文档内容
【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题15 圆锥曲线综合问题（单选+填空） （新高考通用）
一、单选题
1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，点 在
抛物线上，且 ，若 的面积为 ，则 （ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线定义求得 点横坐标，代入抛物线方程得纵坐标，再利用三角形
面积公式即可得 的值.
【详解】抛物线的焦点为 ，点 在抛物线上，由抛物线的定义可得
，
，则 ，
，解得 或 （舍）.
故选：B.
2．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）若椭圆 的左焦点 关
于 对称的点 在椭圆 上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，由题意求出 ，代入椭圆 的方程得， ，化简即可得出答案.
【详解】设 ，设 ，则由题意可得： ，
解得： ，则 ，代入椭圆 的方程得， .
又 ，可得 ，所以 ，
所以离心率为 .
故选：C.
3．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知 ， 是双曲线 的两个焦
点， 为 上一点，且 ， ，若 的离心率为 ，则
的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出 ，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为 ，由双曲线的定义可得 ，
所以 ， ；
因为 ,由余弦定理可得 ，
整理可得 ，所以 ，
即 ,解得 或 ,又因为 ,即 .
故选：A4．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）如图所示， ， 是双曲线
的左、右焦点，双曲线 的右支上存在一点 满足 ，
与双曲线 的左支的交点A平分线段 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，由双曲线的定义可求得 ， ，
，利用勾股定理求得 ，在 中利用勾股定理即可求得 的
关系式，从而求得答案.
【详解】设 ，由双曲线的定义得 ， ，
，
由 得 ，
解得 ，所以 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
整理得 ，即双曲线 的离心率 ，
故选：C．
5．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线与双曲线左、右两支分别交于点P，Q，若 ，M
为PQ的中点，且 ，则双曲线的离心率为（ ）．
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】由 得出 ， ， ，在 中利
用勾股定理得出离心率.
【详解】解：M为PQ中点， ，∴ 等腰三角形．
令 ，则 ， ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ， ，
， ， ， ，
∴ 中， ，
∴ ，∴ ．
故选：C．
6．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）在平面直角坐标系 中，已知双曲线C：
（ ， ）的左顶点为 ，右焦点为F，过点F作C的一条渐近线的
垂线，垂足为P，过点P作x轴的垂线，垂足为Q．若 ， ， 成等差数列，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】不妨设渐近线方程为 ，计算 点坐标得到 ， ，
，根据等差数列性质得到 ，解得答案.
【详解】 ， ，不妨设渐近线方程为 ，则直线 为：
，
，解得 ，故 ， ， ，
， ， 成等差数列，故 ，整理得到 ，
解得 或 （舍）.
故选：B
7．（2023·山东日照·统考一模）已知椭圆 ： 的左、右焦点为 ，
，点 为椭圆 内一点，点 在双曲线 ： 上，若椭圆上存
在一点 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出椭圆左焦点 坐标为 ，由题得 ，
解不等式得到 ，再解不等式 即得解.【详解】点 在双曲线 ： 上，所以 .
所以椭圆左焦点 坐标为 .
因为 ，所以 ,
所以 .
因为 ，所以 .
点 为椭圆 内一点，所以 ，
所以 或 .
综上： .
故选：A
8．（2023·山东威海·统考一模）已知双曲线 的左焦点为 ，
M为C上一点，M关于原点的对称点为N，若 ，且 ，则C的
渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由对称性知四边形 为平行四边形，可求得 及 ，在
中，由余弦定理建立 的关系，从而求得渐近线方程.
【详解】如图所示，不妨设 在左支，设右焦点为 ，连接 ，
由对称性知四边形 为平行四边形，
由 得 ，
由双曲线定义知： ，
所以 ，
因为 ，所以
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
整理得 ，即 ，所以 ，
则C的渐近线方程为 .
故选：D
【点睛】求双曲线的渐近线就是求 与 的关系，通过可通过几何关系或代数式建立关
于 的一个齐次等式，求解 均可得到渐近线方程.几何关系通过用到平面几何
中的有关知识建立关系，甚至平面向量、正弦定理、余弦定理都可以用来建立关系式.
9．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知双曲线 为双
曲线的右焦点，过点 作渐近线的垂线 ，垂足为 ，交另一条渐近线于，若 ，则双曲线 的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设 ，根据 列式，根据 的取值范围求得 的取
值范围，进而求得离心率的取值范围.
【详解】依题意可知 在第一象限， 在第二象限，
到渐近线 的距离为 ，
即 ，设 ，则 ，
，
由 得 ，
故 ， ，
.
故选:C
10．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为
， ，半焦距为 ．在椭圆上存在点 使得 ，则椭圆离心率
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】由正弦定理及椭圆定义得 ，得 ，
结合 ，得关于 的不等式，从而求出 的范围.
【详解】由 ，得 ，得
，
又 ，则 ，
∴ ，即 ，
又 ，∴ ．
故选：B．
11．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物
线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭
天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、
方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴
对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为 ，焦点F到顶点的距离f与
口径d的比值 称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果
某抛物面天线馈源的方向角 满足， ，则其焦径比为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为： ， ，
，代入抛物线方程可得 ，根据 ，解得 与 的关系，即可得出
．
【详解】如图所示，建立直角坐标系，
设抛物线的标准方程为： ， ，
，代入抛物线方程可得： ，解得 ，
由于 ，得 或 （舍）
又 ，化为： ，
解得 或 （舍）
.
故选：C.
12．（2023·广东广州·统考一模）已知抛物线 的顶点为坐标原点 ，焦点 在 轴上，过点 的直线交 于 两点，且 ，线段 的中点为 ，则直线 的
斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据给定条件，设出抛物线C及直线PQ的方程，借助垂直关系求出抛物线
方程及点M的坐标，再用斜率坐标公式建立函数，利用均值不等式求解作答.
【详解】依题意，抛物线 的焦点在x轴的正半轴上，设 的方程为： ，
显然直线 不垂直于y轴，设直线PQ的方程为： ，点
，
由 消去x得： ，则有 ，
由 得： ，解得 ，
于是抛物线 ： 的焦点 ，弦 的中点 的纵坐标为 ，则点
，
显然直线 的斜率最大，必有 ，则直线 的斜率
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以直线 的斜率的最大值为 .
故选：A13．（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）已知点 是双曲线
的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线垂足为A，交另一
条渐近线于点B．若 ，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式、二倍角的余弦公式、勾股定理列式
计算作答.
【详解】双曲线 的渐近线方程为： ，不妨令点A在直线
上， ，如图，
因为 ，则 ，而 ，即有
，
， ，由 知，点 在y轴
同侧，
于是 ， ， ，
在 中， ，由
得：
，整理得： ，化简得 ，解得 或 （舍去），
所以 ， ，双曲线方程为 .
故选：A
14．（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点为
为椭圆上一点，过P点作椭圆的切线l，PM垂直于直线l且与x轴交于点M，若M为
的中点，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由椭圆方程和切点坐标，写出切线方程，得M点坐标，由M的位置，求得离
心率.
【详解】因为 为椭圆 上一点，所以过P作椭圆的切线 ，
切线斜率 ，所以PM的斜率 ，直线PM的方程为 ，
令 ，得 ，所以 ，由题 ， ，所以 ，
．
故选：C．
15．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）椭圆具有光学性质：从椭圆
的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点(如图).已知
椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线与椭圆E交与点
A，B，过点A作椭圆的切线l，点B关于l的对称点为M，若 ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合题目所给信息及图形可得 ，后由椭圆定义及条件可得
， .最后由 可得答案.
【详解】如图，由椭圆的光学性质可得 三点共线.
设 ，则 ， .
故 ，解得 .又 ，所以 ， .
所以 .
故选：A.
16．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）如图， 为双曲线的左右焦点，过 的
直线交双曲线于 两点， 为线段的 中点，若对于线段 上的任意
点 ，都有 成立，且 内切圆的圆心在直线 上.则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由 可得 .由 ，可得 .
又由 内切圆的圆心在直线 上，可得 ，据此可得答案.
【详解】如图1，取 中点为Q，连接EQ，PQ.则
，
.
因 ，则
，因直线外一点
到直线连线中垂线段最短，则 为 垂线.因Q为 中点，E为 中点，则
，得 .又DO为直角三角形斜边 中线，则
.
如图2，设 内切圆的圆心为I，内切圆与 交点为M，与 交点为T，与
交点为N.则 ， ，又 ，则 .又由切线性质，可知 ，则
.
则离心率为 .
故选：D
【点睛】结论点睛：本题涉及以下结论：
（1）极化恒等式： ；
（2）双曲线焦点三角形的内切圆圆心在直线 上.
17．（2023·湖北·统考模拟预测）已知 ， 分别是双曲线
的左、右焦点，过 的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，
， 平分 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 可知 ，再根据角平分线定理得到 的关系，再
根据双曲线定义分别把图中所有线段用 表示出来，根据边的关系利用余弦定理即
可解出离心率.【详解】
因为 ，所以 ∽ ，
设 ，则 ，设 ，则 ， ．
因为 平分 ，由角平分线定理可知， ，
所以 ，所以 ，
由双曲线定义知 ，即 ， ，①
又由 得 ，
所以 ，即 是等边三角形，
所以 ．
在 中，由余弦定理知 ，
即 ，化简得 ，
把①代入上式得 ，所以离心率为 ．
故选：A．
18．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）直线l与双曲线 的左，
右两支分别交于点A，B，与双曲线的两条渐近线分别交于点C，D（A，C，D，B从
左到右依次排列），若 ，且 ， ， 成等差数列，则双曲线的离
心率的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先设直线方程及四个点，联立后分别求出两根和和两根积，再应用 ，
， 成等差数列，列式求解即可
【详解】设 直线 ，
联立 ，可得 ，则
①
联立 ，可得 ，则
②
因为 ，所以 ，所以 ③
因为 ，所以 ，所以 ，即得 ④
因为 ，所以 中点为 的中点，所以 ,
因为 成等差数列，所以 ，又因为A，C，D，B从左到
右依次排列，所以 ,
所以 ，代入①②③有 ，
因为 且 ，又因为 ，则 所以 ，所以 ，即综上，
故选：D.
19．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的左､
右焦点分别为 为椭圆上不与顶点重合的任意一点， 为 的内心，记直
线 的斜率分别为 ，若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，设圆与 轴相切于点 ，结合圆的切线
长的性质证明 ，结合椭圆性质可得 ，由内切圆性质可得
，由条件确定 关系，由此可求离心率.
【详解】设 ，设圆与 轴相切于点 ，
则 ，
又 ， ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
过点 作直线 的垂线，垂足为 ，则 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
∴ ，
∴ ，
由三角形面积相等，得 ，
，
，
，
所以 ，
，即得 .
故选：B.
.
【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式 ；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐
次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不
等式)即可得e(e的取值范围)．
二、填空题
20．（2023秋·浙江·高三期末）已知椭圆 ，过椭圆左焦点F任作一条弦
（不与长轴重合），点A，B是椭圆的左右顶点，设直线 的斜率为 ，直线
的斜率为 ，则 的最小值为_______．
【答案】
【分析】设直线 ，联立直线与椭圆的方程由韦达定理
代入求出 ，
再求出 ，即可求出 ，再由基本不等式即可求出 的最小值.
【详解】设直线 ，
联立 ，所以 ， ，
由韦达定理可求得 ，
，
因为 在椭圆上，所以 ，即 ，
由椭圆 ： 可得 ， ，
所以 ，
所以 ，
则 ，等号显然可以取得，故最小值为 ．
故答案为： .
21．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点为
， ，过 的直线分别交两条渐近线于 ， 两点，若 且
，则 的离心率为______.
【答案】2
【分析】设直线 的方程为 ，通过联立方程组的方法求得 的坐标，进而
求得 中点 的坐标.对 进行分类讨论，由 化简求得双曲线 的
离心率.
【详解】设直线 的方程为 ，由 得 ，同理可得 ，所以 的中点
因为 ，所以
（1）当 时， 轴，此时 ， ，
又由 得 ，即
所以 ，这与 矛盾，不合题意，所以
（2）当 时，则 ，即 ，
则 ，即 ，
又由 得
，
化简得 ，所以 ，所以 .
由（1）（2）可知，双曲线的离心率为2.
故答案为：2
【点睛】求解直线和直线、直线和圆锥曲线的交点的问题，可通过联立方程组来进行
求解.求解双曲线的离心率问题，有两个思路，一个是求得 ，从而求得双曲线的离
心率；另一个是求得 或 的关系式，由此来求得双曲线的离心率.
22．（2023春·江苏南京·高三南京市第五高级中学校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为 ，若以 为圆心，b－c为半径作圆
，过椭圆上一点P作此圆的切线．切点为T，且|PT|的最小值为 ，则椭圆
的离心率e的取值范围是____________．
【答案】
【分析】当P点位于椭圆的右顶点的位置的时候， 最小值，且最小值为 ＝a
－c，根据 最小值为 与 可得 ，根据
b＞c易得 ，结合两式即可求解.
【详解】依题意，如图所示：
当P点位于椭圆的右顶点的位置的时候， 最小值，且最小值为 ＝a－c．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
化为 ，即 ．
解得 ．
可得 ．①
∵b＞c，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．②
解得 ．
由①②解得 ．
故椭圆离心率的取值范围为 ．
故答案为： ．
23．（2023·山东泰安·统考一模）已知双曲线C： 的右顶点为
A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若
，则以 （e为双曲线C的离心率）为焦点的抛物线的标准方程为
___________.
【答案】
【分析】根据已知条件求得双曲线的离心率，也即求得 ，从而求得抛物线的标准方
程.
【详解】依题意， ，双曲线的一条渐近线方程为 ，依题意，三角形 是边长为 的等边三角形，
所以 到 的距离是 ，
即 ，
所以对于抛物线 ，有 ，
所以抛物线方程为 .
故答案为：
24．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，过
点 的直线与该抛物线交于 两点， 的中点纵坐标为 ，则
__________.
【答案】 或
【分析】由题可设直线 的方程为 ， ，与抛物线联立可
得交点坐标关系，根据相交弦长公式及中点坐标公式即可求得 的值.
【详解】抛物线 的焦点 ，设直线 的方程为 ，
，
所以 ，则 ，
联立 ，消去 得： ，恒成立，
所以 ，所以 ，则 ，
又
，
整理得： ，所以 ，解得 或 .
故答案为： 或 .
25．（2023·湖北·统考模拟预测）已知 为抛物线 上一点，过
点 的直线与抛物线C交于A，B两点，且直线 与 的倾斜角互补，则
__________．
【答案】2
【分析】由题可得 ，然后利用韦达定理法，两点间距离公式结合条件即得.
【详解】由点 在抛物线 上得： ，即 ,
所以抛物线C的方程为： ,
设直线 的方程为 ， ， ,
由直线 与 的倾斜角互补得 ，
即 ，所以 ,
联立 ，得 ，所以 ， ,
所以 ，即 ，所以 ,
所以
．
故答案为：2.
26．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知直线 ，抛物线
的焦点为 ，过点 的直线交抛物线 于 两点，点 关于 轴对称的
点为 .若过点 的圆与直线 相切，且与直线 交于点 ，则当 时，直
线 的斜率为___________.
【答案】
【分析】根据题意设直线 的方程为 ，联立抛物线方程，然后结合韦达定
理即可得到结果.
【详解】如图，易知过点 且与直线 相切的圆就是以 为直径的圆，设
，
则 ，由 有 ，
设直线 的方程为 ，代入 有 ，所以 ，结合 ，得 .
故答案为:
27．（2023秋·湖南湘潭·高三校联考期末）已知双曲线 的右焦点为 ，
直线 与双曲线 相交于 两点，点 ，以 为直径的圆与
相交于 两点，若 为线段 的中点，则 __________.
【答案】2
【分析】根据直线与双曲线的位置关系确定交点坐标关系，利用直线和圆的几何性质，
即可求得 的长.
【详解】解：如图，由题可知， 的坐标为 ，设 ，
联立方程组 ，可得 ，
则 ， .
因为 为线段 的中点，所以 的坐标为 .
又以 为直径的圆与 相交于 两点，所以 ，所以，
解得 ，又 ，所以 ，
所以 ，故 .
故答案为：2.
28．（2023·广东茂名·统考一模）已知直线 与双曲线
交于A，B两点（A在B的上方），A为BD的中点，过点A作直线与y轴垂直且交于
点E，若 的内心到y轴的距离不小于 ，则双曲线C的离心率取值范围是
______.
【答案】
【分析】先求得 的坐标，根据三角形的内心以及角平分线定理以及 的内心
到 轴的距离 的范围，求得 的取值范围，进而求得离心率 的取值范围.
【详解】因为A在B的上方，且这两点都在C上，
所以 ， ，则 .
因为A是线段BD的中点，又 轴，
所以 ， ，
所以 的内心G在线段EA上.
因为DG平分 ，所以在 中所以 ，
设 ，所以 ，
因为G到y轴的距离不小于 ，∴ ，∴ .
∴ ，故 .
故答案为：
29．（2023·广东·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，准线 交 轴于点
，过点 的直线交该抛物线于 两点，则直线 与直线 的斜率之和为
________．
【答案】
【分析】过 分别作 轴与准线 的垂线，利用直角三角形的边角关系以及直线斜
率与倾斜角的关系，即可得直线 与直线 的斜率之和.
【详解】如图，过 作 的垂线 ，垂足为 ，作准线 的垂线 ，垂足为
，过 作 的垂线 ，垂足为 ，作准线 的垂线 ，垂足为 ，连接
，则 ，
，
因为 ，所以 ，即 .
故答案为： .
30．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知椭圆C: 的离心
率为 ，F是左焦点，过F且倾斜角为45°的直线交C于点A，B．设M，N分别是
AF和BF的中点，O为坐标原点，若 ，则 的面积为______．
【答案】 ##
【分析】设右焦点为 ,连接 , 由中位线知 ，再由
及弦 的长可以求出 值，再由 长及原点到 的距离求出
的面积.
【详解】设右焦点为 ,连接 ,
为 的中点, 为 中点,
,同理 ，
, ，
,
,
椭圆方程可化为 ,
设直线 , ，
由 得 ，
,
，
，
，
，
，
原点到直线 的距离为 ，所以 ，
故答案为:
【点睛】椭圆中两个周长为定值的三角形：
若过椭圆焦点 的直线与椭圆交于 两点，另一焦点为 ，
① 周长为定值 ；
② 周长为定值 ；
这两个三角形的边长为焦半径时可以与椭圆的定义联系在一起使用，而三角形的周长
也可以与三角形内切圆半径结合使用.
