目录
第11讲
空间角与空间
距离2
空间垂直关系
的判定与性质
第13讲 直线与圆位置
关系1
第15讲 期末复习1
第8 讲 空间平行关系
的判定与性质
第9 讲
第12讲 直线方程与圆
的方程
第10讲 空间角与空间
距离1
第14讲 直线与圆位置
关系2
11
04
17
23
01
14
07
20
参考答案
27
高一数学目标自招综评班预习宝典
1
第8 讲
空间平行关系的判定与性质
第8 讲
空间平行关系的判定与性质
本讲预习指南
本讲核心概念
一．立体几何中的集合语言：
我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可
以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系：
点A 在直线l 上，记作：A ∈l；点A 不在直线l 上，记作
；
点A 在平面α 内，记作：
；点A 不在平面α 内，记作A /∈α；
直线l 在平面α 内（即直线上每一个点都在平面α 内），记作l ⊂α；
直线l 不在平面α 内（即直线上存在不在平面α 内的点），记作l̸ ⊂α；
直线l 和m 相交于点A，记作
，简记为l ∩m = A；
平面α 与平面β 相交于直线a，记作
．
二．平面的三个公理：
1. 公理一：如果一条直线上的两点在同一个平面内, 那么
。
符号语言表述：A ∈l,B ∈l,A ∈α,B ∈α ⇒l ⊂α．
2. 公理二：
的三点确定一个平面．
符号语言表述：A,B,C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈α,B ∈α,C ∈α．
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2
第8 讲
空间平行关系的判定与性质
3. 公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且
只有一条
．
符号语言表述：A ∈α ∩β ⇒α ∩β = a,A ∈a．
如果两个平面有一条
，则称这两个平面相交，这条
叫做这两个平面的交线．
三．线面平行的判定与性质定理
1. 直线与平面平行的判定定理：如果
的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条
直线和这个平面平行．
符号语言表述：l̸ ⊂α,m ⊂α,l//m ⇒l//α．
2. 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，
平面和这个平面相交，
那么这条直线和两平面的交线平行．
符号语言表述：
l//α,l ⊂β,α ∩β = m ⇒l//m
检测题
1
在空间内，一定可以确定一个平面的是( )
①不共线的三点；
②四边形；
③梯形；
④三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交；
⑤有三个角为直角的四边形；
⑥不同的三个点；
⑦三条两两相交的直线，但不交于同一点．
A. ③④⑥
B. ①②③
C. ①③⑤
D. ①③⑦
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3
第8 讲
空间平行关系的判定与性质
2 若直线l 不平行于平面α，且l̸ ⊂α，则( )
A. α 内所有直线与l 异面
B. α 内不存在与l 平行的直线
C. α 内存在唯一的直线与l 平行
D. α 内的直线与l 都相交
3 如图所示的是四个正方体图形，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点，能得出
AB// 平面MNP 的图形的序号是( )
A. (1)(3)
B. (1)(4)
C. (2)(3)
D. (2)(4)
4 平面α 与△ABC 的两边AB，AC 分别交于点D，E，且AD : DB = AE : EC，如图，则BC 与平面α 的
位置关系是( )
A. 异面
B. 相交
C. 平行或相交
D. 平行
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4
第9 讲
空间垂直关系的判定与性质
第9 讲
空间垂直关系的判定与性质
本讲预习指南
本讲核心概念
线面垂直的判定定理
若一条直线和一个平面内的
直线垂直，则这条直线垂直于这个平面．
符号语言表述：a⊥m，a⊥n，m∩n = A，m ⊂α，n ⊂α⇒a⊥α．
推论：a//b，a⊥α⇒b⊥α．
线面垂直的性质定理
若两条直线垂直于
，则这两条直线平行．
符号语言表述：a⊥α，b⊥α⇒a//b．
面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的
，则两个平面互相垂直．
符号语言：m ⊂β, m⊥α ⇒β⊥α.
面面垂直的性质定理：
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于
的直线垂直于另一个平面．
符号语言：α⊥β, α ∩β = l, m ⊂β, m⊥l ⇒m⊥α.
其它性质：
（1）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面
的平面垂直于另一个平面.
（2）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的
垂直于第三个平面.
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5
第9 讲
空间垂直关系的判定与性质
检测题
1
下列条件中，能判定直线l⊥平面α 的是( )
A. l 与平面α 内的两条直线垂直
B. l 与平面α 内无数条直线垂直
C. l 与平面α 内的某一条直线垂直
D. l 与平面α 内任意一条直线垂直
2 已知l，m，n 是三条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则α⊥β 的一个充分条件是( )
A. l ⊂α，m ⊂β，且l⊥m
B. l ⊂α，m ⊂β，n ⊂β，且l⊥m，l⊥n
C. m ⊂α，n ⊂β，m//n，且l⊥m
D. l ⊂α，l//m，且m⊥β
3 如图，已知四边形ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD，下列结论中不一定正确的是( )
A. PD⊥CD
B. BD⊥平面PAO
C. PB⊥CB
D. BC// 平面PAD
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6
第9 讲
空间垂直关系的判定与性质
4 已知互相垂直的平面α，β 相交于直线l，若直线m，n 满足m//α，n⊥β，则( )
A. m//l
B. m//n
C. n⊥l
D. m⊥n
5 如图，在四边形ABCD 中，AD//BC，AD = AB，∠BCD = 45◦，∠BAD = 90◦．将△ADB 沿BD 折起，使
CD⊥平面ABD，构成三棱锥A−BCD．则在三棱锥A−BCD 中，下列结论正确的是( )
A. AD⊥平面BCD
B. AB⊥平面BCD
C. 平面BCD⊥平面ABC
D. 平面ADC⊥平面ABC
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7
第10 讲
空间角与空间距离1
第10 讲
空间角与空间距离1
本讲预习指南
本讲核心概念
空间角，包括直线和直线所成的角、直线和平面所成的角、平面和平面所成的角，这些角都可以用平
面角来度量，所以求空间角的关键是求相应的平面角．
异面直线所成夹角
（1）异面直线所成的角的概念：过空间一点作两异面直线的
，得到两条相交直线，这两
条相交直线成的直角或锐角叫做两异面直线所成的角．
（2）异面直线所成角的范围：
．
（3）异面直线所成角的求法：
基本步骤：①作（平移构造角）；②证明（异面直线所成的角或其补角）；③求值；④结论（取舍）．
策略：①通过作图（结合中位线、等分线、平行四边形等）来构造平行线，作出异面直线所成的角，通
过解三角形来求解．
②补形平移.
直线与平面所成夹角
一、定义
（1）平面的斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，
斜线与平面的交点叫做斜足，
（2）斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引
，过
的直线
叫做斜线在这个平面上的射影．
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8
第10 讲
空间角与空间距离1
（3）斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的
角，叫做这条直
线和这个平面所成的角. 直线与平面所成角β 的范围是
.
二、常见求解思路：
（1）作：在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步，确定垂足的位置是关键；
（2）证：根据定义证明所找到的角为直线与平面所成的角；
（3）求：将角放在三角形中求解.
注：在上述步骤中，作角是关键，而确定斜线在平面内的射影尤其关键. 有时几何图形的特征与图形
中的特殊点是突破口.
二面角
1. 概念
（1）半平面：平面内一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.
（2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的
，这两个半平面叫做二面角的
．通常记作α-l-β．
2．二面角的平面角：在二面角α-l-β 的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α 和β 内
分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角. 二面角的
大小即可用它的
来度量.
3．二面角的范围：
检测题
1
正方体ABCD−A1B1C1D1 中，对角线AC1 与底面ABCD 所成角的正切值等于( )
A. 1
B.
√
2
C.
√
2
2
D.
√
3
3
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9
第10 讲
空间角与空间距离1
2 已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2 倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为
．
3 如图，在棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1D1 中，E 是BC1 的中点，则直线DE 与平面ABCD 所成
角的正切值为
．
4 已知长方体ABCD−A1B1C1D1 中，AB = BC = 4，CC1 = 2，则直线BC1 和平面DBB1D1 所成角的正弦
值为
．
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10
第10 讲
空间角与空间距离1
5 在正方体ABCD−A1B1C1D1 中，二面角A−BD−A1 的大小为
．
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11
第11 讲
空间角与空间距离2
第11 讲
空间角与空间距离2
本讲预习指南
本讲核心概念
一、求点线距离的常用方法：
直接法：直接由点向直线作
，然后在三角形中利用等面积法求解.
二、求点面距离的常用方法：
（1）直接定义法：找到（或作出）表示距离的线段，解线段所在的三角形.
（2）利用两平面互相垂直的性质：如果已知点在已知平面的
上，则已知点到两平面交线
的距离就是所求的点面距离.
三、求线到面、面到面距离的方法：
1. 线到面的距离：在直线上任取一点，转化为
的距离.
2. 面到面的距离：同线面距离，转化为
的距离.
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12
第11 讲
空间角与空间距离2
检测题
1
若正四棱柱ABCD−A1B1C1D1 的底面边长为1，AB1 与底面ABCD 成60◦角，则A1C1 到底面ABCD
的距离为( )
A.
√
3
3
B. 1
C.
√
2
D.
√
3
2 如图，在棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1D1 中，异面直线AA1 和B1C 的距离为
．
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13
第11 讲
空间角与空间距离2
3 线段AB 的两个端点到平面α 的距离分别为16 和4，则线段AB 中点P 到平面α 的距离为
．
4 如图，梯形ABCD 中，AD//BC，∠ABC = π
2 ，AB = a，PA⊥平面ABCD，PA = a．则点A 到平面PBC 的
距离是
．
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14
第12 讲
直线方程与圆的方程
第12 讲
直线方程与圆的方程
本讲预习指南
本讲核心概念
一、异面直线的距离：
和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成
的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.
叫做这两条异面直线的距离. 任意两条异面直线
有且只有一条公垂线，且异面直线间的距离为连接两条异面直线上任意两点所得线段的长度的最小值．
二、直线的方程
定义：如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上的点的坐标
，那么
这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.
直线方程的五种形式
1. 斜截式方程：y = kx+b.
说明：k 是斜率，b 是直线在y 轴上的截距.
适用范围：直线不垂直于x 轴；当k 不存在时，直线为y 轴，即x = 0.
2. 点斜式方程：y−y0 = k(x−x0).
说明：k 是斜率，(x0, y0) 是直线上一定点.
适用范围：直线不垂直于x 轴；当k 不存在时，直线方程为x = x0.
3. 两点式方程：y−y1
y2 −y1
= x−x1
x2 −x1
(x1̸ = x2,y1̸ = y2).
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15
第12 讲
直线方程与圆的方程
说明：(x1, y1)，(x2, y2) 是直线上的两个定点(x1̸ = x2,y1̸ = y2).
适用范围：直线不垂直于x 轴、y 轴；当x1 = x2 时，直线方程为x = x1；当y1 = y2 时，直线方程为
y = y1.
4. 截距式方程：x
a + y
b = 1(a̸ = 0,b̸ = 0).
说明：a，b 分别是x 轴、y 轴上的非零截距.
适用范围：直线不垂直于x 轴、y 轴，且不过原点；当a = b = 0 时，直线过原点，直线方程为y = kx.
5. 一般式方程：Ax+By+C = 0
(
A2 +B2̸ = 0
)
.
说明：A，B 不同时为0.
适用范围：平面直角坐标系内的直线都适用.
三、圆的标准方程：
以点C(a,b) 为圆心，r 为半径的圆的方程：(x−a)2 +(y−b)2 = r2，
特别地，圆心在原点的圆的标准方程：x2 +y2 = r2，
圆的一般方程：
x2 +y2 +Dx+Ey+F = 0（D2 +E2 −4F > 0）.
检测题
1
过点(0,1) 且与直线x−2y+1 = 0 垂直的直线方程是( )
A. 2x+y−1 = 0
B. 2x+y+1 = 0
C. x−2y+2 = 0
D. x−2y−1 = 0
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16
第12 讲
直线方程与圆的方程
2 已知直线l 过点P(3,4) 且与点A(−2,2)，B(4,−2) 等距离，则直线l 的方程为
．
3 圆x2 +y2 −2x+4y = 0 的圆心到直线3x+4y−5 = 0 的距离等于
．
4 经过原点且与直线x+y−2 = 0 相切于点(2,0) 的圆的标准方程是( )
A. (x−1)2 +(y+1)2 = 2
B. (x+1)2 +(y−1)2 = 2
C. (x−1)2 +(y+1)2 = 4
D. (x+1)2 +(y−1)2 = 4
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17
第13 讲
直线与圆位置关系1
第13 讲
直线与圆位置关系1
本讲预习指南
本讲核心概念
1．两条直线的位置关系（斜截式）：
l1 : y = k1x+b1，l2 : y = k2x+b2
⑴两条直线相交、平行与重合条件：
①相交的条件：
②平行的条件：k1 = k2 且b1̸ = b2
③重合的条件：k1 = k2，b1 = b2
⑵两条直线垂直的条件：
2．两条直线的位置关系（一般式）：
l1 : A1x+B1y+C1 = 0
(
A2
1 +B2
1̸ = 0
)
，l2 : A2x+B2y+C2 = 0
(
A2
2 +B2
2̸ = 0
)
⑴两条直线相交、平行与重合条件：
①相交的条件：
（当A2B2̸ = 0 时，记为A1
A2̸
= B1
B2
）
②平行的条件：A1B2 −A2B1 = 0 且B1C2 −C1B2̸ = 0（当A2B2C2̸ = 0 时，记为A1
A2
= B1
B2̸
= C1
C2
）
③重合的条件：A1B2 −A2B1 = 0 且B1C2 −C1B2 = 0（当A2B2C2̸ = 0 时，记为A1
A2
= B1
B2
= C1
C2
）
⑵两条直线垂直的条件：A1A2 +B1B2 = 0（当B1B2̸ = 0 时，记为A1
B1
· A2
B2
= −1）
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18
第13 讲
直线与圆位置关系1
3．两条直线的夹角求解公式
(1) 若直线l1 与直线l2 的夹角为θ，则有tanθ =
k2 −k1
1+k1k2
，其中k1, k2 分别为两直线的斜率
(2) 当直线l1⊥l2 时，直线l1 与l2 的夹角是
4．距离公式
(1) 两点间距离公式
平面内两点P1 (x1, y1)，P2 (x2, y2) 间的距离公式为d =
√
(x1 −x2)2 +(y1 −y2)2
(2) 点到直线的距离公式
点P(x0, y0) 到直线Ax+By+C = 0（A, B 不同时为0）的距离为d = |Ax0 +By0 +C|
√
A2 +B2
(3) 两条平行直线间的距离公式
两条平行直线Ax+By+C1 = 0 和Ax+By+C2 = 0（C1̸ = C2）间的距离为d = |C1 −C2|
√
A2 +B2
检测题
1
直线θ = α 和直线ρ sin(θ −α) = 1 的位置关系为
．
2 判断直线l1：x−2y+1 = 0 与直线l2：2x−2y+3 = 0 的位置关系，如果相交，求出交点坐标．
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19
第13 讲
直线与圆位置关系1
3 已知直线3x+4y−3 = 0 与6x+my+14 = 0 平行，则它们之间的距离是
．
4 已知两条平行直线3x+4y−6 = 0 和3x+4y+a = 0 之间的距离等于2，则实数a 的值为( )
A. −1
B. 4
C. 4 或−16
D. −16
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20
第14 讲
直线与圆位置关系2
第14 讲
直线与圆位置关系2
本讲预习指南
本讲核心概念
点与圆的位置关系
设P(x0,y0) 与圆(x−a)2 +(y−b)2 = r2，若P 到圆心之距为d，则
①P 在圆C 外，则
即(x0 −a)2 +(y0 −b)2 > r2；
②P 在圆C 内，则
即(x0 −a)2 +(y0 −b)2 < r2；
③P 在圆C 上，则
即(x0 −a)2 +(y0 −b)2 = r2．
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系共分三类：
，
，
。
判定直线与圆的位置关系的两种常见思路：
1. 代数法：判断直线Ax+By+C = 0 和圆x2 +y2 +Dx+Ey+F = 0 的位置关系，
可联立
Ax+By+C = 0
x2 +y2 +Dx+Ey+F = 0
消去y（或x），得mx2 +nx+ p = 0（或my2 +ny+ p = 0）．
当∆> 0 时，直线与圆相交，有两个公共点；
当∆= 0 时，直线与圆相切，有一个公共点；
当∆< 0 时，直线与圆相离，无公共点．
2. 几何法：已知直线Ax + By +C = 0 和圆(x−a)2 + (y−b)2 = r2，可用圆心到直线的距离d =
|Aa+Bb+C|
√
A2 +B2
与r 的大小关系判断直线与圆的位置关系．
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21
第14 讲
直线与圆位置关系2
当d < r 时，直线与圆相交，有两个公共点；
当d = r 时，直线与圆相切，有一个公共点；
当d > r 时，直线与圆相离，无公共点.
特别地，当直线过定点时，定点在圆内时，那么直线必与圆相交。而定点在圆上时，那么直线可以与圆
相交也可以相切，定点在圆外时，直线和圆的位置关系可以是任意一种。
检测题
1
求点A(2,0) 到圆C：x2 +y2 = 1 的距离的最大值和最小值．
2 以下各点在圆(x−4)2 +y2 = 4 内的是( )
A. (0,1)
B. (1,0)
C. (3,1)
D. (1,3)
3 已知圆的方程为：(x−1)2 +y2 = 1，则斜率为3 且与圆相切直线的方程为
．
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22
第14 讲
直线与圆位置关系2
4 已知点P 是直线x+y−2 = 0 上的动点，点Q 是圆x2 +y2 = 1 上的动点，则线段PQ 长的最小值为
( )
A.
√
2−1
B. 1
C.
√
2+1
D. 2
5 已知圆A : x2 +y2 = 1，圆B : (x−t +4)2 +(y−at +2)2 = 1(t ∈R)，且圆A 与圆B 存在公共点，则圆A
与直线l : x+y = a 的位置关系是( )
A. 相切
B. 相离
C. 相交
D. 相切或相交
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23
第15 讲
期末复习1
第15 讲
期末复习1
本讲预习指南
本讲核心概念
正四面体
定义：四个面都是
的四面体叫做正四面体．
相比正方形，正四面体除了仍然保持了非常好的对称性之外，还体现了面与面之间的
.
因此，如何快速求出正四面体的各种量，是我们必须掌握的.
直线系方程
具有某一个共同属性的一簇直线称为直线系，其方程称为直线系方程. 直线系方程通常含有
个独立参数，常见的直线系方程有如下四类：
1. 定点直线系：
过定点P(x0,y0) 的直线系方程为l：y−y0 = k(x−x0)（除直线x = x0）或l：A(x−x0)+B(y−y0) = 0．
2. 交点直线系：
l1：A1x + B1y +C1 = 0，l2：A2x + B2y +C2 = 0，过l1 与l2 的交点的直线系方程为A1x + B1y +C1 +
λ (A2x+B2y+C2) = 0（除直线A2x+B2y+C2 = 0）．
3. 平行直线系：
与直线y = k0x+b0 平行的直线系方程为y = k0x+b(b̸ = b0)；
与直线A0x+B0y+C0 = 0 平行的直线系方程为A0x+B0y+C = 0(C̸ = C0)．
4. 垂直直线系：
与直线y = k0x+b0 垂直的直线系方程为y = −1
k0
x+b(k0̸ = 0)；
与直线A0x+B0y+C0 = 0 垂直的直线系方程为B0x−A0y+C = 0．
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24
第15 讲
期末复习1
圆系方程
常见的圆系方程有如下四种：
1. 共圆心C(x0,y0) 的圆系方程：(x−x0)2 +(y−y0)2 = R2
2. 圆心都在直线Ax+By+C = 0 上，半径为R 的圆系方程：(x−x0)2 +(y−y0)2 = R2 且满足
Ax0 +By0 +C = 0
3. 过圆C : x2 +y2 +Dx+Ey+F = 0 与直线l : Ax+By+C = 0 两交点A、B 的圆系方程：
x2 +y2 +Dx+Ey+F +λ (Ax+By+C) = 0
4. 过圆C1 : x2 +y2 +D1x+E1y+F1 = 0 与圆C2 : x2 +y2 +D2x+E2y+F2 = 0 两交点A、B 的圆系方
程：x2 +y2 +D1x+E1y+F1 +λ
(
x2 +y2 +D2x+E2y+F2
)
= 0（不含圆C2 : x2 +y2 +D2x+E2y+F2 = 0）.
注意：这里λ̸ = −1，当λ = −1 时，所得方程是两圆公共弦所在的直线方程.
检测题
1
在正方体ABCD−A1B1C1D1 中，如果动点P 在线段AA1 上，动点Q 在正方形BCC1B1 的四条边上，
那么，对于任何一条直线PQ，在平面ABCD 上，总存在相应的一条直线，使得该直线与直线PQ( )
A. 平行
B. 异面
C. 相交
D. 垂直
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25
第15 讲
期末复习1
2 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1 中，AB = BC = 2，AA1 =
√
3，M 为A1D1 的中点，P 为底面四边形
ABCD(包括边界) 内的动点，且满足|PM| = |PC|，则点P 的轨迹的长度为( )
A.
√
3
B. 3
C. 2π
3
D.
√
5
3 如图所示，在正四面体A −BCD 中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，BP +PE 的最小值为
√
7，则该正四面体的外接球的体积是( )
A.
√
6π
B. 6π
C. 3
√
6
32 π
D. 3
2π
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26
第15 讲
期末复习1
4 台风中心从A 地以每小时20km 的速度向东北方向移动，离台风中心30km 内的地区为危险区，城市
B 在A 的正东40km 处，B 城市处于危险区内的时间为( )
A. 0.5h
B. 1h
C. 1.5h
D. 2h
5 设θ = [0,2π)，若圆(x−cosθ)2 +(y−sinθ)2 = r2 (r > 0) 与直线2x−y−10 = 0 有交点，则r 的最小
值为
．
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27
检测题参考答案
检测题参考答案
第8 讲
空间平行关系的判定与性质
1
D
【解析】可以确定平面的条件有：
1、不共线的三点确定一个平面；
2、直线和直线外一点确定一个平面；
3、两条相交直线确定一个平面；
4、两条平行直线确定一个平面．
综上所述，答案选择：D．
2
B
【解析】解：α 内与l 相交的直线在同一面内，故A 选项错误．直线l 与面相交的点，过此点的所有
直线均与l 相交，平面内其他的线则不与其相交，故C，D 项说法错误．若α 内存在与l 平行的直
线，则根据线面平行的判定定理可知l 与面a 平行，已知直线l 不平行于平面α，故α 内不存在与
l 平行的直线，B 项说法正确．故选B．
3
B
【解析】略
4
D
【解析】证明：∵AD : DB = AE : EC，
∴DE//BC，
∵DE ⊂平面α，BC̸ ⊂平面α，
∴BC// 平面α．
故选：D．
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28
检测题参考答案
第9 讲
空间垂直关系的判定与性质
1
D
【解析】由直线与平面垂直的定义，可知D 正确．
2
D
【解析】对于A，如图(1)，满足l ⊂α，m ⊂β，且l⊥m，但α，β 可以不垂直；
对于B，如图(2)，满足l ⊂α，m ⊂β，n ⊂β，且l⊥m，l⊥n，但α，β 可以不垂直；
对于C，当m ⊂α，n ⊂β，m//n，且l⊥m 时，直线l 没有确定，则α，β 的关系也不能确定；
对于D，l ⊂α，l//m，且m⊥β，则必有l⊥β，根据面面垂直的判定定理知，α⊥β．
综上所述，α⊥β 的一个充分条件是D．
3
B
【解析】对于A，CD⊥AD，CD⊥PA，AD ∩PA = A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，正确；对于B，
BD⊥PA，当BD⊥AO 时，BD⊥平面PAO，不正确；对于C，CB⊥AB，CB⊥PA，AB∩PA = A，∴CB⊥平
面PAB，∴CB⊥PB，正确；对于D，BC//AD，BC̸ ⊂平面PAD，AD ⊂平面PAD，∴BC// 平面PAD，正确．
故选B．
4
C
【解析】解：∵互相垂直的平面α，β 相交于直线l，直线m，n 满足m//α，n⊥β，
∴m//β 或m ⊂β 或m 与β 相交，l ⊂β，
∵n⊥β，
∴n⊥l．
故选：C．
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29
检测题参考答案
5
D
【解析】∵在四边形ABCD 中，AD//BC，AD = AB，∠BCD = 45◦，∠BAD = 90◦，∴BD⊥CD，∵CD⊥
平面ABD，∴CD⊥AB，又AD⊥AB，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC．故选D．
第10 讲
空间角与空间距离1
1
C
【解析】解：如图设正方体棱长为1，连接AC．
根据正方体的性质，可得AC 是AC1 在底面ABCD 上的射影，∠C1AC 为对角线AC1 与底面ABCD
所成角．
在Rt△C1AC 中，tan∠C1AC = C1C
AC = 1
√
2
=
√
2
2 ，
故选：C．
2
√
3
6
【解析】解：正三棱锥的侧棱长是底面边长的2 倍，
如图，
设底面边长为BC = a，
则侧棱长为AC = 2a，
顶点A 在下底面的射影为O 点．
利用勾股定理求得DE =
√
3a
2 ，
进一步求得OD =
√
3
3 a，
在Rt△AOD 中，cos∠ADO =
√
3
3 a
2a
=
√
3
6 ．
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30
检测题参考答案
3
√
5
5
【解析】解：过E 作EF⊥BC，交BC 于F，连接DF．
∵EF⊥BC，CC1⊥BC，
∴EF//CC1，
而CC1⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，
∴∠EDF 是直线DE 与平面ABCD 所成角，
由题意，得EF = 1
2CC1 = 1．
∵CF = 1
2CB = 1，
∴DF =
√
5．
∵EF⊥DF，
∴tan∠EDF = EF
DF =
√
5
5 ．
故答案为
√
5
5 ．
4
√
10
5
【解析】解：由题意，连接A1C1，交B1D1 于点O，
∵长方体ABCD−A1B1C1D1 中，AB = BC = 4，
∴C1O⊥B1D1，
∴C1O⊥平面DBB1D1 ，
在Rt△BOC1 中，OC1 = 2
√
2，BC1 = 2
√
5，
∴直线BC1 和平面DBB1D1 所成角的正弦值为
√
10
5 ．
故答案为：
√
10
5 ．
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31
检测题参考答案
5
arctan
√
2
【解析】解：连接AC 交BD 于点O，连接A1O．
∵正方体ABCD−A1B1C1D1，
∴AO⊥BD，BO = DO，
∵A1B = A1D，
∴A1O⊥BD，
∴∠A1OA 为二面角A−BD−A1 的平面角．设正方体的棱长为a，则AA1 = a，AO =
√
2
2 a，
∴tan∠A1OA = AA1
AO =
a
√
2
2 a
=
√
2，
∴二面角A−BD−A1 的大小为arctan
√
2．
第11 讲
空间角与空间距离2
1
D
【解析】解：∵正四棱柱ABCD−A1B1C1D1，AB1 与底面ABCD 成60◦角，
∴∠BAB1 = 60◦，
∵正四棱柱ABCD−A1B1C1D1 的底面边长为1，
∴BB1 =
√
3．
∵A1C1// 底面ABCD，
∴AA1 即为A1C1 到底面ABCD 的距离．
∵AA1 = BB1 =
√
3，
∴A1C1 到底面ABCD 的距离为
√
3．
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32
检测题参考答案
2
2
【解析】解：∵正方体ABCD−A1B1C1D1，
∴A1B1⊥平面BCC1B1，
∴A1B1⊥B1C．
∵A1B1⊥AA1，A1B1 ∩AA1 = A1，A1B1 ∩B1C = B1，
∴A1B1 为异面直线AA1 和B1C 的距离，
∴异面直线AA1 和B1C 的距离为2．
3
6 或10
【解析】解：当A、B 两点在平面α 的同侧时，线段AB 中点P 到平面α 的距离为16+4
2
= 10；当
A、B 两点在平面α 的异侧时，线段AB 中点P 到平面α 的距离为16−4
2
= 6．综上，线段AB 中点
P 到平面α 的距离为6 或10．
4
√
2
2 a
【解析】如图，过点A 作AH⊥PB 于H，由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BC．
又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，
∴AH⊥平面PBC，即AH 的长为点A 到平面PBC 的距离．
在等腰Rt△PAB 中，AH =
√
2
2 a．
∴点A 到平面PBC 的距离是
√
2
2 a．
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33
检测题参考答案
第12 讲
直线方程与圆的方程
1
A
【解析】解：选A．∵直线与x−2y+1 = 0 垂直，
∴可设2x+y+c = 0，代入点(0,1)，即2x+y−1 = 0．
2
2x+3y−18 = 0 或2x−y−2 = 0
【解析】解：设所求直线方程为y−4 = k(x−3)，
即kx−y+4−3k = 0，
由已知，得|−2k −2+4−3k|
√
1+k2
= |4k +2+4−3k|
√
1+k2
，
∴k = 2 或k = −2
3．
故直线l 的方程为2x+3y−18 = 0 或2x−y−2 = 0．
3
2
【解析】解：圆心为(1,−2)，
∴d = |3×1+4×(−2)−5|
√
32 +42
= 10
5 = 2．
4
A
【解析】解：设圆心的坐标为(a,b)，
则a2 +b2 = r2①，
(a−2)2 +b2 = r2②，
b
a−2 = 1③．
解①②③组成的方程组，得a = 1，b = −1，r2 = 2，
∴方程为(x−1)2 +(y+1)2 = 2，故选A．
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34
检测题参考答案
第13 讲
直线与圆位置关系1
1
平行
【解析】解：直线θ = α ⇔y = xtanα；直线ρ sin(θ −α) = 1⇔y = xtanα +
1
cosα ，
所以两直线平行．
2
见解析
【解析】解方程组
x−2y+1 = 0
2x−2y+3 = 0
得x = −2,y = −1
2，
∴直线l1 与l2 相交，交点坐标是
(
−2,−1
2
)
．
3
2
【解析】解：由题意知，3
6 = 4
m，解得m = 8，
所以直线方程为6x+8y+14 = 0，
即3x+4y+7 = 0，所以两平行直线之间的距离d = |−3−7|
√
32 +42 = 2．
4
C
【解析】解：两条平行直线之间的距离为d = |−6−a|
√
32 +42 = |−6−a|
5
= 2，
故a = 4 或a = −16，
故选C．
第14 讲
直线与圆位置关系2
1
最大值为d +r = 3，最小值为d −r = 1
【解析】解：d = AC = 2，故距离的最大值为d +r = 3，最小值为d −r = 1．
2
C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
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35
检测题参考答案
选项A，对于(0,1)，有(0−4)2 +12 = 17 > 4，点在圆外，不符合题意；
选项B，对于(1,0)，有(1−4)2 +02 = 9 > 4，点在圆外，不符合题意；
选项C，对于(3,1)，有(3−4)2 +12 = 2 < 4，点在圆内，符合题意；
选项D，对于(1,3)，有(1−4)2 +32 = 18 > 4，点在圆外，不符合题意．
故选：C．
3
y = 3x−3+
√
10 或y = 3x−3−
√
10
【解析】根据题意，设所求直线的方程为y = 3x+m，即3x−y+m = 0，
若与圆(x−1)2 +y2 = 1 相切，则有|3+m|
√1+9 = 1，解得m = −3±
√
10，
即所求直线的方程为y = 3x−3+
√
10 或y = 3x−3−
√
10．
故答案为：y = 3x−3+
√
10 或y = 3x−3−
√
10．
4
A
【解析】解：根据题意，圆x2 +y2 = 1 的圆心为(0,0)，半径r = 1，
圆心(0,0) 到直线x+y−2 = 0 的距离d = |2|
√
2
=
√
2，
则线段PQ 长的最小值为
√
2−1．
故选：A．
5
C
【解析】解：根据题意，圆A : x2 +y2 = 1，圆心A(0,0)，半径为1，
圆B : (x−t +4)2+(y−at +2)2 = 1，圆心B(t −4,at −2)，半径为1，其圆心B 在直线ax−y+4a−2 =
0 上，
若两圆有公共点，则必有圆心A 到直线ax−y+4a−2 = 0 的距离d = |4a−2|
√
1+a2 ⩽2，
变形可得：0 ⩽a ⩽4
3，
圆A 的圆心A 到直线l : x+y = a 的距离d′ = |a|
√
2
，
又由0 ⩽a ⩽4
3，则有d′ = |a|
√
2
< 1，
则圆A 与直线l : x+y = a 相交．
故选：C．
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检测题参考答案
第15 讲
期末复习1
1
D
【解析】解：直线PQ 在平面ABCD 上的射影为AR，在平面ABCD 内总存在直线垂直于AR，根据
三垂线定理可得垂直于射影AR 的直线必定与斜线PQ 垂直．
2
D
【解析】解：取AB 的中点E，AD 的中点N，MC 在底面的投影为NC，
设P 到AD 的距离为x，到AB 的距离为y，
|PM| =
√
x2 +(y−1)2 +3，
|PC| =
√
(2−x)2 +(2−y)2，
∵|PM| = |PC|，
∴y = 2−2x，
∴如图所示，点P 的轨迹为DE，
DE =
√
5．
故选：D．
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37
检测题参考答案
3
A
【解析】解：将侧面△ABC 和△ACD 展成平面图形，如图所示：
设正四面体的棱长为a，
则BP+PE 的最小值为BE =
√
a2 + a2
4 −2a· 1
2acos120◦=
√
7
2 a =
√
7，
∴a = 2．
所以正四面体A−BCD 的棱长为2，
外接球的半径R =
√
6
4 a =
√
6
2 ，
外接球的体积V = 4
3πR3 =
√
6π．
故选：A．
4
B
【解析】如图所示，以A 地为原点，正东方向为x 轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(40,0)．
设台风的移动方向是射线OC，
则射线OC 的方程是y = x(x ⩾0)，
以B 为圆心，30 为半径的圆与射线OC 交于M 和N 两点，
则当台风中心在线段MN 上移动时，B 城市处于危险区内．
点B 到直线OC 的距离是20
√
2，
则有|MN| = 2
√
302 −
(
20
√
2
)2
= 20(km)，
∴B 城市处于危险区内的时间为20
20 = 1(h)．
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38
检测题参考答案
5
2
√
5−1
【解析】解：若圆(x−cosθ)2 + (y−sinθ)2 = r2 (r > 0) 与直线2x −y −10 = 0 有交点，即点
(cosθ,sinθ) 到直线2x −y −10 = 0 的距离小于等于r，而点(cosθ,sinθ) 在单位圆上，原点(0,0)
到直线2x−y−10 = 0 的距离为2
√
5，
∴r 的最小值为2
√
5−1．
5519092614308
