文档文本内容
4.3 对数及其运算
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：对数的有关概念................................................................................2
考点二：对数与指数的关系............................................................................2
考点三：对数的性质....................................................................................... 2
考点四：对数运算性质....................................................................................2
考点五：换底公式........................................................................................... 2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：指数式与对数式的互化.................................................................... 3
题型二：对数的运算....................................................................................... 3
题型三：对数运算性质的应用........................................................................ 5
题型四：运用换底公式化简计算.................................................................... 5
题型五：运用换底公式证明恒等式.................................................................6
题型六：对数及其运算的综合应用.................................................................7
模块三：综合巩固.........................................................................9
4.3 对数及其运算
模块一：基础知识
考点一：对数的有关概念
对数的概念：
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x＝logaN，其中a
叫做对数的底数，N 叫做真数．
常用对数与自然对数：
通常将以10 为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log10N
可简记为lg N，logeN 简记为ln N.
考点二：对数与指数的关系
一般地，有对数与指数的关系：
若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x.
对数恒等式：
logaN
a
＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．
考点三：对数的性质
1．1 的对数为零．2．底的对数为1.3．零和负数没有对数．
考点四：对数运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaM
N＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
考点五：换底公式
1．logab＝logcb
logca(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
2．对数换底公式的重要推论：
(1)logaN＝
1
logNa(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；
(2)log
n
m
a b ＝m
nlogab(a>0，且a≠1，b>0)；
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
模块二：题型分类
题型一：指数式与对数式的互化
1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)
3
2
8
；
(2)
5
10
100000
；
(3)3
7
x
；
(4)
2
log 32
5
；
(5)
3
1
log
3
27 ；
(6)log
2
x b
．
2.将
3
1
1
2
8
化为对数式正确的是（
）
A．
1
2
1
log 3
8
B．
1
2
1
log
3
8
C．
1
8
1
log
3
2
D．
3
1
1
log 2
8
3.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（
）
A．
0e
1
与ln1
0
B．
1
3
1
8
2
与
8
1
1
log 2
3
C．
3
log 9
2
与
1
2
9
3
D．
7
log 7
1
与
17
7
题型二：对数的运算
1.求值：
(1)
2
lne
lne
；
(2) lg8
lg125
；
(3)
3
3
2log 6
log 4
；
(4)
2
2
log
log 16 ；
(5)
8
4
log 27
log 9 ；
(6)
2
3 log 5
2
；
(7)
2
lg5 lg20
lg2
；
(8) 1
32
4
lg
lg
8
lg
245
2
49
3
．
2.求下列各式的值：
(1)lg0.01；
(2)
4
3
2
log
2
4
；
(3) lg 2
lg5
；
(4)
3
3
3
27
2
6
log
log
log
5
3
5
；
(5)
2
2
2
7
1
log
log 12
log 42
1
48
2
；
(6)
2
lg2
lg2 lg50
lg25
.
3.计算：
3
27
8
2
(log 4
log
8)(log 9
log 3)
．
4．已知10
3,10
5
x
y
，则用,x y 表示
9
lg 2 为（
）
A．2
1
x
y
B．3x
y
C．2
1
x
y
D．2
1
x
y
5．已知5
10
a
b
，则b
a （
）
A．1
2
B．2
C．
5
log 10
D．1 lg2
6．李明开发的小程序发布经过t 天后，用户人数
500ekt
A t
，其中k 为常数.已知小程序发布经过10 天后
有2000 名用户，则用户超过500000 名至少经过的天数为（
）( 取lg2
0.3
）
A．31
B．32
C．40
D．50
7．已知
2
log 6
a
，3
36
b
，则1
2
a
b
（
）
A．1
2
B．1
C．2
D．4
8．计算
6
6
3
3
1
(
log 4
log 3)(log 12
2log 2)
2
（
）
A．0
B．1
C．2
D．4
题型三：对数运算性质的应用
1．正数,x y 满足
8
xy
y
，则
4
2
log
log
x
y
的最大值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2.已知
8
2
15,log 3
a
b
，则
3
2a
b
（
）
A．25
B．5
C．25
9
D．5
3
3.若
2lg
2
lg
lg
x
y
x
y
，则y
x 的值为（
）
A．4
B．1或1
4
C．1或4
D．1
4
4.已知0
1
m
，0
1
n
，且
4
2
2log
log
1
m
n
，则1
9
m
n
的最小值是（
）
A．18
B．16
C．10
D．4
题型四：运用换底公式化简计算
1．已知
2
log 6
a
，3
36
b
，则1
2
a
b
（
）
A．1
2
B．1
C．2
D．4
2．
4
8
3
9
log 3
log 3
log 2
log 2
（
）
A．5
4
B．4
5
C．15
D．12
3．
2
2
log 3
3
5
8
2
lg
2lg 2
2
（
）
A．6
B．8
C．9
D．7
4．若实数a 、b 、c 满足25
403
2015
2019
a
b
c
，则下列式子正确的是
A．1
2
2
a
b
c
B．2
2
1
a
b
c
C．1
1
2
a
b
c
D．2
1
2
a
b
c
5.已知0
1
a
，且
3
2log
81 3
a
a
，则
9
2
1
log a
a
（
）
A．105
4
B．83
3
C．67
3
D．33
2
6.已知
1
a ，
1
b ，且ln
4ln
2
a
b
，则
4
log
lo
e
e
g
a
b
的最小值为（
）
A．9lg2
B．21
2
C．25
2
D．12
7．已知
2
log 5
m
．
(1)求
2
5
2
log 2
4
m
m
的值；
(2)用m 表示
25
log 20 ．
8．（1）已知正实数a ，b 满足
1
a
b
，求1
1
a
b
的最小值，并求出此时a ，b 的值.
（2）已知lg 2
a
，lg3
b
，试用a ，b 表示
2
log 3，
12
log 5
题型五：运用换底公式证明恒等式
1．设a，b，c 均为不等于1 的正实数，则下列等式中恒成立的是（
）
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
2．下列计算恒成立的是
A．
2
log
2log
a
a
x
x
B．
log
log (
)
log
a
a
a
x
x
y
y
C．log
log
log (
)
a
a
a
x
y
x
y
D．
5
3
10
10
3
log
log
5
x
x
3．（多选）设, ,
a b c 是均不等于1 的正实数, 则下列等式中恒成立的是（
）
A．log
log
log
a
c
c
b
a
b
B．log (
)
log
log
a
a
a
bc
b
c
C．log (
)
log
log
a
a
a
b
c
b
c
D．log
log
c
c
a
a
b
b
4．求满足下列条件的各式的值
(1)若
3
log 4
1
x
，求4
4
x
x
的值；
(2)设3
4
6
x
y
z
，求证：1
1
1
2
x
y
z
.
5．设
0
a
，
0
b
，
0
，且
1
a ，
1
b ，利用对数的换底公式证明：
(1)
1
log
log
a
b
b
a
；
(2) log
log a
a b
b
．
6.证明：
（1）log
log
log
1
a
b
c
b
c
a
；
（2）
m
log
log
n
a
a
n
b
b
m
.
题型六：对数及其运算的综合应用
1．已知
4
8
2
3,log 3
x
y
，则
2
x
y
的值为（
）
A．3
2
B．5
C．4
D．3
2．白细胞是一类无色、球形、有核的血细胞，正常成人白细胞总数为
9
4.0
10.0
10 /L
，可因每日不同
时间和机体不同的功能状态而在一定范围内变化.若白细胞计数因为感染产生病理性持续升高，则需进一步
探查原因，进行药物干预.研究人员在对某种药物的研究过程中发现，在特定实验环境下的某段时间内，可
以用对数模型：
0 ln
W m
W
Km
描述白细胞数量
W m （单位：
9
10 /L ）随用药量m（单位：mg）的
变化规律，其中
0
W 为初始白细胞数量，K 为参数.已知
0
20
W
，用药量为50 时，在规定时间后测得白细胞
数量为14，若使白细胞数量达到正常值，则需将用药量至少提高到（
）（参考数据：
5
1
e
1.221
）
A．58
B．59
C．60
D．62
3．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存､投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做
好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率v 与时间t（月）近似地满足关系
t
v
a b
（其
中,a b 为正常数），经过5 个月，这种垃圾的分解率为5%，经过10 个月，这种垃圾的分解率为10% ，那么
这种垃圾完全分解大约需要经过（
）个月.（参考数据：lg2
0.3
）
A．20
B．24
C．26
D．27
4．已知
5
log 2
a
，
8
log 3
b
，3
2
c
，则下列判断正确的是（
）
A．c
b
a
B．b
a
c
C．a
c
b
D．a
b
c
5．下列结果正确的是（
）
A．n
n
a
a
B．log
)
log
lo
(
g
a
a
a
MN
M
N
＋
C．
1
1
3
2
2
2
a
a
a
a
D．
3
9
4
8
5
log 2
log 2
log 3
lo
(
)
g 3
(
4
)
6．已知
5
3
0.2,
log 0.3
a
b
，则（
）
A．
2
ab
B．1
2
ab
C．0
1
ab
D．1
0
ab
7．若2
3
12
1
x
y
z
，则
4
8
x
y
z
xy
的取值范围是（
）
A．
1,4
B．
1,
C．
2 2,
D．
4,
8．（多选）已知函数
2
log
,
0
2 ,
0
x
x x
f
x
x
，若
1
2
f a
，则
a
（
）
A．1
B．1
C．
2
D．
2
9.求值：
(1)
2
3
lg3
lg9
lg
27
lg 3
5
5
lg81 lg27
；
(2)
5
5
5
5
7
log 35
2log
log 7
log 1.8
3
．
10．求下列各式中x 的值：
(1)
lg 10
1
3lg
x
x
；
(2)3ln
6
ln
x
x
；
(3) lg
2
2lg
10
x
x
；
(4)
1
log
2
2
x
x
．
11.已知log 3
a
m
，log 2
a
n
（
0
a
且
1
a ）．
(1)求
2
m
n
a
的值；
(2)若
3
log 2 1
m
n
，解关于x 的不等式：
2
(
1)
6
0
tx
at
x
a
（其中
R
t
）．
模块三：综合巩固
1．求值：
(1)
5
log 25；
(2)
3
1
log 243 ；
(3)
1
16
log
2；
(4)
3
log
9 ；
(5) lg100；
(6)
0.1
log
10 ；
(7)
15
1
log
225 ；
(8)
3
7
log
49 ．
2．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式：
(1)
lg xyz ；
(2)
2
3
lg x yz
；
(3)
2
3
lg x y
z
；
(4)
2
1
3
2
lg x
yz
．
3.若
0
a
，
2
3
4
9
a
，则
2
3
log a ＝（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
4.二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21 大小的，即441 个点，根据0 和1 的二进制编
码，一共有2441 种不同的码，假设我们1 万年用掉3×1015 个二维码，那么大约可以用（
）（lg 2
0.301
，
lg3
0.477
）
A．
117
10
万年
B．
118
10
万年
C．
119
10
万年
D．
200
10
万年
5.（1）已知a ，b ，c是不等于1 的正数，且
x
y
z
a
b
c
，1
1
1
0
x
y
z
，求abc ；
（2）已知3
5
a
b
c
，且1
1
2
a
b
，求c ．
6．(多选)下列运算正确的是（
）
A．
3
2
1
4
2
3
0
x
x
x
B．
3
4
1
5
6
4
a
a
a
a
a
a
C．
27
3
log 16
4
log 8
9
D．若
1
x
xe ,则
ln
0
x
x
7．(多选)已知
10
lg
log
1
x
y
，则（
）
A．
2
2
10
lg
log
2
x
y
B．
10
x y
C．
10
lg 10
log
10
4
x
y
D．当
1,
1
x
y
时，log 10
log
10
x
y
的最小值为4
8．若
1
x
xe ，ln
1
e
y
y
，则xy （
）
A．3
B．e
C．1
e
D．1
9.已知
0
a
，
0
b
，则“
1
a
b
”是“lg
lg
0
a
b
”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10.已知
3
4
log 3
a
，
1
2
8.8
b
，
8
log 2
c
，则（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．b
a
c
D．c
a
b
11.设
ln3
m =
，
lg3
n
，则（
）
A．m
n
mn
m
n
＞
＞
B．m
n
m
n
mn
＞
＞
C．m
n
mn
m
n
＞
＞
D．m
n
m
n
mn
＞
＞
12.(多选)下列各式正确的是（
）
A．设
0
a
，
1
a 则
1
2
3
2
2
a
a
a
B．已知3
1
a
b
，则81 3
3
3
a
b
a
C．若log 2
a
m
，log 5
a
n
，则
2
20
m n
a
D．
4
5
1
1
2
log 9
log 3
13.正数
,a b 满足
2
3
6
3
log
2
log
1
log
a
b
a
b
，则a
b
的最小值为
．
14.已知
0,
1, ,
a
a
x y
为正实数，且
log
log
log
3
4
a
a
a
x
y
x
y
，则
y
x
的值为
.
15．已知
5
5
log 3
,log 4
a
b
，求证：
25
1
log 12
(
)
2 a
b
.
