指数函数进阶
模块1
指数幂运算
4
模块2
指数函数的图象与性质
5
模块3
指数型函数
8
对数函数进阶
模块1
对数运算
18
模块2
对数函数的图象与性质
20
模块3
对数型函数
24
零点问题
模块1
图象变换
32
模块2
零点问题
36
恒成立与存在性问题
模块1
恒成立问题
48
模块2
存在性问题
51
模块3
双变量问题
54
目录
Contents
三角函数概念与公式
模块1
任意角的三角函数
62
模块2
同角基本关系式
67
模块3
诱导公式
71
三角函数图象性质综合
模块1
基本三角函数的图象与性质
78
模块2
三角函数的图象变换
85
三角恒等变换公式篇
模块1
和差角公式
92
模块2
二倍角公式
97
模块3
辅助角公式
99
三角恒等变换应用篇
模块1
整角代换
106
模块2
三角与二次复合型函数
109
模块3
三角综合问题
110
正弦型函数图象性质综合
模块1
正弦型函数的性质
118
模块2
正弦型函数参数的确定
122
模块3
正弦型函数的综合问题
124
第8 讲
指数函数进阶
直击课堂
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3
8
学习目标
1．掌握指数幂运算的性质、根式与分数指数幂的相互转化．
2．掌握指数函数的图象与性质，并能解决比较大小、解不等式等问题．
3．理解指数型函数，能够解决指数型函数的相关问题．
考情分析
高一数学·凌云班（课改）·秋
4
8
1
模块
1
指数幂运算
精讲精练
考点1: 指数幂运算
例1 （1）★★
求值：(0.0081)−1
4 −
[
3×
(
7
8
)0]−1
×
[
81−0.25 +
(
33
8
)−1
3
]−1
2
−10×0.027
1
3 ．
（2）★★★
若x
1
2 +x−1
2 =
√
7，则
4x+4x−1
x2 +x−2 −3 的值为( )
A. 4
B. 2
C. 1
D. 1
2
（3）★★★
已知实数x 满足5x−1103x = 8x，则x =
．
达标检测1
★★★
化简
√
3√
ab2 ·a3b2
3√
b·
(
a
1
6 b
1
2
)4 (a，b 为正数) 的结果是( )
A. b
a
B. ab
C. a
b
D. a2b
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5
8
2
模块
2
指数函数的图象与性质
知识凝炼
1
指数函数的概念
一般地，函数y = ax（a > 0 且a̸ = 1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R.
2
指数函数的图象与性质
高一数学·凌云班（课改）·秋
6
8
精讲精练
考点2: 指数函数的图象
例2
★★★
正确率：59%
若函数y = ax +b−1(a > 0 且a̸ = 1) 的图象不经过第二象限，则有( )
A. a > 1，b < 1
B. 0 < a < 1，b ⩽1
C. 0 < a < 1，b > 0
D. a > 1，b ⩽0
达标检测2
★★★
正确率：53%
二次函数y = ax2 −bx 与函数y =
(
b
a
)x
的图象只可能是( )
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7
8
考点3: 幂的大小的比较
例3 （1）★★
已知a = 0.80.7，b = 0.80.9，c = 1.20.8，则a，b，c 的大小关系是( )
A. b > a > c
B. c > a > b
C. c > b > a
D. a > b > c
（2）★★★
正确率：80%
已知实数a，b 满足
(
1
2
)a
=
(
1
3
)b
，下列5 个关系式：
①0 < b < a；②a < b < 0；③0 < a < b；④b < a < 0；⑤a = b = 0．
其中不可能成立的有( )
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
考点4: 单调性与奇偶性综合
例4 （1）★★
不等式2x2−4x−3 >
(
1
2
)3(x−1)
的解集为
．
（2）★★★
已知f (x) 是定义在R 上的偶函数，且在区间(−∞,0) 上单调递增，若实数a 满足f
(
2|a−1|)
>
f
(
−
√
2
)
，则a 的取值范围是( )
A.
(
−∞, 1
2
)
B.
(
−∞, 1
2
)
∪
(
3
2,+∞
)
C.
(
1
2, 2
3
)
D.
(
3
2,+∞
)
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8
8
达标检测3
★★★
正确率：71%
已知函数f(x) = e|x| +x2，则使得f(x) > f(2x−1) 成立的x 的取值范围是( )
A.
(
1
3,1
)
B.
(
−∞, 1
3
)
∪(1,+∞)
C.
(
−1
3, 1
3
)
D.
(
−∞,−1
3
)
∪
(
1
3,+∞
)
3
模块
3
指数型函数
精讲精练
考点5: 指数型函数
达标检测4
★★★
正确率：63%
函数f (x) = 2x +2−x( )
A. 是奇函数，在(−∞,1] 上是减函数
B. 是偶函数，在(−∞,0] 上是减函数
C. 是奇函数，在[0,+∞) 上是增函数
D. 是偶函数，在(−∞,+∞) 上是增函数
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9
8
例5
★★★★
已知函数f (x) = ax +k ·a−x(a > 0 且a̸ = 1) 是R 上的奇函数．
（1）求实数k 的值，并判断函数f (x) 是否为单调函数．
（2）若a = 2，且g(x) = 22x +2−2x −2n· f (x) 在[1,+∞) 上的最小值为−7，求实数n 的值．
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10
8
例6 （1）★★★
求下列函数的定义域、值域并讨论函数的单调区间．
（1）y = 3
1
x−2 ；
（2）y = 5−√x−1；
（3）y = 2x2−2x−3．
（2）★★★
函数f (x) =
(
1
5
)x2+ax
在区间[1,2] 上是单调减函数，则实数a 的取值范围是( )
A. (−∞,−4]
B. (−∞,−2]
C. [−2,+∞)
D. (−4,+∞)
例7 （1）★★★
如果函数y = a2x +2ax −1(a > 0,a̸ = 1) 在区间[−1,1] 上的最大值是14，则实数a 的值为
．
（2）★★★★
方程4x −a·2x+1 +1 = 0 在x ∈[−1,1] 上有解，则实数a 的取值范围是
．
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11
8
例8
★★★★
已知定义域为R 的函数f (x) = 5x −b
5x +a 是奇函数.
（1）求a，b 的值．
（2）判断f (x) 在R 上的单调性并证明．
（3）若对任意的t，不等式f
(
3t2 −2t
)
+ f
(
t2 −k
)
> 0，求k 的取值范围．
达标检测5
★★★
已知f(x) = 2x −1
2x +1，则不等式f(x−2)+ f(x2 −4) < 0 的解集为( )
A. (−1,6)
B. (−6,1)
C. (−2,3)
D. (−3,2)
高一数学·凌云班（课改）·秋
12
8
课堂总结
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13
8
直击高考
考题
2019 全国Ⅰ理3
已知a = log20.2，b = 20.2，c = 0.20.3，则( )
A. a < b < c
B. a < c < b
C. c < a < b
D. b < c < a
答案
B
解析
a = log20.2 < log21 = 0，
b = 20.2 > 20 = 1，
∵0 < 0.20.3 < 0.20 = 1，
∴c = 0.20.3 ∈(0,1)，
∴a < c < b，
故选B．
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14
8
直击自招
考题
数学竞赛预赛
（1）函数f (x) = 1+ae−x
1+e−x (a̸ = 1) 的值域为
．
（2）已知a 为正实数，且f (x) = 1
a −
1
ax +1 是奇函数，则f (x) 的值域为
．
答案（1）a > 1 时，f (x) 的值域为(1,a)；a < 1 时，f (x) 的值域为(a,1)
（2）
(
−1
2, 1
2
)
解析（1）f (x) = 1+ a−1
ex +1，因为0 <
1
ex +1 < 1，所以a > 1 时，1 < 1+ a−1
ex +1 < a．
f (x) 的值域为(1,a)；a < 1 时，a < 1+ a−1
ex +1 < 1，f (x) 的值域为(a,1)．
（2）由f (x) 为奇函数可知1
a −
1
ax +1 = −1
a +
1
a−x +1，解得a = 2，即f (x) = 1
2 −
1
2x +1，由此得f (x)
的值域为
(
−1
2, 1
2
)
．
第9 讲
对数函数进阶
直击课堂
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17
9
学习目标
1．熟练掌握对数的运算性质与换底公式．
2．掌握对数函数的图象与性质，能够解决比较大小、解不等式等问题．
3．理解对数型函数的单调性与奇偶性，并能通过性质解决相关问题．
考情分析
高一数学·凌云班（课改）·秋
18
9
1
模块
1
对数运算
知识凝炼
1
对数的概念：一般的，如果ab = N(a > 0，且a̸ = 1)，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作b = logaN，其中
a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
2
对数的性质
⑴0 和负数没有对数，即N > 0；
⑵1 的对数为0，即loga 1 = 0；
⑶底的对数等于1，即loga a = 1．
3
对数恒等式：alogaN = N．
4
特殊对数
⑴常用对数：以10 为底数，通常简记为“lg”，即log10N = lgN．
⑵自然对数：以e 为底数，通常简记为“ln”，即loge N = lnN．其中e 称作自然常数，e ≈2.71828．
5
对数的运算性质(a > 0,a̸ = 1,M > 0,N > 0)
⑴积的对数：loga (M ·N) = logaM +logaN；
⑵商的对数：loga
M
N = logaM −logaN；
⑶幂的对数：logaMα = αlogaM (α ∈R)．
6
换底公式
logbN = logaN
logab ．(a,b > 0,a,b̸ = 1,N > 0)
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19
9
精讲精练
考点1: 对数的运算性质
例1
★★
正确率：85%
计算
lg3+ 2
5 lg9+ 3
5 lg
√
27−lg
√
3
lg81−lg27
．
达标检测1
★★
2lg5+ 2
3 lg8+lg5·lg20+(lg2)2 =
．
考点2: 换底公式
达标检测2
★★
已知3m = 5n = k，且1
m + 1
n = 2，则k 的值为( )
A.
√
15
B. 5
C.
√
5
D. 225
例2
★★★★正确率：48%
若非零实数x，y，z 满足2x = 3y = 6z，则( )
A. x+y
z
∈(5,6)
B. x+y
z
∈(4,5)
C. x+y
z
∈(3,4)
D. x+y
z
∈(2,3)
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20
9
2
模块
2
对数函数的图象与性质
知识凝炼
1
对数函数：我们把函数y = logax(a > 0 且a̸ = 1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是
(0,+∞)，值域为实数集R．
2
对数函数的图象与性质
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21
9
精讲精练
考点3: 对数函数的图象与性质
例3 （1）★★★
已知f(x) = ax，g(x) = logax(a > 0 且a̸ = 1)，如果f(3)·g(3) < 0，那么f(x) 与g(x) 在同一平面直角
坐标系内的图象可能是下图中的( )
（2）★★★
设f (x) = |ln(x+1)|，已知f (a) = f (b)(a < b)，则( )
A. a+b > 0
B. a+b > 1
C. 2a+b > 0
D. 2a+b > 1
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22
9
考点4: 比较大小
达标检测3
★★★
已知a = log0.70.8，b = log1.10.9，c = 1.10.9，则a，b，c 的大小关系是( )
A. a < b < c
B. a < c < b
C. b < a < c
D. c < a < b
例4 （1）★★★
设a,b,c 均为正数，且2a = log 1
2 a，
(
1
2
)b
= log 1
2 b，
(
1
2
)c
= log2c．则( )
A. a < b < c
B. c < b < a
C. c < a < b
D. b < a < c
（2）★★★★
已知偶函数f (x) 在[0,2] 内单调递减，若a = f (−1)，b = f
(
log0.5
1
4
)
，c = f (lg0.5)，则a，b，c 之间的
大小关系为
．(从小到大顺序)
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23
9
考点5: 解不等式
例5 （1）★★★
函数f(x) =
log2x,x > 0
log 1
2 (−x),x < 0
，若f (a) > f (−a)，则实数a 的取值范围是
．
（2）★★★
已知定义在R 上的偶函数f (x) 在区间(−∞,0] 上单调递减，且f
(
−1
3
)
= 0，则满足f
(
log 1
8 x
)
+
f (log8x) > 0 的x 的取值范围是( )
A. (0,+∞)
B.
(
0, 1
2
)
∪(2,+∞)
C.
(
0, 1
8
)
∪
(
1
2,2
)
D.
(
0, 1
2
)
达标检测4
★★★
已知函数f (x) = loga (ax −1)(a > 0，a̸ = 1)，当a > 1 时，关于x 的不等式f (x) < f (1) 的解集为( )
A. (0,+∞)
B. (0,1)
C. (−∞,0)
D. (1,+∞)
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24
9
3
模块
3
对数型函数
精讲精练
考点6: 对数型函数
达标检测5
★★★
函数y = log 1
3 (4+3x−x2) 的单调递增区间是( )
A. (−∞, 3
2]
B. [3
2,+∞)
C. (−1, 3
2)
D. [3
2,4)
例6 （1）★★★
若函数f (x) = lg
(
ax2 −4x+a−3
)
的值域为R，则实数a 的取值范围是
．
（2）★★★★正确率：36%
已知函数f (x) = loga
(
x2 −2ax
)
在[4,6] 上为增函数，则a 的取值范围是( )
A. (1,4)
B. (1,4]
C. (1,2]
D. (1,2)
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25
9
例7 （1）★★★
设f (x) = lg
(
2
1−x +a
)
是奇函数，则使f (x) > 1 的x 的取值范围是
．
（2）★★★★
已知函数f (x) = log 1
2
ax−2
x−1 ，a 为常数．若f (x) 在区间(2,4) 上是减函数，求a 的取值范围．
例8 （1）★★★
已知f (x) = lgx+1(1 ⩽x ⩽100)，则g(x) = [f (x)]2 + f
(
x2)
的值域为( )
A. [−2,7]
B. [2,7]
C. [−2,14]
D. [2,14]
（2）★★★
正确率：51%
已知函数f (x) = ln
(√
1+4x2 −2x
)
+2，则f (3ln2)+ f
(
ln 1
8
)
=
．
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26
9
课堂总结
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27
9
直击高考
考题1
2019 全国Ⅱ理14
已知f (x) 是奇函数，且当x < 0 时，f (x) = −eax．若f (ln2) = 8，则a =
．
考题2
2019 全国Ⅲ理11
设f (x) 是定义域为R 的偶函数，且在(0,+∞) 上单调递减，则( )
A. f
(
log3
1
4
)
> f
(
2−3
2
)
> f
(
2−2
3
)
B. f
(
log3
1
4
)
> f
(
2−2
3
)
> f
(
2−3
2
)
C. f
(
2−3
2
)
> f
(
2−2
3
)
> f
(
log3
1
4
)
D. f
(
2−2
3
)
> f
(
2−3
2
)
> f
(
log3
1
4
)
答案
1. −3
2. C
解析
1. ∵f (x) 是奇函数，∴f (−ln2) = −8，
又∵当x < 0 时，f (x) = −eax，
∴f (−ln2) = −e−aln2 = −8，
∴−aln2 = ln8，∴a = −3．
故答案为−3．
2. ∵f (x) 是定义域为R 的偶函数，
∴f
(
log3
1
4
)
= f (log34)，
∵log34 > log33 = 1，0 < 2−3
2 < 2−2
3 < 20 = 1，
∴0 < 2−3
2 < 2−2
3 < log34，
∵f (x) 在(0,+∞) 上单调递减，
∴f
(
2−3
2
)
> f
(
2−2
3
)
> f
(
log3
1
4
)
，
故选C．
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28
9
直击自招
考题
浙大
已知a > 0，b > 0，log9a = log12b = log16 (a+b)，求b
a 的值．
答案
√
5+1
2
解析
设log9a = log12b = log16 (a+b) = k，则a = 9k，b = 12k，a+b = 16k，
于是9k +12k = 16k，欲求b
a = 12k
9k =
(
4
3
)k
，
把条件转化为
(
3
4
)k
+1 =
(
4
3
)k
，解得
(
4
3
)k
=
√
5+1
2
，即为所求．
第10 讲
零点问题
直击课堂
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31
10
学习目标
1．掌握函数的图象变换，能够熟练画出函数的图象．
2．理解零点存在性定理，能够利用其判断零点所在的区间．
3．熟练利用图象法判断函数零点个数以及根据零点个数求参数．
考情分析
高一数学·凌云班（课改）·秋
32
10
1
模块
1
图象变换
知识凝炼
函数图象的三大变换：平移、对称、翻折．
给定函数f(x)，a > 0.
⑴函数图象的平移：包括左右平移（左加右减）与上下平移（上加下减），得到f(x±a) 与f(x)±a，注意：
左右平移是对x 作加减，上下平移是对整个解析式作加减. 见下图⑴；
⑵函数图象的对称：得到f(−x),−f(x),−f(−x)，见下图⑵；
⑶函数图象的翻折：得到f(|x|) 与|f(x)|，见下图⑶．
（1）平移变换
（2）对称变换
f (x)
|f (x)|
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33
10
f (|x|)
（3）翻折变换
函数f(x) 的图象经过相应的变换后的对应解析式如下（a > 0）：
高一数学·凌云班（课改）·秋
34
10
精讲精练
考点1: 图象变换
达标检测1
★★★
正确率：67%
函数y = 2−x+1 +2 的图象可以由函数y = 2−x 的图象经过怎样的平移得到( )
A. 先向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位
B. 先向左平移1 个单位，再向上平移2 个单位
C. 先向右平移1 个单位，再向下平移2 个单位
D. 先向左平移1 个单位，再向下平移2 个单位
例1 （1）★★
若函数y = f (x) 的图象经过点(2,3)，则函数y = f (−x)+1 的图象必定经过的点的坐标是
．
（2）★★★
正确率：100%
已知图①中的图象对应的函数是y = f (x)，则图②中的图象对应的函数是( )
A. y = f (|x|)
B. y = |f (x)|
C. y = f (−|x|)
D. y = −f (|x|)
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35
10
例2
★★★
作出下列函数的图象．
（1）y = 3−2x
x−3 ；
（2）y = |2x −2|；
（3）y =
x2 −4x−5
；
（4）y = |lg|x+1||．
高一数学·凌云班（课改）·秋
36
10
2
模块
2
零点问题
知识凝炼
1
零点存在定理：若函数f(x) 在闭区间[a,b] 上的图象是一条连续不断的曲线，并且在区间端点的函数值符
号相反，即f(a)f(b) < 0，则在区间(a,b) 内，函数f(x) 至少有一个零点．
①此判定定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图所示：f(a)f(b) < 0，函数可以
有多个零点.
②此定理是不可逆的：若f(x) 在区间(a,b) 内存在零点，不一定推出f(a)f(b) < 0，如图所示：
2
单调函数的零点存在定理：若函数f(x) 在闭区间[a,b] 上的图象是一条连续不断的曲线，且f(x) 在(a,b)
上单调，则f(a)f(b) < 0 ⇔函数f(x) 在区间(a,b) 内有且只有一个零点．
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37
10
精讲精练
考点2: 零点存在定理
例3 （1）★★
正确率：68%
若函数y = f (x) 在区间[a,b] 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )
A. 若f (a) f (b) > 0，不存在实数c ∈(a,b)，使得f (c) = 0
B. 若f (a) f (b) < 0，存在且只存在一个实数c ∈(a,b)，使得f (c) = 0
C. 若f (a) f (b) > 0，有可能存在实数c ∈(a,b)，使得f (c) = 0
D. 若f (a) f (b) < 0，有可能不存在实数c ∈(a,b)，使得f (c) = 0
（2）★★★
正确率：14%
函数f(x) =
(
1
3
)x
−√x 的零点所在的区间为( )
A.
(
0,1
3
)
B.
(
1
3, 1
2
)
C.
(
1
2,1
)
D. (1,2)
达标检测2
★★★
正确率：60%
已知三个函数f (x) = 2x +x，g(x) = x−1，h(x) = log2x+x 的零点依次为a，b，c，则( )
A. a < b < c
B. b < a < c
C. c < a < b
D. a < c < b
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38
10
考点3: 代数法判断零点个数
例4
★★★
正确率：65%
已知函数f (x)(x ∈R) 是奇函数且当x ∈(0,+∞) 时是减函数，若f (1) = 0，则函数y = f
(
x2 −2|x|
)
的
零点共有( )
A. 6 个
B. 7 个
C. 8 个
D. 9 个
达标检测3
★★★
设函数f(x) =
x2 −bx+c,x ⩽0
2,x > 0
，若f(−4) = f(0)，f(−2) = −2，则函数g(x) = f(x)−x 的零点的个
数为( )
A. 3 个
B. 2 个
C. 1 个
D. 0 个
知识凝炼
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39
10
精讲精练
考点4: 图象法判断零点个数
例5 （1）★★★
正确率：77%
函数f (x) = x2 −4x+5−2lnx 的零点的个数为
．
（2）★★★
函数f (x) 的定义域为[−1,1]，图象如图1 所示，函数g(x) 的定义域为[−2,2]，图象如图2 所示，方
程f (g(x)) = 0 有m 个实数根，方程g(f (x)) = 0 有n 个实数根，则m+n =( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
（3）★★★
已知函数f (x) = x−[x]，其中[x] 表示不超过实数x 的最大整数．若关于x 的方程f (x) = kx+k 有
三个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )
A.
[
−1,−1
2
)
∪
(
1
4, 1
3
]
B.
(
−1,−1
2
]
∪
[
1
4, 1
3
)
C.
[
−1
3,−1
4
)
∪
(
1
2,1
]
D.
(
−1
3,−1
4
]
∪
[
1
2,1
)
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40
10
进阶1
★★★★正确率：50%
已知定义在R 上的奇函数f (x)，当x > 0 时，f (x) =
2|x−1| −1,0 < x ⩽2
1
2 f (x−2),x > 2
，则关于x 的方程6[f (x)]2−
f (x)−1 = 0 的实数根个数为( )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
达标检测4
★★★
函数f (x) =
1
|x|−a −b(a > 0) 的图象因酷似汉字的“囧”字，而被称为“囧函数”．则方程
1
|x|−1 = x2 −1
的实数根的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
考点5: 已知零点个数求参
达标检测5
★★★
正确率：62%
已知函数f (x) = |3x −2|−m 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )
A. (0,+∞)
B. (0,2)
C. [0,+∞)
D. (0,2]
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41
10
例6 （1）★★★
函数f (x) = |4x−x2|−a 恰有3 个零点，则实数a =
．
（2）★★★
已知f (x) 是定义在R 上的周期为3 的函数，当x ∈[0,3) 时，f (x) =
x2 −2x+ 1
2
．若函数y = f (x)−a
在区间[−3,4] 上有10 个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是
．
（3）★★★
若函数f (x) =
3x −a,x < 1
x2 −3ax+2a2,x ⩾1
恰有2 个零点，则实数a 的取值范围是
．
进阶2
★★★★
已知函数f (x) =
|lgx|,x > 0
−x2 −2x,x ⩽0
，若函数y = 2[f (x)]2 +3mf (x)+1 有6 个不同的零点，则实数m 的
取值范围是
．
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42
10
课堂总结
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43
10
直击高考
考题1
2019 浙江9
已知a，b ∈R，函数f (x) =
x,x < 0
1
3x3 −1
2 (a+1)x2 +ax,x ⩾0
，若函数y = f (x)−ax −b 恰有3 个零点，
则( )
A. a < −1，b < 0
B. a < −1，b > 0
C. a > −1，b < 0
D. a > −1，b > 0
考题2
2017 山东理10
已知当x ∈[0,1] 时，函数y = (mx−1)2 的图象与y = √x+m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的
取值范围是( )
A. (0,1]∪
[
2
√
3,+∞
)
B. (0,1]∪[3,+∞)
C.
(
0,
√
2
]
∪
[
2
√
3,+∞
)
D.
(
0,
√
2
]
∪[3,+∞)
答案
1. C
2. B
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44
10
解析
1. 当x < 0 时，y = f (x)−ax−b = x−ax−b = (1−a)x−b = 0，得x =
b
1−a；y = f (x)−ax−b 最多有
一个零点；
当x ⩾0 时，y = f (x)−ax−b = 1
3x3 −1
2 (a+1)x2 +ax−ax−b = 1
3x3 −1
2 (a+1)x2 −b，
y′ = x2 −(a+1)x，
当a+1 ⩽0，即a ⩽−1 时，y′ ⩾0，y = f (x)−ax−b 在[0,+∞) 上单调递增，y = f (x)−ax−b 最多有
1 个零点，不合题意；
当a+1 > 0，即a > −1 时，令y′ > 0，得x ∈(a+1,+∞)，函数单调递增，令y′ < 0，得x ∈(0,a+1)，函
数单调递减，函数最多有2 个零点．
根据题意函数y = f (x)−ax−b 恰有3 个零点⇔函数y = f (x)−ax−b 在(−∞,0) 上有一个零点，
在[0,+∞) 上有2 个零点，如图，
∴
b
1−a < 0 且
−b > 0
1
3(a+1)3 −1
2 (a+1)(a+1)2 −b < 0
，
解得b < 0，1−a > 0，b > −1
6(a+1)3．故选C.
2. 方法一：画出两个函数的图象，对m 的范围分情况讨论，分析m 变化过程中两个函数图象交点变化
情况．
方法二：根据题意，由于m 为正数，y = (mx−1)2 为二次函数，在区间
(
0, 1
m
)
上为减函数，在区间
(
1
m,+∞
)
上为增函数，函数y = √x+m 为增函数，分2 种情况讨论：
①当0 < m ⩽1 时，有1
m ⩾1，
在区间[0,1] 上，y = (mx−1)2 为减函数，且其值域为
[
(m−1)2,1
]
，
函数y = √x+m 为增函数，其值域为[m,1+m]，此时两个函数的图象有1 个交点，符合题意；
②当m > 1 时，有1
m < 1，x ∈[0,1]，
y = (mx−1)2 在区间
(
0, 1
m
)
上为减函数，在区间
(
1
m,1
)
上为增函数，
函数y = √x+m 为增函数，其值域为[m,1+m]，
若两个函数的图象有且只有1 个交点，则有(m−1)2 ⩾1+m，解得m ⩽0 或m ⩾3，
又由于m 为正实数，则m ⩾3．综上可得：m 的取值范围是(0,1]∪[3,+∞)．故选B．
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45
10
直击自招
考题
卓越
若关于x 的方程
|x|
x+4 = kx2 有四个不同的实数解，则k 的取值范围为( )
A. (0,1)
B.
(
1
4,1
)
C.
(
1
4,+∞
)
D. (1,+∞)
答案
C
解析
显然x = 0 是方程的一个根，当x̸ = 0 时，|x|
x2 = k(x+4) 有3 个不同的非零实数解．
画出f (x) = 1
|x| 的草图，如图．当k = 1
4 时，y = k(x+4) 与y = 1
|x| 相切，此时方程|x|
x2 = k(x+4) 只有
两个不同的实根，而k > 1
4 时，有3 个不同的实数解．
因此，k > 1
4 时，原方程有4 个不同的实数解．
第11 讲
恒成立与存在性
问题
直击课堂
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47
11
学习目标
1．理解单变量恒成立与存在性问题，能够将其转化为函数的最值问题．
2．能够利用整体分析法或分离参数法求解相关问题．
3．理解双变量问题，能够将其转化为最值问题或值域问题．
考情分析
高一数学·凌云班（课改）·秋
48
11
1
模块
1
恒成立问题
知识凝炼
1
一元二次不等式在实数集R 上恒成立
⑴ax2 +bx+c > 0(a̸ = 0) 在R 上恒成立的条件是
a > 0
∆< 0
；
⑵ax2 +bx+c ⩾0(a̸ = 0) 在R 上恒成立的条件是
a > 0
∆⩽0
；
⑶ax2 +bx+c < 0(a̸ = 0) 在R 上恒成立的条件是
a < 0
∆< 0
；
⑷ax2 +bx+c ⩽0(a̸ = 0) 在R 上恒成立的条件是
a < 0
∆⩽0
．
2
区间上的恒成立问题
区间上的恒成立问题，核心思想是将恒成立问题转化为最值问题，具体方法主要有两种：
⑴整体分析法
分析f(x) 在区间D 上的最值，则f(x) ⩾m 在D 上恒成立⇔[f(x)min] ⩾m；
f(x) ⩽M 在D 上恒成立⇔[f(x)max] ⩽M．这时由于f(x) 中含有参数λ，故往往需要分类讨论．
⑵分离参数法
从不等式中将参数分离出来，即将原不等式转化为λ ⩾g(x)（或λ ⩽g(x)）的形式，于是原恒成立问题等
价于λ ⩾g(x)max（或λ ⩽g(x)min）．这时由于g(x) 中无参数，故求最值往往较为简单．
一般参数容易分离时，分离参数法比较容易；当参数不容易分离或分离后得到的函数太复杂时，再考虑用
整体分析法．
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49
11
精讲精练
考点1: R 上恒成立问题
例1
★★★
正确率：61%
对于任意实数x，不等式(a−2)x2 −2(a−2)x−4 < 0 恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A. (−∞,2)
B. (−∞,2]
C. (−2,2)
D. (−2,2]
达标检测1
★★★
函数f (x) =
2mx−3
√
mx2 +mx+1
的定义域为R，则实数m 的取值范围是( )
A. (0,4)
B. [0,4)
C. [0,4]
D. (0,4]
考点2: 区间上恒成立问题
例2 （1）★★★
若不等式x2 +2(a−3)x+9 > 0 对于x ∈[1,2] 恒成立，则a 的取值范围是
．
（2）★★★
函数f (x) = x2 +ax+3，当x ∈[−2,1] 时，f (x) ⩾a 恒成立，求a 的取值范围．
达标检测2
★★★
已知函数f (x) = x2 +3ax−4a2．若不等式f (x) < 0 对任意x ∈(−1,2) 都成立，则实数a 的取值范围是
( )
A. (−∞,−1)∪(2,+∞)
B. (0,2)
C. (−∞,−1)∪(1,+∞)
D. (−1,2)
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50
11
例3 （1）★★★
设实数a 使得不等式|2x−a|+|3x−2a| ⩾a2 对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合
是( )
A.
[
−1
3, 1
3
]
B.
[
−1
2, 1
2
]
C.
[
−1
4, 1
3
]
D. [−3,3]
（2）★★★★
设a 为实常数，y = f (x) 是定义在R 上的奇函数，且当x < 0 时，f (x) = 9x+ a2
x +7．若f (x) ⩾a+1
对一切x ⩾0 成立，则a 的取值范围是( )
A. (−∞,0]
B.
[
8
5,+∞
)
C.
(
−∞,−8
7
]
∪
[
8
5,+∞
)
D.
(
−∞,−8
7
]
例4
★★★★
已知a，b ∈R，且a > 0，函数f (x) = 4x +b
4x −a 是奇函数．
（1）求a，b 的值．
（2）对任意x ∈(0,+∞)，不等式mf (x)−f
(
x
2
)
> 0 恒成立，求实数m 的取值范围．
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11
2
模块
2
存在性问题
知识凝炼
存在性问题，核心思想也是将存在性问题转化为最值问题，具体方法主要有两种：
⑴整体分析法
分析f(x) 在区间D 上的最值，
存在x 在区间D 上，使得f(x) ⩾m 成立⇔[f(x)max] ⩾m；
存在x 在区间D 上，使得f(x) ⩽M 成立⇔[f(x)min] ⩽M．这时由于f(x) 中含有参数λ，故往往需要分类
讨论．
⑵分离参数法
从不等式中将参数分离出来，即将原不等式转化为λ ⩾g(x)（或λ ⩽g(x)）的形式，于是原存在性问题等
价于λ ⩾g(x)min（或λ ⩽g(x)max）．这时由于g(x) 中无参数，故求最值往往较为简单．
和恒成立问题思考方式一致，一般参数容易分离时，分离参数法比较容易；当参数不容易分离或分离后得
到的函数太复杂时，再考虑用整体分析法．
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11
精讲精练
考点3: 存在性问题
例5 （1）★★★
已知函数f (x) = mx2 +(1−3m)x −4，当m < 0 时，若存在x0 ∈(1,+∞)，使得f (x0) > 0，则实数m
的取值范围是( )
A. (−∞,−1)∪
(
−1
9,0
)
B. (−1,0)
C. (−∞,−1)∪(0,+∞)
D.
(
−1,−1
9
)
（2）★★★
已知函数f (x) = 1
3x3 +x，x ∈R，若至少存在一个实数x 使得f (a−x)+ f
(
ax2 −1
)
< 0 成立，则实
数a 的取值范围为
．
达标检测3
★★★
若存在x ∈[1,2]，使不等式4x
a + 1
x ⩾4 成立，则实数a 的取值范围是( )
A.
(
0, 16
7
]
B.
(
0, 4
3
]
C. (−∞,0)∪
[
16
7 ,+∞
)
D.
[
4
3, 16
7
]
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53
11
例6
★★★★
已知定义在[−3,3] 上的奇函数f (x)，当x ∈[−3,0] 时，f (x) = 1
4x + a
3x (a ∈R)．
（1）求实数a 的值．
（2）若存在x ∈[−2,−1]，使不等式f (x) ⩽m
2x −
1
3x−1 成立，求实数m 的取值范围．
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11
3
模块
3
双变量问题
知识凝炼
精讲精练
考点4: 双变量问题
例7
★★★
设函数f (x) = x2 +|x−1|+2a，a ∈R．设g(x) = log2
(
−4x+a +1
)
，若对任意的x1，x2 ∈(0,2) ，都有g(x1)
< f (x2)+ 21
4 ，求a 的取值范围．
例8
★★★
已知函数f (x) = x2 + 4
x2 −3,g(x) = 2x +a，若对任意x1 ∈[1,2]，总存在x2 ∈[2,3]，使得f (x1) ⩾g(x2)，
则实数a 的取值范围是( )
A. (−∞,−7]
B. (−∞,−6]
C. (−∞,−3]
D. (−∞,−2]
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11
例9
★★★
已知函数f (x) = x2 −x−1 与g(x) = −x2 −5x+m．∃x1,x2 ∈[−2,2]，使得f (x1) > g(x2) 成立，求实数m
的取值范围．
例10 ★★★★
已知函数f (x) = x2 + 4x + a −5，g(x) = m · 4x−1 −2m + 7．当a = 0 时，若对任意的x1 ∈[1,2]，总存在
x2 ∈[1,2]，使f (x1) = g(x2) 成立，求实数m 的取值范围．
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达标检测4
★★★
已知函数f (x) 是定义在[−2,2] 上的奇函数，当x ∈(0,2] 时，f (x) = 2x −1，函数g(x) = x2 −2x+m，如
果对于任意x1 ∈[−2,2]，存在x2 ∈[−2,2]，使得g(x2) = f (x1)，则实数m 的取值范围是( )
A. (−∞,−2)
B. (−5,−2)
C. [−5,−2]
D. (−∞,−2]
达标检测5
★★★
不等式2x2 −axy+y2 ⩽0 对于任意x ∈[1,2] 及y ∈[1,3] 恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A.
[
−∞,2
√
2
)
B.
[
2
√
2,+∞
)
C.
[
11
3 ,+∞
)
D.
[
9
2,+∞
)
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11
课堂总结
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58
11
直击高考
考题
2019 天津理8
已知a ∈R．设函数f (x) =
x2 −2ax+2a,x ⩽1
x−alnx,x > 1
，若关于x 的不等式f (x) ⩾0 在R 上恒成立，则a
的取值范围为( )
A. [0,1]
B. [0,2]
C. [0,e]
D. [1,e]
答案
C
解析
当x = 1 时，f (1) = 1−2a+2a = 1 > 0 恒成立；
当x < 1 时，f (x) = x2 −2ax+2a ⩾0 ⇔2a ⩾
x2
x−1 恒成立，
令g(x) =
x2
x−1 = −x2
1−x = −(1−x−1)2
1−x
= −(1−x)2 −2(1−x)+1
1−x
= −
(
1−x+
1
1−x −2
)
⩽−
(
2
√
(1−x)·
1
1−x −2
)
= 0，当且仅当1−x =
1
1−x，即x = 0 时等号成立，
∴2a ⩾g(x)max = 0，∴a ⩾0．
当x > 1 时，f (x) = x−alnx ⩾0 ⇔a ⩽x
lnx 恒成立，
令h(x) = x
lnx，则h′ (x) =
lnx−x· 1
x
(lnx)2
= lnx−1
(lnx)2 ，
当x > e 时，h′ (x) > 0，h(x) 单调递增，
当1 < x < e 时，h′ (x) < 0，h(x) 单调递减，
∴x = e 时，h(x) 取得最小值h(e) = e，
∴a ⩽h(x)min = e，
综上，a 的取值范围是[0,e]．
故选C．
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59
11
直击自招
考题
卓越
已知函数f (x) 为R 上的可导函数，且∀x0 ∈R，有0 < f ′ (x+x0)−f ′ (x0) < 4x(x > 0)．
（1）对∀x0 ∈R，证明：f ′ (x0) < f (x+x0)−f (x0)
x
(x > 0)．
（2）若|f (x)| ⩽1，x ∈R，证明：|f ′ (x)| ⩽4．
解析（1）令g(x) = f (x+x0)−f (x0)−x f ′ (x0)(x > 0)，
问题转化为证明g(x) > 0，
因为g′ (x) = f ′ (x+x0)−f ′ (x0) > 0，
故g(x) 在x > 0 时单调递增，
又g(0) = 0，
所以g(x) > 0，
即有f ′ (x0) < f (x+x0)−f (x0)
x
(x > 0)．
（2）令h(x) = f (x+x0)−f (x0)−f ′ (x0)x−2x2，x > 0．
因为h′ (x) = f ′ (x+x0)−f ′ (x0)−4x < 0，
所以h(x) 在(0,+∞) 上单调递减，
从而h(x) < h(0) = 0，x > 0．
因此f ′ (x0) > f (x+x0)−f (x0)
x
−2x，x > 0①．
由(1) 知f ′ (x0) < f (x+x0)−f (x0)
x
(x > 0)②．
由①，②可得|f ′ (x0)| ⩽|f (x+x0)−f (x0)|
x
+2x ⩽2
x +2x 对任意的实数x > 0 都成立，
而2
x +2x ⩾4，且等式在x = 1 时成立．
从而|f ′ (x0)| ⩽4．由x0 的任意性得|f ′ (x)| ⩽4，x ∈R．
第12 讲
三角函数概念与
公式
直击课堂
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61
12
学习目标
1．理解任意角的概念与弧度制的定义，并能熟练地进行角度与弧度的换算．
2．理解任意角三角函数的定义，并能利用三角函数线求角的范围．
3．理解并掌握同角三角函数的基本关系式，并能应用其解决三角函数的化简、求值、证明等问题．
4．能够应用诱导公式实现角之间的转化．
考情分析
高一数学·凌云班（课改）·秋
62
12
1
模块
1
任意角的三角函数
知识凝炼
1
角的概念的推广
⑴角：一条射线绕着端点（顶点）从一个位置（始边）旋转到另一个位置（终边）所成的图形．其中顶点、
始边、终边称为角的三要素．
⑵角按其旋转方向可分为：正角（逆时针旋转），零角（没有旋转），负角（顺时针旋转）．
⑶在直角坐标系中讨论角：
①象限角：顶点在原点，始边在x 轴正半轴上，终边在第几象限就是第几象限角．
②轴线角：顶点在原点，始边在x 轴正半轴上，终边在坐标轴上，称之为轴线角．
2
终边相同的角的集合
所有与α 终边相同的角构成的集合S = {β|β = α +2kπ,k ∈Z}．
3
弧度制及其与角度制的换算
⑴1 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．
在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角为αrad，则|α| = l
r，这种以“弧度”作为单位来度量角的制
度叫做弧度制．
⑵弧度与角度的换算：180◦=πrad，1rad =
(
180
π
)◦
≈57.30◦= 57◦18′；
n◦= n· π
180rad，αrad =
(
180α
π
)
◦．
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63
12
精讲精练
考点1: 角的概念的推广
例1 （1）★★★
写出终边在阴影内(包括边界) 的角的集合．
（2）★★★
已知α 是第二象限角，求2α，3α，α
2 ，α
3 终边所在的位置．
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64
12
达标检测1
★★
正确率：77%
集合{α|kπ+π
4 ⩽α ⩽kπ+π
2 ,k ∈Z} 中的角所表示的范围(阴影部分) 是( )
知识凝炼
1
三角函数的定义
在直角坐标系中，设α 是一个任意角，α 终边上任意一点P（除了原点）的坐标是(x,y)，它与原点的距离
为r（r =
√
|x|2 +|y|2 =
√
x2 +y2 > 0），那么
⑴比值y
r 叫做α 的正弦，记作sinα，即sinα = y
r ；
⑵比值x
r 叫做α 的余弦，记作cosα，即cosα = x
r ；
⑶比值y
x 叫做α 的正切，记作tanα，即tanα = y
x．
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65
12
sinα、cosα 中α 的范围为R，tanα 中α 的范围为
{
α
α̸ = kπ+π
2 ,k ∈Z
}
．
2
三角函数在各象限的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
⑴正弦值y
r 对于第一、二象限为正(y > 0,r > 0)，对于第三、四象限为负(y < 0,r > 0)；
⑵余弦值x
r 对于第一、四象限为正(x > 0,r > 0)，对于第二、三象限为负(x < 0,r > 0)；
⑶正切值y
x 对于第一、三象限为正（x、y 同号），对于第二、四象限为负（x、y 异号）．
若角α 的终边落在轴线上，则可直接按照三角函数定义确定符号．
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66
12
精讲精练
考点2: 三角函数的定义
例2 （1）★★★
已知角α 的终边上一点P
(
−
√
3,m
)
，且sinα =
√
2m
4
，求cosα、tanα 的值．
（2）★★★
如果sinα ·cosα < 0,sinα ·tanα > 0，那么角α
2 的终边在( )
A. 第一或第三象限
B. 第二或第四象限
C. 第一或第二象限
D. 第三或第四象限
（3）★★★★正确率：66%
函数y = sinx
|sinx| + |cosx|
cosx + tanx
|tanx| 的值域是( )
A. {−1,0,1,3}
B. {−1,0,3}
C. {−1,3}
D. {−1,1}
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67
12
达标检测2
★★★
正确率：56%
设θ 是第四象限角，则点P(sin(sinθ),cos(sinθ)) 在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2
模块
2
同角基本关系式
知识凝炼
同角三角函数基本关系式：
平方关系：sin2x+cos2x = 1；
商数关系：sinx
cosx = tanx.
（1）注意同角，至于角是什么形式无关紧要，比如：sin2 x
3 +cos2 x
3 = 1，sin4x
cos4x = tan4x；
（2）注意这些关系式都是针对使它们有意义的角而言，如：sinx
cosx = tanx（x̸ = kπ+π
2 ,k ∈Z）；
（3）这些公式不仅要牢记，还需要掌握相应的变形，如：sin2x = 1−cos2x，cosx = sinx
tanx 等．
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68
12
精讲精练
考点3: 同角基本关系式的应用
例3 （1）★★
若sinθ = −4
5，tanθ > 0，则cosθ =
；tanθ =
．
（2）★★★
已知sinθ +sin2θ = 1，求cos2θ +cos6θ +cos8θ 的值．
（3）★★★★
正确率：61%
已知sinθ = m−3
m+5，cosθ = 4−2m
m+5 ，其中θ ∈
[
π
2 ,π
]
，则下列结论正确的是( )
A. m ∈[3,9]
B. m ∈(−∞,5)∪[3,+∞)
C. m = 0 或m = 8
D. m = 8
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69
12
例4 （1）★★★
正确率：50%
已知sinα +cosα = 7
13 (0 < α <π)，则tanα =( )
A. −5
12
B. −12
5
C. 5
12
D. −5
12 或−12
5
（2）★★★
已知sinα +cosα = 3
4，则sin3α +cos3α =
．
达标检测3
★★★
正确率：66%
若tanθ = 1
3,π< θ < 3
2π，则sinθ cosθ 的值为( )
A. ± 3
10
B. 3
10
C.
3
√
10
D. ± 3
√
10
考点4: 弦切互化
例5
★★★
已知tanα = 2，求下列各式的值．
（1）
2sinα
sinα −cosα ；
（2）sinα cosα；
（3）
5sin3α +cosα
2cos3α +sin2α ·cosα ．
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12
考点5: 化简证明
例6
★★★
化简：
√
1+sinα
1−sinα −
√
1−sinα
1+sinα ，其中α 为第三象限角．
达标检测4
★★★
若θ ∈
(
π
2 , 3π
4
)
，则
√
1+2sinθ cosθ =( )
A. sinθ +cosθ
B. −sinθ −cosθ
C. sinθ −cosθ
D. cosθ −sinθ
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71
12
3
模块
3
诱导公式
知识凝炼
1
角α 与角α +2kπ（k ∈Z），即终边相同的角的三角函数间的关系：
sin(α +2kπ) = sinα，cos(α +2kπ) = cosα，tan(α +2kπ) = tanα；
2
角α 与角−α，即终边关于x 轴对称的角的三角函数间的关系：
sin(−α) = −sinα，cos(−α) = cosα，tan(−α) = −tanα；
3
角α 与角π−α，即终边关于y 轴对称的角的三角函数间的关系：
sin(π−α) = sinα，cos(π−α) = −cosα，tan(π−α) = −tanα；
4
角α 与角π+α，即终边关于原点对称的角的三角函数间的关系：
sin(π+α) = −sinα，cos(π+α) = −cosα，tan(π+α) = tanα；
5
角α 与角π
2 −α，即互余的两角的三角函数间的关系：
sin(π
2 −α) = cosα，cos(π
2 −α) = sinα；
6
角α 与角π
2 +α，即终边相互垂直的角的三角函数间的关系：
sin(π
2 +α) = cosα，cos(π
2 +α) = −sinα.
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72
12
精讲精练
考点6: 诱导公式的应用
例7
★★★
（1）挑战三分钟(将对应选项进行填空)．
A、cosα；B、sinα；C、−cosα；D、−sinα
①sin(9π−α) =
．
②sin
(
5π
2 −α
)
=
；
③sin
(
7π
2 −α
)
=
；
④cos
(
7π
2 +α
)
=
；
⑤cos
(
−7π
2 +α
)
=
；
（2）★★★
正确率：70%
记cos(−80◦) = k，那么tan100◦=( )
A.
√
1−k2
k
B. −
√
1−k2
k
C.
k
√
1−k2
D. −
k
√
1−k2
考点7: 整角代换
例8
★★★
已知sin
(
α −π
3
)
= 1
2，则cos
(
α + 7π
6
)
的值为
．
达标检测5
★★
正确率：66%
已知sin
(
π
4 +α
)
=
√
3
2 ，则sin
(
3π
4 −α
)
的值为( )
A. 1
2
B. −1
2
C.
√
3
2
D. −
√
3
2
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73
12
课堂总结
高一数学·凌云班（课改）·秋
74
12
直击高考
考题1
2019 全国Ⅰ文7
tan255◦=( )
A. −2−
√
3
B. −2+
√
3
C. 2−
√
3
D. 2+
√
3
考题2
2017 北京理12
在平面直角坐标系xOy 中，角α 与角β 均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα = 1
3，则
cos(α −β) =
．
答案
1. D
2. −7
9
解析
1. tan255◦= tan(180◦+75◦) = tan75◦= tan(45◦+30◦)
= tan45◦+tan30◦
1−tan45◦tan30◦=
1+
√
3
3
1−1×
√
3
3
= 3+
√
3
3−
√
3 =
(
3+
√
3
)2
6
= 12+6
√
3
6
= 2+
√
3．
故选D．
2. 方法一：∵角α 与角β 均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，∴sinα = sinβ = 1
3,cosα =
−cosβ，∴cos(α −β) = cosα cosβ +sinα sinβ = −cos2α +sin2α = 2sin2α −1 = 2
9 −1 = −7
9．
方法二：∵sinα = 1
3，当α 在第一象限时，cosα = 2
√
2
3 ，∵α,β 角的终边关于y 轴对称，∴β 在第二
象限，sinβ = sinα = 1
3，cosβ = −cosα = −2
√
2
3 ，
∴cos(α −β) = cosα cosβ +sinα sinβ = −2
√
2
3
× 2
√
2
3
+ 1
3 × 1
3 = −7
9．
∵sinα = 1
3，当α 在第二象限时，cosα = −2
√
2
3 ，∵α,β 角的终边关于y 轴对称，
∴β 在第一象限，sinβ = sinα = 1
3，cosβ = −cosα = 2
√
2
3 ，
∴cos(α −β) = cosα cosβ +sinα sinβ =−2
√
2
3
× 2
√
2
3
+ 1
3 × 1
3 = −7
9．
综上所述，cos(α −β) = −7
9，故答案为−7
9．
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75
12
直击自招
考题
清华
已知sinx+cosx =
√
1+sin2x，求x 的取值范围．
解析
考虑到(sinx+cosx)2 = 1+sin2x．
于是x 的取值范围由
sinx+cosx ⩾0
1+sin2x ⩾0
限定，即
sin
(
x+π
4
)
⩾0
sin2x ⩾−1
，
因此x 的取值范围是
[
2kπ−π
4 ,2kπ+ 3π
4
]
,k ∈Z．
第13 讲
三角函数图象性
质综合
直击课堂
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77
13
学习目标
1. 熟练掌握正弦、余弦、正切函数的图象与性质，并利用图象与性质解决相关问题.
2. 掌握平移与伸缩两种基本变换，并利用图象变换得到正弦型函数图象.
考情分析
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78
13
1
模块
1
基本三角函数的图象与性质
知识凝炼
1
正弦函数y = sinx,x ∈[0,2π] 图象的画法
五点作图法
步骤：①列表；②描点；③连线．
2
函数的周期性
⑴一般地, 对于函数f(x), 如果存在一个非零的常数T, 使得定义域内的每一个x 值, 都满足f(x +T) =
f(x), 那么函数f(x) 就叫做周期函数, 非零常数T 叫做这个函数的周期．
⑵对于一个周期函数f(x), 如果在它所有的周期中存在一个最小的正数, 那么这个最小的正数就叫做f(x)
的最小正周期．
⑶正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k ∈Z且k̸ = 0) 都是它们的周期, 它们的最小正周期都是2π；正
切函数也是周期函数, 最小正周期为π．
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79
13
3
正弦函数的图象与性质
高一数学·凌云班（课改）·秋
80
13
4
余弦函数的图象与性质
5
正切函数的图象与性质
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81
13
精讲精练
考点1: 三角函数的图象与性质
例1 （1）★★
函数y = sinx+2tanx,x ∈
[
−π
3 ,π
6
]
的值域为
．
（2）★★★
正确率：50%
若函数f(x) = |sinx−cosx|+sinx+cosx,x ∈[0,2π]，函数的最小值是( )
A. −2
B. −
√
2
C.
√
2
D. 0
例2
★★★
正确率：47%
下列说法：①sin1 < sin2；②sin2 < cos2；③sin4 < cos4；④sin 19π
10 < cos
(
−13π
10
)
，其中正确的是( )
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ③④
达标检测1
★★★
已知奇函数f (x) 在[−1,0] 上为单调递减函数，又α，β 为锐角三角形两内角，下列结论正确的是( )
A. f (cosα) > f (cosβ)
B. f (sinα) > f (sinβ)
C. f (sinα) > f (cosβ)
D. f (sinα) < f (cosβ)
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82
13
例3 （1）★★
正确率：49%
下列函数中是奇函数的是( )
A. y = x+sinx
B. y = sinx+1
C. y = xsinx
D. y = |sinx|
（2）★★★★
函数f(x) = 2cosx+1，则f
(
−41π
7
)
+ f
(
−40π
7
)
+ f
(
−39π
7
)
+…+ f
(
42π
7
)
=
．
（3）★★★★
函数y = sinx+2|sinx|(x ∈[0,2π]) 的图象与直线y = k 有且仅有两个不同的交点，则实数k 的取值
范围是
．
达标检测2
★★★
关于函数f (x) = sin|x|+|sinx| 有下述四个结论：
①f (x) 是偶函数
②f (x) 在区间
(
π
2 ,π
)
上单调递增
③f (x) 在[−π,π] 上有4 个零点
④f (x) 的最大值为2
其中所有正确结论的编号是( )
A. ①②④
B. ②④
C. ①④
D. ①③
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83
13
考点2: 三角方程与不等式
例4 （1）★★
求不等式2sinx+1 ⩾0 中x 的取值范围．
（2）★★★
求不等式2cos
(
3x+π
6
)
−1 ⩽0 中x 的取值范围．
达标检测3
★★
函数y = lg(1−tanx) 的定义域是( )
A.
{
x
x < kπ+π
4 ,k ∈Z
}
B.
{
x
{
kπ−π
2 < x < kπ+π
4 ,k ∈Z
}
C.
{
x
2kπ−π
2 < x < 2kπ+π
4 ,k ∈Z
}
D.
{
x
2kπ+π
4 < x < 2kπ+π
2 ,k ∈Z
}
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84
13
考点3: 与三角函数相关的复合函数
例5 （1）★★
正确率：57%
函数y = cos(sinx) 的值域是( )
A. [0,cos1]
B. [0,1]
C. [cos1,1]
D. [−cos1,cos1]
（2）★★★
正确率：50%
函数y = 2sin2x+1
2sin2x−1 的值域是( )
A. [−1,+∞)
B. [−1,3]
C. (−∞, 1
3]∪[3,+∞)
D. (−∞,−1]∪[3,+∞)
（3）★★★
正确率：49%
若函数f(x) = cos2x−asinx+b 的最大值为0，最小值为−4，且a > 0，则a =
，b =
．
（4）★★★★正确率：63%
如果对一切正实数x、y，不等式y
4 −cos2x ⩾asinx−9
y 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A.
(
−∞, 4
3
]
B. [3,+∞)
C.
[
−2
√
2,2
√
2
]
D. [−3,3]
达标检测4
★★★
若关于x 的方程cos2x−sinx+a = 0 在
(
0,π
2
]
内有实数解，则a 的取值范围是( )
A. (−1,1]
B. [−1,1]
C. (−1,1)
D.
(
−5
4,1
]
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85
13
2
模块
2
三角函数的图象变换
知识凝炼
1
正弦型函数y = Asin(ωx+φ)(A > 0,ω > 0)
2
三种基本的图象变换
（1）（x 轴方向的）平移变换：y = sinx
φ>0时向左
−−−−−−→
φ<0时向右平移|φ| 个单位得y = sin(x+φ)．
（2）x 轴方向的伸缩变换：y = sinx 的横坐标
ω>1时缩短
−−−−−−−−→
0<ω<1时伸长到原来的1
ω 倍得y = sinωx．
（3）y 轴方向的伸缩变换：y = sinx 的纵坐标
A>1时伸长
−−−−−−−−→
0<A<1时缩短到原来的A 倍得y = Asinx．
y 轴方向的伸缩变换与伸缩系数A 保持一致，但x 轴方向的伸缩变换与伸缩系数ω 恰好相反．
3
y = sinx −→y = Asin(ωx+φ) 图象变换的两种途径：
（1）先平移后伸缩(x →x+φ →ωx+φ)，变换方法如下：
y = sinx 的图象
向左(φ>0)或向右(φ<0)
−−−−−−−−−−−−−−→
平移|φ|个单位长度
y = sin(x + φ) 的图象
横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
到原来的1
ω
倍(纵坐标不变)
y = sin(ωx + φ) 的图
象
纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
为原来的A倍(横坐标不变)
y = Asin(ωx+φ) 的图象．
（2）先伸缩后平移(x →ωx →ωx+φ)，变换方法如下：
y = sinx 的图象
横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
到原来的1
ω
倍(纵坐标不变)
y = sinωx 的图象
向左(φ>0)或向右(φ<0)
−−−−−−−−−−−−−−→
平移
φ
ω
个单位
y = sin(ωx+φ) 的图象
纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
为原来的A倍(横坐标不变)
y = Asinx(ωx+φ) 的图象．
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86
13
精讲精练
考点4: 三角函数的图象变换
例6 （1）★★★
为了得到函数y = sin
(
2x+π
3
)
的图象，只要将y = sinx(x ∈R) 的图象上所有的点( )
A. 向左平移π
3 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2 倍，纵坐标不变
B. 向左平移π
3 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变
C. 向左平移π
6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2 倍，纵坐标不变
D. 向左平移π
6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变
（2）★★★
正确率：43%
为了得到函数y = cos x
3 的图象，只需将函数y = sin
(
x
3 +π
6
)
的图象( )
A. 向左平移π
2 个单位
B. 向右平移π
2 个单位
C. 向左平移π 个单位
D. 向右平移π 个单位
达标检测5
★★★
正确率：65%
曲线C1 : y = cosx，C2 : y = sin
(
2x+ 2π
3
)
，则下面结论正确的是（ ）
A. 把C1 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6 个单位长度，得
到曲线C2
B. 把C1 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12 个单位长度，
得到曲线C2
C. 把C1 上各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6 个单位长度，得到
曲线C2
D. 把C1 上各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12 个单位长度，得
到曲线C2
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87
13
课堂总结
高一数学·凌云班（课改）·秋
88
13
直击高考
考题1
2019 全国Ⅱ理9
下列函数中，以π
2 为周期且在区间
(
π
4 ,π
2
)
上单调递增的是( )
A. f (x) = |cos2x|
B. f (x) = |sin2x|
C. f (x) = cos|x|
D. f (x) = sin|x|
考题2
2019 全国Ⅰ文15
函数f (x) = sin
(
2x+ 3π
2
)
−3cosx 的最小值为
．
答案
1. A
2. −4
解析
1. f (x) = sin|x| 不是周期函数，可排除D 选项；
f (x) = cos|x| 的周期为2π，可排除C 选项；
f (x) = |sin2x| 在π
4 处取得最大值，不可能在区间
(
π
4 ,π
2
)
上单调递增，可排除B．
故选A．
2. ∵f (x) = sin
(
2x+ 3π
2
)
−3cosx
= −cos2x−3cosx = −2cos2 x−3cosx+1，
令t = cosx，则−1 ⩽t ⩽1，
∵f (t) = −2t2 −3t +1 的开口向下，对称轴为t = −3
4，在[−1,1] 上先增后减，
故当t = 1 即cosx = 1 时，函数有最小值−4．
故答案为−4．
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89
13
直击自招
例7
复旦
已知关于x 的方程
√
3sinx + 2cos2 x
2 = a 在区间(0,2π) 内有两个不同的根，则常数a 的取值范围是
( )
A. (−1,3)
B. (−1,2)∪(2,3)
C. [−1,3]
D. [−1,2)∪(2,3]
答案
B
解析
√
3sinx+2cos2 x
2 = a ⇔
√
3sinx+cosx = a−1 ⇔2sin
(
x+π
6
)
= a−1 ⇔sin
(
x+π
6
)
= a−1
2
，
该方程在(0,2π) 内有两个不同根，需要−1 < a−1
2
< 1 且a−1
2̸
= 1
2，
解得−1 < a < 3 且a̸ = 2．
第14 讲
三角恒等变换公
式篇
直击课堂
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91
14
学习目标
1．熟练记忆和差角公式与二倍角公式，理解它们的内在联系．
2．能够灵活利用公式解决三角恒等变换的相关问题．
3．掌握辅助角公式，能利用辅助角公式将三角函数式化为正弦型函数的形式．
考情分析
高一数学·凌云班（课改）·秋
92
14
1
模块
1
和差角公式
知识凝炼
1
余弦的和差角公式
Cα+β : cos(α +β) = cosα cosβ −sinα sinβ；
Cα−β : cos(α −β) = cosα cosβ +sinα sinβ．
2
正弦的和差角公式
Sα+β : sin(α +β) = sinα cosβ +cosα sinβ；
Sα−β : sin(α −β) = sinα cosβ −cosα sinβ．
3
正切的和差倍角公式
Tα+β : tan(α +β) =
tanα +tanβ
1−tanα ·tanβ ；
Tα−β : tan(α −β) =
tanα −tanβ
1+tanα ·tanβ ．
精讲精练
考点1: 弦的和差角公式
例1 （1）★★
已知sinα = 3
5，α ∈
(
π
2 ,π
)
，cosβ = −12
13，β 是第三象限角，求cos(α −β)，cos(α +β)，sin(α +β)，
sin(α −β) 的值．
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93
14
（2）★★★
计算：sin
(
π
4 −3x
)
cos
(
π
3 −3x
)
−cos
(
π
6 +3x
)
sin
(
π
4 +3x
)
.
达标检测1
★★
正确率：67%
sin20◦cos10◦−cos160◦sin10◦=( )
A. −
√
3
2
B.
√
3
2
C. −1
2
D. 1
2
例2 （1）★★
正确率：81%
计算：sin47◦−sin17◦cos30◦
cos17◦
=( )
A. −
√
3
2
B. −1
2
C. 1
2
D.
√
3
2
（2）★★★
计算4cos50◦−tan40◦=
．
高一数学·凌云班（课改）·秋
94
14
例3 （1）★★★
已知cos(α +β) = 1
5，cos(α −β) = 3
5，则tanα ·tanβ 的值为
．
（2）★★★★
若sinα +sinβ +sinγ = 0，cosα +cosβ +cosγ = 0，则cos(α −β) =
．
达标检测2
★★★
正确率：47%
已知
sinα +cosβ = 4
5
cosα −sinβ = 3
5
，则下列结论正确的是( )
A. cos(α −β) = 1
2
B. sin(α −β) = 1
2
C. cos(α +β) = −1
2
D. sin(α −β) = −1
2
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95
14
考点2: 正切的和差角公式
例4 （1）★★
正确率：73%
若tanα = 1
3，tan(α +β) = 1
2，则tanβ =( )
A. 1
7
B. 1
6
C. 5
7
D. 5
6
（2）★★★
1+tan15◦
1−tan15◦=
．
（3）★★★
求值：
①tan15◦+tan30◦+tan15◦·tan30◦=
；
②(1+tan55◦)(1−tan10◦) =
；
③(1+tan1◦)(1+tan2◦)...(1+tan44◦) =
．
高一数学·凌云班（课改）·秋
96
14
进阶1 （1）★★★★
若α +β = π
6 ，且
√
3(tanα tanβ −2)+2tanα +3tanβ = 0，则tanα 的值是( )
A. −
√
3
3
B.
√
3
3
C. −
√
3
D.
√
3
（2）★★★★
已知△ABC 为非直角三角形，求证：tanA+tanB+tanC = tanA·tanB·tanC．
达标检测3
★★★
正确率：61%
tan10◦·tan20◦+tan20◦·tan60◦+tan10◦·tan60◦=
．
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97
14
2
模块
2
二倍角公式
知识凝炼
S2α : sin2α = 2sinα cosα；
C2α : cos2α = cos2α −sin2α = 2cos2α −1 = 1−2sin2α；
T2α : tan2α =
2tanα
1−tan2 α ．
降幂公式：cos2α = 1+cos2α
2
,sin2α = 1−cos2α
2
,sinα cosα = 1
2 sin2α.
精讲精练
考点3: 二倍角公式
例5 （1）★★★
求解以下问题：
①x ∈
(
−π
2 ,0
)
，cosx = 4
5，求cos2x,sin2x,tan2x；
②sin22.5◦cos22.5◦；
③cos215◦−sin215◦；
④2
3 + 4
3cos215◦；
⑤cos2α = −7
9，并且90◦< α < 180◦，求cosα，sinα，tanα．
（2）★★★
正确率：60%
已知tan
(
α +π
4
)
= 2，则tan2α =( )
A. −3
4
B. 3
4
C. 1
2
D. −3
4 或3
4
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98
14
例6 （1）★★★
求值：cosπ
5 cos 2π
5 cos 3π
5 cos 4π
5 ．
（2）★★★
正确率：34%
2
√
1−sin8+√2+2cos8 等于( )
A. 2sin4−4cos4
B. −2sin4−4cos4
C. −2sin4
D. 4cos4−2sin4
（3）★★★
已知α 是第二象限角，且sinα =
√
15
4 ，求
sin
(
α +π
4
)
sin2α +cos2α +1 的值．
达标检测4
★★★
正确率：57%
若
cos2α
sin
(
α −π
4
) = −
√
2
2 ，则cosα +sinα 的值为( )
A. −
√
7
2
B. −1
2
C. 1
2
D.
√
7
2
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99
14
3
模块
3
辅助角公式
知识凝炼
y = asinα +bcosα =
√
a2 +b2 sin(α +φ) ，其中tanφ = b
a，φ 所在的象限由a,b 的符号确定．
精讲精练
考点4: 辅助角公式
例7
★★★
化简下列式子为Asin(ωα +φ)+B 的形式：
（1）
√
3sinα +3cosα．
（2）
√
6sinα +
√
2cosα．
（3）f (α) = sin2α +sinα cosα +1；
（4）f (α) = sin
(
π
2 −α
)
sinα −
√
3cos2α．
达标检测5
★★
函数y = sin
(
x−π
6
)
cosx 的最小值为( )
A. 1
2
B. −1
2
C. 3
4
D. −3
4
高一数学·凌云班（课改）·秋
100
14
课堂总结
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101
14
直击高考
考题1
2019 全国Ⅱ理10
已知α ∈
(
0,π
2
)
，2sin2α = cos2α +1，则sinα =( )
A. 1
5
B.
√
5
5
C.
√
3
3
D. 2
√
5
5
考题2
2018 全国Ⅱ理10
若f (x) = cosx−sinx 在[−a,a] 是减函数，则a 的最大值是( )
A. π
4
B. π
2
C. 3π
4
D. π
答案
1. B
2. A
解析
1. ∵2sin2α = cos2α +1，
∴4sinα cosα = 2cos2α，
∵α ∈
(
0,π
2
)
，∴sinα > 0，cosα > 0，
∴cosα = 2sinα，
∴sin2α +cos2α = sin2α +(2sinα)2 = 5sin2α = 1，
解得sinα =
√
5
5 ．
故选B．
2. f (x) = cosx−sinx = −(sinx−cosx) = −
√
2sin
(
x−π
4
)
，
由−π
2 +2kπ⩽x−π
4 ⩽π
2 +2kπ,k ∈Z，
得−π
4 +2kπ⩽x ⩽3
4π+2kπ,k ∈Z，
取k = 0，得f (x) 的一个减区间为
[
−π
4 , 3
4π
]
，
由f (x) 在[−a,a] 是减函数，
得
−a ⩾−π
4
a ⩽3π
4
，∴a ⩽π
4 ．
则a 的最大值是π
4 ．
故选A．
高一数学·凌云班（课改）·秋
102
14
直击自招
考题
同济
设θ 是第二象限角，sinθ = 3
5，则sin
(
57
8 π−2θ
)
=
．
答案
−24
25 ·
√
2+
√
2
2
−7
25 ·
√
2−
√
2
2
解析
sin
(
57
8 π−2θ
)
= −sin
(
π
8 −2θ
)
= sin2θ cosπ
8 −cos2θ sinπ
8 ，
由已知条件，有cosθ = −4
5，
于是sin2θ = 2sinθ cosθ = −24
25，cos2θ = cos2θ −sin2θ = 7
25．
cosπ
4 = 2cos2π
8 −1 =
√
2
2 ⇒cosπ
8 =
√
2+
√
2
2
，同理sinπ
8 =
√
2−
√
2
2
．
因此sin
(
57
8 π−2θ
)
= −24
25 ·
√
2+
√
2
2
−7
25 ·
√
2−
√
2
2
．
第15 讲
三角恒等变换应
用篇
直击课堂
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105
15
学习目标
1．掌握整角代换的方法，熟练利用其解决化简求值问题．
2．掌握三角与二次复合型函数的处理方法．
3．结合三角函数、三角恒等变换，解决三角综合问题．
考情分析
高一数学·凌云班（课改）·秋
106
15
1
模块
1
整角代换
精讲精练
考点1: 给值求值问题
例1 （1）★★
已知α 为锐角，且cos
(
α +π
6
)
= 5
13，则cosα 的值为
．
（2）★★★
若cos
(
π
4 −α
)
= 3
5，则sin2α =( )
A. 7
25
B. 1
5
C. −1
5
D. −7
25
（3）★★★
设α 为锐角，若cos
(
α +π
6
)
= 4
5，则sin
(
2α + π
12
)
的值为
．
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107
15
达标检测1
★★★
正确率：88%
已知cosα = 1
3，cos(α +β) = −1
3，且α，β ∈
(
0,π
2
)
，则cos(α −β) 的值等于( )
A. −1
2
B. 1
2
C. −1
3
D. 23
27
例2
★★★★
若α 与β 是锐角，cosα = 1
7，sin(α +β) = 5
√
3
14 ，则cosβ =
．
考点2: 给值求角问题
达标检测2
★★★
正确率：52%
已知0 < α，β < π
2 ，满足cosα =
√
5
5 ，sinβ = 3
√
10
10 ，α +β 的值为( )
] A. π
4
B. π
4 或3π
4
C. 3π
4
D. π
4 +2kπ
高一数学·凌云班（课改）·秋
108
15
例3 （1）★★★
已知α，β，γ 均为锐角，且tan(α +β) = 1
2，tan β +γ
2
= 1
5，tan β −γ
2
= −1
8，则α +β +γ =
．
（2）★★★★
已知tan(α −β) = 1
2，tanβ = −1
7，且α，β ∈(0,π)，则2α −β =( )
A. π
4
B. 3
4π、π
4 、5π
4
C. −3π
4
D. π
4 、5π
4
进阶1
★★★
正确率：58%
在△ABC 中，已知3sinA+4cosB = 6,3cosA+4sinB = 1，则∠C 的大小为( )
A. π
6
B. 5π
6
C. π
6 或5π
6
D. π
3
达标检测3
★★★
已知tanα，tanβ 是方程x2 +3
√
3x+4 = 0 的两根，且α，β ∈
(
π
2 , 3π
2
)
，则α +β 的值为( )
A. 4π
3
B. 7π
3
C. 4π
3
或7π
3
D. 5π
3
或7π
3
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109
15
2
模块
2
三角与二次复合型函数
精讲精练
考点3: 三角与二次复合型函数
例4 （1）★★★
若函数f (x) = cos2x+asinx 在区间
(
π
6 ,π
2
)
上是减函数，则a 的最大值为
．
（2）★★★
已知x ∈
[
0,π
2
]
，求函数y = sinx+cosx+2sinxcosx+1 的最大值和最小值，并求出此时x 的值．
（3）★★★★
求函数f (x) = sin
(
2x+π
6
)
+sinx+
√
3cosx 的值域．
达标检测4
★★★
正确率：65%
函数f (x) = sin2x+5sin
(
π
4 +x
)
+3 的最小值是( )
A. −3
B. −1
C. 3
8
D. −6
高一数学·凌云班（课改）·秋
110
15
3
模块
3
三角综合问题
精讲精练
考点4: 三角综合问题
达标检测5
★★★
正确率：54%
已知tan
(
π
6 −α
)
= −2,α ∈
[
π
6 , 7π
6
]
，则sin α
2 cos α
2 +
√
3cos2 α
2 −
√
3
2 =( )
A. −2
√
5
5
B. −
√
5
5
C.
√
5
5
D. 2
√
5
5
例5
★★★
已知角α，β 的顶点均为坐标原点、始边均为x 轴的非负半轴，若α，β 的终边分别与单位圆相交于A，
B 两点，且tan
(
π
4 −α
)
= −2．
（1）求tanα 的值，并确定点A 所在的象限．
（2）若点B 的坐标为
(
3
5,−4
5
)
，求
sinα
[
cos(α +β)cosα −cos
(
α +β −π
2
)
sin(α −π)
]
+3sin
(
π
2 +α
)
sinβ
cos(π+α)cos(−β)−3sinα sinβ
的值．
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111
15
例6
★★★
在△ABC 中，已知C = 3π
4 ，cosAcosB = 3
√
2
5 ，cos(α +A)cos(α +B)
cos2α
=
√
2
5 ，求tanα 的值．
高一数学·凌云班（课改）·秋
112
15
课堂总结
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113
15
直击高考
考题
2018 浙江18
已知角α 的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P
(
−3
5,−4
5
)
．
（1）求sin(α +π) 的值．
（2）若角β 满足sin(α +β) = 5
13，求cosβ 的值．
解析（1）由角α 的终边过点P
(
−3
5,−4
5
)
得sinα = −4
5，
所以sin(α +π) = −sinα = 4
5．
（2）由角α 的终边过点P
(
−3
5,−4
5
)
得cosα = −3
5，
由sin(α +β) = 5
13 得cos(α +β) = ±12
13．
由β = (α +β)−α 得cosβ = cos(α +β)cosα +sin(α +β)sinα，
所以cosβ = −56
65 或cosβ = 16
65．
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114
15
直击自招
考题
交大
设a ⩾0，且函数f (x) = (a+cosx)(a+sinx) 的最大值为25
2 ，则a =
．
答案
2
√
2
解析
f (x) = (a+cosx)(a+sinx) = a2 +a(sinx+cosx)+sinxcosx，
令sinx+cosx = t，t ∈
[
−
√
2,
√
2
]
，则sinxcosx = t2 −1
2
，
于是f (x) = a2 +at + t2 −1
2
= 1
2t2 +at +a2 −1
2 = 1
2(t +a)2 + a2 −1
2
．
∵a ⩾0，∴t =
√
2 取得最大值为a2 +
√
2a+ 1
2．
解方程a2 +
√
2a+ 1
2 = 25
2 ，得a = 2
√
2．
第16 讲
正弦型函数图象
性质综合
直击课堂
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117
16
学习目标
1．理解掌握正弦型函数的单调性、对称性、周期性，并利用性质解决正弦型函数的综合应用问题．
2．能够根据正弦型函数图象特征确定函数解析式的各个参数．
考情分析
高一数学·凌云班（课改）·秋
118
16
1
模块
1
正弦型函数的性质
知识凝炼
1
周期性
y = Asin(ωx+φ) 的周期仅与自变量的系数ω 有关，最小正周期T = 2π
|ω | ．
2
单调性与最值问题
（1）正弦型函数y = Asin(ωx+φ)(A > 0,ω > 0) 的单调性的求法：
建立关系式ωx+φ ∈
[
−π
2 +2kπ,π
2 +2kπ
]
(k ∈Z) 解出x 的范围，所得区间即为单调增区间；
同理由ωx+φ ∈
[
π
2 +2kπ, 3π
2 +2kπ
]
(k ∈Z) 解出x 的范围，即为单调减区间．
（2）正弦型函数y = Asin(ωx+φ)(A > 0) 的最值：
①值域为[−A,A]．
②当ωx+φ = π
2 +2kπ (k ∈Z) 时，取得最大值A；
当ωx+φ = −π
2 +2kπ (k ∈Z) 时，取得最小值−A．
3
对称性
正弦型函数y = Asin(ωx+φ) 的对称性：
（1）对称轴：令ωx+φ = π
2 +kπ(k ∈Z)；
（2）对称中心：令ωx+φ = kπ (k ∈Z)．
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119
16
精讲精练
考点1: 周期问题
例1 （1）★★
正确率：67%
已知函数f (x) = sin
(
ωx+π
6
)
(ω > 0) 满足：∀x1,x2 ∈R，当|f (x1)−f (x2)| = 2 时，|x1 −x2|min = π
2 ，
那么f (x) 的最小正周期是( )
A. π
4
B. π
2
C. π
D. 2π
（2）★★★
正确率：70%
已知函数f(x) =
√
3sinωx+cosωx(ω > 0),x ∈R，在f(x) 与直线y = 1 的交点中，若相邻交点距离
的最小值为π
3 ，则f(x) 的最小正周期为( )
A. π
2
B. 2π
3
C. π
D. 2π
达标检测1
★★★
正确率：69%
设函数f(x) = 2sin(π
2 x+π
5 )，若对于任意的x ∈R，都有f(x1) ⩽f(x) ⩽f(x2) 成立，则|x1 −x2| 的最小
值是( )
A. 4
B. 2
C. 1
D. 1
2
考点2: 单调性与最值问题
达标检测2
★★
正确率：41%
已知函数f(x) = 2sin
(
2x+π
6
)
−1(x ∈R)，则f (x) 在区间
[
0,π
2
]
上的最大值与最小值分别是( )
A. 1,−2
B. 2,−1
C. 1,−1
D. 2,−2
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120
16
例2 （1）★★
求函数y = 2sin
(
2x−π
4
)
的单调增区间．
（2）★★★
求函数y = cos
(
π
3 −2x
)
的单调递减区间．
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121
16
考点3: 对称性问题
例3 （1）★★★
正确率：59%
已知函数f(x) = 2sin
(
ωx+π
6
)
(ω > 0) 的最小正周期为4π，则该函数的图象( )
A. 关于点
(
π
3 ,0
)
对称
B. 关于点
(
5π
3 ,0
)
对称
C. 关于直线x = π
3 对称
D. 关于直线x = 5π
3
对称
（2）★★★
已知函数f(x) = 3sin
(
ωx−π
6
)
(ω > 0) 和g(x) = 2cos(2x+φ)+1 的图象的对称轴完全相同．则
|φ | 的最小值是
．
达标检测3
★★★
正确率：73%
对于函数y = 2sin
(
2x+π
6
)
，则下列结论正确的是( )
A. 函数的图象关于点
(
π
3 ,0
)
对称
B. 函数在区间
[
−π
3 ,π
6
]
递增
C. 函数的图象关于直线x = −π
12 对称
D. 函数的最小正周期是π
2
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122
16
2
模块
2
正弦型函数参数的确定
精讲精练
考点4: 根据图象确定解析式
例4 （1）★★★
正确率：57%
函数f(x) = Asin(ωx + φ)(x ∈R,A > 0,ω > 0,|φ| < π
2 ) 的图象(部分) 如图所示，f(x) 的解析式是
( )
A. f (x) = 2sin
(
πx+π
6
)
(x ∈R)
B. f (x) = sin
(
2πx+π
6
)
(x ∈R)
C. f (x) = 2sin
(
πx+π
3
)
(x ∈R)
D. f (x) = 2sin
(
2πx+π
3
)
(x ∈R)
（2）★★★
正确率：57%
函数f (x) = Asin(ωx+φ)
(
A > 0,ω > 0,|φ| < π
2
)
的部分图象如图所示，点P，Q，R 在f (x) 的图
象上，坐标分别为(−1,−A)、(1,0)、(x0,0)，△PQR 是以PR 为底边的等腰三角形，将函数f (x) 的图
象向右平移5 个单位后得到函数g(x) 的图象，则关于g(x) 的说法中不正确的是( )
A. g(x) 是偶函数
B. g(x) 在区间[0,4] 上是减函数
C. g(x) 的图象关于直线x = 2 对称
D. g(x) 在[−1,3] 上的最小值为−
√
6
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123
16
达标检测4
★★★
如图，函数f (x) = 2sin(ωx+φ)(ω > 0,0 ⩽φ ⩽π) 的图象过A(0,1) 和B(2,−2) 两点，将函数f (x) 的
图象向右平移1 个单位长度后得到函数g(x) 的图象，则函数g(x) 的递增区间是( )
A. [6k,6k +3](k ∈Z)
B. [3k −3,3k −1](k ∈Z)
C. [3k,3k +2](k ∈Z)
D. [6k −3,6k](k ∈Z)
考点5: 参数ω 的确定
例5 （1）★★★
正确率：50%
已知函数f (x) = sin(ωx+φ)(ω > 0). 若f
(
π
3
)
= 0，f
(
π
2
)
= 1，则实数ω 的最小值为
．
（2）★★★
正确率：65%
已知ω > 0, 函数f (x) = sin
(
ωx+π
6
)
在
(
π
2 ,π
)
上单调递减, 则ω 的取值范围是( )
A.
[
2
3, 4
3
]
B.
[
2
3, 3
4
]
C.
(
0, 2
3
]
D.
(
0, 3
2
]
（3）★★★★
已知函数f (x) = sin(ωx+φ)(ω > 0，|φ| ⩽π
2 )，x = −π
4 为y = f (x) 图象的对称轴，x = π
4 为f (x)
的零点，f (x) 在区间
(
π
12,π
6
)
上单调，则ω 的最大值为( )
A. 13
B. 12
C. 9
D. 5
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124
16
达标检测5
★★★
正确率：65%
若函数f(x) = sin(ωx+φ)（其中ω > 0）在
(
0,π
3
)
上单调递增，且f
(
π
6
)
+ f
(
π
3
)
= 0，f(0) = −1，
则ω =
．
3
模块
3
正弦型函数的综合问题
精讲精练
考点6: 正弦型函数的综合问题
例6 （1）★★★★
已知函数f(x) = 2cos ωx
2 sin
(
ωx
2 −π
3
)
+
√
3sin2 ωx
2 +sin ωx
2 cos ωx
2 (ω > 0)，在
[
0,π
3
]
上单调，且
f (0)+ f
(
π
3
)
= 0．若将函数f (x) 的图象向左平移φ (φ > 0) 个单位长度后得到的函数是偶函数，
则φ 的最小值为( )
A. 5π
6
B. 5π
12
C. π
3
D. π
6
（2）★★★★
设函数f(x) = sin(ωx+ϕ)，A > 0,ω > 0，若f(x) 在区间[π
6 ,π
2 ] 上具有单调性，且f
(
π
2
)
=
f
(
2π
3
)
= −f
(
π
6
)
，则f(x) 的最小正周期为
．
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125
16
课堂总结
高一数学·凌云班（课改）·秋
126
16
直击高考
考题
2019 全国Ⅲ理12
设函数f (x) = sin
(
ωx+π
5
)
(ω > 0)，已知f (x) 在[0,2π] 上有且仅有5 个零点．下述四个结论：
①f (x) 在(0,2π) 上有且仅有3 个极大值点；
②f (x) 在(0,2π) 上有且仅有2 个极小值点；
③f (x) 在
(
0, π
10
)
上单调递增；
④ω 的取值范围是
[
12
5 , 29
10
)
．
其中所有正确结论的编号是( )
A. ①④
B. ②③
C. ①②③
D. ①③④
答案
D
解析
当x ∈[0,2π] 时，ωx+π
5 ∈
[
π
5 ,2πω +π
5
]
，
∵f (x) 在[0,2π] 上有且仅有5 个零点，
∴5π⩽2πω +π
5 < 6π，
∴12
5 ⩽ω < 29
10，故④正确，
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
下面判断③是否正确，
当x ∈
(
0, π
10
)
时，ωx+π
5 ∈
[
π
5 , (ω +2)π
10
]
，
若f (x) 在
(
0, π
10
)
上单调递增，
则(ω +2)π
10
< π
2 ，即ω < 3，
∵12
5 ⩽ω < 29
10，故③正确．
故选D．
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16
直击自招
考题
卓越
若函数y = sin
(
ωx+π
4
)
图象的对称轴中与y 轴距离最小的对称轴为x = π
6 ，则实数ω 的值为
．
答案
3
2
解析
ωx+π
4 = kπ+π
2 ⇒x =
kπ+π
4
ω
，由题意|x|min = π
6 ，k = 0 时取到，ω = ±3
2．经检验ω = 3
2．
