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2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十五
知识点一 抛物线的焦半径公式,根据抛物线上的点求标准方程,抛物线中的参数范围问题,抛物线中的
定值问题
典例1、如图，抛物线 的焦点为F，点A为抛物线 上的一动点，直线AF交抛物线
于另一点B，当直线 的斜率为1时，线段 的中点 的横坐标为2．
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）若过B与 轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，求N的纵坐标的取值范围．
随堂练习：如图，已知 过点 ，圆心C在抛物线 上运动，若MN为 在x轴上
截得的弦，设 ， ，
当C运动时， 是否变化？证明你的结论．
求 的最大值，并求出取最大值时 值及此时 方程．典例2、设点 ，动圆经过点F且和直线 相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点F的直线交曲线E于A，B两点，另一条与直线 平行的直线交x轴于点M，交y轴于点
N，若 是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，求点M的横坐标．
随堂练习：已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 到 点的距离为 ．
（1）求抛物线的方程及点 的坐标；
（2）设斜率为 的直线 过点 且与抛物线交于不同的两点 、 ，若 且 ，求斜率 的取值范围．
知识点二 双曲线定义的理解,根据a、b、c求双曲线的标准方程,等轴双曲线,双曲线中的定值问题
典例3、在平面直角坐标系 中，动点M到点 的距离等于点M到直线 的距离的 倍，记
动点M的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；（2）已知直线 与曲线C交于A，B两点，曲线C上恰有两点
P，Q满足 ，问 是否为定值?若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由.随堂练习：已知双曲线 的离心率为 ，左､右顶点分别为M，N，点 满足
（1）求双曲线C的方程；（2）过点P的直线l与双曲线C交于A，B两点，直线OP与直线AN交于点
D.设直线MB，MD的斜率分别为 ，求证： 为定值.
典例4、已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ， 为 上的动点， 为 在动直线 （
）上的投影.当 为等边三角形时，其面积为 .
（1）求 的方程；（2）设 为原点，过点 的直线 与 相切，且与椭圆 交于 ， 两点，
直线 与 交于点 .试问：是否存在 ，使得 为 的中点？若存在，求 的值；若不存在，
请说明理由.典例5、已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，点 在双
曲线C上，TP垂直x轴于点P，且点P到双曲线C的渐近线的距离为2.
（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知过点 的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，且
的外接圆圆心Q在y轴上，求满足条件的所有直线l的方程.
随堂练习:已知两定点 ,满足条件 的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1
与曲线E交于A,B两点,
(1)求k的取值范围;
(2)如果 ,且曲线E上存在点C,使 ,求m的值和 的面积S．2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十五答案
典例1、答案： （1） ；（2） ， ， ．
解：（1）设直线AF的方程为y=kx+b,A(x,y),B(x,y),
1 1 2 2
则 ， . ∴ , ,
设M(x，y),则x+x=2x,∴x=pk,
0 0 1 2 0 0
∵当k=1时x=2,∴p=2, 则抛物线的方程为
0
（2）设 ， ， ， ．由题知 不垂直于 轴，可设直线
由 消去 得 ， 故 ，所以 ．
又直线 的斜率为 ，故直线 的斜率为 ，
从而的直线 ，直线 ，
由 解得 的纵坐标是 ，其中 ，
或 ． 综上，点 的纵坐标的取值范围是 ， ， ．
随堂练习：答案： （1）不变（2）最大值为 ，圆C方程为：
解： 设 ， 方程为
与 联立
得
在抛物线上 ，代入
得 为定值 不变
由 可设 、 ，
，当且仅当 时取等号，即 圆方程为
当 时， 为∠ANx--∠AMx，又
同理， 时， 仍可得
典例2、答案：（1） （2）
解：（1）由题意，点P到点F的距离等于到直线 的距离，
所以点P的轨迹是以 为焦点，直线 为准线的抛物线， ,
故曲线E的方程是 .
（2）显然，直线 不与x轴重合，设直线 的方程为 ，
与E联立得：
设 ，则 则 ， ，
即 中点C坐标为 ，
由题意△NAB是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，故 ，过C与 垂直的直线，其方程为 ，
令 ，得 ，故点N坐标为 ，
又 ， 故 ，
令 ，则 ，由 ，解得 ，
即 ，解得 又直线 的方程为 ，
令 ，得到点M横坐标为 .
随堂练习：答案： （1）抛物线方程为 ，点 的坐标为 （2）
解：（1）由抛物线定义可知 ，得 ，所以，抛物线方程为 ，
将点 的坐标代入抛物线方程得 ，所以，点 的坐标为 .
（2）直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 整理得 ， ，可得 或 ，
由韦达定理可得 ， ，
又 ，即 ，所以， ，因为 ， ，则 ，
又 ，
令 ，所以， ，
由双勾函数的单调性可知，函数 在 上为减函数，在 上为增函数，
当 时， ，
同理可知，当 时， ，
又因为 或 ，所以， 的取值范围是 .
典例3、答案：（1） （2）是定值，
解:（1）设 ，由题意得 ，化简得
（2）存在. 设 ， ，
联立直线与双曲线方程，有
由韦达定理，有 ，法一：注意到上式当 时，上式恒成立，即过定点 和
经检验两点恰在双曲线C上，且不与A，B重合，故 为定值，该定值为
法二：联立直线与双曲线方程，有 ……（1）
（1）式两边平方，有 ，即 ……（2）
注意到 ， 是此方程的两个增根，故含有因式 ，记为 代入（2），有
即
即 即
解得 ，代回（1）有 或
经检验直线 不过这两点，故上述两点为P，Q， 为定值，该定值为随堂练习：答案： （1） ； （2）证明见解析.
解：（1）由题意知 ，又 ， 所以 ，
由 ，可得 ， 又 ，所以 ，故 ，
所以双曲线 的方程为 ；
（2）因为 ，
若直线l的斜率不存在，则l与双曲线C仅有一个公共点 ， 不合题意，故l的斜率存在，
设l： ， 联立 得： ，
设 ， 则 .
因为 ，故 ，①
又 ， 所以 ，②
联立①②，解得 ，
于是所以 为定值.
典例4、答案： （1） ； （2）存在， ，理由见解析.
解：（1）设 ， ， 因为 为等边三角形时，其面积为 ，
所以 ，解得 ，即 ，
由抛物线定义可知，y=t为抛物线的准线，
由题意可知 ，所以 ， 所以 的方程 ；
（2）设 ，则 在动直线 上的投影 ， 当 时， ，
由 可得 ，所以切线 的斜率为 ，
设 ， ，线段 的中点 ，
由 ，可得 ， 所以 ，
整理可得： ，即 ，所以 ，
可得 ，又因为 ，
所以当 时， ，此时 三点共线，满足 为 的中点，
综上，存在 ，使得点 为 的中点恒成立， .典例5、答案： （1） （2） 或
解：（1）由 在双曲线C上，得 ， 由TP垂直x轴于点P，得 ，
则由 到双曲线C的渐近线 的距离为2， 得 ，得 ，
联立 和 ， 解得 ， ， 即双曲线C的标准方程为 .
（2）由题意， ， 当直线 无斜率时，直线方程为 ，则 、 ，
则 为等腰三角形，若 的外接圆的圆心Q在y轴上，
则 ，而 ， ， ， 不符合题意（舍）；
当直线 存在斜率时，设直线方程为 ，
联立 ，得 ， 即
设直线l与双曲线C的右支相交于 、 ，
则 ， 解得 ，即 或 ；
则 ， ， 从而 ，
则线段AB的中点 ， 且 .
由题意设 ， 易知Q在线段AB的垂直平分线上，因此 ，
得 ，即 ， 连接QP，QA，QM，因此 .由勾股定理可得， ，
又 ，则 ，
化简得 ，得 （ 舍去），
因此直线l的方程为 ， 即 或 .
随堂练习：答案：（1） ；（2） ，面积为 .
解：（1）由双曲线的定义可知，曲线 是以 为焦点的双曲线的左支，
且 ，得 ， 故曲线 的方程为 ；
设 ，由题意建立方程组 ，
消去 ，得 ，
又直线与双曲线左支交于两点 ，有 ，解得 ，
（2） ，
依题意得 ，整理后得 ，
∴ 或 ，但 ∴ ， 故直线 的方程为 ，
设 ，由已知 ，得 ，
∴ ，又 ， ∴点 ，
将点 的坐标代入曲线 的方程，得 得 ，
但当 时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，
∴ ，点的坐标为 ， 到 的距离为 ，
∴ 的面积 .
