文档文本内容
2.6 指数运算与指数函数的图像与性质
目录
01 课标要求...........................................................................................................................................2
02 落实主干知识...................................................................................................................................3
一、指数运算........................................................................................................................................3
二、指数函数及其性质........................................................................................................................3
常用二级结论........................................................................................................................................4
03 探究核心题型...................................................................................................................................5
题型一：指数运算................................................................................................................................5
题型二：指数运算的实际应用............................................................................................................5
题型三：指数函数的概念与图象........................................................................................................7
题型四：指数式大小比拼....................................................................................................................8
题型五：解简单的指数方程或不等式................................................................................................8
题型六：指数函数性质的综合应用....................................................................................................9
题型七：恒成立与有解问题..............................................................................................................10
04 好题赏析（一题多解）.................................................................................................................13
05 数学思想方法.................................................................................................................................14
①数形结合..........................................................................................................................................14
②转化与化归......................................................................................................................................14
③分类讨论..........................................................................................................................................15
06 课时精练（真题、模拟题）.........................................................................................................16
基础过关篇..........................................................................................................................................16
能力拓展篇..........................................................................................................................................18
1、理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2、掌握指数运算在实际问题中的应用.
3、通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.
4、理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.
一、指数运算
1、若
，则
叫做
的
次方根．（
，
）
（1）当
为奇数时，
；（2）当
为偶数时，
；
2、根式的性质：①
，②
（
，
）
3、正数的正分数与负分数指数幂的意义：（
，
，
，且
）
①
；②
4、正数的指数幂的运算性质：（
，
，
，
）
①
，②
，③
；
④
，⑤
，⑥
．
二、指数函数及其性质
1、指数函数概念：一般地，函数
（
，且
）叫做指数函数，其中
是自变量，函数的
定义域为
.
2、图像与性质
函数名称
指数函数
定义
函数
（
，且
）叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点
，即当
时，
．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在
上是增函数
在
上是减函数
变化对图
象的影响
在第一象限内，
越大图象越高；在第二象限内，
越大图象越低．
常用二级结论
指数函数
与
的图象关于
轴对称．
函数①
；②
；③
；④
的图象如下图左所示，则
；
即
时，
（底大幂大）；
时，
．
x
y
①②
③
④
1
O
x
y
f(x)=2x
g(x)=3x
h(x)=(
1
3)x
f( x) =(
1
2)x
O
题型一：指数运算
【例1】（2025·重庆九龙坡·三模）已知
，则
.
【解题总结】
(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法
则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加.
②运算的先后顺序.
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【变式1-1】（2025·江西南昌·二模）已知函数
，若
，则
.
【变式1-2】（2025·陕西·三模）已知函数
，则
．
【变式1-3】设函数
满足：对任意的正数
，
，
，且
，则
，
．
【变式1-4】已知实数
满足
，则
.
题型二：指数运算的实际应用
【例2】（2025·湖北黄冈·二模）如图，某池塘里浮萍的面积
（单位：
）与时间（单位：月）的关系
为
，关于下列说法，其中正确的说法是（ ）
①浮萍每月的增长率相同；
②若函数
与
的图像关于直线
对称，则函数
的值域为
的充要条件是
；
③若
，则当
时，
恒成立；
④若浮萍蔓延到
所经过的时间分别是
，则
.
A．①③④
B．③④
C．②③④
D．①②④
【解题总结】
利用指数运算解决实际问题时认清所给函数模型、变量、参数，利用待定系数法确定参
数的值，然后解决问题.
【变式2-1】（2025·高三·河北石家庄·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物
含量
（单位：
）与时间（单位：
）间的关系为：
，其中
、
是正的常数．如果在前
消除了
的污染物，那么污染物减少
大约需要花费（ ）
（参考数据：
）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2025·上海静安·一模）污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的
污水处理装置每小时从处理池清除掉
的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的
，大
约需要的时间为（ ）（参考数据：
）
A．
小时
B．
小时
C．
小时
D．
小时
【变式2-3】（2025·山东枣庄·模拟预测）对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用
表
达，其中
为正实数，
是极角，
是极径．若
每增加
个单位，则
变为原来的（ ）
A．
倍
B．
倍
C．
倍
D．
倍
【变式2-4】（2025·江苏泰州·模拟预测）《中华人民共和国国家标准综合排放标准》中一级标准规定的氨
氮含量允许排放的最高浓度为15ml/L．某企业生产废水中的氨氮含量为450ml/L，现通过循环过滤设备对
生产废水的氨氮进行过滤，每循环一次可使氨氮含量减少
，要使废水中的氨氮含量达到国家排放标准，
至少要进行循环的次数为(参考数据lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)（ ）
A．3
B．4
C．8
D．9
题型三：指数函数的概念与图象
【例3】（2025·甘肃兰州·模拟预测）已知函数
关于
的方程
有两个不等实数
根，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、
伸缩、对称变换得到.特别地，当底数与1 的大小关系不确定时应注意分类讨论.
【变式3-1】（2025·河北·二模）已知函数
，其中
为常数，若函数
的图
象如图所示，则（ ）
A．
的图象与坐标轴有三个交点
B．
的图象的对称轴在
轴左侧
C．关于
的方程
有两个不等实根
D．
在区间
上单调递增
【变式3-2】（2025·福建福州·模拟预测）若函数
的定义域和值域的交集为空集，
则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】（2025·甘肃甘南·模拟预测）若
是
上的单调递增函数，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-4】（2025·高三·河南周口·期末）已知函数
的图象过原点，且无限接近于直线
但又不与该直线相交，当
时，函数
有（ ）
A．最小值
B．最大值
C．最小值
D．最大值
题型四：指数式大小比拼
【例4】（多选题）（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知非零实数
满足
，则下列不等式一定
成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
利用指数函数的性
比
大小，最重要的是
质
较
“同底”原
，比
大小
可以借助中
量
则
较
还
间
.
【变式4-1】（多选题）（2025·山东济南·二模）已知实数
满足
，则下列不等关系一定成立的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】（多选题）若
，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】（多选题）（2025·辽宁·模拟预测）已知实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-4】（多选题）若
，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：解简单的指数方程或不等式
【例5】方程log3 4 的实数解为 ．
【解题总结】
利用指数函数的性质解方程、不等式，最重要的是“同底”原则.
【变式5-1】（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数
则
的解集是
．
【变式5-2】已知函数
，其中
表示
中的较大者.则不等式
的解集
为 .
【变式5-3】已知函数
的定义域为
是偶函数，
是奇函数，则不等式
的解集为
【变式5-4】已知
，若
，则实数
的取值范围为 .
题型六：指数函数性质的综合应用
【例6】（多选题）（2025·陕西汉中·三模）已知函数
，则下列结论中正确的是
（ ）
A．当
时，函数
单调递增
B．存在正数
，使得函数
为偶函数
C．函数
的图象与直线
有两个交点
D．若函数
在
上单调递增，则实数
的最小值为
【解题总结】
求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、
最值等问题时，要借助
同增异减
这一性质分析判断
“
”
.
【变式6-1】在数学中，不给出具体解析式，只给出函数满足的特殊条件或特征的函数称为
抽象函数
“
”．
我们需要研究抽象函数的定义域、单调性、奇偶性等性质．对于抽象函数
，当
时，
，
且满足：
，均有
(1)证明：
在
上单调递增；
(2)若函数
满足上述函数的特征，求实数的取值范围；
(3)若
，求证：对任意
，都有
．
【变式6-3】已知函数
恒成立.
(1)求 a 的取值范围;
(2)设函数
，若
，
，使得当
,
时，
单调递增，且
,
，求
的取值
范围
【变式6-4】定义：双曲余弦函数
，双曲正弦函数
．
(1)求函数
的最小值；
(2)若函数
在
上的最小值为
，求正实数
的值；
(3)求证：对任意实数
，关于
的方程
总有实根．
【变式6-5】若函数
的定义域与值域均为
，则称
为
闭区间同域函数
，称
“
”
为
的
同域闭区间
．
“
”
(1)判断定义在
上的函数
是否是
闭区间同域函数
，并说明理由；
“
”
(2)若
是
闭区间同域函数
“
”
（
，且
）的
同域闭区间
，求
“
”
，
；
(3)若
是
闭区间同域函数
“
”
的
同域闭区间
，求
“
”
，
．
题型七：恒成立与有解问题
【例7】已知函数
.
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求
在区间
上的最小值；
(3)设函数
，若对任意的
，总存在
，使得
，求实数
的取值范围.
【解题总结】
分离参数
【变式7-1】已知函数
．
(1)若
对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围；
(2)若关于x 的方程
有实根，求实数m 的取值范围．
【变式7-2】已知定义在
上的函数
，对一切实数a、b 都有
成立，
且
.
(1)求函数
的表达式；
(2)若任意实数
，求实数
的取值范围.
【变式7-3】（2025·广东肇庆·一模）已知函数
（其中
，
为常量，且
，
，
）
的图象经过点
，
．
(1)求
，
的值
(2)若关于
的不等式
在
上有解，求
的取值范围．
【变式7-4】（2025·山西·模拟预测）已知函数
是定义在
上的偶函数，当
时，
，
且
.
(1)求
的值，并求出
的解析式；
(2)若
在
上恒成立，求
的取值范围.
1．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 年高考全国一卷数学真题）若实数x，y，z 满足
，则x，y，z 的
大小关系不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022 年新高考全国I 卷数学真题）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
是函数
的一个零点．若
，
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
5．若
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
①数形结合
1．已知定义在R 上的函数
满足
，当
时，
若
，则实数a 的取值范围是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
2．已知函数
，若
，且
，则
的最小值为
A．
B．
C．
D．
3．记
表示a，b 二者中较大的一个，函数
，
，若
，
使得
成立，则a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
②转化与化归
4．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有
数学王子
的美誉，用其名字命名的
高斯
“
”
“
函数
：设
”
，用
表示不超过x 的最大整数，则
称为高斯函数，也称取整函数，例如：
，
已知
，则函数
的值可能为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
5．已知函数
在定义域
上单调递减，
，均有
，则函数
的最小值是
A．8
B．6
C．4
D．
6 ．已知函数
的定义域为R ，
为偶函数，若对任意的
，
，都有
，则关于m 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
③分类讨论
7．若对
R，使得
且
恒成立，则实数a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
且
的定义域和值域都是
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
9．若函数
在区间
上单调递增，则实数m 的取值范围为
A．
B．
C．
D．
基础过关篇
1．（2025·辽宁·三模）已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·江西新余·模拟预测）已知
，
，则“
是
”
“
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知函数
，若
的值域为
，则满足条件的整
数a 的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．（2025·江西·模拟预测）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数
，则下列是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·浙江·三模）已知函数
为奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
8．（2025·江西·二模）已知函数
，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·浙江绍兴·三模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，
例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为
．2011 年3
月11 日，日本东北部海域发生里氏9.0 级地震，它所释放出来的能量是2008 年5 月12 日我国汶川发生里
氏8.0 级地震的多少倍（精确到1）?（ ）（注：
，
）
A．30
B．31
C．32
D．33
10．（2025·浙江嘉兴·二模）若实数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2025·河北张家口·三模）已知函数
，
，且
，都有
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知函数
的定义域为
，对于
，都有
，则（ ）
A．
B．函数
的图象关于点
中心对称
C．函数
的图象关于直线
对称
D．
13．（多选题）已知实数x，y 满足
，则下列关系式中恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（多选题）（2025·海南·模拟预测）自然常数
是数学中非常重要的一个常数，17 世纪人
们在研究经济学中的复利问题时发现了这个数，后来众多数学家对自然常数进行了深入的研究，其字母表
示来自数学家欧拉
的名字.已知函数
，则下列命题为真命题的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
，
D．
，
，
15．（多选题）（2025·福建宁德·模拟预测）下列既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2025·山东临沂·三模）已知函数
的定义域为
，
，
，且
，写出满足以下两个
条件①②的函数
.条件①：
，条件②：
.
17．（2025·上海宝山·二模）已知函数
且
)的图像经过定点
，则点
的
坐标为
18．（2025·浙江·三模）已知函数
，为奇函数，则
．
能力拓展篇
19．（2025·河南·模拟预测）设函数
，若
，
，则当
取得
最小值时，
.
20．（2025·北京海淀·二模）已知函数
，则
的值域为 ，曲线
的对称中心
为 ．
21．（2025·陕西·三模）已知函数
，则
．
22．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数
在R 上单调递增，则
的取值范围是 ．
