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2019 秋·高一课改凌云
LECTURE 14
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LECTURE 1
LECTURE 2
LECTURE 3
LECTURE 4
LECTURE 5
LECTURE 6
抽象函数
集合重难点专题
函数三要素专题
函数的单调性
指数幂运算与指数函数
函数的奇偶性
对数运算与对数函数
LECTURE 7
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秋·课改凌云班
时间是个常数，但对勤奋者来说，是个变数。用分来计算时间的人比用小时来计算时间的人时间多59 倍。
—————雷巴柯夫
LECTURE 1 集合重难点专题
（1）集合的概念
一般的，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是有这些对象的全体构成的集合（或集）。构
成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。
（2）集合中元素的三特性：确定性；互异性；无序性。
（3）元素与集合的关系：元素属于集合：a∈A;元素不属于集合：a∉A。
（4）常见数集：R(实数集)、Q(有理数集)、Z(整数集)、N(自然数集)。
（5）集合的表示方法：描述法、列举法、区间法、图示法。
（6）集合之间的基本关系：子集（⊆）、真子集（⊊）、相等（=）。
（7）集合间的运算：交、并、补。
（8）集合关系的转化：A∩B=A⟺A⊆B,A∪B=A⟺B⊆A.
高考考点考情：
题型：选择题
分值：5 分
考点：集合一般会作为一个载体，与其他知识结合考察，主要考集合的性质（重点是互异性）与运算（交并补）。
难度一般都很低。属于必得分题目。
考察概率：★★★★★
（2009•北京）设A 是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A 且k+1∉A，那么称k 是A 的
一个“孤立元”，给定S={1，2，3，4，5，6，7，8}，由S 的3 个元素构成的所有集合中，不含“孤立
元”的集合共有 个．
【考点】元素与集合关系的判断．菁优网版权所有
【专题】新定义；集合．
【分析】列举几个特殊的集合体会孤立元的意义是解本题的关键．
【解答】解：依题意可知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，因而无“孤立元”是指在集合中有与k 相
邻的元素．
因此，符合题意的集合是：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}
共6 个．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的
能力．属于创新题型．列举时要有一定的规律，可以从一端开始，做到不重不漏．
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秋·课改凌云班
LECTURE 2 函数三要素专题
（1）二元均值不等式：√𝒂𝟐+𝒃𝟐
𝟐
≥
𝒂+𝒃
𝟐≥√𝒂𝒃≥
𝟐
𝟏
𝒂+𝟏
𝒃
(𝒂>0, 𝒃>0 当且仅当𝒂=𝒃时取等号)
（2）均值定理：两个正数的乘积为常数，则两数相等时，它们的和取得最小值；两个正数的和为常数，则两数相
等时，它们的乘积取得最大值。
即已知a、b∈𝑅+：1）若ab=P，那么当a=b 时，a+b 取得最小值2√𝑝。
2）若a+b=S，那么当a=b 时，ab 取得最大值
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4 𝑆2。
利用均值不等式求最值必须满足三个条件，即“一正、二定、三相等”。
（3）利用均值不等式求两个正数和的最小值时，关键在与构造条件，使其积为常数。通常的做法是添加常数、凑
分母。求两个正数积的最大值也是有用类似的方法。
（4）“1”的代换：已知ax+by=c，求
𝑑
𝑥+
𝑒
𝑦的最小值；或者已知
𝑑
𝑥+
𝑒
𝑦=c，求ax+by 的最小值。（a,b,c,d,e 为正常
数，x，y>0）对于这类问题我们可以转化为（ax+by）（
𝑑
𝑥+
𝑒
𝑦）∙
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𝑐这种形式求最小值即可。
高考考点考情：
题型：一般为填空题，少数为选择
分值：5 分
考点：大概率考“1”的代换，肯定是要运用均值不等式，注意求最值的三个条件
考察概率：★★★★☆
精巧的论证常常不是一蹴而就的，而是人们长期切磋积累的成果。我也是慢慢学来的，而且还要继续不断的学
习。——阿贝尔
1．设实数x＞0，y＜0，且
，则2x+y 的取值范围是 （﹣
．
【分析】先由
得出
，并可结合已知条件求出x 的取值范围，然后将关系式代入2x+y 转化为x 的代
数式，利用基本不等式可求出2x+y 的取值范围．
【解答】解：由
，可得
，∵x＞0，y＜0，由
，可得0＜x＜1，则0＜1﹣x＜1，
所
以
，
＝
，
当且仅当
，即当
时，等号成立，
所以，2x+y 的取值范围是
．
故答案为：
．
【点评】本题考查利用基本不等式求代数式的取值范围，解决本题的关键在于将代数式进行转化，并进行灵活配
凑，考查计算能力与化简变形能力，属于中等题．
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秋·课改凌云班
LECTURE 3 函数的单调性
（1）分段函数：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则的函数。
（2）复合函数：如果y 是u 的函数，记作y=f(u),u 是x 的函数，记作u=g(x),且g(x)的值域与f(u)的定义域交集
非空，则通过u 确定了y 是x 的函数y=f[g(x)],这时y 叫做x 的复合函数，期中u 叫做中间变量，y= f(u)叫做外
层函数，u= g(x)叫做内层函数。
（3）常用求函数值域的方法：观察法、换元法、图像法、分离常数法。
（4）函数的表示方法：
列表法，图像法，解析式法
（5）求解析式的方法：
配凑法，换元法，待定系数法，方程组法
高考考点考情：
题型：选择题、填空题和大题都会涉及。
考点：函数的定义域，值域可能会考一个选择或者填空。然后大题中函数都是作为一个载体，结合奇偶性对称性
以及选修中的导数考察。
考察概率：★★★★★
近代最伟大的科学家爱因斯坦在谈成功的秘诀时，写下一个公式：A=x+y+z。并解释道：A 代表成功，x 代表
艰苦的劳动，y 代表正确的方法，Z 代表少说空话。 ----爱因斯坦
1、（2016•江苏）函数y=
的定义域是 ．
【考点】函数的定义域及其求法．菁优网版权所有
【分析】根据被开方数不小于0，构造不等式，解得答案．
【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0 得：x2+2x﹣3≤0，解得：x∈[﹣3，1]，
【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题．
2、（2013•山东）函数f（x）=
+
的定义域为（ ）
A．(-3,0]
B．(-3,1] C．(−∞,-3)∪(-3,0]
D．(−∞,-3)∪(-3,1]
【考点】函数的定义域及其求法．菁优网版权所有
【分析】从根式函数入手，根据负数不能开偶次方根及分母不为0 求解结果，然后取交集．
【解答】解：根据题意：
，
解得：﹣3＜x≤0 ∴定义域为（﹣3，0]
故选：A．
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LECTURE 4 函数的奇偶性
秋·课改凌云班
（1）判断函数单调性的方法：
定义法；
图像法；
简单函数单调性；
单调性的四则运算:增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减；
复合函数：“同增异减”。
（2）单调性的应用：
①利用函数单调性比较函数值的大小；
②利用函数单调性解不等式；
③利用函数单调性求最值。
高考考点考情：
题型：选择题、大题都会涉及。
分值： 5 分
考点：单调性在大题中的主要是结合导数的内容考察。高考中也会经常考待定系数法求解析式作为大题的第一问。
考察概率：★★★☆☆
（2003•北京）函数f（x）=|x|和g（x）=x（2﹣x）的递增区间依次是（ ）
A．（﹣∞，0]，（﹣∞，1] B．（﹣∞，0]，[1，+∞）
C．[0，+∞），（﹣∞，1]
D．[0，+∞），[1，+∞）
【考点】函数的单调性及单调区间．菁优网版权所有
【分析】函数f（x）=|x|去绝对值符号，转化为一次函数求单调性，函数g（x）=x（2﹣x）是二次函
数，利用配方法求函数的单调区间，注意开口方向．
【解答】解：f（x）=|x|=
，∴函数f（x）的递增区间是[0，+∞），
g（x）=x（2﹣x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，
对称轴是x=1，a=﹣1＜0
∴函数g（x）的单调递增区间为（﹣∞，1]．
故选：C．
【点评】考查基本初等函数的单调性，解有关绝对值的问题，去绝对值是关键，解二次函数的问题，
配方法首先，属基础题．
宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。
——华罗庚
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（1） 判断奇偶性的方法：
1)定义法：f(x)的定义域关于原点对称；偶函数：f(x)= f(-x)；奇函数f(x)=- f(-x)。
2)图像法：关于原点对称的函数是奇函数；关于y 轴对称的函数是偶函数
3)四则运算：
1°奇±奇=奇；偶±偶=偶
2°奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇
3°奇÷奇=偶；偶÷偶=偶；奇÷偶=奇；偶÷奇=奇。
（2）函数奇偶性的应用：
1)已知函数的奇偶性求参数 2)已知函数的奇偶性求函数解析式
3)构造奇偶函数求值
（3）奇偶性与单调性的关系
奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
高考考点考情：
题型：选择题为主
考点：不单独考察，高考更多考察的是奇偶函数的性质，
考察概率：★★★☆☆
秋·课改凌云班
LECTURE 5 抽象函数
在大多数学科里，一代人的建筑往往被另一代人所摧毁，一个人的创造被另一个人所破坏；唯独数学，每一代
人都在古老的大厦上添加一层楼。 ——汉克尔
（2017•北京）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（ ）
A．是偶函数，且在R 上是增函数
B．是奇函数，且在R 上是增函数
C．是偶函数，且在R 上是减函数
D．是奇函数，且在R 上是减函数
【考点】奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有
【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x 为增函数，y=（
）x 为减
函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案．
【解答】解：f（x）=3x﹣（
）x=3x﹣3
﹣x，
∴f（﹣x）=3
﹣x﹣3x=﹣f（x），
即函数f（x）为奇函数，
又由函数y=3x 为增函数，y=（
）x 为减函数，
故函数f（x）=3x﹣（）x 为增函数，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用。
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LECTURE 6 指数幂运算与指数函数
别把数学想象为硬梆梆的、死绞蛮缠的、令人讨厌的、有悖于常识的东西，它只不过是赋予常识以灵性的东西。
——开尔文
有理数指数幂的运算法则(a>0,b>0,r,s∈Q)
①𝑎𝑟∙𝑎𝑠=𝑎𝑟+𝑠; ②(𝑎𝑠)𝑟=𝑎𝑟𝑠= (𝑎𝑟)𝑠; ③(𝑎𝑏)𝑟=𝑎𝑟𝑏𝑟
无理数指数幂：一般的，当𝑎>0，𝑟是无理数时，𝑎𝑟都有意义，且有理指数幂的运算法则在无理数指
数幂中仍然成立。
指数函数：
概念：一般的，函数y=𝑎𝑥(𝑎> 0 且𝑎≠1)叫做指数函数，其中𝑥是自变量。
定义域：R;
值域：(0,+∞);
过定点：(0,1);
单调性：当𝑎> 1时，y=𝑎𝑥在R 上是增函数，当0<𝑎<1 时，y=𝑎𝑥在R 上是减函数。
高考考点考情
题型：选择题、填空题和大题都会涉及。
考点：指数函数的值域、定义域、单调性，以及大小性质。选择题可能会考察比较大小，在解答题
里也会涉及到。
考察概率：★★★★★
（2019•呼伦贝尔一模）已知2a＝3b＝6，则a，b 不可能满足的关系是（ ）
A．a+b＝ab
B．a+b＞4
C．（a﹣1）2+（b﹣1）2＜2
D．a2+b2＞8
解：∵2a＝3b＝6，
∴（2a）b＝6b，（3b）a＝6a，
∴2ab＝6b，3ba＝6a，
∴2ab•3ba＝6b•6a，
∴（6）ab＝6a+b，
∴ab＝a+b，则有ab＝a+b≥2√𝑎𝑏，
∵a≠b，
∴ab＞2√𝑎𝑏，
∴a+b＝ab＞4，
∴（a﹣1）2+（b﹣1）2＝a2+b2﹣2（a+b）+2＞2ab﹣2（a+b）+2＞2，
∵a2+b2＞2ab＞8，故C 错误。故选：C．
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秋·课改凌云班
LECTURE 7 对数运算与对数函数
（1） 抽象函数：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。
（2） 抽象函数的定义域：1）定义域都是指x 的范围。
2）f(□)是一种对应关系，所以 “□”的范围是一定的。
（3） 抽象函数的求值：1）取特殊值法
2）递推法
3）利用周期
（4） 抽象函数的奇偶性：
1）已知f(x)的定义域为R，且对任意实数x，y 满足f(xy)= f(x)+ f(y)，则f(x)是偶函数。
2）已知f(x)的定义域为R，且对任意实数x，y 满足f(x+y)= f(x)+ f(y)，则f(x)是奇函数。
3）已知f(x)定义是在R 上的不为零的函数，且对定义域内的任意x,y 满足f(x)=y f(x)+x f(y), 则f(x)是奇函数。
4）已知f(x)的定义域为R，且对任意实数x，y 满足f(x+y)+ f(x-y)=2 f(x) f(y)，且f(0)≠0，则f(x)是奇函数。
高考考点考情：
题型：选择题为主
考点：在解答题中会以条件的形式给出，研究抽象函数的性质。或在最后一问解不等式。
考察概率：★★★☆☆
在学习中要敢于做减法，就是减去前人已经解决的部分，看看还有那些问题没有解决，需要我们去探索解决
数学名言名句大全好词好句。 ----华罗庚
（2017•新课标Ⅰ）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1
≤f（x﹣2）≤1 的x 的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2]
B．[﹣1，1] C．[0，4]
D．[1，3]
【考点】抽象函数及其应用．菁优网版权所有
【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1 化为﹣1≤x﹣2≤1，解得
答案．
【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．
若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，
又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，
∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），
∴﹣1≤x﹣2≤1，
解得：x∈[1，3]，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性。
