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2023届高考数学三轮冲刺保温练卷：直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题（共20小题；）
1. 已知过点 P 且与抛物线 y2=2x 只有一个公共点的直线有且只有一条，则点 P 可以是 ()
A. P(2,1) B. P(0,2) C. P(2,2) D. P(2,−2)
2. 过点 (0,1) 且与抛物线 y2=4x 只有一个公共点的直线有 ()
A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 0 条
x2 y2
3. 已知对 k∈R，直线 y−kx−1=0 与椭圆 + =1 恒有公共点，则实数 m 的取值范围是
5 m
()
A. (0,1) B. (0,5)
C. [1,5)∪(5,+∞) D. [1,5)
4. 函数 y=ax2+1 的图象与直线 y=x 相切，则 a= ()
1 1 1
A. B. C. D. 1
8 4 2
5. 设抛物线 y2=2x 的焦点为 F，过点 M(√3,0) 的直线与抛物线相交于 A，B 两点，与抛物
S
线的准线相交于 C，|BF|=2，则 △BCF 与 △ACF 的面积之比 △BCF = ()
S
△ACF
1 2 4 4
A. B. C. D.
2 3 7 5
6. 已知点 A(2,0)，抛物线 C：x2=4 y 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其
准线相交于点 N，则 ∣FM∣:∣MN∣= ()
A. 2:√5 B. 1:2 C. 1:√5 D. 1:3
7. 已知抛物线 C:y2=4x，直线 y=x−1 与 C 相交于 A， B 两点，与双曲线
x2 y2
E: − =1(a>0,b>0) 的渐近线相交于 M，N 两点，若线段 AB 与 MN 的中点相同，
a2 b2
则双曲线 E 离心率为 ()
√6 √15
A. B. 2 C. D. √3
3 3
8. 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，O 为坐标原点．若
∣AF∣=3，则 △AOB 的面积为 ()
√2 3√2
A. B. √2 C. D. 2√2
2 2
9. 已知抛物线 x2=4 y，直线 y=k（k 为常数）与抛物线交于 A,B 两个不同点，若在抛物线上
存在一点 P（不与 A,B 重合），满足 ⃗PA⋅⃗PB=0，则实数 k 的取值范围为 ()
A. k≥2 B. k≥4 C. 00) 的焦点为 F，O 为坐标原点，点 M − ,9 ，N − ,−1 ，
2 2
连接 OM，ON 分别交抛物线 E 于点 A，B，且 A，B，F 三点共线，则 p 的值为 ()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
13. 已知斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C:y2=4x 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为
M(1,m)(m>0)，则斜率 k 的取值范围是 ()
A. (−∞,1) B. (−∞,1] C. (1,+∞) D. [1,+∞)
x2 y2 √5
14. 已知椭圆 C: + =1(a>b>0) 与直线 y=x+3 只有一个公共点，且椭圆的离心率为 ，
a2 b2 5
则椭圆 C 的方程为 ()
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1
16 9 5 4 9 5 25 20
x2 y2
15. 已知 F ,F 是双曲线 − =1(a>0,b>0) 的左右焦点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与
1 1 a2 b2 1
双曲线交于 A,B 两点，若 △ABF 是锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是 ()
2
A. (1,+∞) B. (1,1+√2)
C. (1,√3) D. (1−√2,1+√2)
16. 已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，P 为 C 的准线上一点，Q（在第一象限）是直线 PF
与 C 的一个交点，若 ⃗PQ=√2⃗QF，则 QF 的长为 ()
A. 6−4√2 B. 8−4√2 C. 8+4√2 D. 8±4√2
17. 光线由点 P(2,3) 射到直线 x+ y=−1 上，反射后过点 Q(1,1) ，则反射光线所在的直线方程
为 ()
A. −x+ y=0 B. 4x−5 y+31=0 C. 4x−5 y+1=0 D. 4x−5 y+16=0
x2 y2
18. 已知椭圆 E: + =1 (a>b>0) 的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A,B 两点．
a2 b2
若 AB 的中点坐标为 (1,−1)，则 E 的方程为 ()
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1
45 36 36 27 27 18 18 9
19. P 是抛物线 y=x2 上任意一点，则当 P 和直线 x+ y+2=0 上的点距离最小时，P 与该抛物
线的准线距离是 ()1 1
A. B. C. 1 D. 2
9 2
20. 椭圆 4x2+9 y2=144 内有一点 P(3,2)，过点 P 的弦恰好以 P 为中点，那么这条弦所在直
线的方程为 ()
A. 3x+2y−12=0 B. 2x+3 y−12=0
C. 4x+9 y−144=0 D. 9x+4 y−32=0
二、填空题（共5小题；）
21. 若直线 y=kx+2 与双曲线 x2−y2=6 的右支有两个不同的交点，则 k 的取值范围是
．
22. 已知抛物线 y2=x ，直线 L 过点 (0，1) 且与抛物线只有一个公共点，则直线 L 的条数有
条．
23. 直线 y=x+1 与抛物线 y2=4x 的公共点坐标为 ．
x2 y2
24. 双曲线 − =1(a>0,b>0) 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B
a2 b2
为该双曲线的焦点．若正方形 OABC 的边长为 2，则 a= ．
x2 y2
25. 已知椭圆 C: + =1 的右焦点为 F(1,0)，上顶点为 B，则 B 的坐标为
4 m
，直线 MN 与椭圆 C 交于 M，N 两点，且 △BMN 的重心恰为点 F，则直线 MN 斜
率为 ．
三、解答题（共5小题；）
26. 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3)，且点 F(2,0) 为其右焦点．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）是否存在平行于 OA 的直线 l，使得直线 l 与椭圆 C 有公共点，且直线 OA 与 l 的
距离等于 4 ?若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由．
27. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(8,−4)，P(2,t)(t<0) 在抛物线 y2=2px(p>0) 上．
（1）求 p，t 的值；（2）过点 P 作 PM 垂直于 x 轴，M 为垂足，直线 AM 与抛物线的另一交点为 B，点 C
在直线 AM 上，若 PA，PB，PC 的斜率分别为 k ，k ，k ，且 k +k =2k ，求点 C
1 2 3 1 2 3
的坐标．
x2 y2
28. 椭圆 + (a>b>0) 与直线 x+ y−1=0 相交于两点 P，Q，且 OP⊥OQ （ O 为原
a2 b2
点）．
1 1
（1）求 + 的值；
a2 b2
[√3 √2]
（2）当椭圆离心率在 , 上变化时，求椭圆长轴长的取值范围．
3 2
x2 y2
29. 已知椭圆 C: + =1(a>b>0) 的左右焦点为 F ，F ，离心率为 e，直线 l:y=ex+a 与
a2 b2 1 2
x 轴、 y 轴分别交于 A，B，点 M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点，设 ⃗AM=λ⃗AB．
（1）证明：λ=1−e2；
3
（2）若 λ= ，△M F F 的周长为 6，写出椭圆 C 的方程．
4 1 2
x2 y2
30. 设椭圆 + =1(a>b>0) 的左、右焦点分别为 F ，F ，右顶点为 A，上顶点为 B，已知
a2 b2 1 2
√3
∣AB∣= ∣F F ∣．
2 1 2
（1）求椭圆的离心率；
（2）设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 PB 为直径的圆经过点 F ，经过原点 O 的
1
直线 l 与该圆相切．求直线 l 的斜率．答案
1. A
2. C
x2 y2
3. C 【解析】直线 y=kx+1 过定点 (0,1)，于是只要点 (0,1) 不在椭圆 + =1 的外部即可，
5 m
故 m≥1．
x2 y2
又因为椭圆 + =1 中 m≠5，所以 m 的取值范围是 [1,5)∪(5,+∞)．
5 m
1
4. B 【解析】由题意，得 ax2−x+1=0 有两个相等实根，得 a= ．
4
5. D
【解析】可设点 A(2a2,2a)，B(2b2,2b)．由点 A，M，B 三点共线，可知 2ab=−√3．记抛物
线准线为 l，过点 A,B 分别作 BP⊥l 于点 P，AQ⊥l 于点 Q，如图．
由抛物线定义知，2b2+
(1)
=∣BP∣=∣BF∣=2．解得 b2=
3
．
2 4
结合 2ab=−√3，知 a2=1．所以
1
2b2+
S ∣BC∣ ∣BP∣ 2 4
△BCF = = = = .
S ∣AC∣ ∣AQ∣ 1 5
△ACF 2a2+
2
6. C
7. C
(1 )
8. C 【解析】提示：不妨设点 A 在第一象限，根据题意可得，点 A(2,2√2)，B ,−√2 ．所
2
1 3√2
以三角形 AOB 的面积为 ∣OF∣∣2√2+√2∣= ．
2 29. B 【解析】满足 ⃗PA⋅⃗PB=0 的 P 点都在圆 x2+(y−k) 2=4k 上，只需 x2=4 y 与圆有除 A
、 B 外的交点即满足题意，联立两式有 (y−k)[y−(k−4)]=0．当 y=k 时交点为 A 、 B．故另
一根 k−4 必须大于或等于零．解得 k≥4．
10. C
【解析】因为点 A 在抛物线 y2=4x 上，且 ∣AP∣=∣AF∣=3，点 P 在抛物线的准线上，
由抛物线的定义可知，AP⊥ 直线 l，设 A(x,y)，
p
则 ∣AP∣=x+ =x+1=3，解得 x=2，所以 y2=8，故 A(2,±2√2)，
2
±2√2
故 P(−1,±2√2)，又 F(1,0)，所以直线 l 的斜率为 k = =±√2．
PF −2
11. C 【解析】当直线的斜率不存在，即过点 (0,4) 的直线方程为 x=0 时符合题意；当直线的斜率
为 0 时，此时直线方程为 y=4 与抛物线仅有一个公共点；过点 (0,4) 可以做一条直线与抛物线相
切；所以满足题意的直线有 3 条．
( p ) ( p )
12. C 【解析】如图，M − ,9 ，N − ,−1 ．
2 2
{ 18
18 y=− x, p2
则 OM:y=− x，联立 p 解得 y =− ．
p A 9
y2=2px,
{ 2
2 y= x,
ON:y= x，联立 p 解得 y =p2 ．
p B
y2=2px,
因为 A，B，F 三点共线，p2
所以 y ⋅y =− ⋅p2=−p2，解得 p=3．
A B 9
13. C
14. B
15. B
【解析】提示：∠AF B 是锐角，cos∠AF B>0．
2 2
16. B 【解析】抛物线 y2=8x 的焦点 F(2,0)，设 Q 到准线 l 的距离为 d，则 ∣QF∣=d．
因为 ⃗PQ=√2⃗QF，
所以 ∣⃗PQ∣=√2d，
因为 Q（在第一象限）是直线 PF 与 C 的一个交点，
所以直线的斜率为 −1，
所以直线的方程为 x+ y−2=0．
与 y2=8x 联立可得 x=6−4√2（另一根舍去），
所以 ∣QF∣=d=8−4√2．
17. C
{x2 y2
1+ 1=1,
1 a2 b2
18. D 【解析】容易求得直线的斜率为 ，设 A(x ,y )，B(x ,y )，则 两式作差，
2 1 1 2 2 x2 y2
2+ 2=1,
a2 b2
b2 y −y y + y
整理后可得 − = 1 2 ⋅ 1 2 ，代入中点坐标和斜率，可得 a2=2b2，再由 c=3 可得，
a2 x −x x +x
1 2 1 2
x2 y2
a=3√2，b=3．所以 E 的方程为 + =1．
18 9
19. B
20. B
【解析】经检验，当过点 P(3,2) 的直线的斜率不存在时，不满足条件，所以过点 P(3,2) 的直线的
斜率存在，设斜率为 k，且设 A(x ,y )，B(x ,y )，因为点 A，B 在椭圆上，代入椭圆方程得
1 1 2 2
{4x2+9 y2=144 y2−y2 y + y y −y 2 4 2
1 1 ，则 1 2= 1 2 ⋅ 1 2= ⋅k=− ，k=− ．所以所求直线方程为
4x2+9 y2=144 x2−x2 x +x x −x 3 9 3
2 2 1 2 1 2 1 2
2x+3 y−12=0．
( √15 )
21. − ,−1
3
√15
【解析】将 y=kx+2 代入 x2−y2=6，化简得 (1−k2)x2−4kx−10=0，Δ=0⇒k=± ，又双
3
( √15 )
曲线的渐近线的斜率为 ±1，y=kx+2 过定点 (0,2)．易得 k∈ − ,−1 ．
322. 3
23. (1,2)
24. 2
【解析】不妨令 B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线如图所示．
因为四边形 OABC 为正方形，∣OA∣=2，
π
所以 c=∣OB∣=2√2，∠AOB= ．
4
b
因为直线 OA 是渐近线，方程为 y= x，
a
b
所以 =tan∠AOB=1，即 a=b．
a
又因为 a2+b2=c2=8，
所以 a=2．
3√3
25. (0,√3)，
4
x2 y2
【解析】空 1：因为 C: + =1 右焦点为 F(1,0)，
4 m
所以有 4>m>0 且 a=2，b=√m，c=1，
而 a2=b2+c2，所以 4=m+1⇒m=3，
因此椭圆上顶点的坐标为：(0,√3)；
空 2：设直线 MN 的方程为：y=kx+m，
x2 y2
由（1）可知：椭圆的标准方程为： + =1，
4 3
{x2 y2
+ =1,
直线方程与椭圆方程联立： 4 3
y=kx+m,
化简得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0，
设 M(x ,y )，N(x ,y )，线段 MN 的中点为 D，
1 1 2 2
−8km 6m
于是有：x +x = ，y + y =k(x +x )+2m= ，
1 2 3+4k2 1 2 1 2 3+4k2
(−4km 3m )
所以 D 点坐标为： ，
3+4k2 3+4k2因为 △BMN 的重心恰为点 F，所以有 ⃗BF=2⃗FD，
(−4km 3m )
即 (1,−√3)=2 −1, ，
3+4k2 3+4k2
{ 2 (−4km −1 ) =1, { −4km = 3 , ⋯⋯①
3+4k2 3+4k2 2
因此有： ⇒
3m 6m
2⋅ =−√3 =−√3. ⋯⋯②
3+4k2 3+4k2
3 3√3
① ÷ ②得：k= √3，所以直线 MN 斜率为 ．
4 4
x2 y2
26. （1） 依题意，可设椭圆 C 的方程为 + =1(a>b>0)，且可知左焦点为 Fʹ(−2,0)，从而有
a2 b2
{ c=2,
2a=∣AF∣+∣AFʹ∣=3+5=8,
解得
{c=2,
a=4,
又 a2=b2+c2，所以
b2=12,
x2 y2
故椭圆 C 的方程为 + =1．
16 12
3
（2） 假设存在符合题意的直线 l，其方程为 y= x+t，由
2
3
{ y= x+t,
2
x2 y2
+ =1,
16 12
得
3x2+3tx+t2−12=0,
因为直线 l 与椭圆有公共点，所以有
Δ=(3t) 2−4×3(t2−12)≥0,解得
−4√3≤t≤4√3,
另一方面，由直线 OA 与 l 的距离等于 4 可得
∣t∣
=4,
√9
+1
4
解得
t=±2√13,
由于
±2√13∉[−4√3,4√3],
所以符合题意的直线 l 不存在．
27. （1） 将点 A(8,−4) 代入 y2=2px，得 p=1．
将点 P(2,t) 代入 y2=2x，得 t=±2．
因为 t<0，
所以 t=−2．
2 4
（2） 由题意知，点 M 的坐标为 (2,0)，直线 AM 的方程为 y=− x+ ．
3 3
{ 2 4
y=− x+ ,
联立 3 3
y2=2x,
(1 )
解得 B ,1 ，
2
1 7 7 1
所以 k =− ，k =−2，代入 k +k =2k ，得 k =− ，故直线 PC 的方程为 y=− x+ ，联
1 3 2 1 2 3 3 6 6 3
2 4
{y=− x+ ,
3 3
立
7 1
y=− x+ ,
6 3
( 8)
解得 C −2, ．
3
{x+ y−1=0,
28. （1） 由 x2 y2 消去 y 得 (a2+b2)x2−2a2x+a2−a2b2=0 .
+ =1,
a2 b2
{
2a2
x +x = ,
1 2 a2+b2
设 P(x,y)，Q(x ,y )，则
2 2 a2−a2b2
x x = .
1 2 a2+b2
因为 OP⊥OQ ，所以 k ⋅k =−1，即 x x + y y =0，
OP OQ 1 2 1 2
所以 x x +(1−x )(1−x )=0 ，
1 2 1 22a2 a2−a2b2
1−(x +x )+2x x =0，1− +2 =0 .
1 2 1 2 a2+b2 a2+b2
1 1
所以 a2+b2−2a2b2=0 ，即 + =2 .
a2 b2
√3 √2 1 1 1 c2 1
（2） 因为 ≤e≤ ，所以 ≤e2≤ ，即 ≤ ≤ ，
3 2 3 2 3 a2 2
1 a2−b2 1 a2 1 1 1
所以 ≤ ≤ ．又由（1）知 b2= ， ≤1− ≤ 得 √5≤a≤√6．
3 a2 2 2a2−1 3 2a2−1 2
29. （1） 因为 A，B 分别是直线 l:y=ex+a 与 x 轴、 y 轴的交点，
( a )
所以 A − ,0 ，B(0,a)，
e
{ y=ex+a {x=−c
由 x2 y2 解得 b2，这里 c=√a2−b2．
+ =1 y=
a2 b2 a
(
b2
)
所以 M 的坐标为 −c, ，
a
由 ⃗AM=λ⃗AB，
( a b2 ) (a )
得 −c+ , =λ ,a ，
e a e
a a
{ −c=λ⋅ ,
e e
即 解得 λ=1−e2．
b2
=λa,
a
3 1
（2） 当 λ= 时，e= ，
4 2
所以 a=2c，
由 △M F F 的周长为 6，得 2a+2c=6，
1 2
所以 a=2，c=1，b2=a2−c2=3，
x2 y2
所以所求椭圆方程为 + =1．
4 3
√3
30. （1） 设椭圆的右焦点 F 的坐标为 (c,0)．由 ∣AB∣= ∣F F ∣，可得
2 2 1 2
a2+b2=3c2,
又 b2=a2−c2，则
c2 1
= ,
a2 2
所以，椭圆的离心率√2
e= .
2
（2） 由（1）知
a2=2c2,b2=c2,
故椭圆方程为
x2 y2
+ =1,
2c2 c2
设 P(x ,y )，由 F (−c,0),B(0,c)，有
0 0 1
⃗F P =(x +c,y ),
1 0 0
⃗F B =(c,c),
1
由已知，有
⃗F P⋅⃗F B=0,
1 1
即
(x +c)c+ y c=0,
0 0
又 c≠0，故有
x + y +c=0,⋯⋯①
0 0
又因为点 P 在椭圆上，故
x 2 y 2
0 + 0 =1,⋯⋯②
2c2 c2
由①和②可得
3x 2+4cx =0,
0 0
4c c
而点 P 不是椭圆的顶点，故 x =− ，代入①得 y = ，
0 3 0 3
( 4c c)
即点 P 的坐标为 − , ，
3 3
设圆的圆心为 T(x ,y )，则
1 1
4
− c+0
3 2
x = =− c,
1 2 3
c
+c
3 2
y = = c,
1 2 3
进而圆的半径
√5
r=√(x −0) 2+(y −c) 2= c,
1 1 3
设直线 l 的斜率为 k，依题意，直线 l 的方程为 y=kx．由 l 与圆相切，可得
∣kx −y ∣
1 1 =r,
√k2+1即
( 2c) 2c
∣k − − ∣
3 3 √5
= c,
√k2+1 3
整理得
k2−8k+1=0,
解得
k=4±√15,
所以，直线 l 的斜率为 4+√15 或 4−√15．
