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空间几何体总结
一、高考考点、考频
空间几何体在高考中占得分量很重，一般是要考一道选择题和解答题，选择题会
考察三视图或者空间几何体的几何度量。选择题考察的较为简单，但是解答题一
般会放在全国卷的第18 或者19 题的位置，有一定的计算量。第一问是证明空间
中元素的位置关系，然后是求空间中的角度，一般是需要结合空间向量解题。
二、高考真题
1.（2018 新课标1.7）（5 分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如
图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N 在左视图
上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为
（ ）
A．2
B．2
C．3
D．2
【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可．
【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，
直观图以及侧面展开图如图：
圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的
路径中，最短路径的长度：
＝2
．
故选：B．
2.（2018 新课标1.19）（12 分）如图，边长为2 的正方形ABCD 所在的平面与
半圆弧
所在平面垂直，M 是
上异于C，D 的点．
2
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）当三棱锥M﹣ABC 体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．
【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明MC⊥平面ADM 即可．
（2）根据三棱锥的体积最大，确定M 的位置，建立空间直角坐标系，求出点
的坐标，利用向量法进行求解即可．
【解答】解：（1）证明：在半圆中，DM⊥MC，
∵正方形ABCD 所在的平面与半圆弧
所在平面垂直，
∴AD⊥平面DCM，则AD⊥MC，
∵AD∩DM＝D，
∴MC⊥平面ADM，
∵MC⊂平面MBC，
∴平面AMD⊥平面BMC．
（2）∵△ABC 的面积为定值，
∴要使三棱锥M﹣ABC 体积最大，则三棱锥的高最大，
此时M 为圆弧的中点，
建立以O 为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图
∵正方形ABCD 的边长为2，
∴A（2，﹣1，0），B（2，1，0），M（0，0，1），
则平面MCD 的法向量＝（1，0，0），
设平面MAB 的法向量为＝（x，y，z）
则
＝（0，2，0），
＝（﹣2，1，1），
由•
＝2y＝0，•
＝﹣2x+y+z＝0，
令x＝1，
则y＝0，z＝2，即＝（1，0，2），
3
则cos＜，＞＝
＝
＝
，
则面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值sinα＝
＝
．
三、知识点
1.空间几何体的几何度量
1）空间几何体的表面积
（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，
'h 为斜高，l 为母线）
ch
S
直棱柱侧面积
rh
S
2
圆柱侧
'
2
1 ch
S
正棱锥侧面积
rl
S
圆锥侧面积
'
)
(
2
1
2
1
h
c
c
S
正棱台侧面积
l
R
r
S
)
(
圆台侧面积
圆柱的表面积 圆锥的表面积
圆台的表面积
2
2
R
Rl
r
rl
S
球的表面积
2
4 R
S
2）空间几何体的体积
（1）柱体、锥体、台体的体积公式
2
2
2
r
rl
S
4
柱体的体积
h
S
V
底
2
V
Sh
r h
圆柱
锥体的体积
h
S
V
底
3
1
h
r
V
2
3
1
圆锥
台体的体积
h
S
S
S
S
V
)
3
1
下
下
上
上
（
'
'
2
2
1
1
(
)
(
)
3
3
V
S
S S
S h
r
rR
R h
圆台
球体的体积
3
3
4 R
V
2.简单几何体的外接球
1）长方体的外接球：球心的位置和长方体的中心位置一致，直径的平方
等于长方体长宽高平方之和。
2）三棱锥的外接球：一般会考察的是可以将三棱锥补全成长方体的三棱
锥，然后此长方体的外接球就是三棱锥的外接球。但是遇到一般的三棱
锥，我们要知道其外接球的球心是在过底面三角形外心的底面的垂线上。
3）三棱锥的内切球：我们可以根据三棱锥的体积(V)和表面积(S)得出其
内切球的半径。r=
3𝑉
𝑆
4）其他几何体的外接球：首先注意寻找球心所在的位置，并找出几何体
相关量和半径的关系。
3.三视图
1）画三视图的原则
1°排列规则：侧视图在正视图右边，俯视图在正视图的下边。
2°画法规则
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长对齐：正视图与俯视图长度一致；
高对齐：正视图与侧视图高度一致；
宽相等：俯视图与侧视图宽度一致。
3°线条规则
能看见的轮廓线和棱用实线表示；不能看见的轮廓线和棱用虚线表示。
2）根据三视图还原几何体两种方法
1°俯视图还原法：根据俯视图确定几何体的底面，然后利用正视图和侧视图确
定几何体的侧面。
2°嵌入法：一般先确定几何体的大致轮廓，然后利用三视图中的实线和虚线通
过切割、挖空等手段逐步调整。
4.空间中的平行
1）空间中的平行关系：线线平行，线面平行，面面平行
2）线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线
平行，那么这条直线和这个平面平行。
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这
个平面相交，那么这条直线和两个平面的交线平行。
面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么
这两个平面平行。
面面平行的性质定理：另如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么他们的
交线平行。
3）各个平行关系之间的联系
线线平行⟹线面平行：如果两条直线互相平行，那么其中一条直线平行于另外一
条直线所在的平面（两条直线不同时在这个平面内）。
线面平行⟹面面平行：如果一个平面内的两条相交直线与另外一个平面平行，那
么这个平面与此平面平行。
面面平行⟹线面平行：如果两个平面互相平行，那么其中一个平面内的所有直线
都与另外一个平面平行。
线面平行⟹线线平行：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与过这条直
线的任意平面与已知平面的交线平行。
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面面平行⟹线线平行：如果两个平面互相平行，第三个平面与两个平面都相交，
那么这两条交线互相平行。
5.空间中的垂直
1）空间中的垂直关系：线线垂直，线面垂直，面面垂直
2）线面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内两条相交直线垂直，那么这条
直线和这个平面垂直。
线面垂直的性质定理：如果两条平行直线中有一条直线垂直于一个平面，那么另
外一条直线也垂直于这个平面。
面面垂直的判定定理：如果一个平面过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面
互相垂直。
面面垂直的性质定理：另如果两个平面的互相垂直，呢么在一个平面内垂直于他
们交线的直线垂直于另一个平面。
3）点面距离：如果一条直线与平面垂直，那么线与面的交点叫做垂足，垂线上
任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个
点到平面的距离。
4）各个垂直关系之间的联系
线线垂直⟹线面垂直：如果如果一条直线和平面内两条相交直线垂直，那么这条
直线和这个平面垂直。
线面垂直⟹面面垂直：如果一条直线与一个平面垂直，那么包含这条直线的任意
平面都与这个平面垂直。
面面垂直⟹线面垂直：另如果两个平面的互相垂直，呢么在一个平面内垂直于他
们交线的直线垂直于另一个平面。
线面垂直⟹线线垂直：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的
任意直线都垂直。
