目录
第8 讲
空间平行关系的判定与性质··············1
第9 讲
空间垂直关系的判定与性质·············13
第10 讲
空间角与空间距离1···················23
第11 讲
空间角与空间距离2···················35
第12 讲
直线方程与圆的方程···················47
第13 讲
直线与圆位置关系1···················57
第14 讲
直线与圆位置关系2···················67
第15 讲
期末复习1·····························79
第
讲
8
1
空间平行关系的判定与性质
Part 1
空间点、线、面之间的位置
关系
Part 2
直线、平面平行的判定与
性质
2
Part 1
空间点、线、面之间的位置关系
知识点睛
一．平面三公理：
1. 公理一：如果一条直线上的两点在同一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
2. 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
3. 公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．
二．平面基本性质的推论：
推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
三．共面与异面直线：
共面直线：空间中几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们共面. 如果两条直线共面，那么它们平行
或者相交.
异面直线：若两直线既不相交又不平行，则称之为异面直线. 一般地，与一平面相交于一点的直线与这个平面内不
经过交点的直线是异面直线.
第8 讲
3
精讲精练
【例1】
给出下列判断，其中正确的是( )
A. 三点唯一确定一个平面
B. 一条直线和一个点唯一确定一个平面
C. 两条平行线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内
D. 两两相交的三条直线确定一个平面
【例2】
如图，G，H，M，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN 是异面直线的图形有
．(填序号)
【例3】不重合的三个平面把空间分成n 部分，则n 的值可能为
．
4
知识点睛
四．立体几何中的集合语言：
五. 平行公理
平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
第8 讲
5
精讲精练
【例4】
（1）已知△ABC 在平面α 外，AB∩α = P，AC ∩α = Q，BC ∩α = R．求证：P，Q，R 三点共线．
（2）已知α，β，γ 是三个平面，且α ∩β = c，β ∩γ = a，α ∩γ = b，且a∩b = O．求证：a，b，c 三线共点．
6
【例5】
如图，直线a,b 是异面直线，A,B,C 为直线a 上三点，D,E,F 是直线b 上三点，A′,B′,C′,D′,E′ 分别为AD,DB,BE,EC,CF
的中点．求证：点A′,B′,C′,D′,E′ 共面．
第8 讲
7
Part 2
直线、平面平行的判定与性质
知识点睛
线面平行的判定与性质
1．直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个
平面平行．
符号语言表述：l̸ ⊂α,m ⊂α,l//m ⇒l//α．
图象语言表述：如下图．
2．直线与平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行．
符号语言表述：l//α,l ⊂β,α ∩β = m ⇒l//m．
图象语言表述：如下图．
8
精讲精练
【例6】
如图所示，四棱锥P−ABCD 中，AB//CD，CD = 2AB，M 为PC 的中点．求证：BM// 平面PAD．
【例7】
如图，长方体ABCD−A1B1C1D1 中，AB = AD = 3，AA1 = 2，E 是CD 上一点，CE = 1，平面AEB1 交棱CC1 于点M，
则CM 的长为
，P 是AA1 上一点，且DP// 平面AEB1，则AP 的长为
．
第8 讲
9
知识点睛
面面平行的判定与性质
1．两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．如图所
示．
符号语言表述：a ⊂α,b ⊂α,a∩b = A,a//β,b//β ⇒α//β．
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．
2．两个平面平行的性质定理：
①如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．如图所示．
符号语言表述：α//β,α ∩γ = a,β ∩γ = b ⇒a//b．
②由平面与平面平行的性质可推导出直线与平面平行：
（1）直线在一平面内，由两平面平行推得线面平行.
符号语言表述：α//β, a ⊂β ⇒a //α．
（2）直线在两平行平面外，且与其中一平面平行，则这条直线与另一平面平行.
符号语言表述：a̸ ⊂α, a̸ ⊂β, α//β, a //β ⇒a //α．
③其它性质：
（1）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.
（2）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
10
线线平行⇒线面平行：l//m，l̸ ⊂α，m ⊂α ⇒l//α
线面平行⇒线线平行：l//α，l ⊂β，α ∩β = m ⇒l//m
线面平行⇒面面平行：
l//β,m//β
l ∩m = P
l ⊂α,m ⊂α,l̸ ⊂β,m̸ ⊂β
⇒α//β
面面平行⇒线面平行：α//β,l ⊂α ⇒l//β
线线平行⇒面面平行：
l1//l2,m1//m2
l1 ∩m1 = P,l2 ∩m2 = Q
l1 ⊂α,m1 ⊂α,l2 ⊂β,m2 ⊂β
⇒α//β
面面平行⇒线线平行：
α//β
α ∩γ = l,β ∩γ = m
⇒l//m
精讲精练
【例8】
已知长方体ABCD−A′B′C′D′ 中，E,F 分别是AA′,CC′ 的中点．求证：平面BDF// 平面B′D′E．
第8 讲
11
【例9】
已知如图，斜三棱柱ABC −A1B1C1 中，点D、D1 分别为AC、A1C1 上的点．
若平面BC1D// 平面AB1D1，求AD
DC 的值．
【例10】
如图，正方体ABCD−A1B1C1D1 的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA1D1D 内一点，若EF// 平面BB1D1D，
则EF 长度的范围为( )
A.
[√
2,
√
3
]
B.
[√
2,
√
5
]
C.
[√
2,
√
6
]
D.
[√
2,
√
7
]
12
【例11】
在下列四个正方体图形中，A、B 为正方体的两个顶点，M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB// 平面MNP 的
图形的序号是( )
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④
【例12】
如图所示，线段PQ 分别交两个平行平面α，β 于A，B 两点，线段PD 分别交α，β 于C，D 两点，线段QF 分别交
α，β 于F，E 两点，若PA = 9，AB = 12，BQ = 12，△ACF 面积为72，求△BDE 的面积．
第
讲
9
13
空间垂直关系的判定与性质
Part 1
直线、平面垂直的判定与
性质
Part 2
空间平行、垂直位置关系
综合
14
Part 1
直线、平面垂直的判定与性质
知识点睛
1．线线垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且夹角为直角，则称这两条直线互相垂直．
2．直线与平面垂直的定义：
如果一条直线和一个平面内的任意直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．
线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
符号语言：a ⊂α, b ⊂α, a∩b = A, l⊥a, l⊥b ⇒l⊥α.
推论：若两条平行直线，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
线面垂直的性质定理：
（1）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．
符号语言：a⊥α, b⊥α ⇒a//b.
（2）如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线垂直于平面内任意一条直线．
符号语言：a⊥α, b ⊂α ⇒a⊥b.
第9 讲
15
精讲精练
【例1】
如图，已知多面体ABC −A1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面ABC，∠ABC = 120◦，A1A = 4，C1C = 1，
AB = BC = B1B = 2．
证明：AB1⊥平面A1B1C1
16
【例2】
如图，在四棱锥S−ABCD 中，SB⊥底面ABCD．底面ABCD 为梯形，AB⊥AD ，AB//CD，AB = 1,AD = 3,CD = 2．若
点E 是线段AD 上的动点，则满足∠SEC = 90◦的点E 的个数是
．
【例3】
5 个顶点不共面的五边形叫做空间五边形，空间五边形的5 条边所在直线中，互相垂直的直线至多有( )
A. 5 对
B. 6 对
C. 7 对
D. 8 对
第9 讲
17
知识点睛
3．平面与平面垂直的定义：
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这
两个平面互相垂直．
面面垂直的判定定理：
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．
符号语言：m ⊂β, m⊥α ⇒β⊥α.
面面垂直的性质定理：
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
符号语言：α⊥β, α ∩β = l, m ⊂β, m⊥l ⇒m⊥α.
其它性质：
（1）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.
（2）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.
垂直“铁”三角
18
线线垂直⇒线面垂直：
l⊥m,l⊥n
m∩n = P
m ⊂α,n ⊂α
⇒l⊥α
线面垂直⇒线线垂直：l⊥α，m ⊂α ⇒l⊥m
线面垂直⇒面面垂直：l⊥α，l ⊂β ⇒α⊥β
面面垂直⇒线面垂直：α⊥β，α ∩β = l，m⊥l，m ⊂α ⇒m⊥β
精讲精练
【例4】
下列命题中错误的是（ ）
A. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α ∩β = l，那么l⊥γ
B. 如果平面α⊥平面β，那么平面α 内一定存在直线平行于平面β
C. 如果平面α⊥平面β，过α 内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β
D. 如果平面α 不垂直于平面β，那么平面α 内一定不存在直线垂直于平面β
【例5】
如图甲所示，在正方形ABCD 中，E、F 分别是BC、CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE、AF 及EF 把这个正方
形折成一个四面体，使B、C、D 三点重合，重合后的点记为H，如图乙所示，那么，在四面体A−EFH 中必有( )
A. AH⊥△EFH 所在平面
B. AG⊥△EFH 所在平面
C. HF⊥△AEF 所在平面
D. HG⊥△AEF 所在平面
第9 讲
19
【例6】
如图，六面体ABCDE 中，面DBC⊥面ABC，AE⊥面ABC．若AB⊥BC，BD⊥CD ，求证：面ADB⊥面EDC．
20
Part 2
空间平行、垂直位置关系综合
精讲精练
【例7】
已知直线l 垂直于平面α，直线m 在平面β 内，那么下面四个命题：
(1)α//β ⇒l⊥m；(2)α⊥β ⇒l//m；
(3)l//m ⇒α⊥β；(4)l⊥m ⇒α//β．
其中正确命题的序号是
．
【例8】
给定三个不同的平面α、β、γ．若α⊥β，β⊥γ，则α 与γ 的位置关系是( )
A. α⊥γ
B. γ//α
C. α⊥γ 或γ//α
D. 不确定的
第9 讲
21
【例9】
如图，在四棱锥S−ABCD 中，底面ABCD 为正方形，且SA = SB = SC = SD，其中E，M，N 分别是边BC，CD，SC 的
中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：
①EP⊥AC；②EP//BD；③EP// 平面SBD；④EP⊥平面SAC，
其中恒成立的是( )
A. ①③
B. ③④
C. ①④
D. ②③
【例10】
在正四面体P−ABC 中，D，E，F 分别是AB，BC，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )
A. BC// 平面PDF
B. DF⊥平面PAE
C. 平面PDE⊥平面ABC
D. 平面PAE⊥平面ABC
22
【例11】
如图，在四棱锥S −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD = 60◦，平面SAD⊥平面ABCD，SA = SD，E，P，Q 分别是
棱AD，SC，AB 的中点．
（1）求证：PQ// 平面SAD．
（2）求证：AC⊥平面SEQ．
（3）如果SA = AB = 2，求三棱锥S−ABC 的体积．
第
讲
10
23
空间角与空间距离1
Part 1
异面直线所成角
Part 2
直线与平面所成角
Part 3
二面角
24
Part 1
异面直线所成角
知识点睛
空间角，包括直线和直线所成的角、直线和平面所成的角、平面和平面所成的角，这些角都可以用平面角来度量，所
以求空间角的关键是求相应的平面角．
异面直线所成夹角
（1）异面直线所成的角的概念：过空间一点作两异面直线的平行线，得到两条相交直线，这两条相交直线成的直角
或锐角叫做两异面直线所成的角．
（2）异面直线所成角的范围：
(
0, π
2
]
．
（3）异面直线所成角的求法：
基本步骤：
①作（平移构造角）；②证明（异面直线所成的角或其补角）；③求值；④结论（取舍）．
策略：
①通过作图（结合中位线、等分线、平行四边形等）来构造平行线，作出异面直线所成的角，通过解三角形来求解．
②补形平移.
精讲精练
【例1】
如图，正四面体ABCD 中，E、F 分别为AB、CD 的中点，直线CE、BF 所成角的余弦值为( )
A.
√
3
3
B. 2
3
C. 1
2
D. 1
3
第10 讲
25
【例2】
在如图所示的组合体中，三棱柱ABC −A1B1C1 的侧面ABB1A1 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A、B 重
合的一个点．若圆柱的轴截面是正方形，当点C 是弧AB 的中点时，求异面直线A1C 与AB1 所成角的大小．
26
Part 2
直线与平面所成角
知识点睛
直线与平面所成夹角
一、定义
（1）平面的斜线：如图，一条直线PA 和一个平面α 相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜
线与平面的交点叫做斜足，图中的点A 即斜足．
（2）斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P 向平面引垂线PO，过垂足O 和斜足A 的直线AO 叫
做斜线在这个平面上的射影．
（3）斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
直线与平面所成角β 的范围是0◦≤β ≤90◦.
二、常见求解思路：
（1）作：在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步，确定垂足的位置是关键；
（2）证：根据定义证明所找到的角为直线与平面所成的角；
（3）求：将角放在三角形中求解.
注：在上述步骤中，作角是关键，而确定斜线在平面内的射影尤其关键. 有时几何图形的特征与图形中的特殊点是
突破口.
第10 讲
27
精讲精练
【例3】
在直三棱柱ABC −A1B1C1 中，CA = CB = 4，AB = 2
√
7，CC1 = 2
√
5，E，F 分别为AC，CC1 的中点，则直线EF 与平
面AA1B1B 所成的角是( )
A. 30◦
B. 45◦
C. 60◦
D. 90◦
【例4】空间从O 点出发的4 条射线OA、OB、OC、OD 两两所成的角都相等，求OA 与平面OBC 所成角和其余弦
值．
【例5】如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β 所成的角分别为π
4 和π
6 ，过A、B 分别作两平面
交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB : A′B′ =( )
A. 2 : 1
B. 3 : 1
C. 3 : 2
D. 4 : 3
28
知识点睛
三垂线定理
如图，在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂
直.
三垂线定理的逆定理
如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影.
最小角定理
斜线和它在平面内的射影所成的角（即线面角）是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角. 如图所示，
θ, θ1, θ2 之间的关系为cosθ1 = cosθ ·cosθ2.
精讲精练
【例6】
如图，A1BA2C 是直角梯形，A1C = CA2，A1B
A1C = 4
5，M 是A1B 的中点，N 是BA2 上的动点，将△A1CM 沿MC 折起，
将△CNA2 沿CN 折起，使A1 和A2 重合为A 点，设AC 和平面CMN 所成角的最大值是α，则tanα =
．
第10 讲
29
Part 3
二面角
知识点睛
二面角
1. 概念
（1）半平面：平面内一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.
（2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫
做二面角的面．通常记作α-l-β．
2．二面角的平面角：如图，在二面角α-l-β 的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α 和β 内分别作垂
直于棱l 的射线OA 和OB，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角. 二面角的大小即可用它的平
面角来度量.
3．二面角的范围：[0,π]
二、二面角的常见求解思路
⑴定义法：
在二面角的棱上找一特殊点，过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，∠AOB 即为二面角α-l-β 的平面
角．
⑵垂面法：
过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面的交线所形成的角即为二面角的平面角．
⑶垂线法：
过二面角的一个半平面内一点作另一个面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用三垂线定理即可找到所求二面角的平
面角或其补角．
⑷面积射影定理：
若二面角的平面角的大小为θ，半平面α 内任一图形的面积为S，它在β 内正射影的面积为S′，则cosθ = S′
S ．
30
精讲精练
【例7】
如图所示的三棱锥P−ABC 中，PC⊥平面ABC，PC = 2
√
3
3 ，D 是BC 的中点，且△ADC 是边长为2 的正三角形，则
二面角P−AB−C 的大小为
．
【例8】
菱形ABCD 中，∠A = 60◦，AB、BC、CD、DA 的中点分别是E、F、G、H．以BD 为折痕把△ABD 折起，使EFGH 成一
个正方形，这时二面角A−BD−C 的平面角的余弦值等于
．
第10 讲
31
【例9】
已知△ABC 是正三角形，线段EA 和DC 都垂直于平面ABC，设EA = AB = 2a，DC = a，且F 为BE 的中点，如图
所示．求平面BDE 与平面ABC 所成的较小二面角的大小．
32
【例10】
如图，二面角α −l −β 的大小是60◦，线段AB ⊂α，B ∈l，AB 与l 所成的角为30◦，则AB 与平面β 所成的角的正
弦值是
．
【例11】
已知四棱锥S−ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点(不含端点)．设SE 与BC 所成的角为
θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S−AB−C 的平面角为θ3，则( )
A. θ1 ⩽θ2 ⩽θ3
B. θ3 ⩽θ2 ⩽θ1
C. θ1 ⩽θ3 ⩽θ2
D. θ2 ⩽θ3 ⩽θ1
第10 讲
33
【例12】
已知四面体ABCD 的三条对棱分别相等，记二面角A−BC −D，二面角A−CD−B，二面角A−BD−C 分别为α，
β，γ．
（1）求证：四个面都是锐角三角形．
（2）求证：cosα +cosβ +cosγ = 1．
第
讲
11
35
空间角与空间距离2
Part 1
点线距离与点面距离
Part 2
线面距离与面面距离
Part 3
异面直线间距离
36
Part 1
点线距离与点面距离
知识点睛
一、求点线距离的常用方法：
（1）直接法：直接由点向直线作垂线，然后在三角形中利用等面积法求解.
（2）间接法（运用三垂线定理）：如图，先作PO⊥α 于O，再作OH⊥l 于H，连接PH，可得PH⊥l，则PH 的长即为
点P 到直线l 的距离.
精讲精练
【例1】
有两块直角三角板，一块三角板的两条直角边的长分别是1，
√
3；另一块三角板的两条直角边的长分别是
√
3，
√
3．
这两块三角板有两对顶点重合，且成90◦的二面角，则不重合的两个顶点的距离等于
．
第11 讲
37
【例2】
设ABC −A1B1C1 是正三棱柱，底面边长和高都是1，P 是侧面ABB1A1 的中心点，则P 到侧面ACC1A1 的对角线的
距离是( )
A. 1
2
B.
√
3
4
C.
√
14
8
D. 3
√
2
8
【例3】
矩形ABCD 中，AB = 4，BC = 3，PA⊥平面ABCD，PA = 1，则P 点到BD 的距离等于
．
38
知识点睛
二、求点面距离的常用方法：
（1）直接定义法：找到（或作出）表示距离的线段，解线段所在的三角形.
（2）利用两平面互相垂直的性质：如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点
面距离.
（3）等体积法：
基本步骤：a. 在平面内选取适当的三点和已知点构成三棱锥；
b. 求出此三棱锥的体积V 和所取三点构成的三角形的面积S；
c. 由V = 1
3S · h，求出h.
精讲精练
【例4】
小于90◦的二面角α −l −β 内的点P 到棱l 距离为2，到面α、β 距离分别为1、
√
2．若另一点Q 到棱l 的距离为
4，到面α 距离为
√
6，求点Q 到面β 的距离．
第11 讲
39
【例5】
如图，在五棱锥P−ABCDE 中，PA = AB = AE = 2a，PB = PE = 2
√
2a，BC = DE = a，∠EAB = ∠ABC = ∠DEA = 90◦，
G 为PE 的中点．
求点C 到平面PDE 的距离．
40
【例6】
如图所示，在四棱锥P −ABCD 中，△PAB 为等边三角形，AD//BC，BC⊥平面PAB，E 为PD 的中点．若
AD = 2BC = 2AB = 4，求点D 到平面PAC 的距离．
第11 讲
41
【例7】
在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1 中，顶点B1 到对角线BD1 和到平面A1BCD1 的距离分别为h 和d，则下列命题中
正确的是( )
A. 若侧棱的长小于底面的边长，则h
d 的取值范围为(0,1)
B. 若侧棱的长小于底面的边长，则h
d 的取值范围为
(√
2
2 , 2
√
3
3
)
C. 若侧棱的长大于底面的边长，则h
d 的取值范围为
(
2
√
3
3 ,
√
2
)
D. 若侧棱的长大于底面的边长，则h
d 的取值范围为
(
2
√
3
3 ,+∞
)
42
Part 2
线面距离与面面距离
知识点睛
求线到面、面到面距离的方法：
1. 线到面的距离：在直线上任取一点，转化为点到面的距离.
2. 面到面的距离：同线面距离，转化为点到面的距离.
精讲精练
【例8】
正方体ABCD−A1B1C1D1 的棱长为a，则B1C 与平面A1DC1 的距离为
．
第11 讲
43
【例9】
已知正棱锥P−ABCD 的侧棱PA = 5，底面边长AB = 4，如图，点E、F、G、H 分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA
的重心．求证：
（1）E、F、G、H 四点共面．
（2）求平面EFGH 与平面ABCD 的距离．
44
Part 3
异面直线间距离
知识点睛
1. 异面直线的距离：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点
所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段. 两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离.
任意两条异面直线有且只有一条公垂线，且异面直线间的距离为连接两条异面直线上任意两点所得线段的长度的
最小值．
2. 异面直线间距离的常见求解思路
（1）定义法：直接运用定义找出两异面直线的公垂线.
（2）转化法：转化为求解线面距离和面面距离的问题.
（3）公式法：如图所示，两条异面直线上的两点间距离公式为d =
√
l2 −m2 −n2 ∓2mncosθ（其中θ 为异面直线
所成的角，d 即为异面直线的距离）. 注意正负号的使用，当二面角A-MN-B 为θ 时取正，为π −θ 时取负.
（4）最值法：根据异面直线间的距离为连接两条异面直线上任意两点所得线段的长度的最小值，运用函数思维求
解.
（5）射影法：将两条异面直线射影到同一平面内，如果射影分别是点和直线或两条平行线，那么点和直线或两条平
行线间的距离就是两条异面直线间距离.
第11 讲
45
精讲精练
【例10】
若Rt△ABC 的斜边AB = 5，BC = 3，BC 在平面α 内，AO⊥平面α，AO 在平面α 内的射影为点O，AO = 2，则异面
直线AO 与BC 之间的距离为
．
【例11】
如图，正方体ABCD−A1B1C1D1 的棱长为a，则异面直线AC 与A1D 之间的距离为
．
46
【例12】
已知：三棱锥S−ABC 中，SA = BC = 13，SB = AC = 14，SC = AB = 15，求异面直线AS 与BC 的距离．
【例13】
已知圆柱的底面半径为3，高为4，A、B 两点分别在两底面圆周上，并且AB = 5，求异面直线AB 与轴OO′ 之间的距
离．
第
讲
12
47
直线方程与圆的方程
Part 1
直线的倾斜角与斜率
Part 2
直线的方程表示与求解
Part 3
圆的方程表示与求解
48
Part 1
直线的倾斜角与斜率
知识点睛
1．直线的倾斜角：
当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α 叫做直线l 的倾斜角．特别
地，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定α = 0◦．因此倾斜角α 的取值范围是0◦≤α < 180◦．
2．直线的斜率：
一条直线的倾斜角α(α̸ = 90◦) 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，也就是k = tanα
⑴直线l 与x 轴平行或重合时，α = 0◦，k = tan0◦= 0；
⑵k > 0 时，直线的倾斜角为锐角，此时，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大；
⑶k < 0 时，直线的倾斜角为钝角，此时，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大；
⑷当直线l 与x 轴垂直时，α = 90◦，k 不存在．由此可知，一条直线l 的倾斜角α 一定存在，但是斜率k 不一定存
在.
学习了斜率之后，我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度．
3．直线的斜率公式：
设P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)，则：
斜率公式：k = y2 −y1
x2 −x1
(x1̸ = x2)
精讲精练
【例1】
设某直线l 的斜率为k，且k ∈
(
−
√
3,
√
3
3
)
，则该直线的倾斜角α 的取值范围是( )
A.
(
π
3 , 5π
6
)
B.
(
π
6 , 2π
3
)
C.
[
0, π
3
)
∪
(
5π
6 ,π
)
D.
[
0, π
6
)
∪
(
2π
3 ,π
)
第12 讲
49
【例2】
已知三点A(0,5)，B(5,0)，C(−4,−3)，且过点A 的直线l 与线段BC 相交，试求直线l 的斜率k 和倾斜角α 的取值
范围．
【例3】
已知点A(2,−3)，B(−3,−2)，设点P(x,y) 在线段AB 上(含端点)，则y−1
x−1 的取值范围是( )
A. (−∞,−4]∪
[
3
4,+∞
)
B.
(
−∞,−1
4
]
∪
[
3
4,+∞
)
C.
[
−4, 3
4
]
D.
[
3
4,4
]
50
Part 2
直线的方程表示与求解
知识点睛
直线的方程
定义：如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，那么这个方
程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.
直线方程的五种形式
1. 斜截式方程：y = kx+b.
说明：k 是斜率，b 是直线在y 轴上的截距.
适用范围：直线不垂直于x 轴；当k 不存在时，直线为y 轴，即x = 0.
位置关系：若两直线平行，则有k1 = k2 且b1̸ = b2；若两直线垂直，则有k1k2 = −1.
2. 点斜式方程：y−y0 = k(x−x0).
说明：k 是斜率，(x0, y0) 是直线上一定点.
适用范围：直线不垂直于x 轴；当k 不存在时，直线方程为x = x0.
3. 两点式方程：y−y1
y2 −y1
= x−x1
x2 −x1
(x1̸ = x2,y1̸ = y2).
说明：(x1, y1)，(x2, y2) 是直线上的两个定点(x1̸ = x2,y1̸ = y2).
适用范围：直线不垂直于x 轴、y 轴；当x1 = x2 时，直线方程为x = x1；当y1 = y2 时，直线方程为y = y1.
4. 截距式方程：x
a + y
b = 1(a̸ = 0,b̸ = 0).
说明：a，b 分别是x 轴、y 轴上的非零截距.
适用范围：直线不垂直于x 轴、y 轴，且不过原点；当a = b = 0 时，直线过原点，直线方程为y = kx.
5. 一般式方程：Ax+By+C = 0
(
A2 +B2̸ = 0
)
.
说明：A，B 不同时为0.
适用范围：平面直角坐标系内的直线都适用.
位置关系：若两直线平行，则有A1B1 −A2B2 = 0 且B1C2 −B2C1̸ = 0；若两直线垂直，则有A1A2 +B1B2 = 0.
第12 讲
51
精讲精练
【例4】
（1）设A、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA| = |PB|，若直线PA 的方程为x−y+1 = 0，则直线PB 的
方程是( )
A. x+y−5 = 0
B. 2x−y−1 = 0
C. 2y−x−4 = 0
D. 2x+y−7 = 0
（2）过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上截距的2 倍的直线方程是( )
A. x
6 + y
12 = 1
B. x
6 + y
12 = 1 或y = 2
5x
C. x−y
2 = 1
D. x−y
2 = 1 或y = 2
5x
【例5】
已知直线l1：x−2y+3 = 0 与x 轴的交点为A，直线l1 绕点A 按逆时针方向旋转45◦得直线l2，则直线l2 的方程
为
．
52
【例6】
已知直线(1−a)x+(a+1)y−4(a+1) = 0(其中a 为实数) 过定点P，点Q 在函数y = x+ 1
x 的图象上，则PQ 连线
的斜率的取值范围是
．
【例7】
过点P(2,1) 作直线l 分别与x 轴，y 轴正半轴交于A、B 两点．
（1）当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程．
（2）当|OA|+|OB| 取最小值时，求直线l 的方程．
（3）当|PA|·|PB| 取最小值时，求直线l 的方程．
第12 讲
53
Part 3
圆的方程表示与求解
知识点睛
圆的标准方程：
以点C(a,b) 为圆心，r 为半径的圆的方程：(x−a)2 +(y−b)2 = r2，如图1-1 所示；
特别地，圆心在原点的圆的标准方程：x2 +y2 = r2，如图1-2 所示．
图1-1 图1-2
圆的一般方程：
x2 +y2 +Dx+Ey+F = 0（D2 +E2 −4F > 0）.
注意：
1. 将圆的方程x2 +y2 +Dx+Ey+F = 0（D2 +E2 −4F > 0）配方，得：
(
x+ D
2
)2
+
(
y+ E
2
)2
= 1
4
(
D2 +E2 −4F
)
，即
(
−D
2 ,−E
2
)
为圆的圆心，1
2
√
D2 +E2 −4F 为半径．
2. 与圆的标准方程比较，可知：
①当D2 +E2 −4F > 0 时，该二元二次方程表示以
(
−D
2 ,−E
2
)
为圆心，1
2
√
D2 +E2 −4F 为半径的圆；
②当D2 +E2 −4F = 0 时，该方程只有一个解，表示一个点
(
−D
2 ,−E
2
)
；
③当D2 +E2 −4F < 0 时，方程无实数解，它不表示任何图形．
3. 当已知一个圆直径的两端点A(x1,y1) 和B(x2,y2) 时，设满足条件的圆上的点为M (x,y)，由−→
MA·−→
MB = 0 ，解得
圆的方程可表示为(x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2) = 0.
54
精讲精练
【例8】
过两点(3,5)、(−3,7)，且圆心在x 轴上的圆的标准方程是
．
【例9】
关于x，y 的方程x2 +y2 +kx +2y+k2 = 0 在平面直角坐标系中的图形是圆，当这个圆取最大面积时，圆心的坐标
是( )
A. (0,−1)
B. (−1,0)
C. (1,−1)
D. (−1,1)
第12 讲
55
【例10】在xOy 坐标平面上，由
(
|x|−1
2
)2 +y2 = 1 所围成图形的面积等于
．
【例11】
已知某曲线上的点到定点O(0,0) 与到定点A(a,0)(a̸ = 0) 的距离的比值为k，求此曲线的方程，并判定曲线的形状．
56
【例12】
在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x) = x2 +2x+b(x ∈R) 的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三个交
点的圆记为C．
（1）求实数b 的取值范围．
（2）求圆C 的方程．
（3）问：圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．
第
讲
13
57
直线与圆位置关系1
Part 1
直线的平行与垂直
Part 2
直线的夹角与距离
58
Part 1
直线的平行与垂直
知识点睛
1．两条直线的位置关系（斜截式）：l1 : y = k1x+b1，l2 : y = k2x+b2
⑴两条直线相交、平行与重合条件：
①相交的条件：k1̸ = k2
②平行的条件：k1 = k2 且b1̸ = b2
③重合的条件：k1 = k2，b1 = b2
⑵两条直线垂直的条件：k1k2 = −1
2．两条直线的位置关系（一般式）：l1 : A1x+B1y+C1 = 0
(
A2
1 +B2
1̸ = 0
)
，l2 : A2x+B2y+C2 = 0
(
A2
2 +B2
2̸ = 0
)
⑴两条直线相交、平行与重合条件：
①相交的条件：A1B2 −A2B1̸ = 0（当A2B2̸ = 0 时，记为A1
A2̸
= B1
B2
）
②平行的条件：A1B2 −A2B1 = 0 且B1C2 −C1B2̸ = 0（当A2B2C2̸ = 0 时，记为A1
A2
= B1
B2̸
= C1
C2
）
③重合的条件：A1B2 −A2B1 = 0 且B1C2 −C1B2 = 0（当A2B2C2̸ = 0 时，记为A1
A2
= B1
B2
= C1
C2
）
⑵两条直线垂直的条件：A1A2 +B1B2 = 0（当B1B2̸ = 0 时，记为A1
B1
· A2
B2
= −1）
第13 讲
59
精讲精练
【例1】
（1）过点(1,0) 且与直线x−2y−2 = 0 平行的直线方程是( )
A. x−2y−1 = 0
B. x−2y+1 = 0
C. 2x+y−2 = 0
D. x+2y−1 = 0
（2）求经过两直线l1：2x−y+2 = 0 和l2：x+y−2 = 0 的交点P，且与直线l3：3x−4y+5 = 0 垂直的直线l 的方程．
（3）经过点A(5,2)，B(3,−2)，且圆心在直线2x−y−3 = 0 上的圆的方程为
．
【例2】
已知不重合的两条直线l1、l2 的倾斜角分别为α、β，给出四个命题：
①若sinα = sinβ，则l1//l2；
②若cosα = cosβ，则l1//l2；
③若l1//l2，则tanα = tanβ；
④若tanα ·tanβ = −1，则l1⊥l2．
其中正确的是( )
A. ①②
B. ②③
C. ②④
D. ③④
60
【例3】
求证：A(1,−1)，B(−2,−7)，C(0,−3) 三点共线．
【例4】
已知两直线l1：mx + y −2 = 0 和l2：(m+2)x −3y + 4 = 0 与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m 的值为
( )
A. 1 或−3
B. −1 或3
C. 2 或1
2
D. −2 或1
2
第13 讲
61
Part 2
直线的夹角与距离
知识点睛
两条直线的夹角求解公式
1. 若直线l1 与直线l2 的夹角为θ，则有tanθ =
k2 −k1
1+k1k2
，其中k1, k2 分别为两直线的斜率
2. 当直线l1⊥l2 时，直线l1 与l2 的夹角是π
2
精讲精练
【例5】
等腰三角形一腰所在的直线l1 的方程为x−2y−2 = 0，底边所在的直线l2 的方程为x+y−1 = 0，点(−2,0) 在另
一腰上，求此腰所在的直线l3 的方程．
62
知识点睛
距离公式
1. 两点间距离公式
平面内两点P1 (x1, y1)，P2 (x2, y2) 间的距离公式为d =
√
(x1 −x2)2 +(y1 −y2)2
2. 点到直线的距离公式
点P(x0, y0) 到直线Ax+By+C = 0（A, B 不同时为0）的距离为d = |Ax0 +By0 +C|
√
A2 +B2
3. 两条平行直线间的距离公式
两条平行直线Ax+By+C1 = 0 和Ax+By+C2 = 0（C1̸ = C2）间的距离为d = |C1 −C2|
√
A2 +B2
精讲精练
【例6】
过点P(3,−1) 作直线，使点A(2,−3)，B(4,5) 到它的距离相等，则这条直线的方程为
．
【例7】
直线l 过点A(2,3) 且被两平行直线l1：3x+4y−1 = 0 和l2：3x+4y+1 = 0 截得的线段长为2
√
5
5 ，则直线l 的方
程为
．
【例8】
直线l1 过点A(3,0)，直线l2 过点B(0,4)，l1//l2，用d 表示l1 和l2 的距离，则( )
A. d ⩾5
B. 3 ⩽d ⩽5
C. 0 ⩽d ⩽5
D. 0 < d ⩽5
第13 讲
63
知识点睛
对称问题
1. 求点关于点对称的点的方法：
平面内的中点坐标公式：若A(x1, y1)，B(x2, y2)，则线段AB 的中点M (x, y) 的坐标计算公式为x = x1 +x2
2
，
y = y1 +y2
2
.
设点P(x0, y0)，对称中心为A(a, b)，则P 关于A 的对称点为P
′ (2a−x0, 2b−y0).
2. 求点关于直线对称的点的方法：
设点P(x0, y0) 关于直线y = kx+b 的对称点为P
′ (
x
′, y
′)
，则有
y
′ −y0
x
′ −x0
·k = −1
y
′ +y0
2
= k · x
′ +x0
2
+b
，故可由此求出x
′, y
′.
特别地：
1). 点P(x0, y0) 关于直线x = a 的对称点为P
′ (2a−x0, y0)
2). 点P(x0, y0) 关于直线y = b 的对称点为P
′ (x0, 2b−y0)
3). 点P(x0, y0) 关于x 轴的对称点为P
′ (x0, −y0)
4). 点P(x0, y0) 关于y 轴的对称点为P
′ (−x0, y0)
5). 点P(x0, y0) 关于直线y = x 的对称点为P
′ (y0, x0)
6). 点P(x0, y0) 关于直线y = −x 的对称点为P
′ (−y0, −x0)
精讲精练
【例9】
已知一束光线通过点A(−3,5)，经直线l：3x −4y+4 = 0 反射．如果反射光线通过点B(2,15)，则反射光线所在直
线的方程是
．
【例10】
已知三角形ABC 的一条内角平分线CD 的方程为2x+y−1 = 0，两个顶点A(1,2)、B(−1,−1)，则第三个顶点C 的
坐标为
．
64
知识点睛
对称问题
3. 求直线关于点对称的直线的方法：
求直线l 关于点M (m,n) 的对称直线l
′ 的问题，主要依据l
′ 上的任一点T (x,y) 关于M (m,n) 的对称点T
′ (2m−x,2n−y)
在l 上来求解.
4. 求直线关于直线对称的直线的方法：
曲线f (x, y) = 0 关于直线y = kx+b 的对称曲线的求法：
设曲线f (x, y) = 0 上任意一点为P(x0, y0)，P 点关于直线y = kx+b 的对称点为P
′ (x,y)，则P 与P
′ 的坐标满足
y−y0
x−x0
·k = −1
y+y0
2
= k · x+x0
2
+b
，从而解出x0, y0，代入已知曲线f (x, y) = 0，利用坐标代换法即可求得对称的曲线方程.
特别地：
1). 曲线f (x, y) = 0 关于直线x+y+c = 0 的对称曲线的方程为f (−y−c, −x−c) = 0，关于直线x−y+c = 0 的
对称曲线的方程为f (y−c, x+c) = 0.
2). 设直线l 为Ax+By+C = 0：
a. l 关于x 轴对称的直线是Ax+B(−y)+C = 0
b. l 关于y 轴对称的直线是A(−x)+By+C = 0
c. l 关于直线y = x 对称的直线是Ay+Bx+C = 0
d. l 关于直线y = −x 对称的直线是A(−y)+B(−x)+C = 0
精讲精练
【例11】
直线l1: x−2y−2 = 0 关于直线l2: x+y = 0 对称的直线l3 的方程为( )
A. 2x−y−2 = 0
B. 2x−y+2 = 0
C. 2x−y−1 = 0
D. 2x−y+1 = 0
第13 讲
65
【例12】
（1）已知直线l : x−y−2 = 0 和点A(−1,1)，B(1,1)，在直线l 上找一点P，使得∠APB 最大，求出P 点的坐标．
（2）已知P 在直线l : 2x+y−4 = 0 上，点A(4,1)，B(3,4)，则|PA|+|PB| 的最小值为
．
第
讲
14
67
直线与圆位置关系2
Part 1
点、直线与圆的位置关系
Part 2
圆与圆的位置关系
68
Part 1
点、直线与圆的位置关系
知识点睛
点与圆的位置关系
设P(x0,y0) 与圆(x−a)2 +(y−b)2 = r2，若P 到圆心之距为d，则
①P 在圆C 外⇔d > r 即(x0 −a)2 +(y0 −b)2 > r2；
②P 在圆C 内⇔d < r 即(x0 −a)2 +(y0 −b)2 < r2；
③P 在圆C 上⇔d = r 即(x0 −a)2 +(y0 −b)2 = r2．
精讲精练
【例1】
已知点P(1,3) 为圆x2 +y2 +x−6y+m = 0 外一点，则实数m 的取值范围为
．
【例2】
已知点P 是圆C：(x−3)2 +(y−4)2 = 1 上的任意一点，点A(−1,0)，B(1,0)，试求|PA|2 +|PB|2 的最大值和最小值．
第14 讲
69
知识点睛
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系共分三类：相离、相切、相交.
判定直线与圆的位置关系的两种常见思路：
1. 代数法：判断直线Ax+By+C = 0 和圆x2 +y2 +Dx+Ey+F = 0 的位置关系，
可联立
Ax+By+C = 0
x2 +y2 +Dx+Ey+F = 0
消去y（或x），得mx2 +nx+ p = 0（或my2 +ny+ p = 0）．
当∆> 0 时，直线与圆相交，有两个公共点；
当∆= 0 时，直线与圆相切，有一个公共点；
当∆< 0 时，直线与圆相离，无公共点．
2. 几何法：已知直线Ax + By +C = 0 和圆(x−a)2 + (y−b)2 = r2，可用圆心到直线的距离d = |Aa+Bb+C|
√
A2 +B2
与r
的大小关系判断直线与圆的位置关系．
当d < r 时，直线与圆相交，有两个公共点；
当d = r 时，直线与圆相切，有一个公共点；
当d > r 时，直线与圆相离，无公共点.
特别地，当直线过定点时，定点在圆内时，那么直线必与圆相交。而定点在圆上时，那么直线可以与圆相交也可以
相切，定点在圆外时，直线和圆的位置关系可以是任意一种。
精讲精练
【例3】
（1）已知直线l：ax−y−a+3 = 0 和圆C：x2 +y2 −4x−2y−4 = 0，则直线l 和圆C 的位置关系是( )
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 都有可能
（2）“D2 = 4F 且E̸ = 0”是“圆x2 +y2 +Dx+Ey+F = 0 与x 轴相切”的( ) 条件
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
70
【例4】
若直线y = k(x+2) 与曲线y =
√
1−x2 有交点，则( )
A. k 有最大值
√
3
3 ，最小值−
√
3
3
B. k 有最大值1
2，最小值−1
2
C. k 有最大值0，最小值−
√
3
3
D. k 有最大值
√
3
3 ，最小值0
知识点睛
弦长与切线问题
一、圆的切线的求法
①已知圆上的一点求切线：利用切点与圆心的连线与切线垂直求得切线的斜率，从而由点斜式求得切线的方程．
特别地，有如下结论：
1）当切点(x0,y0) 在圆x2 +y2 = r2 上时，切线方程为xx0 +yy0 = r2；
2）当切点(x0,y0) 在圆(x−a)2 +(y−b)2 = r2 上，切线方程为
(x0 −a)(x−a)+(y0 −b)(y−b) = r2；
3）当切点(x0,y0) 在圆x2 +y2 +Dx+Ey+F = 0 上时，切线方程为xx0 +yy0 +D · x+x0
2
+E · y+y0
2
+F = 0.
②过圆外一点的切线方程：
设P(x0, y0) 是圆(x−a)2 +(y−b)2 = r2 外一点，求过点P 的圆的切线方程，有两种思路：
法1 代数法
设切点是P1 (x1, y1)，则可联立方程组
(x1 −a)2 +(y1 −b)2 = r2
(x1 −a)(x0 −a)+(y1 −b)(y0 −b) = r2
求解得到切点坐标，进而得到切线方程.
法2 几何法
根据所给条件设出切线方程，利用d = r 求解．注意斜率不存在的情形．
第14 讲
71
精讲精练
【例5】
垂直于直线x−3y+1 = 0 且与圆x2 +y2 = 10 相切的直线的方程是( )
A. x−3y+10 = 0 或x−3y−10 = 0
B. 3x+y+10 = 0 或3x+y−10 = 0
C. x−3y+
√
10 = 0 或x−3y−
√
10 = 0
D. 3x+y+
√
10 = 0 或3x+y−
√
10 = 0
【例6】
过点(3,1) 作圆(x−1)2 +y2 = 1 的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB 的方程为( )
A. 2x+y−3 = 0
B. 2x−y−3 = 0
C. 4x−y−3 = 0
D. 4x+y−3 = 0
72
知识点睛
弦长与切线问题
二、弦长问题
设直线l 的方程为y = kx+b，圆的方程为(x−x0)2 +(y−y0)2 = r2，求弦长的方法有以下两种：
（1）几何法：如图所示，过圆心O 作l 的垂线，由圆的性质知垂足G 为线段EF 的中点. 在Rt△OGF 中，
|GF|2 = r2 −d2，则弦长|EF| = 2|GF| = 2
√
r2 −d2.
（2）代数法：将直线方程与圆的方程联立成方程组，设交点坐标分别为E (x1,y1),F (x2,y2).
①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.
②将方程组
y = kx+b
(x−x0)2 +(y−y0)2 = r2
消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得x1 +
x2,x1 ·x2 或y1 +y2,y1 ·y2 的关系式，则有：|EF| =
√
(x1 −x2)2 +(y1 −y2)2
=
√
1+ 1
k2 |y1 −y2|
=
√(
1+ 1
k2
)[
(y1 +y2)2 −4y1y2
]
通常把|EF| =
√
1+k2 |x1 −x2| 或|EF| =
√
1+ 1
k2 |y1 −y2| 叫做弦长公式.
精讲精练
【例7】
设直线y = x+2a 与圆C : x2 +y2 −2ay−2 = 0 相交于A，B 两点，若|AB| = 2
√
3，则圆C 的面积为
．
第14 讲
73
【例8】
已知圆(x−2)2 + (y+1)2 = 16 的一条直径经过直线x −2y −3 = 0 与该圆的交弦的中点，则该直径所在直线的方
程是
．
【例9】
已知点P(x,y) 是圆C：(x+2)2 +y2 = 1 上任意一点，则y−2
x−1 的最小值是
，x−2y 的最大值是
．
74
Part 2
圆与圆的位置关系
知识点睛
圆与圆的位置关系
如图，平面上两圆的位置关系有五种，分别为相交、外离、外切、内切、内含．
圆与圆位置关系的判定方法
(1) 几何法：判断圆与圆的位置关系可以利用两圆圆心距d 与两圆的半径r1,r2 的关系进行判断：
①外离⇔d > r1 +r2；
②外切⇔d = r1 +r2；
③相交⇔|r1 −r2| < d < r1 +r2；
④内切⇔d = |r1 −r2|；
⑤内含⇔0 ⩽d < |r1 −r2|．
(2) 代数法：两圆的位置关系也可以利用两圆方程所构成的方程组的解判断：
当方程组无解时，两圆外离或者内含；
当方程组只有一解时，两圆外切或者内切；
当方程组有两解时，两圆相交．由于“代数法”计算量大，运用不方便，所以一般情况下利用“几何法”来判断两圆的
位置关系．
第14 讲
75
精讲精练
【例10】
若圆C1 : x2 +y2 −2tx+t2 −4 = 0 与圆C2 : x2 +y2 +2x−4ty+4t2 −8 = 0 相交，则t 的取值范围是( )
A. −12
5 < t < −2
5
B. −12
5 < t < 0
C. −12
5 < t < 2
D. −12
5 < t < −2
5 或0 < t < 2
【例11】
点P 在圆C1：x2 +y2 −8x−4y+11 = 0 上，点Q 在圆C2：x2 +y2 +4x+2y−1 = 0 上，则|PQ| 的最小值是
．
76
知识点睛
两圆相交的公共弦方程
设圆C1 : x2 + y2 + D1x + E1y + F1 = 0，圆C2 : x2 + y2 + D2x + E2y + F2 = 0，若两圆相交，则两方程相减可得
(D1 −D2)x+(E1 −E2)y+F1 −F2 = 0，此方程表示两圆C1 与C2 的公共弦所在的直线的方程.
两圆的公切线
两圆的公切线是指与两圆都相切的直线，可分为外公切线和内公切线，两圆的位置关系与公切线条数的关系：
①两圆外离，有四条公切线；
②两圆外切，有三条公切线；
③两圆相交，有两条公切线；
④两圆内切，有一条公切线；
⑤两圆内含，没有公切线.
精讲精练
【例12】
已知圆C1 : (x−a)2 +(y+2)2 = 4 与圆C2 : (x+b)2 +(y+2)2 = 1 恰有三条公切线，则ab 的最大值为( )
A.
√
6
2
B. 3
2
C. 9
4
D. 2
√
3
第14 讲
77
【例13】
若圆x2 +y2 = 4 与圆x2 +y2 +2ay−6 = 0(a > 0) 的公共弦长为2
√
3，则a =
．
【例14】
坐标平面内有两个圆：x2 +y2 = 16 和x2 +y2 −6x+8y+24 = 0，这两个圆的内公切线的方程是
．
第
讲
15
79
期末复习1
Part 1
立体几何中的动点问题
Part 2
正四面体拓展
Part 3
直线系与圆系
80
Part 1
立体几何中的动点问题
精讲精练
【例1】
如图，正三角形PAD 所在平面与正方形ABCD 所在平面互相垂直，O 为正方形ABCD 的中心，M 为正方形ABCD
内一点，且满足MP = MB，OP̸ = OB，则点M 的轨迹为( )
【例2】
如图，棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1D1 中，E 为CC1 的中点，点P，Q 分别为平面A1B1C1D1 和线段B1C 上的
动点，则△PEQ 周长的最小值为( )
A. 2
√
2
B.
√
10
C.
√
11
D.
√
12
第15 讲
81
【例3】
如图，三棱柱ABC −A1B1C1 中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1 = 2，AB = BC = 1，∠ABC = 90◦，外接球的球心为O，点
E 是侧棱BB1 上的一个动点．有下列判断：
①直线AC 与直线C1E 是异面直线；②A1E 一定不垂直于AC1；③三棱锥E −AA1O 的体积为定值；④AE +EC1 的
最小值为2
√
2．
其中正确的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
82
Part 2
正四面体拓展
知识点睛
正四面体
定义：四个面都是正三角形的四面体叫做正四面体．
相比正方形，正四面体除了仍然保持了非常好的对称性之外，还体现了面与面之间的夹角. 因此，如何快速求出正
四面体的各种量，是我们必须掌握的.
如图，正四面体P−ABC 棱长a = 1 ，中心为O. 则有：
高：h = PH =
√
6
3 a =
√
6
3
全面积：S =
√
3a2 =
√
3
体积：V =
√
2
12 a3 =
√
2
12
内切球半径：r = OH =
√
6
12 a =
√
6
12
外接球半径：R = OA =
√
6
4 a =
√
6
4
线段关系：PC ⊥AB,PA ⊥BC,PB ⊥AC，对棱中点的连线长d =
√
2
2 a =
√
2
2
角度：相邻两个面的二面角α = arccos 1
3
第15 讲
83
精讲精练
【例4】
在正四面体ABCD 的高AH 上取中点M，连结BM，CM，则∠BMC =
.
【例5】
在棱长为2 的正四面体木块ABCD 的棱AB 上有一点P(AP < 1)，过P 点要锯出与棱AB 垂直的截面．当锯到某个
位置时因故停止，这时量得在面ABD 上的锯痕PM = 1，在面ABC 上的锯缝PN = 2
3，则锯缝MN =
．
84
【例6】
正四面体SABC，点M、E、F 分别在棱SA、AB、BC 上，且SM
MA = BE
EA = BF
FC = 2．过M、E、F 三点的平面将四面体分
成两部分，这两部分的体积比为
(取较小部分与较大部分的体积比)．
【例7】
正四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，CC′ 和DD′ 是该球的直径，求平面ABC 与平面AC′D′ 所成角的正弦值．
第15 讲
85
Part 3
直线系与圆系
知识点睛
直线系方程
具有某一个共同属性的一簇直线称为直线系，其方程称为直线系方程. 直线系方程通常只含有一个独立参数，常见
的直线系方程有如下四类：
1. 定点直线系：
过定点P(x0,y0) 的直线系方程为l：y−y0 = k(x−x0)（除直线x = x0）或l：A(x−x0)+B(y−y0) = 0．
2. 交点直线系：
l1：A1x+B1y+C1 = 0，l2：A2x+B2y+C2 = 0，过l1 与l2 的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1 +λ (A2x+B2y+C2) =
0（除直线A2x+B2y+C2 = 0）．
3. 平行直线系：
与直线y = k0x+b0 平行的直线系方程为y = k0x+b(b̸ = b0)；
与直线A0x+B0y+C0 = 0 平行的直线系方程为A0x+B0y+C = 0(C̸ = C0)．
4. 垂直直线系：
与直线y = k0x+b0 垂直的直线系方程为y = −1
k0
x+b(k0̸ = 0)；
与直线A0x+B0y+C0 = 0 垂直的直线系方程为B0x−A0y+C = 0．
86
精讲精练
【例8】
过直线l1：x+2y+1 = 0 与直线l2：2x−y+1 = 0 的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为
．
【例9】
平行于直线x+2y+1 = 0 且与圆x2 +y2 = 4 相切的直线的方程是( )
A. x+2y+5 = 0 或x+2y−5 = 0
B. x+2y+2
√
5 = 0 或x+2y−2
√
5 = 0
C. 2x−y+5 = 0 或2x−y−5 = 0
D. x−2y+
√
5 = 0 或x−2y−
√
5 = 0
第15 讲
87
【例10】
△ABC 中，顶点A 的坐标为(1,2)，高BE，CF 所在直线的方程分别为2x−3y+1 = 0，x+y = 0，求这个三角形三条
边所在直线的方程．
88
知识点睛
圆系方程
常见的圆系方程有如下四种：
1. 共圆心C(x0,y0) 的圆系方程：(x−x0)2 +(y−y0)2 = R2
2. 圆心都在直线Ax+By+C = 0 上，半径为R 的圆系方程：(x−x0)2 +(y−y0)2 = R2 且满足Ax0 +By0 +C = 0
3. 过圆C : x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 与直线l : Ax + By +C = 0 两交点A、B 的圆系方程：x2 + y2 + Dx + Ey + F +
λ (Ax+By+C) = 0
4. 过圆C1 : x2 + y2 + D1x + E1y + F1 = 0 与圆C2 : x2 + y2 + D2x + E2y + F2 = 0 两交点A、B 的圆系方程：x2 + y2 +
D1x+E1y+F1 +λ
(
x2 +y2 +D2x+E2y+F2
)
= 0（不含圆C2 : x2 +y2 +D2x+E2y+F2 = 0）.
注意：这里λ̸ = −1，当λ = −1 时，所得方程是两圆公共弦所在的直线方程.
精讲精练
【例11】
在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x2 +y2 −8x+15 = 0，若直线y = kx−2 上至少存在一点，使得以该点为
圆心，1 为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是
．
【例12】
经过点P(−2,4)，且以两圆x2 +y2 −6x = 0 和x2 +y2 −4 = 0 的公共弦为一条弦的圆的方程是
．
第15 讲
89
【例13】
已知圆C1：x2 +y2 +2x+2y−8 = 0 与圆C2：x2 +y2 −2x+10y−24 = 0 相交于A、B 两点
（1）求圆心在直线y = −x 上，且经过A、B 两点的圆的方程；
（2）求经过A、B 两点且面积最小的圆的方程．
1119092614304
