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专题 05 抛物线（2 种经典基础练+4 种优选提升练）
抛物线及其标准方程（共15题）
一、单选题
1．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）抛物线 的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·湖南永州·期末）抛物线C： 上的点 与焦点F的距离是
2，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
3．（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点 的距离比到 轴的距离大 的动点且动点不在 轴
的负半轴的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知点 在抛物线 上，过点 作圆
的切线，若切线长为 ，则点 到 的准线的距离为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．
5．（23-24高二上·四川德阳·期末）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物
线围绕其对称轴旋转 而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面
学科网（北京）股份有限公司的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反
射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其
顶点到焦点的距离等于（ ）
A． B． C．1m D．
6．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知抛物线 经过点 ，点 到抛物线
的焦点 的距离为3，则抛物线 的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（23-24高二上·浙江温州·期末）以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
三、填空题
8．（23-24高二上·上海奉贤·期末）抛物线 的准线方程为 .
9．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知 是抛物线 上纵坐标为4的点，则 与 的
焦点的距离为 .
10．（23-24高二上·河北保定·期末）已知 ， ， 是抛物线C： 上的一点，则
周长的最小值为 ．
11．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知抛物线 的焦点为 ， 是 上一点，
学科网（北京）股份有限公司的面积为2，则 .
12．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则抛物线的标准方程为
.（写出一个即可）
四、解答题
13．（22-23高二上·青海西宁·期末）已知双曲线 的渐近线为 ，抛
物线 的焦点为F，点 在抛物线 上，且 ，抛物线 交双曲线 的两条
渐近线于O，A，B三点．
(1)求双曲线 的离心率；
(2)求 的面积．
14．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知抛物线 ： 的焦点为 ，直线
与 交于 ， 两点．
(1)求 的值；
(2)若 上存在点 ，使 的重心恰为 ，求 的值及点 的坐标．
15．（23-24高二上·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系 中，已知点 ，横坐标非负的动
点 到 轴的距离为 ，且 ，记点 的运动轨迹为曲线 ．
学科网（北京）股份有限公司(1)求 的方程；
(2)若 是 上两点，且线段 的中点为 ，求 ．
抛物线的简单几何性质（共16题）
一、单选题
1．（22-23高二上·江苏苏州·期末）抛物线 上一点 到其对称轴的距离为（ ）
A．4 B．2 C． D．1
2．（22-23高二上·江苏南通·期末）已知 为双曲线 与抛物线 的交点，则 点
的横坐标为（ ）
A．3 B．2 C． D．
3．（23-24高二上·宁夏固原·期末）直线 过抛物线 的焦点 ，且 与该抛物线交于不同的
两点 ､ ，若 ，则弦 的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（23-24高二上·广东茂名·期末）过抛物线 的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点.若线
段 的中点横坐标为2，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A．3 B．4 C．5 D．6
5．（22-23高二上·重庆·期末）已知 ，则方程 表示的曲线可能是
（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
6．（24-25高二上·广东江门·期末）已知抛物线 的焦点为 ，直线 ，过 的直
线交抛物线 于 ， 两点，交直线 于点 ， ， ，则
（ ）
A． 的面积的最大值为2 B．
C． D．
7．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知曲线 ， 为C上一点，则下列
说法正确的是（ ）
A．曲线C关于y轴对称 B． 的取值范围为
C． 的取值范围为 D．
三、填空题
8．（23-24高二上·山西·期末）已知抛物线 的焦点为 ，点 ，若点 为抛物线上
学科网（北京）股份有限公司任意一点，当 取最小值时，点 的坐标为 .
9．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与
抛物线 交于 两点，分别过 作准线的垂线，垂足分别为 .若 ，四边形
的面积为 ，则 ．
10．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）过点 作倾斜角为 的直线与 交于 ，则
．
四、解答题
11．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知平面直角坐标系内的动点 恒满足：点 到定点
的距离与它到定直线 的距离相等．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点 的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明： ．
12．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点 ， ， 中恰有两个点在抛物线
上．
(1)求 的标准方程
(2)若点 ， 在 上，且 ，证明：直线 过定点．
学科网（北京）股份有限公司13．（23-24高二上·山西太原·期末）已知点 为抛物线 ： 的焦点，点 在
抛物线 上，且 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知点 ，过点 的直线交抛物线于 、 两点，求证： .
14．（23-24高二上·广西桂林·期末）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知直线 与
抛物线 相交于 、 两点.
(1)求 的焦点坐标及准线方程；
(2)求 的面积.
15．（23-24高二上·辽宁·期末）已知抛物线 ： ，过点 作直线 ．
(1)若直线 的斜率存在，且与抛物线 只有一个公共点，求直线 的方程．
学科网（北京）股份有限公司(2)若直线 过抛物线 的焦点 ，且交抛物线 于 ， 两点，求弦长 ．
16．（23-24高二上·上海奉贤·期末）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条
边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高
度之差至少要有0.5米.
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛
物线的方程；
(2)经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求 的值；
(3)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？
学科网（北京）股份有限公司抛物线焦点弦有关综合题（共5题）
1．（23-24高二上·辽宁·期末）在直角坐标系 中，已知点 ，直线 ，过 外一点
作 的垂线，垂足为 ，且 ，记动点 的轨迹为 ，过点 作 的切线，该切线与 轴
分别交于 两个不同的点，则下列结论正确的是（ ）
A．动点 的轨迹方程为
B．当 时， 三点共线
C．对任意点 （除原点 外），都有
D．设 ，则 的最小值为4
2．（23-24高二上·云南昆明·期末）过抛物线 的焦点 的一条直线交抛物线于
两点，下列说法正确的是（ ）
A． 为定值
B．存在直线 ，使得 （ 为坐标原点）
C．若经过点 和抛物线的顶点的直线交准线于点 ，则
D．若 ，则
学科网（北京）股份有限公司3．（23-24高二上·安徽黄山·期末）过抛物线 的焦点 作直线 与抛物线交于 两
点，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 的斜率之积为定值
B．直线 交抛物线的准线于点 ，若 ，则直线l的斜率为
C．若 ，则抛物线的准线方程为
D．直线 交抛物线的准线于点 ，则直线 轴
4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知抛物线C： 与圆O： 交于A，B
两点，且 ，直线 过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．若直线 的斜率为 ，则
B． 的最小值为
C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为 ，则点M的横坐标为
D．若点 ，则 的周长最小值为
5．（23-24高二上·安徽宣城·期末）已知抛物线 与圆 交于 两点，
且 ，直线 过 的焦点 ，且与 交于 两点，则 的最小值为 .
抛物线中与面积有关综合题（共5题）
1．（23-24高二上·山东菏泽·期末） 为坐标原点，以 为准线， 为焦点的抛物线 的方程为：
.过 的直线交 于 两点， 于 于 为线段 的中点.
下列选项正确的有（ ）
A． 面积 的最小值为4
学科网（北京）股份有限公司B．
C．直线 与 轴交于 点，过点 作 的垂线与 轴交于 点，则
D． ，当且仅当 轴时取等号
2．（23-24高二上·四川乐山·期末）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为
阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设抛物线 （
），弦 过焦点 ， 为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（ ）
A．点 在抛物线 （ ）的准线 上
B．存在点 ，使得
C．
D． 面积的最小值为
3．（24-25高二上·云南文山·期末）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 的直线与
抛物线交于 ， 两点.点 在 上的射影为 ，点 为坐标原点，则下列说法正确的
是（ ）
A．过点 与抛物线 有且仅有一个公共点的直线至多有3条
B．以 为直径的圆与 相切
C．设 ，则
D．若 ，则 的面积为
4．（23-24高二上·四川成都·期末）已知抛物线 的焦点为 ， 过 的直线 交于
学科网（北京）股份有限公司两点， 过 与 垂直的直线交于 两点，其中 在 轴左侧， 分别为 的中
点，且直线 过定点 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)设 为直线 与直线 的交点;
（i）证明 在定直线上；
（ii）求 面积的最小值.
5．（23-24高二上·福建三明·期末）在平面直角坐标系 中，已知点 ， 、 为抛物线
上不同的两点， ，且 于点 ．
(1)求 的值；
(2)过 轴上一点 的直线 交 于 、 两点， 、 在 的准线上的射
影分别为 、 ， 为 的焦点，若 ，求 中点 的轨迹方程．
学科网（北京）股份有限公司直线与抛物线交点综合题（共8题）
1．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系 中，过抛物线 的焦点 作直
线 交抛物线 于 两点，则（ ）
A． 的最小值为2
B．以线段 为直径的圆与 轴相切
C．
D．当 时，直线 的斜率为
2．（23-24高二上·上海·期末）已知抛物线 的焦点为 ，经过 的直线 与抛物线 交于
两点，设点M在抛物线的准线上，若 是等腰直角三角形，则 .
3．（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系 中，曲线 ，曲线 ．
经过 上一点 作一条倾斜角为 的直线 ，与 交于两个不同的点 ，则 的取值范
围为 ．
4．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知椭圆 （ ）的离心率为 ，其上焦点
与抛物线 的焦点重合．若过点 的直线交椭圆 于点 ，过点 与直线 垂直的
直线 交抛物线 于点 （如图所示），则四边形 面积的最小值为 ．
学科网（北京）股份有限公司5．（23-24高二上·山东济南·期末）已知抛物线 的焦点为F，过点F作与x轴不垂直的直
线l交C于点A，B，过点A作垂直于x轴的直线交C于点D，若点M是 的外心，则
的值为 ．
6．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，点 ，
过 的直线交 于 ， 两点，当 点的横坐标为1时，点 到抛物线的焦点 的距离为2.
(1)求抛物线 的方程；
(2)设直线 ， 与 的另一个交点分别为 ， ，点 ， 分别是 ， 的中点，记直线
， 的倾斜角分别为 ， .求 的最大值.
7．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系 中，抛物线 上一点A的
学科网（北京）股份有限公司横坐标为 ，且点A到焦点F的距离为2．
(1)求抛物线的方程；
(2)点P在抛物线上，直线 与直线 交于Q点，过点F且平行于 的直线交抛物线于 两
点，且 ，求λ的值．
8．（23-24高二上·河南洛阳·期末）在平面直角坐标系 中，已知点 ，直线 ： ，
点 在直线 上移动， 是线段 与 轴的交点，动点 满足： ， ．
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)过点 的直线交轨迹 于 ， 两点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作直线
的垂线与轨迹 的另一交点为 ， 的中点为 ，证明： ， ， 三点共线．
学科网（北京）股份有限公司抛物线中定值、定点问题（共6题）
1．（23-24高二上·湖北武汉·期末）如图，已知点 是焦点为 的抛物线 上一点，
， 是抛物线 上异于 的两点，且直线 ， 的倾斜角互补，若直线 的斜率为
．
(1)求证：直线 的斜率为定值；
(2)设焦点 到直线 的距离为 ，求 的取值范围．
2．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆的方程 , , ，抛物线过 两点，
且以圆的切线为准线.
(1)求抛物线焦点的轨迹C的方程；
(2)已知 ， 设x轴上一定点 ， 过T的直线交轨迹C于 两点（直线
与 轴不重合），求证： 为定值.
学科网（北京）股份有限公司3．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，点 ，
过 的直线交 于 ， 两点，当 点的横坐标为1时，点 到抛物线的焦点 的距离为2.
(1)求抛物线 的方程；
(2)设直线 ， 与 的另一个交点分别为 ， ，点 ， 分别是 ， 的中点，记直线
， 的倾斜角分别为 ， .求 的最大值.
4．（23-24高二上·河南漯河·期末）动点 在 轴的右侧， 到 轴的距离比它到点 的距离
小 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)已知点 ，过 的直线与 交于 两点， 分别与 交于点 .
①求证：直线 过定点；
②求 与 面积之和的最小值.
学科网（北京）股份有限公司5．（23-24高二上·湖北孝感·期末）动点G到点 的距离比到直线 的距离小2.
(1)求G的轨迹的方程；
(2)设动点G的轨迹为曲线C，过点F作斜率为 ， 的两条直线分别交C于M，N两点和P，Q两
点，其中 .设线段 和 的中点分别为A，B，过点F作 ，垂足为D，试问：是
否存在定点T，使得线段 的长度为定值.若存在，求出点T的坐标及定值；若不存在，说明理由.
6．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知抛物线 ， 为抛物线C的焦点，点P为
直线 上任意一点，以P为圆心， 为半径的圆与抛物线C的准线交于A，B两点，过A，
B分别作准线的垂线交抛物线C于点 ，D．且当点P的坐标是 时，线段 的中点是(1，
)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明：直线 过定点，并求出定点的坐标．
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