3.5 抛物线及其标准方程
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：抛物线的定义................................................................ 2
考点二：抛物线的标准方程.......................................................... 2
考点三：解题技巧与方法............................................................. 3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：抛物线方程简单应用....................................................... 3
题型二：抛物线的定义及辨析....................................................... 4
题型三：抛物线的轨迹问题.......................................................... 6
题型四：抛物线标准方程求解....................................................... 8
题型五：抛物线相关量求解.......................................................... 9
题型六：抛物线定义求线段及和差最值..........................................10
题型七：抛物线的实际应用问题...................................................12
模块三：综合巩固....................................................................... 17
3.5 抛物线及其标准方程
模块一：基础知识
考点一：抛物线的定义
1.定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫
做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．如图所示，抛物线上的点M 到定点F 的距离为|MF|，到定直
线l 的距离为|MH|，则|MF|=|MH|
2.抛物线集合表示：
,
为点
到准线的距离
P
M MF
d d
M
l
．
3.要点辨析：
（1）定点F 不在定直线l 上，否则动点M 的轨迹不是抛物线，而是过点F 垂直于直线l 的一条直线．
（2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，
这也是利用抛物线定义解题的实质．
考点二：抛物线的标准方程
1.抛物线的标准方程
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
2
2
(
0)
y
px p
,0
2
p
F
2
p
x
2
2
(
0)
y
px p
,0
2
p
F
2
p
x
2
2
(
0)
x
py p
0, 2
p
F
2
p
y
2
2
(
0)
x
py p
0,
2
p
F
2
p
y
2.注意：①“ p ”是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0；
②只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式．
3.对标准方程的理解
（1）标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式．
（2）焦点的非零坐标是一次项系数的1
4
．
（3）准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称．
（4）方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．p
的值决定开口大小，p 越大，则抛物线开口越大；p 越小，则抛物线开口越小．
（5）抛物线虽然是不封闭图形，但与双曲线不同，它没有渐近线．
考点三：解题技巧与方法
1.由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法
（1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得
到参数p ，从而得焦点坐标与准线方程，要注意
0
p
；
（2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，
系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴。
2.求抛物线标准方程的方法
(1)定义法
根据抛物线的定义，确定p 的值(系数p 是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标
准方程有四种形式，要注意选择．
(2)待定系数法
①根据抛物线焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p 的
方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程．
②当焦点位置不确定时，有两种方法解决：
法一
分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x 轴上的抛物线，
为避免开口方向不确定可分为y
2＝2px(p>0)和y
2＝－2px(p>0)两种情况求解
法二
设成y
2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m 有两个解，则抛物
线的标准方程有两个．同理，焦点在y 轴上的抛物线可以设成x
2＝my(m≠0)．如果
不确定焦点所在的坐标轴，应考虑上述两种情况设方程
模块二：题型分类
题型一：抛物线方程简单应用
1.准线方程为
1
y 的抛物线的标准方程是（
）
A．
2
4
x
y
B．
2
8
y
x
C．
2
4
y
x
D．
2
8
x
y
= -
2.已知抛物线的焦点是
(0,2)
F
，则抛物线的标准方程是（
）
A．
2
8
y
x
B．
2
8
x
y
C．
2
8
y
x
D．
2
8
x
y
= -
3.抛物线�= 4�2的焦点坐标是（
）
A．1,0
B．0,1
C．
1
16 , 0
D．0,
1
16
4.抛物线
2
8
x
y
= -
的准线方程是（
）
A．
1
32
x
B．=
2
y
C．
1
32
y
D．
2
y
5．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)顶点在原点，准线方程为
4
y
；
(2)顶点在原点，且过点
3,2
；
(3)顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3
4
12
0
x
y
上；
(4)焦点在x 轴上，且抛物线上一点
3,
A
m 到焦点的距离为5.
题型二：抛物线的定义及辨析
1.已知抛物线
2
2
y
x
，则其焦点到准线的距离为（
）
A．1
4
B．1
2
C．1
D．4
2．（多选）已知抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为
,
F O 为坐标原点，点
0
0
(
,
)
M x
y
在抛物线C 上，若
4
MF
，则
（
）
A．
0
3
x
B．
0
2 3
y
C．
21
OM
D．F 的坐标为
0,1
3.已知抛物线
2
:
8
C y
x
的焦点为
,
F 点M 在C 上. 若M 到直线
2
x 的距离为4，则MF （
）
A．7
B．6
C．5
D．4
4.已知抛物线�2 = 2��(�> 0)上任意一点到焦点F 的距离比到y 轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（
）
A．�2 = �
B．�2 = 2�
C．�2 = 4�
D．�2 = 8�
5．已知抛物线
2
4
x
y
的焦点为F ，点M 在抛物线上，且
3
MF
，则M 点到y 轴的距离为（
）
A．2 3
B．2 2
C．2
D．1
6．已知抛物线C：
2
2
0
y
px p
的顶点为O，经过点
0,2
A x
，且F 为抛物线C 的焦点，若
3
AF
OF
，
则p＝（
）
A．1
2
B．1
C．
2
D．2
7．已知抛物线
2
2
x
py
上一点
0,2
A x
到焦点的距离是该点到x 轴距离的2 倍，则p
．
8．已知抛物线E ：
2
8
x
y
的焦点为F ，点P 为E 上一点，Q 为PF 靠近点P 的三等分点，若
10
PF
，则Q
点的纵坐标为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
9．若抛物线
2
2
y
x
上的两点A，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点的横坐标是
．
10.已知抛物线�: �2 = 2��(�> 0)的焦点为�，准线为�，点�是抛物线�上一点，��⊥�于�.若��=
2, ∠���= 60∘，则抛物线�的方程为（
）
A．�2 = 8�
B．�2 = 4�
C．�2 = 2�
D．�2 = �
11．（多选）对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线�2 = 10�的有（
）
A．焦点在y 轴上
B．焦点在x 轴上
C．抛物线上横坐标为1 的点到焦点的距离等于6
D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)
12．（多选）对于抛物线上
1
8 �2 = �，下列描述正确的是（
）
A．开口向上，焦点为0,2
B．开口向上，焦点为0,
1
16
C．焦点到准线的距离为4
D．准线方程为�=−2
13.若抛物线
2
4
x
y
上的一点A 到焦点的距离为5，则点A 的纵坐标是（）
A．1
4
B．1
2
C．2
D．4
14.已知�为抛物线�: �2 = 2��(�> 0)的焦点，点�在�上，且点�到直线�=−�的距离为3�，则��=（
）
A．3�
B．2�
C．
7
2 �
D．
5
2 �
15.已知点��, 2 为抛物线�2 = 2���> 0 上一点，且点�到抛物线的焦点�的距离为3，则�=（
）
A．
1
2
B．1
C．2
D．4
16.已知抛物线C：�2 = 4 3�的焦点为F，点P 为抛物线C 上一点，过点P 作抛物线的准线的垂线，垂足
为M，且∠���=
2π
3 ，则��=（
）
A．2
B．4
C．4 3
D．
4 3
3
17.已知抛物线�: �2 = 2���> 0 的焦点为�, �为�上一点，�为坐标原点，当∠���=
2π
3 时，��= 6，则�=
（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
18.已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F，准线为l，点A 在抛物线C 上，点B 在准线l 上，若
AFB
△
是
边长为2 的等边三角形，则p 的值是（
）.
A．1
B．
3
C．2
D．2 3
题型三：抛物线的轨迹问题
1.到定点�(1,0)的距离比到�轴的距离大1 的动点且动点不在�轴的负半轴的轨迹方程是（
）
A．�2 = 8�
B．�2 = 4�
C．�2 = 2�
D．�2 = �
2.点P 到直线
3
y 的距离比到点
0, 1
F
的距离大2，则点P 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
y
x
B．
2
4
y
x
C．
2
4
x
y
D．
2
4
x
y
3．写出一个与直线= 1
x 相切，且与圆
2
2
2
1
x
y
外切的圆的方程
.
4.若圆C 与x 轴相切且与圆
2
2
4
x
y
外切，则圆C 的圆心的轨迹方程为（
）
A．
2
4
4
x
y
B．
2
4
4
x
y
C．
2
4
4
x
y
D．
2
4
4
x
y
5.一个动圆与定圆�：�+ 2 2 + �2 = 1 相内切，且与定直线�: �= 3 相切，则此动圆的圆心M 的轨迹方程
是（
）
A．�2 = 8�
B．�2 = 4�
C．�2 =−4�
D．�2 =−8�
6．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 的轨迹为曲线C .①过点
1,0
F
的动圆恒与y 轴相切，FP 为该圆的直
径；②点P 到
1,0
F
的距离比P 到y 轴的距离大1.在①和②中选择一个作为条件.
选择条件：，求曲线C 的方程.
7．已知直线l 平行于y 轴，且l 与x 轴的交点为(4,0) ，点A 在直线l 上，动点P 的纵坐标与A 的纵坐标相
同，且OA
OP
，求P 点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状．
8.已知点�到点�( −2,0)的距离比点�到直线�= 3 的距离小1.
(1)求点�的轨迹方程；
(2)求线段��中点�的轨迹方程.
9．平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
:
4
y
x
，F 为的焦点，A ，B 为上的两个不重合的动点，使得线
段AB 的一个三等分点P 位于线段OF 上（含端点），记Q 为线段AB 的另一个三等分点.求点Q 的轨迹方程.
10．已知点P 是曲线
2
1
y
x
上任意一点，
2,0
A
，连接PA 并延长至Q，使得
2
AQ
PA
，求动点Q 的
轨迹方程．
11．已知点
,
P x y 到定点
1
0, 2
M
的距离比它到x 轴的距离大1
2 ，则PM
，点P 的轨迹点C 的方
程为
．
12.已知动点M 的坐标满足方程
2
2
(
1)
1
0
x
y
y
，则动点M 的轨迹是（
）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
题型四：抛物线标准方程求解
1.已知抛物线C 关于x 轴对称，且焦点在直线3
2
6
0
x
y
上，则抛物线C 的标准方程为（
）
A．
2
4
y
x
B．
2
4
y
x
C．
2
8
y
x
D．
2
8
y
x
2.焦点在直线2
5
10
0
x
y
上的抛物线的标准方程为（
）
A．
2
10
y
x
或
2
4
x
y
B．
2
10
y
x
或
2
4
x
y
C．
2
20
y
x
或
2
8
x
y
D．
2
20
y
x
或
2
8
x
y
= -
3．已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点
1, 2
M
，求抛物线的标准方程和准线方
程.
4.分别求符合下列条件的抛物线方程:
(1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点�2,3 ;
(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为
5
2.
5.已知抛物线�的顶点在原点，焦点�在坐标轴上，点�关于其准线的对称点为6,0 ，则�的方程为（
）
A．�2 =−8�
B．�2 =−4�
C．�2 = 8�
D．�2 = 4�
6.已知抛物线�: �2 = 2��(�> 0)）的焦点为F，点�(�, 4)在抛物线C 上，且��= 4，则抛物线C 的准线
方程是（
）
A．�=−4
B．�=−2
C．�=−4
D．�=−2
7．点
(5,3)
M
到抛物线
2x
ay
的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（
）
A．
2
1
12
x
y
B．
2
1
12
x
y
或
2
1
36
x
y
C．
2
12
x
y
或
2
36
x
y
D．
2
1
36
x
y
8.抛物线�2 = 2��(�> 0)上纵坐标为2 的点到焦点的距离5，则该抛物线的方程为（
）
A．�2 = 12�
B．�2 = 10�
C．�2 = 8�
D．�2 = 6�
9.如图，过抛物线�2 = 2��(�> 0)的焦点F 的直线�交抛物线于两点A、B，交其准线于C，��与准线垂直
且垂足为�，若��= 2 ��, ��= 3，则此抛物线的方程为（
）
A．�2 =
3�
2
B．�2 = 9�
C．�2 =
9�
2
D．�2 = 3�
10．如图，曲线
1
C 是以原点O为中心，
1F 、
2
F 为焦点的椭圆的一部分，曲线
2
C 是以
2
F 为焦点的抛物线的
一部分，A 是曲线
1
C 和
2
C 的交点且
2
1
AF F
为钝角，若
1
7
2
AF
，
2
5
2
AF
．求曲线
1
C 和
2
C 的方程．
题型五：抛物线相关量求解
1.已知抛物线C：
2y
mx
过点
2, 5 ，则抛物线C 的准线方程为（）
A．
5
8
x
B．
5
8
x
C．
3
8
x
D．
3
8
x
2.已知抛物线�: �= 6�2，则�的准线方程为（
）
A．�=−
3
2
B．�=
3
2
C．�=−
1
24
D．�=
1
24
3.已知抛物线C：�2 = ��过点2,
5 ，则抛物线C 的准线方程为（
）
A．�=
5
8
B．�=−
5
8
C．�=
3
8
D．�=−
3
8
4.已知抛物线�: �2 = ��(�> 0)上的点�(2,
2�)到其准线的距离为4，则�=（
）
A．6
B．
1
8
C．8
D．
1
4
5.已知抛物线�2 = 2��的焦点在直线�= 2�+ 1 上，则�=（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．已知点P 在抛物线
2
:
2
0
C y
px p
上，过P 作C 的准线的垂线，垂足为H ，点F 为C 的焦点．若
60
HPF
，点P 的横坐标为1，则p
.
7.已知抛物线�: �2 = 2��(�> 0)的焦点为F，准线为l，点A 在抛物线C 上，点B 在准线l 上，若△���
是边长为2 的等边三角形，则�的值是（
）.
A．1
B．3
C．2
D．2 3
8.设抛物线�: �2 = 2��(�> 0)的焦点为�，准线为�, �是�上一点，�是�与�轴的交点，若��= 4 2, ��=
4，则�=（
）
A．2
B．2
C．2 2
D．4
题型六：抛物线定义求线段及和差最值
1.设抛物线
2
4
y
x
上一点P 到y 轴的距离为
1d ，到直线3
4
12
0
x
y
的距离为
2
d ，则
1
2
d
d
的最小值为
（
）
A．3
B．2
C．16
3
D．5
2．设P 是抛物线
2
8
y
x
上的一个动点，F 为抛物线的焦点，点
3,1
B
，则PB
PF
的最小值为
.
3.设抛物线�2 = 2�的焦点是�，点�是抛物线上的动点，且点�4,2 ，则��+ ��的最小值为（
）
A．
7
2
B．4
C．
9
2
D．5
4.已知抛物线方程为:�2 = 16�，焦点为�.圆的方程为�−5 2 + �−1 2 = 1，设�为抛物线上的点，�为
圆上的一点，则��+ ��的最小值为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
5.已知点�2,5 ，且�是抛物线�: �2 = 4�的焦点，�为�上任意一点，则��+ ��的最小值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
6.已知
3,2
A
，抛物线
2
:
8
C y
x
的焦点为
,
F P 是抛物线C 上任意一点，则
PAF
△
周长的最小值为（
）
A．3 2
B．5
2 2
C．5
5
D．3
2 2
7.已知
( ,2),
( ,3)
A m
B n
，C 是抛物线
2
:
4
M
x
y
上的三个点，F 为焦点，
(4,3)
D
，点C 到x 轴的距离为d，
则AF
BF
CD
d
的最小值为（
）
A．10
B．6
2 5
C．11
D．7
2 5
8.已知
(5,2)
A
，点P 是抛物线
2
8
y
x
上的一点，点B 是圆
2
2
: (
2)
1
F
x
y
上的一点，则|
|
|
|
PA
PB
的最
小值为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
9．已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F，点
(3,1)
A
在C 的内部，若点B 是抛物线C 上的一个动点，
且
ABF
△
周长的最小值为4
5
，则p （
）
A．1
B．2
C．3
D．4
10．在平面直角坐标系xOy 中，M 是以F 为焦点的抛物线
2
2
0
y
px p
上任意一点，N 是线段MF 上
的点，且
3
4
MN
MF
，则直线ON 斜率的最大值为（
）
A．1
B．
2
2
C．
1
2
D．
3
3
11．已知抛物线
2
2
(
0)
x
py p
在第一象限内的一点
,2
A a
到抛物线焦点F 的距离为3，若P 为抛物线准
线上任意一点，则当
PAF
△
的周长最小时，直线AP 的斜率为
.
12．已知
3,2
A
，若点P 是抛物线
2
8
y
x
上任意一点，点Q 是圆
2
2
(
2)
1
x
y
上任意一点，则PA
PQ
的最小值为
.
13．已知点
,
A B 分别是抛物线
2
:
4
C y
x
和圆
2
2
:
2
4
4
0
E x
y
x
y
上的动点，点A 到直线:
2
l x
的距
离为d ，则AB
d
的最小值为
．
14．已知A 为抛物线C ：
2
4
y
x
上的一个动点，F 为C 的焦点．
(1)当
2
AF
时，求A 的坐标；
(2)若点B 的坐标为
4,0 ，求AB 的最小值．
题型七：抛物线的实际应用问题
1.已知一隧道的顶部是抛物拱形，拱高是1 米，跨度为2 米，建立适当的平面直角坐标系，求相应坐标系
下此拱形的抛物线方程．
2.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶
部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，已知行车道总宽度��= 6m，那么车辆
通过隧道的限制高度为（
）
A．2.25m
B．3.25m
C．3.5m
D．3.75m
3.石拱桥是世界桥梁史上出现较早、形式优美、结构坚固的一种桥型.如图，这是一座石拱桥，桥洞弧线可
近似看成是顶点在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上的抛物线C 的一部分，当水距离拱顶4 米时，水面的宽
度是8 米，则抛物线C 的焦点到准线的距离是（
）
A．1 米
B．2 米
C．4 米
D．8 米
4.2024 年3 月20 号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球
背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为4.2m 的“金色大伞”，它的曲面与轴
截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点�处.若“金
色大伞”的深度为0.49m，则“金色大伞”的边缘�点到焦点�的距离为（
）
A．2.25m
B．2.74m
C．4.5m
D．4.99m
5.已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5 米时，水面宽8 米，一条木船宽4 米，木船露出水面上
的部分高为0.75 米.
(1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程；
(2)当水面上涨0.5 米时，木船能否通行？
(3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？
6.上世纪90 年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993 年江宁区出资帮助洛南修建了宁
洛桥，增强了两地之间的友谊.如今人行道两侧各加宽6 米，建成了“彩虹桥”（图1），非常美丽.桥上一抛
物线形的拱桥（图2）跨度��= 30m，拱高��= 5m，在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，则支柱�1�1
的长度为
m.（精确到0.01m）
7.如图，某大桥中央桥孔的跨度为20m，拱顶呈抛物线形，拱顶距水面10m，桥墩高出水面4m.现有一货
轮欲通过此孔，该货轮水下宽度不超过18m.目前吃水线上部分中央船体高16m，宽16m.若不考虑水下深
度，该货轮在此状况下能否通过桥孔？试说明理由.
8.一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射
聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.
(1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标；
(2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标.
9．如图1 所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的
照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结
构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2 是图1 的轴截面，A，B 两点关于抛物线的对称轴对称，F
是抛物线的焦点，∠AFB 是馈源的方向角，记为，焦点F 到顶点的距离f 与口径d 的比值f
d 称为抛物面
天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角满足，tan
4 5
，
则其焦径比为（
）
A．
10
4
B．
10
8
C．
5
4
D．
5
8
10．（多选）上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军
使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，
是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚A ，B 两点和敌方阵地D 点在同一条直线上，某
炮弹的弹道DCE 是抛物线Γ 的一部分，其中E 在直线AB 上，抛物线的顶点C 到直线AB 的距离为100 米，
DE 长为400 米，CD
CE
，
30
CAB
，建立适当的坐标系使得抛物线Γ 的方程为
2
2
0
x
py p
，则
（
）
A．
200
p
B．Γ 的准线方程为
100
y
C．Γ 的焦点坐标为
0, 50
D．弹道CE 上的点到直线AC 的距离的最大值为50 3
3
11．如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证
发出的光线经过反射之后平行射出.已知灯口圆的直径为60cm，灯的深度为40cm.
(1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？
(2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66cm，并且保持光源与顶点的距离
不变.求探照灯的深度.
12．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA 的顶端A 处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，
如图所示.现要求水流最高点B 离地面5m，点B 到管柱OA 所在直线的距离为4m，且水流落在地面上以O
为圆心，以9m 为半径的圆上，求管柱OA 的高度.
13.如图，�地在�地东偏北45∘方向，相距2 2km 处，�地与东西走向的高铁线（近似看成直线）�相距4km
已知曲线形公路��上任意一点到�地的距离等于到高铁线�的距离，现要在公路旁建造一个变电房�（变电
房与公路之间的距离忽略不计），分别向�地、�地送电．
(1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路��所在曲线的方程；
(2)问变电房�应建在相对�地的什么位置（方位和距离），才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最
短长度．
14．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为
2
2
1
100
25
x
y
，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物
线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，
36
0, 5
为顶点的抛物线的一部分（从点C 到点B ）.已知观测点A
的坐标
6,0 ，当航天器与点A 距离为4 时，指挥中心向航天器发出变轨指令.
(1)求航天器变轨时点C 的坐标；
(2)求航天器降落点B 与观测点A 之间的距离.
模块三：综合巩固
1.顶点在原点，焦点是
(0,3)
F
的抛物线的标准方程是（
）
A．
2
21
y
x
B．
2
12
x
y
C．
2
1
12
y
x
D．
2
1
12
x
y
2.抛物线
:
C
2
6
y
x
的准线方程为（
）
A．
2
x
B．
1
24
x
C．=
2
y
D．
1
24
y
3．抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F，且抛物线C 与椭圆
2
2
1
2
x
y
在第一象限的交点为A，若AF
x
轴，则p （
）
A．2
B．1
C．2 2
3
D．2
3
4.已知抛物线
2
(
0)
y
mx m
的准线方程为= 1
x ，则m 的值为（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
5.动圆与定圆A：
2
2
(
2)
1
x
y
外切，且和直线x＝1 相切，则动圆圆心的轨迹是（
）
A．直线
B．抛物线
C．椭圆
D．双曲线
6．已知动点P(x，y)满足
2
2
5
1
(
1)
3
4
7
x
y
x
y
（
）
，则动点P 的轨迹是（
）
A．直线
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
7.点
(5,3)
M
到抛物线
2x
ay
的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（
）
A．
2
1
12
x
y
B．
2
1
12
x
y
或
2
1
36
x
y
C．
2
12
x
y
或
2
36
x
y
D．
2
1
36
x
y
8．已知抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为F ，
0,2
P
，点Q 在抛物线C 上，且PQ
PF
，则QF （
）
A．4
B．5
C．8
D．9
9.设点
(0,8)
A
，抛物线
2
2
(
0)
y
px p
上的点P 到y 轴的距离为d ，若|
|
PA
d
的最小值为4，则p （
）
A．6
B．10
C．12
D．16
10．已知抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为F，准线为l，过C 上一点A 作l 的垂线，垂足为B.若
3
AF
，则
AFB
△
的外接圆面积为（
）.
A．27π
8
B．64π
27
C．9π
4
D．25π
16
11．设抛物线
2
4
x
y
上一点P 到x 轴的距离为d ，点Q 为圆
2
2
(
4)
(
2)
1
x
y
任一点，则d
PQ
的最小
值为（
）
A．2 5
1
B．2
C．3
D．4
12．已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点为F，准线为l，A，B 为C 上两点，且均在第一象限，过A，B
作l 的垂线，垂足分别为D，E.若
1
AB ，
1
sin
4
DFE
，则
AFB
△
的外接圆面积为（
）.
A．16π
15
B．15π
16
C．14π
15
D．15π
14
13．已知ABC
的顶点在抛物线
2
2
y
x
上，若抛物线的焦点F 恰好是ABC
的重心，则FA
FB
FC
的
值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
14.（多选）对于抛物线
2
16
x
y
，下列描述正确的是（
）
A．开口向上，焦点为(0,4)
B．开口向上，焦点为(4,0)
C．准线方程为
4
x
D．准线方程为
4
y
15．（多选）已知抛物线
2
:
4
C x
y
的焦点为F ，O为坐标原点，点
0
0
(
,
)
M x
y
在抛物线C 上，若
5
MF
，
则（
）
A．F 的坐标为
1,0
B．
0
4
y
C．|
| 4 2
OM
D．
2
OFM
S
!
16.以直线
2
1
0
x
y
与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（
）
A．
2x
y
B．
2
2
x
y
C．
2
2
y
x
D．
2
4
y
x
17．（多选）已知抛物线C：
2
4
y
x
的焦点为F，准线为l，点
A
l ，线段AF 交抛物线C 于点B，过点B
作l 的垂线，垂足为H，若
3
FA
FB
，则（
）
A．
5
3
BH
B．
4
AF
C．
3
AF
BH
D．
4
AF
BH
18．
（多选）在平面直角坐标系xOy 中，点F 是抛物线
2
:
0
C y
ax a
的焦点，两点
,1
16
a
A
、
,
0
B a b
b
在抛物线C 上，则下列说法正确的是（
）
A．抛物线C 的方程为
2
4
y
x
B．
4
b
C．以AB 为直径的圆的方程是
2
2
17
3
25
8
2
8
x
x
D．A 、F 、B 三点共线
19.已知抛物线C ：
2
2
0
x
py p
，若C 上一点
0,3
M x
到焦点F 的距离为6，则p 的值为
.
20．准线方程为
2
x 的抛物线的标准方程为
.
21.抛物线
2
2
0
y
px p
的焦点到直线
1
y
x
的距离为
2 ，则p
.
22．抛物线
2
4
y
x
的焦点为F，点P 在双曲线C：
2
2
1
4
2
x
y
的一条渐近线上，O 为坐标原点，若OF
PF
，
则△PFO 的面积为
.
23．过点
0,4
F
且与直线
4
0
y
相切的动圆圆心的轨迹方程为
．
24.已知抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为F ，若P 是该抛物线上一点，点
4,3
Q
，则PF
PQ
的最小值
.
25．已知直线l 是抛物线
2
:
2
C y
x
的准线，抛物线的顶点为O，焦点为F ，若A 为C 上一点，l 与C 的对
称轴交于点B ，在
ABF
△
中，sin
2sin
AFB
ABF
，则AB 的值为
．
26．已知点P 是曲线
2
1
y
x
上任意一点，
2,0
A
，连接PA 并延长至Q ，使得
2
AQ
PA
，求动点Q 的
轨迹方程
．
27．已知抛物线
2
2
y
px
上有
6, 6
P
，A，B 三点，且直线AB 过抛物线的焦点F，抛物线的准线l 与x 轴
交于点C，若
3
4
AF
AB
，则AB
，sin
ACB
．
28.根据下列条件，求抛物线的标准方程：
(1)准线方程为
3
2
y
；
(2)焦点在x 轴上且其到准线的距离为6；
(3)对称轴是x 轴，顶点到焦点的距离等于2；
(4)对称轴是y 轴，经过点(
)
1, 2
-
．
29．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)焦点为
2,0
F
；
(2)准线方程为：
4
y ；
(3)焦点到准线的距离为6.
30.已知抛物线C：
2
2
0
y
px p
的焦点F 到准线的距离为2．
(1)求C 的方程；
(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足
9
PQ
QF
，求点Q 的轨迹方程．
31．已知点A 的坐标为
3,2 ，点F 为抛物线
2
2
y
x
的焦点，若点P 在此抛物线上移动，求PA
PF
的最
小值，并求此时点P 的坐标．
