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重难点突破12 双切线问题的探究
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双切线问题，就是过一点做圆锥曲线的两条切线的问题，解决这一类问题我们通常用同构法.
解题思路：
①根据曲线外一点 设出切线方程 ．
②和曲线方程联立，求出判别式 ．
③整理出关于双切线斜率 的同构方程．
④写出关于 的韦达定理，并解题．
题型一：定值问题
例1．（2023·河南·高三竞赛）已知抛物线C： 与直线l： 没有公共点，P为直线l上的动
点，过P作抛物线C的两条切线，A、B为切点.（1）证明：直线AB恒过定点Q；
（2）若点P与Q的连线与抛物线C交于M、N两点，证明： .
【解析】（1）设点 .则 .
由 ，得 .所以 .
于是，抛物线C在点A处的切线方程为
．
设点 .则 .
设点 .同理， .
从而， ，即
.
因此，直线AB恒过定点Q（k，1）.
（2）设.
与抛物线 方程联立，消去y得
.
设点 .则
①
要证 ，即证 ，则只需证明
，即
. ②
由方程组①知.
故式②成立.从而，结论成立.
例2．（2023·高二单元测试）已知抛物线C： 的焦点F与椭圆 的右焦点重合，
点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B．
(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程；
(2)设直线MA，MB的斜率分别为 ， ，证明： 为定值．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，可得椭圆 的右焦点为 ，
可得抛物线C的焦点为 ，∴ ，
所以抛物线C的标准方程为 ，准线方程为 ；
（2）由于点M是抛物线C的准线上任意一点，故可设 ，
因为直线MA，MB的分别与抛物线C相切于点A，B点可知直线MA，MB的斜率存在，
且不为0，
设过点 的直线方程为 ，
联立 ，消去 得： ，
其判别式 ，令 ，得 ，
由韦达定理知 ， ，故 为定值－1．
例3．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知坐标原点为 ，抛物线为 与双曲线
在第一象限的交点为 ， 为双曲线的上焦点，且 的面积为3．
(1)求抛物线 的方程；(2)已知点 ，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ， ，切线 ， 分别交 轴于 ，
，求 与 的面积之比．
【解析】（1）双曲线 的上焦点为 ，设 ， ，
由已知得： ，则 ，
代入双曲线方程可得 ，解得 或 （舍去），所以 ，
又因为 在抛物线上，所以 ，解得 ，故抛物线 的方程为 ．
（2）设点 ， ，对 求导得 ，
则切线 的方程为 ，
由 整理得 ，
令 ，则 ，即 ，同理可求得 ．
将 代入直线 可得： ，
同理可求得直线 的方程： ，
所以 ， 的直线方程 ．
联立 消去 得 ，
则韦达定理： ，
则弦长 ，
点 到直线 的距离 ，
所以 ，
又 ，
故 ．变式1．（2023·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）已知抛物线 （ 为常数， ）.点
是抛物线 上不同于原点的任意一点.
(1)若直线 与 只有一个公共点，求 ；
(2)设 为 的准线上一点，过 作 的两条切线，切点为 ，且直线 ， 与 轴分别交于 ， 两
点.
①证明：
②试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）将直线 与抛物线 联立，
消去 可得 ，由题意可知该方程只有一个实数根，
所以 ，又点 在抛物线上，即 ；
可得 ，解得
（2）①易知抛物线 的准线方程为 ；
不妨设 ，切点 ，如下图所示：将 求导可得 ，
则切线 的斜率 ，切线 的方程为 ，
又 ， 的方程可化为 ；
同理可得 的方程可化为 ；
又两切线交于点 ，所以 ，
因此可得 是方程 的两根，因此 ；
所以 ；
因此
②设直线 和 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，
所以 ；
又 ； ；
；
所以
，将 代入可得
，
则可得 ，即 ；
又 ，所以 ，
可得 ，则 为定值.
变式2．（2023·河南信阳·信阳高中校考三模）已知抛物线 上一点 到焦点的距离
为3.
(1)求 ， 的值；
(2)设 为直线 上除 ， 两点外的任意一点，过 作圆 的两条切线，
分别与曲线 相交于点 ， 和 ， ，试判断 ， ， ， 四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该
定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）根据抛物线的定义， 到准线 的距离为3，
∴ ，∴ ；
∴抛物线的焦点坐标为 ，∴ ，∴ ；
（2）设 ，过点 的直线方程设为 ，
由 得， ，
若直线 ， 的斜率分别为 ， ，设 ， ， ， 的纵坐标分别为 ， ， ， ，
∴ ， ，
∵ 到 的距离 ，∴ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ， 四点纵坐标之积为定值，且定值为64.
题型二：斜率问题
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为 ,F,F 是椭圆的两个焦点,
1 2
P是椭圆上任意一点,且△PFF 的周长是8+2 .
1 2
(1)求椭圆C的方程;
(2)设圆T:(x-2)2+y2= ,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率.
【解析】试题分析：
（1）由椭圆的离心率为 可得a=4b，c= b，然后根据△PF F 的周长可得b=1，a=4，从而可
1 2
得椭圆的方程．（2）由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率，设其方程为y=kx+1，由直线
与圆相切可得32k2+36k+5=0，从而得到 ， ．然后分别求出两切线与椭圆交点
的横坐标 和 ，最后根据斜率公式求解即可．
试题解析：
(1)由题意得e= ，
∴a=4b，
∴c= b．
∵△PF F 的周长是8+2 ，
1 2
∴2a+2c= 8+2 ，
∴b=1,
∴a=4．
∴椭圆C的方程为 +y2=1．(2)由（1）得椭圆的上顶点为M(0,1)，
又由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率，设其方程为l：y=kx+1，
∵直线y=kx+1与圆T相切，
∴ ，
整理得32k2+36k+5=0，
∴
由 消去y整理得(1+16 )x2+32k x=0，
1
∴ ．
同理可得 ,
∴ ．
故直线EF的斜率为 ．
例5．（2023·全国·高三专题练习）设点 为抛物线 外一点，过点 作抛物线 的两条切线 ，
，切点分别为 ， ．
（Ⅰ）若点 为 ，求直线 的方程；
（Ⅱ）若点 为圆 上的点，记两切线 ， 的斜率分别为 ， ，求 的取值范围．
【解析】（Ⅰ）设直线PA方程为 ，直线PB方程为 ，
由 ，可得 ，
因为PA与抛物线相切，所以 ，取 ，则 ，
即A（1，1）．同理可得B（1，-1）．所以AB： ．（Ⅱ）设 ，则直线PA方程为 ，直线PB方程为 ．
由 可得 ．
因为直线PA与抛物线相切，所以△= ．
同理可得 ，所以 时方程 的两根．
所以 ， ．则 = ..
又因为 ，则 ，
所以 = = =
= .
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ， ， 是椭圆的两
个焦点， 是椭圆上任意一点，且 的周长是 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)是否存在斜率为1的直线 与椭圆 交于 ， 两点，使得以 为直径圆过原点，若存在写出直线方
程；
(3)设圆 ，过椭圆的上顶点作圆 的两条切线交椭圆于 、 两点，当圆心在 轴上移动
且 时，求 的斜率的取值范围．
【解析】（1）令椭圆半焦距为c，因 ，即 ，又 ，则有 ， ，
因△ 的周长是 ，即 ，解得 ， ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）设直线L方程是 ， ， ，由 消去y得：
，
，即 ，则 ，
弦 的中点 ， ，以 为直径的圆的方程是 ，因此圆过原点，
则有 ，解得 ，显然满足 ，
所以存在符合条件的直线 ，其方程为 .
（3）由（1）知，椭圆的上顶点为 在圆T外，显然过点M的圆T的切线斜率存在，
设过点 与圆 相切的直线方程为 ，于是得 ，即 ，
设切线ME，MF的斜率分别为 ，有 ，
由 消去y得， ，于是得点E的横坐标 ，
同理得点F的横坐标 ，直线EF的斜率：
，
显然函数 在 上单调递增，则有 ，
所以 斜率的取值范围为 .
变式3．（2023·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考阶段练习）已知圆 ，圆心
在抛物线 上，圆 过原点 且与 的准线相切．
(1)求抛物线 的方程；
(2)点 ，点 （与 不重合）在直线 上运动，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为
．求证： ．
【解析】（1）∵圆 与抛物线准线相切，
∴ ，又圆过 和原点，
∴ ，∴ ，
解得 .
∴抛物线 的方程为 ；（2）设 ， ， 方程为 ，
∴ ，
∴抛物线在点 处的切线的斜率 ，
∴切线 的方程为 ，
即 ，
化简得： ，
又因过点 ，故可得 ，
即 ，
同理可得 ，
∴ 为方程 的两根，
∴ ， ，
∴
，
∴ .
变式4．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知 是抛物线 上一点，过 作
圆 的两条切线（切点为 ），交抛物线 分别点 且当 时，
.
(1)求抛物线 的方程;
(2)判断直线 的斜率是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由.
【解析】（1）如图，易知 ，
即 .
∵ ∴ ，即 .
代入 得 ，
∴抛物线 .
（2）法1: 易知 ，直线 的倾斜角互补，斜率相反，
设直线 ，直线 ，
则 ，
即 .
依题意 ，有 ，即 .
用 代替 得 ，
∴直线 的斜率为 .
综上知，直 线的斜率为定值 .
法2：易知 ，直线 的倾斜角互补，斜率相反，
设 ，则由 得：
，化简得 .
∴直线 的斜率为 .综上知，直 线的斜率为定值 .
变式5．（2023·湖南岳阳·统考模拟预测）已知 、 分别为椭圆 的左、右焦点，M为 上的
一点.
(1)若点M的坐标为 ，求 的面积；
(2)若点M的坐标为 ，且直线 与 交于不同的两点A、B，求证： 为定值，并
求出该定值；
(3)如图，设点M的坐标为 ，过坐标原点O作圆 （其中r为定值， 且
）的两条切线，分别交 于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为 ， .如果 为定值，求
的取值范围，以及 取得最大值时圆M的方程.
【解析】（1）由已知条件得 ，因为 ，则 ，又 ，
因此 的面积为 .
（2）设 ，由 ，得 ，
，又 ， ，
，
于是，
即 为定值.
（3）因为直线 : 与 相切，则 ，即 ，
同理，由直线 : 与 相切，可得 ，
于是 、 是关于 的方程 的两实根，
注意到 ，且 ，故 ，
因 为定值，故不妨设 （定值），
于是有 ，即 .
依题意可知， 变化，而 、 均为定值，即有 ，解得 ， ，
设 ， ，由 得 ，同理 ，
所以
，当且仅当
时取等号，
因此 ，解得 ，所以 的范围为 ，
当 或 时，直线 关于坐标轴对称，此时圆心M为椭圆顶点，
所以圆M的方程为 或 .
题型三：交点弦过定点问题
例7．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两
个端点为顶点的四边形是一个面积为2的正方形（记为Q）．(1)求椭圆C的方程；
(2)设点P在直线 上，过点P作以原点为圆心短半轴长为半径圆O的两条切线，切点为M，N，求证：
直线 恒过定点．
【解析】（1）依题意，设椭圆C的方程为 ，焦距为 ，
由题设条件知， ， ，
故椭圆C的方程为 ．
（2）设点 是直线 上任意一点，
由题可知点P，M，O，N在以 为直径的圆上，
此圆方程为 ①
又圆O的方程为 ， ②
①－②可得 直线方程为： ，则直线 恒过定点 ．
例8．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知抛物线C： 的焦点为F，P(4,4)是
C上的一点.
(1)若直线PF交C于另外一点A，求 ；
(2)若圆 ： ，过P作圆E的两条切线，分别交C于M，N两点，证明：直线MN
过定点.
【解析】（1）由题设 ，则 ，故 ，则 ，又直线 过抛物线焦点 ，则直线 ，
联立直线与抛物线并整理得： ，故 ，即 ，
所以 ，
结合抛物线定义知： .
（2）设 ， ，则 （斜率存在且不为0）： ，
所以 为 ，则 ①，
由 ，则 ，所以 ，
而 ， 与圆相切，则 ，整理得： ，
同理可得： ，
所以 为 的两个不同根，
故 ， ，代入①，有 ，
所以 ，即 ，可得 ，
所以直线 过定点 .
例9．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知动圆 恒过定点 ，圆心 到直线
的距离为 ．
(1)求 点的轨迹 的方程；(2)过直线 上的动点 作 的两条切线 ，切点分别为 ，证明：直线 恒过定点．
【解析】（1）设 ，则 ，
因为 ，即 ，
当 ，即 时，则 ，整理得 ；
当 ，即 时，则 ，
整理得 ，不成立；
综上所述： 点的轨迹 的方程 .
（2）由（1）可知：曲线 ： ，即 ，则 ，
设 ，
可知切线 的斜率为 ，所以切线 ： ，
则 ，整理得 ，
同理由切线 可得： ，
可知： 为方程 的两根，则 ，
可得直线 的斜率 ，
设 的中点为 ，则 ，
即 ，
所以直线 ： ，整理得 ，
所以直线 恒过定点 .变式6．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考三模）已知抛物线 ，过抛物线的焦
点F且斜率为 的直线l与抛物线相交于不同的两点A，B， ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)点M在抛物线的准线上运动，过点M作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，在平面内是否存在定
点N，使得直线MN与直线PQ垂直？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设 ， ，
根据题意可知直线l的方程为 ，
联立 得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以抛物线C的方程为 ．
（2）如图所示，抛物线的准线方程为 ，
当点M在特殊位置 时，
切点P，Q关于y轴对称，要使MN⊥PQ，点N必在y轴上．
故设 ， ， ， ，
抛物线C的方程为 ，求导得 ，
所以切线MP的斜率 ，
则直线MP的方程为 ，整理得 ，
又点M在直线MP上，
所以 ，整理得 ，
同理可得 ，
故 和 是一元二次方程 的根，
所以
因为 ， ，
所以
，
当 时， ，
即存在定点 ，使得直线MN与直线PQ垂直．
变式7．（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆 的焦距为2，圆 与椭圆
恰有两个公共点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知结论：若点 为椭圆 上一点，则椭圆在该点处的切线方程为 ．若椭圆
的短轴长小于4，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ，求证：直线 过定点．【解析】（1）设椭圆 的半焦距为 ．当圆 在椭圆 的内部时， ，椭
圆 的方程为 ．
当圆 在椭圆 的外部时， ，
椭圆 的方程为 ．
（2）证明：设 ．
因为椭圆 的短轴长小于4，所以 的方程为 ．
则由已知可得，切线 的方程为 的方程为 ，
将 代入 的方程整理可得，
．
显然 的坐标都满足方程 ，
故直线 的方程为 ，
令 ，可得 ，即直线 过定点 ．
变式8．（2023·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）如图所示，已知 在椭圆
上，圆 ，圆 在椭圆 内部.
(1)求 的取值范围；
(2)过 作圆 的两条切线分别交椭圆 于 点（ 不同于 ），直线 是否过定点？若 过定
点，求该定点坐标；若 不过定点，请说明理由.
【解析】（1）由题意 ，故椭圆方 ，
设 为椭圆上的一动点，由于圆在椭圆内部，则 恒成立，即 对任意 恒成立，
令 ，
，
则 ，于是有 ；
（2）设 ， ，
， （由（1） 斜率都存在），
由于两直线均与圆C相切，则 ，
则 为方程 的两根，由韦达定理可知 ，
设 ，
由韦达定理可知 ，
由 .则
.故 过定点 .
变式9．（2023·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知点O为平面直角坐标系的坐标原点，点F是抛
物线C： 的焦点．
(1)过点F且倾斜角为 的直线l与抛物线C交于A，B两点，求 的面积；
(2)若点T为直线 上的动点，过点T作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过
定点．
【解析】（1）据题意 ，直线l的斜率为 ，则直线l的方程为 ，设 ，，
由 ，联立可得 ，
易得 ，故 ， ，
因此， ．
（2）证明：设点 ， ， ，以M为切点的抛物线的切线方程为 ，
由 ，联立可得 ，
由判别式 ，即 ，即 ，显然 ，可得 ，
因此，以M为切点的抛物线的切线方程为 ，
同理可得，以N为切点的抛物线的切线方程为 ，
由于这两条切线都经过点 ，代入可得 ， ，
则直线MN的方程为 ，可得直线MN过定点 ．
变式10．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知 的焦点为 ，且经过 的
直线被圆 截得的线段长度的最小值为4．
(1)求抛物线的方程；
(2)设坐标原点为 ，若过点 作直线 与抛物线相交于不同的两点 ， ，过点 ， 作抛物线的切线
分别与直线 ， 相交于点 ， ，请问直线 是否经过定点？若是，请求出此定点坐标，若不是，
请说明理由．
【解析】（1）因为抛物线 的焦点为 ，圆 的圆心 ，
而经过 的直线被圆 截得的线段长度 ，其中 为圆心 到直线的距离，则 ，所以 ，
显然， 的最大值为焦点 到圆心 的距离，即 ，
所以 ，又 ，解得 或 （舍），
故抛物线的方程为 ．
（2）设点 ， ， ，由 ，即 ，得 ，
则点 处的切线方程为 ，
直线 的方程为： ，
则点 ，同理点 ，
可得：
，
直线 的方程为： ，
注意到点 ， 满足 ，
直线 的方程为 ．
注意令 ，则，
直线 经过定点 ．
变式11．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）如下图所示，已知椭圆 的上顶
点为 ，离心率为 ，且椭圆 经过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过点 作圆 （圆 在椭圆 内）的两条切线分别与椭圆 相交于 两点（
异于点 ），当 变化时，试问直线 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
【解析】（1）由题知 解得 ，
故椭圆 的方程为
（2）设点 为椭圆上任意一点，则 ，
所以 ，
所以当 时， 取最小值 ，
即椭圆上的点到点 的最小距离为 ，
因为圆 在椭圆 内部，所以半径 ，
所以直线 的斜率均存在，
设过点 与圆 相切的直线为 ，设直线 的斜率分别为 ，则圆心 到直线 的距离 ，
化简得： ①，
从而 ，
由 得： ，解得： 或
将 代入 可得 ，
所以 ，
所以直线BD的斜率 ，
直线BD的方程为：
化简为： ，
即
所以，当 变化时，直线BD总过定点 .
题型四：交点弦定值问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的顶点为原点，其焦点 到直线
的距离为 ．
(1)求抛物线 的方程；(2)设点 ， 为直线 上一动点，过点 作抛物线 的两条切线 ， ，其中 ， 为切点，求直线
的方程，并证明直线 过定点 ；
(3)过（2）中的点 的直线 交抛物线 于 ， 两点，过点 ， 分别作抛物线 的切线 ， ，求 ，
交点 满足的轨迹方程．
【解析】（1）设抛物线的方程为 ，
∵抛物线 的焦点 到直线 的距离为 ，
∴ ，解得 或 （舍去 ，
∴ ， ，
∴抛物线 的方程为 ．
（2）设 ， ，设切点为 ，曲线 ， ，
则切线的斜率为 ，化简得 ，
设 ， ， ，则 ， 是以上方程的两根，
则 ， ，
，
直线 的方程为： ，整理得 ，
∵切线 的方程为 ，整理得 ，且点 ， 在切线 上，
∴ ，即直线 的方程为： ，化简得 ，
又∵ ，∴ ，
故直线 过定点 ．
（3）设 ， ， ，
过 的切线 ，过 的切线 ，
则交点 ，设过 点的直线为 ，
联立 ，得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
∴点 满足的轨迹方程为 ．
例11．（2023·全国·高三专题练习）如图，设抛物线方程为 (p＞0)，M为直线 上任意一
点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.
（1）求直线AB与 轴的交点坐标；
（2）若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在E点处的切线与三角形MAB的边MA，MB分别交于点 ，
，记 ，问 是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.
【解析】（1）设 ， ，抛物线方程 可变为 ，
所以 ，所以 ， ，
直线 的方程为 ，直线 方程为 ，
则 解得 ， ，
又 ，所以直线 的方程为 ，化简得 ， 令 ， ，
又 ， 所以 ，
所以直线AB与 轴的交点坐标为 .
（2）记 ，设点 ，
可得直线 的方程为 ，
由 可得 ，同理 ，
所以
，
所以 ，同理 ，
所以 ，
设 ，记 ，则 ， ， ，
， ，
于是 ，
所以
，
所以 .
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知拋物线 ， 为焦点，若圆 与拋物线 交于 两点，且
(1)求抛物线 的方程；
(2)若点 为圆 上任意一点，且过点 可以作拋物线 的两条切线 ，切点分别为 .求证：
恒为定值.
【解析】（1）由题意可知 ，半径为 ，
由圆的圆心以及抛物线的焦点均在在坐标轴 轴，故由对称性可知： 轴于点 ，
在直角三角形 中， ,
因此 故 ，将其代入抛物线方程中得 ，
故抛物线方程为：
（2）令 ，
抛物线在点 处的切线方程为 ,
与 联立得 ①
由相切 得 ，
代入①得
故在点处的切线方程为 ，即为同理：点 处的切线方程为 ，
而两切线交于点 ，
所以有 ，
则直线 的方程为: ，
由 得 ,所以
于是
，
又点 在圆 上，
所以 ,即 .
变式12．（2023·山东青岛·统考二模）已知 为坐标原点，双曲线 的左，右焦点
分别为 ， ，离心率等于 ，点 是双曲线 在第一象限上的点，直线 与 轴的交点为 ，
的周长等于 ， .
(1)求 的方程；
(2)过圆 上一点 （ 不在坐标轴上）作 的两条切线，对应的切点为 ， .证明：直线
与椭圆 相切于点 ，且 .
【解析】（1）由题意知， ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 的方程为： .
（2）设 ，则 ，
， ，
设切线 的斜率分别为 ，设 的方程为： ，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 （*）
因为 ，整理得 ，
即 ，所以 ，同理： ，
因为切线 均过点 ，同理根据上面可知，
为 的两解，所以 ，
所以 ， 为直角三角形，
因为 ，所以 ，
所以 ，同理： ，
所以直线 的方程为： ，
将直线 ： ，代入椭圆 的方程： 可得：
，即 ，
所以 ， ，
所以直线 与椭圆 相切，切点 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
题型五：交点弦最值问题例13．（2023·江西抚州·临川一中校考模拟预测）椭圆 ： 的离心率为 ，焦距为
.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设 是椭圆 上的动点，过原点 作圆 ： 的两条斜率存在的切线分别
与椭圆 交丁点 ， ，求 的最大值.
【解析】（1）由题意得 ，又 ，
所以 ， ， ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）设圆 的切线 的方程为 ，则 ，
整理得 ，其两根 ， 满足 ①，
这里 ， ，且 ②，
由①②得 ，
设 ， ，则 ， ，
这里 ， ，
所以 ， ，
则 ，
因为 当且仅当 时取等号，
所以 ，当且仅当 时取等号，
即 .
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的方程为 ， 为其焦点，过不在抛物线上的一点作此抛物线的切线 ， 为切点.且 .
（Ⅰ）求证：直线 过定点；
（Ⅱ）直线 与曲线 的一个交点为 ，求 的最小值.
【解析】试题分析：（Ⅰ）设直线 的方程为 ，设 ， ，由 消去 得
，根据韦达定理，结合导数的结合意义可得这两条切线的斜率分别为 ， .由
这两切线垂直得 ，从而可得结论；（Ⅱ）设 ，则 ，
， ， ，
，利用导数求出 的最小值即可.
试题解析：（Ⅰ）设直线 的方程为 ，设 ，
以 为切点的切线方程分别为 ， .
由 消去 得 .
则 ， .
这两条切线的斜率分别为 ， .
由这两切线垂直得 ，得 .
所以直线 恒过定点 .
（Ⅱ）设 ，则 ， ，
当 时，则 ，可得 ，
当 时，则 ， ， ，
同样可得 .所以 .
由 .
所以 .
令 ， .
.
所以 在 上为减函数，在 上为增函数.
所以 .
（或 当 时取等号.）
例15．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点在 轴的正半轴上，圆
经过抛物线 的焦点.
(1)求 的方程；
(2)若直线 与抛物线 相交于 两点，过 两点分别作抛物线 的切线，两条切线相交
于点 ，求 面积的最小值.
【解析】（1）由题意，设 的方程为 ，
因为圆 经过抛物线 的焦点 ，
所以 ，解得 ，
所以 的方程为 .
（2）如图所示，设 ，则 ，联立方程组 整理得 ，
所以 ，且 ，
所以 .
由 ，可得 ，则 ，所以抛物线 的过点A的切线方程是 ，
将 代入上式整理得 ，
同理可得抛物线 的过点 的切线方程为
由 解得 ，所以 ，
所以 到直线 的距离 ，
所以 的面积 ，
当 时， ，
所以 面积的最小值为 .
变式13．（2023·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知椭圆 ，
是椭圆外一点，过 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ，直线 与直线 交于点 ， 是直线
与椭圆 的两个交点.
(1)求直线 与直线 的斜率之积；
(2)求 面积的最大值.
【解析】（1）设 ， ， ，
由 可得 ，对其求导可得 ，
所以当 时，直线 的斜率为 ，
则直线 的方程为 ，即 .
当 时， 成立，所以直线 的方程为 .
同理可得直线 的方程为 ，
又因为 是两条切线的交点，所以有 ， ，
所以 ，则 ，又因为 ，
所以 .
（2）①当 时，联立直线 与椭圆方程 ，
得 ，
， ，
则 ，
联立直线 与椭圆方程 ，解得点 .
则点 到直线 的距离 ，
所以令 ，则 ，
令 ，则 ，记 ，
，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 ， ，即 时， .
所以 ，所以 面积的最大值是 .
②当 时，直线 的方程为 ，联立 ，
可得 ，根据椭圆的对称性，不妨令 ，则 ，
则点 到直线 的距离 ，
所以
令 ，则 ，记 ，
，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 ， 时， .
所以 ，所以 面积的最大值是 .
根据对称性可得当 时， 面积的最大值是 .
所以当 时， 的最大值为 .
当 时，同理可求得，当 时， 的最大值为 .
综上，当 时， 面积的最大值是 .
变式14．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知抛物线C： 的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为3．
(1)求p；
(2)若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求三角形PAB面积的最值．
【解析】（1）由点 到圆M上的点的距离的最小值为
解得 ．
（2）由（1）知，抛物线的方程为 ，即 ，则 ．
设切点 ， ，则易得直线PA： ，直线PB： ，
从而得到 ．
设直线AB： ，联立抛物线方程，消去y并整理，得 ，
则 ，即 ，且 ， ，故 ．
因为 ，
点P到直线AB的距离 ，所以 ，①
又点 在圆M： 上，
故 ，代入①得， ，
而 ，故当 时， ,
故当 时， .
题型六：交点弦范围问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，设抛物线 的焦点为F，点P是半椭圆
上的一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A、B，且直线PA、PB分别交y轴
于点M、N．（1）证明： ；
（2）求 的取值范围．
【解析】（1）由题意知，直线PA的斜率存在且不为0，设点P的坐标为 ，
直线PA方程为 ．
令 ，可知点M的坐标为 ．
由 ，消去x得 ．
因为直线与抛物线只有一个交点，
故 ，即 ．
因为点F的坐标为 ，
故 ， ．
则 ．
因此 ，亦即 ．
（2）设直线PB的方程为 ．
由（1）可知，n满足方程 ．
故m，n是关于t的方程 的两个不同的实根．
所以 ．
由（1）可知： ，同理可得 ．
故 ， ．
则 ，因为 ，
所以 ．
因此， 的取值范围是 ．
【点晴】本题考查直线与椭圆的位置关系，计算量较大，考查学生的运算求解能力、转化与化归的思想，
是一道中档题.
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 的左焦点 ，点 在
椭圆 上.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）经过圆 ： 上一动点 作椭圆 的两条切线，切点分别记为 ，直线 分别与圆
相交于异于点 的 两点.
（i）当直线 的斜率都存在时，记直线 的斜率分别为 .求证： ；
（ii）求 的取值范围.
【解析】（1）∵椭圆 的左焦点 ，∴ .
将 代入 ，得 .
又 ，∴ ， .
∴椭圆 的标准方程为 .
（2）（i）设点 ，设过点 与椭圆 相切的直线方程为 .
由 ，消去 ，得 .
.
令 ，整理得 .
由已知，则 .又 ，∴ .
（ii）设点 ， .
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 .
由 ，消去 ，得 .
.
令 ，整理得 .
则 .
∴直线 的方程为 .
化简，可得 ，即 .
经验证，当直线 的斜率不存在时，
直线 的方程为 或 ，也满足 .
同理，可得直线 的方程为 .
∵ 在直线 ， 上，∴ ， .
∴直线 的方程为 .
由 ，消去 ，得 .
∴ ， .
∴
.
又由（i）可知当直线 ， 的斜率都存在时， ；易知当直线 或 斜率不存在时，也有 .
∴ 为圆 的直径，即 .
∴ .
又 ，∴ .
∴ 的取值范围为 .
例18．（2023·山东·校联考模拟预测）已知圆 为坐标原点，点 在圆 上运动， 为过点
的圆的切线，以 为准线的拋物线恒过点 ，抛物线的焦点为 ，记焦点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)过动点 的两条直线 均与曲线 相切，切点分别为 ，且 的斜率之积为 ，求四边形
面积的取值范围．
【解析】（1）分别过 作 的垂线，垂足分别为 ，连接 ，
由抛物线的定义，可得 ，则 ．
因为 ，所以焦点 的轨迹是以 为焦点的椭圆，
其中 ，
所以抛物线的焦点 的轨迹方程为
（2）设点 ，过点 的直线的斜率为 ，则方程为 ，
联立方程组 ，消 得 ，
，
整理得 ，，即 ，所以点 在方程为 的圆上．
设 点在椭圆上，则 ，则 ，
由 知， 满足：
则 ，即 ，故 ，
从而得切线 的方程为
整理得 ，点 满足方程，则 ，
同理可得
即点 满足方程 ，所以 的方程为 ．
消 得 ，
， ，
．
设 ， 点到直线 的距离为 ，
；
．
所以 ．变式15．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，以椭圆的顶
点为顶点的四边形面积为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)我们称圆心在椭圆 上运动且半径为 的圆是椭圆 的“环绕圆”.过原点 作椭圆 的“环绕
圆”的两条切线，分别交椭圆 于 两点，若直线 的斜率存在，并记为 ，求 的取值范围.
【解析】（1）由题意，得 且 ，又 ，
解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）
设切线 的方程为 ，切线 的方程为 ，“环绕圆”的圆心D为 .
由“环绕圆”的定义，可得“环绕圆”的半径为1，所以“环绕圆”的标准方程为 .
因为直线 与“环绕圆”相切，则由点到直线的距离公式可得： ，
化简得 .
同理可得 .所以 是方程 的两个不相等的实数根，
所以 .
又因为“环绕圆”的圆心 在椭圆 上，所以代入椭圆方程 中，
可得 ，解得 .
所以 .
又因为 且 ，所以 或 .
所以 或 ，所以 或 ，
所以 或 .
所以 的取值范围是 .
