，即 .
所以切线 的方程为 ，令 ，解得 ，
， .
故答案为：1.
【点睛】思路点睛：先证明函数 是偶函数，由对称性可得 关于 轴对称，C在 轴上，设出
，根据 ，求出 ，再求出切线 的方程求得点 坐标，进而求出三角形 的面
积.
