文档文本内容
目录
第8 讲
············································1
第9 讲
···········································15
第10 讲
·········································25
第11 讲
·········································35
第12 讲
·········································43
第13 讲
·········································53
第14 讲
·········································63
第15 讲
·········································75
第
讲
8
1
Part 1
实验：探究动能定理
Part 2
实验：验证机械能守恒定
律
Part 3
实验：验证动量守恒定律
2
Part 1
实验：探究动能定理
知识点睛
1. 实验目的:
探究力对物体做的功与物体的速度变化的关系
2. 实验原理:
⑴改变力对物体做的功，测出力对物体做不同功时物体的速度变化。
⑵为简化实验，可将物体初速度设置为零，利用如下图所示的装置进行实验，通过橡皮筋来对小车做功W，通
过打点计时器打在纸带上的点测量小车获得的速度v，然后分析功W 与速度v 的关系。
3. 实验器材:
木板、小车、橡皮筋、打点计时器、电源、纸带等
4. 实验步骤:
⑴按实验原理图所示安装好实验仪器并平衡摩擦力。
⑵第一次先用一条橡皮筋做实验，用打点计时器所打出的纸带测出小车获得的速度v1，设此时橡皮筋弹力对
小车做功为W，并将得到的数据记入表格。
⑶换用2 条、3 条、4 条…同样的橡皮筋做实验，并将橡皮筋拉伸的长度都和第一次相同，测出v2、v3、v4、…橡
皮筋对小车做功分别为2W、3W、4W、…将数据记入表格。
⑷分析数据，尝试作W −v、W −v2 等图象，探究W、v 的关系
5. 实验分析
⑴数据采集求小车的速度: 利用纸带上点迹均匀的一段测出两点间的距离x，则v = x
T (其中T 为打点周期)。
⑵数据记录: 把计算出的速度填入表中并算出v2 值。
⑶数据处理: 在坐标纸上画出W −v 和W −v2 图线。
第8 讲
3
6. 误差分析
⑴误差的主要来源是橡皮筋的长度、粗细不一，使橡皮筋的拉力做功W 与橡皮筋的条数不成正比。
⑵没有完全平衡摩擦力或平衡摩擦力时倾角过大也会造成误差。
⑶利用打上点的纸带计算小车的速度时，测量不准带来误差。
7. 注意事项
⑴平衡摩擦力很关键，将木板一端垫高，使小车重力沿斜面向下的分力与摩擦阻力平衡。方法是轻推小车，
由打点计时器打在纸带上的点的均匀程度判断小车是否匀速运动，找到木板一个合适的倾角。
⑵每次实验小车要拖动到同一位置释放。
⑶测小车速度时，纸带上的点应选均匀部分的，也就是选小车做匀速运动的部分。
⑷橡皮筋应选规格一样的。力对小车做的功以一条橡皮筋做的功为单位即可，不必计算出具体数值。
⑸小车质量应大一些，使纸带上打的点多一些。
精讲精练
【例1】
在探究功与物体速度变化关系的实验中，根据实验数据作出的W −v 图象如图所示，下列符合实际的是（ ）
4
【例2】
在实验中，小车运动中会受到阻力作用，这样，在小车沿木板滑行的过程中，除橡皮筋对其做功外，还有阻力做功，
这样便会给实验带来误差，我们在实验中想到的办法是使木板略微倾斜，对于木板的倾斜程度，下面说法正确的是
（ ）
①木板只要稍微倾斜一下即可，没有什么严格的要求；
②木板的倾斜角度在理论上应满足下面的条件：重力沿斜面的分力应等于小车受到的阻力；
③如果小车在倾斜的木板上能做匀速运动，则木板的倾斜程度是满足要求的；
④其实木板不倾斜，问题也不是很大，因为实验总是存在误差的。
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①④
【例3】
在“探究合力做功与动能改变的关系”的实验时，某同学采用了如图甲所示的装置。进行了如下操作：
①光电门固定在水平轨道上的B 点，用重物通过平行于轨道的细绳牵引带有遮光条的小车
②记录小车到光电门的距离l 和遮光条通过光电门的时间t
③保持小车和重物的质量不变，改变小车释放点到光电门的距离(l) 进行多次实验并记录l 和t
④利用记录的小车到光电门的距离l 和遮光条通过光电门的时间t 进行描点并作出线性图象来反映合力做的功
与动能改变的关系
（1）用游标卡尺测出遮光条的宽度d 如图乙所示，d =
cm。
（2）如果用小车到光电门的距离为l 和遮光条通过光电门的时间t 进行描点并作出线性图象图象来反映合力做的
功与动能改变的关系，则所作的图象关系是下列哪一个时才能符合实验要求（ ）
A. l −t
B. l −t2
C. l −t−1
D. l −t−2
（3）下列哪些实验操作能够减小实验误差（ ）
A. 小车必须从静止状态开始释放
B. 重物的质量必须远小于小车的质量
C. 调整轨道的倾角，用重力的分力来平衡摩擦力
D. 减小遮光条的宽度d
第8 讲
5
【例4】
利用图示的实验装置探究合力做功与动能变化的关系。
（1）为了消除打点计时器和木板对小车摩擦力的影响，需要平衡摩擦力。关于该操作环节，下列四种装置图中正确
的是（ ）
6
（2）甲小组同学正确平衡了阻力，选取的砝码和盘的总质量m 远小于小车的质量M，取砝码和盘的总重力值作为
绳子的拉力值，按正确操作得到图示的一条纸带。在纸带上选取三个连续计时点A、B、C，测得它们到静止释放
的起始点O 的距离分别为sA、sB、sC，打点计时器的工作频率为f，已知当地重力加速度为g，从O 到B 的运动
过程中，拉力对小车做功W =
，小车动能变化量∆Ek =
。
（3）乙小组同学也正确平衡了阻力，但并未保证选取的砝码和盘的总质量m 远小于小车的质量M。在处理数据时，
他们也取砝码和盘的总重力值作为绳子的拉力值，并采用图像法进行数据分析：在纸带上选取多个计数点，测
量静止释放的起始点O 到每个计数点的距离，并计算出每个计数点对应的小车速度v 以及从O 点到该计数
点对应的过程中绳子拉力所做的功W。他们作出的图线为（ ）
第8 讲
7
Part 2
实验：验证机械能守恒定律
知识点睛
1. 实验目的
验证机械能守恒定律。
2. 实验原理
⑴当物体自由下落时，只有重力做功，物体的重力势能和动能互相转化，机械能守恒。若某一时刻物体下落
的瞬时速度为v，下落高度为h，则应有mgh = 1
2mv2，借助打点计时器，测出重物某时刻的下落高度h 和该时刻的
瞬时速度v，即可验证机械能是否守恒，实验装置如图所示。
⑵计算第n 个点速度的方法：测出第n 个点相邻前后两段相同时间间隔T 内的位移sn 和sn+1，由公式
vn = sn +sn+1
2T
= hn+1 −hn−1
2T
3. 注意事项
⑴应尽可能控制实验条件，即应满足机械能守恒的条件，这就要求尽量减小各种阻力的影响，采取的措施有：
①安装打点计时器时，必须使两个限位孔的中线严格竖直，以减小摩擦阻力。
②应选用质量和密度较大的重物，增大重力可使阻力的影响相对减小，增大密度可以减小体积，可使空气阻
力减小。
⑵实验中，提纸带的手要保持不动，且保证纸带竖直。接通电源后，打点计时器工作稳定后再松开纸带。
⑶验证机械能守恒时，可以不测出物体质量，只要比较vn2
2 和ghn 是否相等即可验证机械能是否守恒。
8
⑷测量下落高度时，为了减小测量值hn 的相对误差，选取的各个计数点要离起始点远一些，纸带也不易过
长，有效长度可在60cm∽80cm 之间。
⑸速度不能用vn = gtn 或vn = √2ghn 计算，因为只要认为加速度为g，机械能当然守恒，即相当于用机械能
守恒定律验证机械能守恒定律，况且用vn = gtn 计算出的速度比实际值大，会得出机械能增加的错误结论，而因为
摩擦阻力的影响，机械能应该减小，所以速度应从纸带上直接测量计算。同样的道理，重物下落的高度hn，也只能
用刻度尺直接测量，而不能用hn = 1
2gtn2 或hn = vn2
2g 计算得到。
4. 误差分析
⑴本实验中因重物和纸带在下落过程中要克服各种阻力(空气阻力、打点计时器阻力) 做功，故动能的增加量
∆Ek 稍小于重力势能的减少量∆Ep，即∆Ek < ∆Ep，这属于系统误差。改进的办法是调整器材的安装，尽可能地减
小阻力。
⑵本实验的另一个误差来源于长度的测量，属偶然误差。减小误差的办法是测下落距离时都从O 点量起，一
次将各打点对应的下落高度测量完，或者多次测量取平均值。
精讲精练
【例5】
在做“验证机械能守恒定律”实验时，下列实验操作中正确合理的一项是（ ）
A. 先放开纸带让重物下落，再接通打点计时器的电源
B. 必须用秒表测出重物下落的时间
C. 先取下固定在重物上的打好点的纸带，再切断打点计时器的电源
D. 选取重物时，其质量适当大点，可以减小因阻力而产生的误差
第8 讲
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【例6】
利用如图所示装置进行验证机械能守恒定律的实验时，需要测量物体由静止开始自由下落到某点时的瞬时速度v
和下落高度h。某班同学利用实验得到的纸带，设计了以下四种测量方案，其中正确的方案是（ ）
A. 用刻度尺测出物体下落的高度h，并测出下落时间t，通过v = gt 计算出瞬时速度v
B. 用刻度尺测出物体下落的高度h，并通过v = √2gh 计算出瞬时速度v
C. 根据做匀变速直线运动时纸带上某点的瞬时速度，等于这点前后相邻两点间的平均速度，测算出瞬时速度v，并
通过h = v2
2g 计算得出高度h
D. 用刻度尺测出物体下落的高度h，根据做匀变速直线运动时纸带上某点的瞬时速度等于这点前后相邻两点间的
平均速度，测算出瞬时速度v
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【例7】
利用图示装置做“验证机械能守恒定律”实验。
（1）为验证机械能是否守恒，需要比较重物下落过程中任意两点间的（ ）
A. 动能变化量与重力势能变化量
B. 速度变化量与重力势能变化量
C. 速度变化量与高度变化量
（2）除带夹子的重物、纸带、铁架台(含铁夹)、电磁打点计时器、导线及开关外，在下列器材中，还必须使用的两种器
材是（ ）
A. 交流电源
B. 刻度尺
C. 天平(含砝码)
（3）实验中，先接通电源，再释放重物，得到上图所示的一条纸带。在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，测得它
们到起始点O 的距离分别为hA、hB、hC。已知当地重力加速度为g，打点计时器打点的周期为T。设重物的质
量为m。从打O 点到打B 点的过程中，重物重力势能的减少量∆Ep =
，动能的增加量∆Ek =
。
（4）实验结果显示，重物重力势能的减少量略大于其动能的增加量，原因是（ ）
A. 利用公式v = gt 计算重物速度
B. 利用公式v = √2gh 计算重物速度
C. 存在空气阻力和摩擦阻力的影响
D. 没有采用多次实验取平均值的方法
第8 讲
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Part 3
实验：验证动量守恒定律
知识点睛
一、实验目的:
验证碰撞中的动量守恒。
二、实验器材:
两个小球(大小相等，质量不等)，斜槽，重锤线，白纸，复写纸，天平，刻度尺，圆规。
三、实验原理:
利用图甲所示的装置验证碰撞中的动量守恒，让一个质量较大的球从斜槽上滚下来，跟放在斜槽末端上的另
一个质量较小的球发生碰撞，两球均做平抛运动。由于下落高度相同，从而导致飞行时间相等，我们用它们平抛射
程的大小代替其速度。小球的质量可以测出，速度也可间接地知道，如满足动量守恒式m1v1 = m1v
′
1 + m2v
′
2，则可
验证动量守恒定律。
四、实验步骤:
1. 用天平分别称出两个小球的质量m1 和m2；
2. 按图甲安装好斜槽，注意使其末端切线水平，并在地面适当的位置放上白纸和复写纸，如图乙所示，在白纸
上记下重锤线所指的位置O 点。
3. 首先在不放被碰小球的前提下，让入射小球从斜槽上同一位置从静止滚下，重复数次，便可在复写纸上打
出多个点，如图丙所示，用圆规作出尽可能小的圆，将这些点包括在圆内，则圆心就是不发生碰撞时入射小球的平
均位置P(图乙) 点；
4. 将被碰小球放在斜槽末端上，使入射小球与被碰小球能发生正碰；
5. 让入射小球由某一定高度从静止开始滚下，重复数次，使两球相碰，按照步骤3 的办法求出入射小球落地
点的平均位置M(图乙) 和被碰小球落地点的平均位置N(图乙)；
6. 过ON 在纸上做一条直线，测出OM、OP、ON 的长度；
7. 将数据代入下列公式，验证公式两边数值是否相等(在实验误差允许的范围内):m1·OP = m1·OM+m2·ON。
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五、注意事项:
1. 入射球的质量应大于被碰球的质量，且必须保证两球“正碰”。
2. 测定两球速度的方法，是以它们做平抛运动的水平位移代表相应的速度。
3. 斜槽末端必须水平，检验方法是将小球放在平轨道上任何位置，看其能否都保持静止状态。
4. 入射球每次都必须从斜槽上同一位置由静止开始滚下。方法是在斜槽上的适当高度处固定一档板，小球靠
着档板后放手释放小球。
5. 实验过程中，实验桌、斜槽、记录的白纸的位置要始终保持不变。
6.m1 ·OP = m1 ·OM +m2 ·ON 式中相同的量取相同的单位即可，不一定要统一为国际制单位。
六、误差分析:
误差来源于实验操作中，两个小球没有达到水平正碰，一是斜槽不够水平，二是两球球心不在同一水平面上，
给实验带来误差。每次静止释放入射小球的释放点越高，两球相碰时作用力就越大，动量守恒的误差就越小。应进
行多次碰撞，落点取平均位置来确定，以减小偶然误差。下列一些原因可能使实验产生误差:
1. 若两球不能正碰，则误差较大；
2. 斜槽末端若不水平，则得不到准确的平抛运动而造成误差；
3.O、P、M、N 各点定位不准确带来了误差；
4. 测量和作图有偏差；
5. 仪器和实验操作的重复性不好，使得每次做实验时不是统一标准。
精讲精练
【例8】
若采用图中甲、乙两种实验装置来验证动量守恒定律(图中小球半径相同，质量均为已知，且mA > mB，B、B′ 两点
在同一水平线上)，下列说法正确的是（ ）
A. 采用图甲所示的装置，必须测量OB、OM、OP 和ON 的距离
B. 采用图乙所示的装置，必须测量OB、B′N、B′P 和B′M 的距离
C. 采用图甲所示装置，若mA ·ON = mA ·OP+mB ·OM，则表明此碰撞动量守恒
D. 采用图乙所示装置，若
1
√
B′N
=
1
√
B′M
+
1
√
B′P
，则表明此碰撞机械能守恒
第8 讲
13
【例9】
用半径相同的小球1 和小球2 的碰撞验证动量守恒定律，实验装置如图所示，斜槽与水平槽圆滑连接。安装好实
验装置，在地上铺一张白纸，白纸上铺放复写纸，记下重垂线所指的位置O。接下来的实验步骤如下:
步骤1：不放小球2，让小球1 从斜槽上A 点由静止滚下，并落在地面上。重复多次，用尽可能小的圆，把小球的所
有落点圈在里面，其圆心就是小球落点的平均位置；
步骤2：把小球2 放在斜槽前端边缘位置B，让小球1 从A 点由静止滚下，使它们碰撞。重复多次，并使用与步骤1
同样的方法分别标出碰撞后两小球落点的平均位置；
步骤3：用刻度尺分别测量三个落地点的平均位置M、P、N 离O 点的距离，即线段OM、OP、ON 的长度。
（1）对于上述实验操作，下列说法正确的是（ ）
A. 实验过程中，白纸可以移动，复写纸不能移动
B. 小球1 的质量应大于小球2 的质量
C. 应使小球每次从斜槽上相同的位置自由滚下
D. 斜槽轨道必须光滑
（2）本实验除需测量线段OM、OP、ON 的长度外，还需要测量的物理量有（ ）
A. 小球1 和小球2 的质量m1、m2
B. 小球1 和小球2 的半径r
C. A、B 两点间的高度差h1
D. B 点离地面的高度h2
（3）入射球a 的质量为m1，被碰球b 的质量为m2，各小球的落地点如上图所示，下列关于这个实验的说法正确的
是（ ）
A. 轨道末端必须水平
B. 实验中必须测量两个小球的直径
C. 要验证的表达式是m1ON = m1OM +m2OP
D. 要验证的表达式是m1ON = m1OM +m2ON
14
（4）完成上述实验后，某实验小组对上述装置进行了改造，如图所示。在水平槽末端与水平地面间放置了一个斜
面，斜面的顶点与水平槽等高且无缝连接。使小球1 仍从斜槽上A 点由静止滚下，重复实验步骤1 和2 的操
作，得到两球落在斜面上的平均落点M′、P′、N′。用刻度尺测量斜面顶点到M′、P′、N′ 三点的距离分别为L1、
L2、L3。则验证两球碰撞过程中动量守恒的表达式为
(用所测物理量的字母表示)。
第
讲
9
15
Part 1
转动的描述
Part 2
转动定律
Part 3
角动量
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Part 1
转动的描述
知识点睛
高中阶段我们仅研究质点的运动学问题，本节课我们把视线放宽，来研究刚体的运动。
1. 刚体
在无论多大的外力作用下，总保持其形状和大小不变的物体称为刚体。刚体是一种理想化模型，实际物体在
外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略时，即可将其视为刚体，刚体内各质点之间的距离保持不变是其重要
的模型特征。
2. 刚体的平动和转动
刚体运动时，其上各质点的运动状态（速度、加速度、位移）总是相同，这种运动称为平动。研究刚体的平动
时，可选取刚体上任意一个质点为研究对象刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运动，
这种运动称为转动，而所绕直线便称为轴。若转轴是固定不动的，刚体的运动就是定轴转动，刚体的任何一个复杂
运动总可视作平动与转动的叠加，刚体的运动同样遵从运动独立性原理。
3. 质心质心运动定律
质心这是一个等效意义的概念：任何一个刚体（或质点系），总可以找到一点C，它的运动就代表整个刚体
（或质点系）的平动，它的运动规律就等效于将刚体（或质点系）的质量集中在C 点，刚体（或质点系）所受外力
也全部作用在C 点时，这个点就称为质心．当外力的作用线通过刚体的质心时，刚体仅做平动；当外力作用线不通
过质心时，整个物体的运动是随质心的平动及绕质心的转动的合成．
质心运动定律物体受外力F 作用时，其质心的加速度为aC，则必有F = maC．这就是质心运动定律，该定律
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力作用点在物体的哪个位置，质心的运动总等效于物体的质量全部集中
在此、外力亦作用于此时应有的运动．
我们先从圆形物体的纯滚动开始研究，做纯滚动的物体与接触面没有任何相对滑动。如图，圆盘在地面上向
右做纯滚动，质心O 的平动速度为v0，圆盘上任意点绕圆心转动的角速度为ω，圆盘半径为r。设某时刻圆盘与地
面的接触点为A，由于圆盘的纯滚动，此时A 点相对地面静止，即vA = 0。由于vA = v圆心对地+vA 对圆心= v0 −ωr，
可得v0 = ωr。
第9 讲
17
精讲精练
【例1】
如图所示，半径为r 的轮子在水平面上做无滑动的滚动，已知轮子中心的速度为v0，试求轮子边绿上任一点P 相
对地面的速度大小，P 点的位置用角表示。
【例2】
握着线头以恒定速度v 拉线轴，如图所示，线轴做无滑动地滚动，求线轴转动的角速度。
18
Part 2
转动定律
知识点睛
1. 转动惯量J
转动惯量是物体在转动中惯性大小的量度，它等于刚体中每个质点的质量mi 与该质点到转轴的距离ri 的平
方的乘积的总和，即J = limn→∞∑n
i=1 mir2
i
一般物体的质量可以认为是连续分布的，所以上式可写成积分形式为J =
∫r2dm =
∫r2ρdV
这是求物体转动惯量的根本方法，现阶段我们直接给出常见物体的转动惯量，同学们直接拿来用即可。等在
数学课上熟练掌握微积分后，不妨再回过头来推导一下。下面附上常见均质物体的转动惯量
在研究质点的运动时，我们用质量来衡量改变物体运动状态的难易程度。转动惯量则用来衡量使物体转动状
态发生改变的难易程度。转动惯量越大，改变物体转动的角速度就越困难。
第9 讲
19
2. 描述转动状态的物理量
描述刚体定轴转动状态的物理量有
(1) 角速度ω
角速度的定义为ω = lim∆t→0 ∆θ
∆t ，在垂直于转轴、离转轴距离r 处的线速度和角速度之间的关系为v = ωr。
(2) 角加速度α
角加速度的定义为α = lim∆t→0 ∆ω
∆t 。在垂直于转轴，离转轴距离r 处的线加速度与角加速度的关系为a = rα。
(3) 角动量L
角动量也可称动量矩，物体对定轴转动时，在垂直于转轴、离转轴距离r 处某质量为m 的质点的角动量大小是
mvr = mr2ω，各质点角动量的总和即为物体的角动量：L = ∑miviri =
(
∑mir2
i
)
ω = Jω。
(4) 转动动能Ek
当刚体作转动时，各质点具有共同的角速度ω 及不同的线速度v，整个刚体因转动而具有的动能为所有质点
的转动能的总和：Ek = 1
2
(
∑mir2
i
)
ω2 = 1
2Jω2
3. 转动定律
类比质点的平动，我们有如下关于转动的定律
20
精讲精练
【例3】
如图所示，两根等重的细杆BC 及AC，在C 点用铰链连接，放在光滑水平面上，设两杆由图示位置无初速地开始运
动，求铰链C 着地时的速度。
【例4】
如图14−19 所示，圆柱体A 的质量为m，在其中部绕以细绳，绳的一端B 固定不动，圆柱体初速度为零地下落，当
其轴心降低h 时，求圆柱体轴心的速度及绳上的张力。
第9 讲
21
【例5】
如图(甲)，在光滑地面上静止地放置着两根质量均为m，长度均为l 的均匀细杆，其中一杆由相等的两段构成，中
间用光滑的铰链连接起来，两段在连接点可以弯折但不能分离。在两杆的一端，各施以相同的垂直于杆的水平冲
量I。试求两杆所获动能之比。
22
Part 3
角动量
知识点睛
当物体所受合外力矩等于零时，物体的角动量保持不变，此即角动量定律。该定律适用于物体、物体组或质点
系当不受外力矩或所受合外力矩为零时，在运用角动量守恒定律时，要注意确定满足守恒条件的参考系。
推论：如果一个质点在有心力场的作用下运动，则该质点的角动量守恒。比如环绕地球运动的卫星，由于受地
球的万有引力始终指向地球的质心，卫星的角动量是守恒的。
精讲精练
【例6】
如图所示，质量为m 的小球自由下落，某时刻具有速度v，此时小球与图中的A、B、C 三点恰好位于某长方形的四
个顶点，且小球与A，C 两点的距离分别为l1、l2，求小球相对A、B、C 三点的角动量L1、L2、L3 的大小。
第9 讲
23
【例7】
如图所示，两个质量均为m 的滑冰者，在冰场两条相距为L0 的平直跑道上均以速率v0 迎面匀速滑行，当两者之间
的距离等于L0 时，分别抓住一根长为L0 的轻绳两端，而后每人都用相等的力缓慢向自己一边拉绳，直到两者相距
为L(L < L0) 时，这个过程中两位滑冰者动能的增量为（ ）
A. 1
2
(
L02
L2 −1
)
mv02
B.
(
1−L2
L02
)
mv02
C.
(
L02
L2 −1
)
mv02
D. 1
2
(
1−L2
L02
)
mv02
【例8】
如图所示，在水平的光滑桌面上开有一个小孔，条绳穿过小孔，其两端各系由一质量为m 的物体，开始时，用手握
住下面的物体，桌上的物以v0 = 3
2
√2r0 速率作半径为r0(即桌上部分绳长) 的匀速圆周运动，然后放手，求后运动
中桌上绳索的最大长度。
第
讲
10
25
Part 1
圆锥曲线
Part 2
天体运动
26
Part 1
圆锥曲线
知识点睛
1. 前言
圆锥曲线是高中数学中最重要的解析几何题型，我们仅做适用于物理课内知识点需求的知识点介绍。更详细
的内容请同学们在数学课上认真学习。
2. 三种圆锥曲线
圆锥曲线只有三种：椭圆，抛物线，双曲线。默认圆也是一种特殊类型的椭圆
3. 椭圆
（1）定义：到两固定点的距离之和为一定值的点的轨迹为椭圆，这个定值之和等于椭圆的长轴，大小为2a。
两定点称为焦点，椭圆距离中心最长距离称为半长轴a，最短距离称为半短轴b，椭圆中心到椭圆的焦点的距离称
为焦距c，如下图所示
（2）数学关系式
上述图示的椭圆的表达式为x2
a2 + y2
b2 = 1，半长轴，半短轴，焦距之间的关系是a2 = b2 +c2，椭圆偏离正圆的程
度用离心率e 表示，计算公式是e = c
a。正圆的两个焦点重合在了圆心，因此焦距为0，离心率为0。除此之外，所
有的椭圆的离心率满足0 < e < 1
第10 讲
27
4. 抛物线和双曲线
抛物线我们在初中就已经学过了，最简洁的抛物线的表达式写为x2 = 4py。抛物线也有焦点。位于(0, p)
双曲线的定义是到两固定的距离之差的绝对值为一定值的一簇曲线，它有两支，如下所示
数学表达式为x2
a2 −y2
b2 = 1，这时我们一般不再称为半长轴半短轴，而称为半实轴，半虚轴。半实轴，半虚轴，焦
距之间的关系式为a2 +b2 = c2
28
Part 2
天体运动
知识点睛
1. 万有引力定律
引力定律我们已经十分熟悉，我们现在考虑正圆形的天体轨道中，我们注意一些圆周运动中的等价公式变换
v = ωr = 2π
T r 可以帮助我们导出一系列等价公式
2. 守恒关系
我们之前在空间力系中，认识了角动量，并且我们知道，如果没有外力矩的作用，角动量会保持守恒。在一个
孤立的天体系统中，万有引力是有心力，没有力矩效果，因此守恒量有两个：角动量和机械能
3. 常用公式
（1）对于天体系统，不作任何推导要求，要求记住以下公式即可。
万有引力的力是有心力，即力过恒星和行星的连线，在有心力场中，天体的运动一定是圆锥曲线：即椭圆、抛物
线、双曲线。其中只有椭圆才是周期性的，抛物线和双曲线型运动轨迹都会永远地离开恒星而去，永不再返回。
机械能守恒，包括动能和引力势能，分别为
椭圆，假设半长轴为a，机械能为
E = −GMm
2a
抛物线的机械能为
E = 0
双曲线，假设实半轴为a，机械能为
E = GMm
2a
（2）逃逸速度指的是，初始距离引力中心为R，刚好能逃逸至无穷远的初始速度，也就是一个等效抛物线型
运动
v0 =
√
2GM
R
（3）角动量守恒，因此可以找轨道上的任意一个特殊点进行计算，我们以椭圆为例，阐述机械能守恒和角动
量守恒在天体运动中具有自然的逻辑自洽。以半长轴的近日点和远日点处的角动量为例
1
2mv2
1 −GMm
a+c = 1
2mv2
2 −GMm
a−c = −GMm
2a
所以我们得到
v1 =
√
GM (a−c)
2a(a+c) ; v2 =
√
GM (a+c)
2a(a−c)
第10 讲
29
因此远日点和近日点的角动量分别为
L1 = mv1 (a+c) =
√
GM (a+c)(a−c)
2a
=
√
GM
(
a2 −c2)
2a
= b
√
GM
2a = mv2 (a−c) = L2
可以看出，机械能守恒能保证角动量在圆锥曲线的天体运动中的守恒性，二者是自洽的。
精讲精练
【例1】
如图所示，同步卫星在赤道上空的同步轨道上定位以后，由于受到太阳、月球及其他天体的引力作用，会产生不同
方同的飘移运动而偏离原来的位置，当偏离达到一定程度，就要启动卫星上的小发动机进行修正。图中A 为同步
轨道，B 和C 为两个已经偏离同步轨道但轨道仍在赤道平面内的卫星，要使它们回到同步机道上，下述方法正确的
是（ ）
A. 开动B 的小发动机向前喷气，使B 适当减速
B. 开动B 的小发动机向后喷气，使B 适当加速
C. 开动C 的小发动机向前喷气，使C 适当减速
D. 开动C 的小发动机向后喷气，使C 适当加速
30
【例2】
如图所示，行星的轨道为椭圆，恒星位于交点F1 位置，已知今日点到恒星距离A1F1 = r1，远日点到恒星距离
A2F1 = r2，行星在近日点A1 的速率为v1，求行星在远地点A1 及椭圆短轴端点B2 位置的速率。
【例3】
如图所示，发射一宇宙飞船去考察一质量为M、半径为R 的行星。当飞船静止于空间距行星中心为4R 时，以速率
v0 发射一质量为m(m ≪M) 的仪器。要使这仪器恰好掠着行星的表面着陆，θ 角应是多少？着陆滑行的速度v 大
小如何？
第10 讲
31
【例4】
质量分别为M，m 的两个质点相距L，将两质点从静止释放，求两质点相遇时间。(只考虑相互间万有引力的作用)
【例5】
如图所示，图中A 点是北极发射点，B 点为导落地点，在赤道上，导弹在地球外部空间的轨道是椭圆的一部分，地心
为其中一个焦点，根据对称性，椭圆长轴MN 是直角∠AOB 的角平分线。
32
【例6】
如图所示，一卫星绕地珠沿圆轨道运动，速度为v0，卫星离地面高度为h，设卫星中辅助发动机向轨道外侧作短时
间喷气，使它获得指冋地球中心的径冋速度vr，此后卫星将沿新的椭圆轨道运动，试求卫星新轨道的近地点和远地
点离地球表面的高度，设地球为球形，半径为R。
第10 讲
33
【例7】
如图所示，一宇宙飞船绕地球中心做圆周运动，轨道半径是R。现欲将飞船转移到另一半径是2R 的圆轨道上去。
（1）求转移轨道所需的最小能量。
（2）转移轨道最经济的路线是沿图所示半椭圆轨道。这种卫星发射方案叫双切轨道方案，又叫霍曼(Hohman) 轨
道方案。求飞船在两种轨道相切处A 和B 的速度变化量。
（3）求飞船从A 航行到B 所需要的时间。
第
讲
11
35
Part 1
动量与能量综合
36
Part 1
动量与能量综合
知识点睛
质心系
我们在研究二体碰撞的过程中，必然会涉及到碰撞所产生的动能变化。对于一个不受外力作用的理想二体问
题，它们的共同质心的动量保持不变，因此质心所具有的动能也保持守恒，但是相对质心的速度和动能是可以变化
的，质心运动定理告诉我们：质点系的动能等于它们的共同质心所具有的动能与它们相对于质心的动能之和，用公
式如下表达
∑
i
Ei = Ec + ∑
i
Eci
根据动量关系，质心具有全部质点系的动量，各个质点在质心系中的总动量为0。
有时选取质心系作为参照系，可以简化解题过程。
精讲精练
【例1】
如图所示，长为L、质量为M 的木块静止在光滑水平面上，质量为m 的子弹以水平速度v0 射入木块并从中射出。
已知从子弹射入到射出，木块移动的距离为s，则子弹穿过木块所用的时间为（ ）
A. L+s
v0
B. 1
v0
[
L+
(
1+ M
m
)
s
]
C. 1
v0
[
L+
(
1+ m
M
)
s
]
D. 1
v0
[
s+
(
1+ M
m
)
L
]
第11 讲
37
【例2】
如图所示，质量均匀分布的圆环由静止释放，沿高为h，倾角为θ 的固定斜面顶端下滑，圆环质量为m，半径为R，
下滑过程中始终保持纯滚动。假设h 很大，圆环滑到斜面底端时重心下降高度近似为h。求圆环滑到斜面底端时
的质心速度。
38
【例3】
如图所示，光滑平面上两个相隔一定距离的小球分别以v0(向左) 和0.8v0(向右) 反向匀速运动，它们中间有两个小
球，质量为m 的小球1 在左侧，质量为2m 的小球2 在右侧，中间有一压缩的弹簧，弹性势能为EP，当弹性势能全
部释放后：
（1）分别求小球1 和小球2 的速度。
（2）若小球1 能追上左边的以v0 运动的球，而小球2 不能追上右边以0.8v0 运动的球，求m 的取值范围。
第11 讲
39
【例4】
水平桌面上叠放着三个圆柱体A、B、C，它们的半径均为r，质量mB = mC = mA
2 。先让它们保持如图所示的位置，然
后从静止开始释放，若不计所有接触面间的摩擦，求A 与B、C 分离时的速率。
40
【例5】
如图所示，可视为质点的三个物块A、B、C 质量分别为m1、m2、m3，三物块间有两根轻质弹簧a、b，其原长均为L0，
劲度系数分别为ka、kb。a 的两端与物块连接，b 的两端与物块只接触不连接。a、b 被压缩一段距离后，分别由质量
可忽略不计的硬质连杆锁定，此时b 的长度为L，整个装置竖直置于水平地面上，重力加速度为g。
（1）现解开对a 的锁定，若当B 到达最高点时，A 对地面压力恰为零，求此时C 距地面的高度H。
（2）在B 到达最高点瞬间，解除a 与B 的连接。并撤走A 与a。同时解除对b 的锁定。设b 恢复形变对间极短，此
过程中弹力冲量远大于重力冲量，求C 的最大速度的大小v3(弹簧的弹性势能可以表示为EP = k∆x2
2
，其中∆x
为弹簧的形变量)。
（3）求C 自b 解锁瞬间至恢复原长时上升的高度h。
第11 讲
41
【例6】
如图所示，质量为M、表面光滑的半球体静止放在光滑地面上，半球顶端有一个质量为m 的小滑块由静止开始下
滑，至圆心角为θ 处时飞离半球体，已知cosθ = 0.70，试求M
m 的值。
【例7】
两个质量都为m 的小球以速度v 平动撞向墙面，杆与墙面的初始夹角为45◦，设碰撞为完全弹性碰撞，不考虑以及
重力，求撞墙后瞬间两球速度大小。
第
讲
12
43
Part 1
电荷
Part 2
库伦定律
44
Part 1
电荷
知识点睛
1. 电荷的电性及相互作用
初中我们接触过基本的电荷转移，丝绸摩擦的玻璃棒带正电，而毛皮摩擦的橡胶棒带负电。电荷有且仅有正
负两种电性。同种电性的电荷之间相互排斥，异种电性的电荷之间相互吸引。
2. 电荷守恒定律
电荷既不能被产生，也不能被消灭，它只能从物体的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移到另一个物
体上。
3. 电荷的本质
我们知道，组成物体的基本粒子是原子核和核外电子，原子核带正电荷（准确地说是原子核中的质子带正电
荷），核外电子带负电荷。一般地中性原子的核外电子带负电的总量和原子核带的正电量相等，因此整体对外不显
示电性。但常常核外电子会发生转移，如果一个中性原子失去了电子或者获得了电子，就会对外整体显示出带电
荷的性质，我们称之为离子。
4. 物体的起电方式
物体起电方式包括摩擦起电，接触起电和感应起电。其中摩擦起电是两个物体的电子通过摩擦等机械作用发
生了转移，而整体带电的过程；接触起电是物体与另外一个带电物体接触，从而电荷发生转移而产生带电的过程。
这两种起电过程都是物体的整体电荷总量发生了变化，而感应起电是物体接近一个带电物体时，由于与带电物体
电性相同的电荷被排斥，相反的电荷被吸引，从而在该物体上产生了一个电荷的分布。这个过程中的物体的总电
荷量的净值是没有发生变化的。变化的只是正负电荷在该物体上的分布。
5. 元电荷与点电荷
物体所带电荷的总量称为电荷量，在国际单位制中用库仑C 表示。迄今为止发现的数值最小的电荷量就是电
子和质子所带的电荷量的绝对值，称之为元电荷，元电荷是一个正数值，描述的是电荷量而不是带电物体或者带电
粒子，不能说任何带电物体是元电荷。带电物体的电荷量或者电荷量的转移量永远都是元电荷的整数倍（可正可
第12 讲
45
负）。元电荷记为e 大小为
e = 1.60217733×10−19C ≈1.60×10−19C
物体的电荷量和物体的质量之间的比值称为比荷，电子的比荷是
e
me
= 1.76×1011C ·kg−1
如果带电物体在研究问题的情景中，电荷在其整体的分布及其形状大小对研究问题影响可以忽略不计的时
候，我们就可以把带电物体理想化为一个带电的点，就如同质点一般，点电荷只有电荷量而没有大小形状。对于一
个带电物体是否能抽象为点电荷是依赖于具体情境的。
6. 验电器
验电器是高中阶段最基本的带电物体的检测器，当验电器不带电时，用接触起电和感应起电法，都可以让验电
器内的两片金属箔张开，当接触起电时，验电器被充电，下方两片金属箔带与带电物体相同电性的电荷，互相排斥
而张开；当感应起电时，验电器上端与带电物体电性相反的电荷被吸引而聚集，下方的金属片带多余电性相同的电
荷，互相排斥而张开。
通过验电器，我们可以判断物体带电量的相对大小，越大电荷量的带电物体的充电或者感应起电能力越强，金
属片的张开角度就越大。
精讲精练
【例1】
关于点电荷，以下说法正确的是（ ）
A. 足够小的电荷，就是点电荷
B. 一个电子，不论在何种情况下均可视为点电荷
C. 在实际中点电荷并不存在
D. 一个带电体能否看成点电荷，不是看它尺寸的绝对值，而是看它的形状和尺寸对相互作用力的影响能否忽略不
计
46
【例2】
关于元电荷的理解，下列说法正确的是（ ）
A. 元电荷就是电子
B. 元电荷是表示跟电子所带电荷量数值相等的电荷量
C. 元电荷就是质子
D. 物体所带的电荷量只能是元电荷的整数倍
【例3】
如图所示，将带电棒移近甲、乙两个不带电的导体球，两个导体球开始时互相接触且对地绝缘，下列几种方法中能
使两球都带电的是（ ）
A. 先把球分开，再移走棒
B. 先移走棒，再把两球分开
C. 先将棒接触一下其中的一个球，再把两球分开
D. 棒的带电荷量不变，两导体球不能带电
第12 讲
47
【例4】
如图所示，水平天花板下用长度相同的绝缘细线悬挂起来的两个相同的带电介质小球A、B，左边放一带正电的固
定球P 时，两悬线都保持竖直方向。下面说法正确的是（ ）
A. A 球带正电，B 球带负电，并且A 球带电荷量较P 球带电荷量大
B. A 球带正电，B 球带负电，并且A 球带电荷量较P 球带电荷量小
C. A 球带负电，B 球带正电，并且A 球带电荷量较P 球带电荷量小
D. A 球带负电，B 球带正电，并且A 球带电荷量较P 球带电荷量大
【例5】
如图所示，甲、乙、丙、丁四个小球，甲吸引乙，甲排斥丙，丙吸引丁，如果丙带正电，则乙带
；丁带
。
48
【例6】
绝缘细线上端固定，下端挂一轻质小球a，a 的表面镀有铝膜；在a 旁有一绝缘金属球b，开始时，a、b 都不带电，如
图所示，现使b 带电，则（ ）
A. b 将吸引a，吸住后不放开
B. b 先吸引a，接触后又把a 排斥开
C. a、b 之间不发生相互作用
D. b 立即把a 排斥开
【例7】
如图所示，不带电的枕形导体的A、B 两端各贴有一对金属箔，当枕形导体的A 端靠近一带电导体C 时（ ）
A. A 端金属箔张开，B 端金属箔闭合
B. 用手触摸枕形导体后，A 端金属箔仍张开，B 端金属箔闭合
C. 用手触摸枕形导体后，将手和C 都移走，两对金属箔均张开
D. 两对金属箔分别带异种电荷
第12 讲
49
Part 2
库伦定律
知识点睛
1. 库仑实验
物理学家库仑是第一个完成电荷之间的静电力（又称库仑力）是平方反比力关系验证的学者。他精心设计的
库仑扭秤，通过悬丝悬挂的金属小球在固定带电金属小球的不同作用距离下的扭转角度，可以比较静电力和距离
之间的关系。并且带电金属小球通过与不带电金属小球的接触均分电荷之后，验证了静电力和每一个金属小球的
电荷量成正比，而与距离的二次方成反比。
2. 库仑定律
真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量乘积成正比，与它们距离的二次方成反比，作用方
向在它们的连线上。
3. 延伸理解
第一，库仑定律要求的是真空中的点电荷，在实际问题中，非真空的同一均匀介质也是正确的；第二，要求两个
点电荷静止，在一般问题中，一个点电荷静止，另一个点电荷运动时两者的相互作用也可以使用库仑定律；第三，作
用方向在连线上意味着如果以一个点电荷为支点，库仑力是有心力，没有力矩效果。
4. 数学表达式
根据库仑定律的文字描述，我们写出库仑定律的表达式形如
F = kQ1Q2
r2
其中参数k 是经过精确测定的，它满足
k =
1
4πε0
≈9.0×109N ·m2 ·C−2
其中ε0 被称为真空介电常数，是基本的物理学常数之一。
根据数学表达式，我们可以得知：库仑力与万有引力本质不同但是形式类似。并且在一般的微观粒子中，库仑
力的大小远远大于万有引力的大小，因此在考虑两个带电的微观粒子的相互作用时，我们常常会忽略引力相互作
用的效果。
我们之前描述的单一均匀介质中的库仑力也满足上述表达式，但与真空不同，在上述表达式中需要加上相对
介电常数这一参数，表达式更改为
F = kQ1Q2
εrr2
真空的相对介电常数为1，因此就不需要写出这一项，但是一般的介质的相对介电常数都大于1，因此相对的，
库仑力会小于同等条件真空下的库仑力。
50
精讲精练
【例8】
两个分别带有电荷量−Q 和+5Q 的相同金属小球(均可视为点电荷)，固定在相距为r 的两处，它们间库仑力的大
小为F，两小球相互接触后将其固定距离变为r
2，则两球间库仑力的大小为（ ）
A. 5F
16
B. F
5
C. 4F
5
D. 16F
5
【例9】
如图所示，两个电荷量均为+q 的小球用长为l 的轻质绝缘细绳连接，静止在光滑的绝缘水平面上。两个小球的半
径r ≪l。k 表示静电力常量。则轻绳的张力大小为（ ）
A. 0
B. kq2
l2
C. 2kq2
l2
D. kq
l2
【例10】
两个半径为R 的带电球所带电荷量分别为q1 和q2，当两球心相距3R 时，相互作用的静电力大小为（ ）
A. F = k q1q2
(3R)2
B. F > k q1q2
(3R)2
C. F < k q1q2
(3R)2
D. 无法确定
第12 讲
51
【例11】
如图所示，一个带正电的球体M 放在绝缘支架上，把系在绝缘丝线上的带电小球N 先后挂在横杆上的P1 和P2
处。当小球N 静止时，丝线与竖直方向的夹角分别为θ1 和θ2(θ2 图中未标出)。则（ ）
A. 小球N 带正电，θ1 > θ2
B. 小球N 带正电，θ1 < θ2
C. 小球N 带负电，θ1 > θ2
D. 小球N 带负电，θ1 < θ2
【例12】
如图所示，把质量2g 的带负电小球A，用绝缘细绳悬起，现将带电量为Q = 4.0×10−6C 的带电小球B 靠近A，当
两个带电小球在同一高度且相距30cm 时，绳与竖直方向成α = 45◦，已知静电力常量k = 9×109N·m2/C2，求：
（1）B 球受到的库仑力。
（2）A 球的带电量大小。
52
【例13】
两个半径为R 的带异号电的金属球所带电荷量大小分别为q1 和q2，当两球心相距3R 时，相互作用的静电力大小
为（ ）
A. F = k q1q2
(3R)2
B. F > k q1q2
(3R)2
C. F < k q1q2
(3R)2
D. 无法确定
【例14】
如图所示，在竖直面上固定着一根光滑绝缘的圆形空心管，其圆心在O 点，过O 点的一条水平直径上的A、B 两
点固定着两个点电荷。其中固定于A 点的为正电荷，电荷量大小为Q；固定于B 点的是未知电荷，在它们形成
的电场中，有一个可视为质点的质量为m、电荷量大小为q 的带电小球正在空心管中做圆周运动，若已知小球以
某一速度通过最低点C 处时，小球恰好与空心管上、下壁均无挤压且无沿切线方向的加速度，AB 间的距离为L，
∠ABC = ∠ACB = 30◦，CO⊥OB，静电力常量为k。
（1）作出小球在最低点C 处的受力示意图，并确定固定在B 点的电荷和小球的带电性质。
（2）求固定在B 点电荷的电荷量大小。
（3）求小球运动到最高点处，空心管对小球的作用力大小和方向。
第
讲
13
53
Part 1
电场
54
Part 1
电场
知识点睛
1. 超距作用与场效应
物体与物体之间的相互作用究竟是怎么产生的呢？两个完全不接触的物体，它们的引力作用是瞬间产生的吗？
两个带电物体之间的吸引力或者排斥力，是瞬间就出现的吗？如果我们把两个带电小球放到极其遥远的距离，并
且在某一时刻调整一个小球的带电量，那么另外一个小球感受到的作用会瞬间变化吗？
历史上，万有引力曾经被认为是一种不需要媒介也不需要经历时间，而就可以直接发生作用的效果，它也被称
为超距作用。把引力视为超距作用在现代科学验证中是不合理的，两物体的相互作用的变化本质上是一种信息的
产生，由于信息传递的速度不能超过光的真空速度，因此无论怎样，都不可能瞬间让另外一个小球感受到引力作用
的变化。除此之外，在电磁相互作用中，介质显然会对电磁作用效果造成影响。那么两个不接触的物体之间的引力
作用力和电磁作用，究竟是怎样发生的呢？
法拉第针对静电力和点电荷之间的相互作用提出了场的观点，认为电荷会在空间中激发出一种场，场分布在
空间之中，对于某个特定的坐标的另一电荷，由场直接对其产生作用，场的观念也被应用于磁作用，引力作用等，类
似的，就分别是磁场和引力场。
场已经被验证了拥有能量和动量，场与实物是物质存在的形式，在现代物理学中，电场和磁场被统一为电磁
场，它的传播速度有限且等于光速。场效应的提出直接否定了超距作用的假设。
2. 静电场与试探电荷
由于运动带电物体周围的电磁场的形式十分复杂，远远超出了中学课内的水平，我们只研究静止电荷的电场，
这样的电场也被称为静电场。静电场是最基本的电场。我们希望研究它的大小，方向，与静电力之间的关系。
（1）试探电荷：场是看不见摸不着的，要想确定它的存在，只能依赖于观察它对于其他物体的作用力，我们用
电荷量和形状都足够微小，保证不会对已有的源静电场产生不可忽略的影响的带电物体，去试探不同空间处的电
场。我们把这种带电物体称之为试探电荷或者检验电荷。而产生源静电场的电荷就是源电荷。
（2）电场强度：我们认为在给定一个静电场的空间分布之后，任意一点处的试探电荷所受到的静电力，应当
与试探电荷的电荷量成正比。而且，这一比例系数应当只与源电荷和源电场有关系，而不应当受到试探电荷效果
的影响。我们把这个既有大小，又有方向的比例系数就称为电场强度。注意电场强度是矢量（向量）。
E = F
q
量纲是N ·C−1 另外一个量纲是V ·m−1。在我们学习了电势（电压）之后，我们就能理解这两个量纲是完全等
价的。
第13 讲
55
3. 点电荷的电场强度
点电荷是最基本的带电物体的模型，它周围的电场分布也是最简单的。我们根据两个静止的点电荷之间库仑
力为F = kQq
r2
可知，如果把其中一个电荷当成源电荷，另一个电荷当成试探电荷，那么很显然，点电荷周围的电
场就是：
E = kQ
r2
我们知道，力的作用线是沿着两个点电荷的连线，那么移除掉试探电荷，源电荷产生的电场就是过点电荷的中
心的，我们设定试探电荷为正电荷，那么正电荷的库仑力应该作用为斥力，意味着其方向是远离源电荷的，而负电
荷的库仑力是吸引力，意味着其方向是汇聚于源电荷的，电场的方向与库仑力的方向相同，因此我们可以画出如下
的电场示意图
4. 电场线
我们为了描述无形的电场在空间的方向，会引入电场线这一数学模型。电场线描绘了电场在空间中的分布，
任何一点的电场方向与电场线在该点的切线方向一致。根据电场的特点，画电场线时一定有以下几个要求：
（1）电场线永远从电场线或者无穷远出发，并最终汇聚到负电荷或者无穷远。这是因为电场线总是远离正电
荷，朝向负电荷的，无穷远是一个抽象的概念，无穷远不是一个固定的坐标或者空间位置，它指的是与研究对象距
离理想化无穷大的任意遥远的地方，因为电场线总是有源（出发点）有汇（终止点），那么对于空间中孤立的正电
荷，源是正电荷，之后电场线沿空间延伸向无穷的远方，我们理想化地抽象认为电场线汇聚于无穷远。负电荷亦然。
（2）任意一点的电场总是唯一确定的，因此电场线不可能有交点（否则会出现两个不同的切线方向，矛盾）。
（3）电场线稀疏代表电场较弱，电场线稠密代表电场较强。
5. 匀强电场
我们会在以后的学习中大量接触到匀强电场，即空间内的电场大小恒定，方向相同。匀强电场是一个理想的
物理模型，现实生活中，距离很近的两块等量异号分布均匀电荷的平行板中心地带的电场近似为匀强电场，匀强电
场意味着电场力的方向和大小都是恒定的，因此可以和匀加速运动等力学知识结合起来，形成一类广泛的高中物
理考点考题。
6. 特殊电场
在最基本的学习中，我们不要求任何推导过程，直接给出三种重要的特殊电场分布
（1）均匀分布电荷的球壳和球体在外界空间的电场分布与一个在中心处的等电荷量的点电荷产生的电场分
56
布完全相同。
（2）均匀分布电荷的球壳内部空间的电场处处为0。
（3）静电场中，平衡状态下导体的内部没有电荷，导体的内部没有电场。导体的电荷必须分布在导体的表面。
精讲精练
【例1】
在一个真空点电荷电场中，离该点电荷为r0 的一点，引入电量为q 的检验电荷，所受到的电场力为F，则离该点电
荷为r 处的场强的大小为（ ）
A. F
q
B. Fr02
qr2
C. Fr0
qr
D.
F
√r0
r
q
【例2】
如图所示，在电荷量为Q 的点电荷产生的电场中，电荷量为q 的负试探电荷在A 点受到的电场力为F，方向水平
向左。则A 点的电场强度E 为（ ）
A. F
q ，方向水平向左
B. F
q ，方向水平向右
C. F
Q，方向水平向左
D. F
Q，方向水平向右
第13 讲
57
【例3】
如图所示，将不带电的导体BC 放在带正电的金属球A 附近，当导体BC 达到静电平衡后，则下列说法正确的有
（ ）
A. 用导线连接BC 两端，导线中有瞬间电流通过
B. 用手摸一下导体任意一端可使用导体带负电
C. 导体C 端电势低于B 端电势
D. B 和C 端感应电荷在导体内部产生的场强大小相等
【例4】
如图所示甲中的AB 是一点电荷的电场线，图乙是放在电场线上C、D 处的试探电荷的电荷量与所受到的电场力大
小之间的函数图象，下列说法正确的是（ ）
A. 场源是正电荷，位置在A 侧
B. 场源是正电荷，位置在B 侧
C. 场源是负电荷，位置在A 侧
D. 场源是负电荷，位置在B 侧
【例5】
如图，M、N 和P 是以MN 为直径的半圆弧上的三点，O 点为半圆弧的圆心，∠MOP = 60◦。电荷量相等、符号相反
的两个点电荷分别置于M、N 两点，这时O 点电场强度的大小为E1；若将N 点处的点电荷移至P 点，则O 点的场
强大小变为E2，E1 与E2 之比为（ ）
A. 1 : 2
B. 2 : 1
C. 2 :
√
3
D. 4 :
√
3
58
【例6】
电场中某区域的电场线分布如图所示，A、B 是电场中的两点，则（ ）
A. A 点的电场强度较大
B. 因为B 点没有电场线，所以电荷在B 点不受到电场力作用
C. 同一点电荷放在A 点受到的电场力比放在B 点时小
D. 正电荷放在A 点由静止释放，电场线就是它的运动轨迹
【例7】
图中a、b 是两个点电荷，它们的电荷量分别为Q1、Q2，MN 是ab 连线的中垂线，P 是中垂线上的一点。下列哪种情
况能使P 点场强方向指向MN 的左侧（ ）
A. Q1、Q2 都是正电荷，且Q1 < Q2
B. Q1 是正电荷，Q2 是负电荷，且Q1 > |Q2|
C. Q1 是负电荷，Q2 是正电荷，且|Q1| < Q2
D. Q1、Q2 都是负电荷，且|Q1| > |Q2|
第13 讲
59
【例8】
如图所示，接地金属球A 的半径为R，球外点电荷的电荷量为Q，到球心的距离为r。那球心的场强大小等于
（ ）
A. k Q
r2 −k Q
R2
B. k Q
r2 +k Q
R2
C. 0
D. k Q
r2
【例9】
均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB 上均匀
分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD 为通过半球顶点与球心O 的轴线，在轴线上有M、N 两点，
OM = ON = 2R，已知M 点的场强大小为E，则N 点的场强大小为（ ）
A. kq
4R2
B. kq
2R2 −E
C. kq
4R2 −E
D. kq
4R2 +E
60
【例10】
如图所示，+Q1、−Q2 是两个点电荷，P 是这两个点电荷连线中垂线上的一点。图中所画P 点的电场强度方向可能
正确的是（ ）
【例11】
如图所示，P、Q 处固定有等量的同种正电荷，O 为P、Q 连线的中点，在P、Q 连线的垂直平分线上，一个带电粒子
在A 点由静止释放，结果粒子在A、B、C 三点的加速度大小相等，且A、C 关于P、Q 连线对称，不计粒子受到的重
力，则下列说法正确的是（ ）
A. 粒子在C 点的速度大小为零
B. 带电粒子在O 点的速度最大
C. 带电粒子在O 点的加速度为零
D. 带电粒子从A 点运动到B 点的过程中，加速度先减小后增大
第13 讲
61
【例12】
如图所示，以O 点为圆心的圆周上有六个等分点a、b、c、d、e、f。等量正、负点电荷分别放置在a、d 两点时，在圆心
O 产生的电场强度大小为E。现仅将放于a 点的正点电荷改放于其他等分点上，使O 点的电场强度改变，则下列
判断正确的是（ ）
A. 移至c 点时，O 点的电场强度大小仍为E，沿Oe 方向
B. 移至b 点时，O 点的电场强度大小为
√
3
2 E，沿Oc 方向
C. 移至e 点时，O 点的电场强度大小为E
2 ，沿Oc 方向
D. 移至f 点时，O 点的电场强度大小为
√
3
2 E，沿Oe 方向
第
讲
14
63
Part 1
电场力做功与电势能
Part 2
电势与电势差
64
Part 1
电场力做功与电势能
知识点睛
一个试探电荷在匀强电场某点由静止释放(不计重力)，在电场力作用下，电荷做加速运动，一段时间后获得一
定的速度，试探电荷的动能增加，从动能增加我们会想到什么呢？
1. 电场力做功
试探电荷q 在电场强度为E 的匀强电场中沿几条不同路径从A 点移动到B 点，计算这几种情况下电场力对
电荷做的功
第14 讲
65
图A：W = F ·|AM|=qE ·|AM|
图B：W = F cosθ ·|AB| = qE ·|AM|
图C：W = qE ·|AM| （微元法）
图D：W = qE ·0 = 0
可见，不论q 经由什么路径从A 点移动到B 点，电场力做的功都是一样的。同时q 沿一条闭合曲线运动回到
原处，电场力做的总功为0。因此，在匀强电场中移动电荷时，电场力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，但
与电荷经过的路径无关。这个结论适用于所有静电场。
2. 电势能：
势能是相互作用的物体凭借其位置而具有的能量。电场与电荷有相互作用，且电场力做的功与路径无关，只
与物体位置变化有关，而做功是能量转化的量度，因此可以说电荷在电场中凭借其位置而具有能量，我们把这种势
能叫做电势能。
(1) 定义：由电荷及电荷在电场中的相对位置决定的势能，叫电荷的电势能。
①电势能具有相对性，其值与零参考点的选取有关(通常选大地或无穷远为电势能零点)
②电势能是标量，是电荷与所在电场所共有的。
(2) 电场中的功能关系：
①只有电场力做功时，电荷的电势能与动能之和不变。
②静电力做功是电荷电势能变化的量度，具体来讲，静电力对电荷做正功时，电荷的电势能减少；静电力对电
荷做负功时，电荷的电势能增加，并且，电势能增加或减少的数值等于静电力做功的数值。公式：WAB = EpA −EpB。
(3) 大小：电荷在某点的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置时电场力做的功。通常把电荷在无穷远处
或地表处的电势能规定为0。
【思维拓展】电场力做功的特点可以类比重力做功特点；电场力做功与电势能的关系可以类比重力做功与重力势
能的关系。
66
精讲精练
【例1】
“类比法”是研究物理问题常用的方法之一。学习静电力做功和电势能变化的关系时，我们将静电力类比于重力、电
势能类比于重力势能，那么静电力做功和电势能变化的关系就可以类比于重力做功和重力势能变化的关系。根据
以前学过的知识，你认为下列说法中正确的是（ ）
A. 静电力做的功不仅与电荷的起始位置和终止位置有关，还与路径有关
B. 静电力做正功，电势能减小；静电力做负功，电势能增加
C. 电荷在电场中的位置一定，它的电势能就一定
D. 电势能是标量，它的值总是正的
【例2】
如图所示，电场强度为E 的匀强电场中，带电荷量为+q 的电荷沿直线AB、折线ACB、曲线AB 运动，关于电场力
做的功和大小关系，下列说法正确的是（ ）
A. 沿折线ACB 运动时做功最多
B. 沿直线AB 运动时做功最少
C. 沿直线AB 运动时，电场力做功为qEd
D. 沿折线ACB 运动时做功为Eq(l +l′)
【例3】
A、B 两个小球带同种电荷，放在光滑的绝缘水平面上，A 的质量为m，B 的质量为2m，它们相距为d，同时由静止释
放，在它们距离到2d 时，A 的加速度为a，速度为v，则（ ）
A. 此时B 的加速度为a
4
B. 此过程中电势能减少5mv2
8
C. 此过程中电势能减少mv2
4
D. 此时B 的速度为v
2
第14 讲
67
【例4】
如图所示，L 为竖直、固定的光滑绝缘杆，杆上O 点套有一质量为m、带电量为−q 的小环，在杆的左侧固定一电荷
量为+Q 的点电荷，杆上a、b 两点到+Q 的距离相等，Oa 之间距离为h1，ab 之间距离为h2，使小环从图示位置的
O 点由静止释放后，通过a 点的速率为√3gh1，则下列说法中正确的是（ ）
A. 小环通过b 点的速率为
√
g(3h1 +2h2)
B. 小环从O 到b，电场力做的功可能为零
C. 小环在Oa 之间的速率是先增大后减小
D. 小环在ab 之间的速率是先减小后增大
【例5】
如图所示，A、B、C、D 为正四面体的四个顶点，A、B、C 在同一水平面上，在A 点放置一个电量为+Q 的点电荷，在B
点放置一个电量为−Q 的点电荷。一根光滑绝缘杆沿CD 固定，杆上穿有带电量为+q 的小球。让小球从D 点由
静止开始沿杆下滑，则关于小球从D 滑到C 点的过程中，下列判断正确的是（ ）
A. 电场力先增大后减小
B. 电场力先做负功后做正功
C. 小球的机械能先增加后减少
D. 小球做匀加速运动
68
【例6】
将两个点电荷A、B 分别固定在水平面上x 轴的两个不同位置上，将一正试探电荷在水平面内由A 点的附近沿x
轴的正方向移动到B 点附近的过程中，该试探电荷的电势能随位置变化的图像如图所示，已知xAC > xCB，图中的
水平虚线在C 点与图线相切，两固定点电荷的电荷量分别用qA、qB 表示。则下列分析正确的是（ ）
A. 两固定点电荷都带负电，且qA > qB
B. C 点的电场强度最小但不等于零
C. 如果将试探电荷改为负电荷，则该电荷在C 点的电势能最大
D. A、B 两点间沿x 轴方向的电场强度始终向右
第14 讲
69
Part 2
电势与电势差
知识点睛
1. 电势
电势能的大小与带电粒子的位置及带电粒子的电荷量的大小有关，它描述的是某一特定带电粒子在电场中的
能量。我们现在希望寻找一个与带电粒子无关，而只与电场本身有关的物理量，于是就有了电势的概念。
⑴定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值，一般用φ 表示，φ = Ep
q 。
⑵单位：伏特，简称伏，符号为V。1V = 1J/C。
⑶电势与电场线的关系：沿着电场线方向电势逐渐降低。
⑷与电势能相似，应先规定电场中某处的电势为零，然后才能确定电场中其他各点的电势。在物理学的理论
研究中常取无穷远处电势为零，在实际应用中常取大地的电势为零。在规定了电势零点后，电场中各点的电势可
以是正值，也可以是负值。电势只有大小，没有方向，是标量。
【注意】虽然电势是通过电荷的电势能和电荷量的比值来定义的，但是电势是电场本身的性质，它用来描述电场本
身的能量特征，和是否有电荷无关。
2. 电势差
(1) 定义：电场中两点间电势的差值叫做电势差，也叫电压，用U 表示。公式：UAB = φA −φB。
⑵电势差与电场力做功的关系：UAB = WAB
q 。
⑶电势差与电场强度的关系：在匀强电场中，UAB = Ed，也可写做E = UAB
d 。d 为两点沿电场线方向的距离。
70
3. 电场强度、电势、电势差、电势能的比较
精讲精练
【例7】
下列说法正确的是（ ）
A. A、B 两点的电势差等于将正电荷从A 点移到B 点时电场力所做的功
B. 电势差是一个标量，但是有正值与负值之分
C. 由于电场力做功跟移动电荷的路径无关，所以电势差也跟移动电荷的路径无关，只跟这两点的位置有关
D. A、B 两点的电势差是恒定的，不随零电势面的不同而改变，所以UAB = UBA
【例8】
一个带正电荷的质点，电荷量q = 2.0×10−9C，在静电场中由a 点移到b 点，在这一过程中，除静电力做功外，其他
力做功为6.0×10−5J，质点的动能增加了8.0×10−5J，则ab 两点间电势差Uab 为（ ）
A. 3.0×104V
B. 1.0×104V
C. 4.0×104V
D. 7.0×104V
第14 讲
71
【例9】
a、b、c、d 是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点。电场线与矩形所在平面平行，已知a 点的电势
为20V，b 点的电势为24V，d 点的电势为4V，如图所示，由此可知c 点的电势为（ ）
A. 4V
B. 8V
C. 12V
D. 24V
【例10】
两个等量正点电荷位于x 轴上，相对原点对称分布，能正确描述电势φ 随位置x 变化的规律的图象是（ ）
72
【例11】
有一静电场，其电场强度方向平行于x 轴，其电势φ 随坐标x 的改变而变化，变化的图线如图甲所示，则下列选项
图中正确表示该静电场的场强E 随x 变化的图线是（ ）（设场强沿x 轴正方向时取正值）
第14 讲
73
【例12】
如图所示，ABC 为等腰直角三角形，∠B = 90◦，D、E、F 分别为AB、BC、AC 边的中点，在A、B、C 三点处分别放上电
荷量大小均为q 的点电荷，A 处点电荷带正电，C 处点电荷带负电，规定无穷远处电势为零，则下列说法正确的是
（ ）
A. 在A、C 两处点电荷形成的电场中，位于B 处的点电荷的电势能为零
B. B 处点电荷受到的电场力垂直于AC
C. 若B 处的点电荷带负电，则D 点电势比F 点电势高
D. 若B 处的点电荷带正电，则E 点电势比F 点电势高
【例13】
如图所示为匀强电场中的一个正方体ABCD−A′B′C′D′，电场方向沿AC 方向，E 点为DC 边的中点，O 为底面的中
心。已知A、C 两点电势分别为φA = 8V，φC = 0V，则O、E 两点间电势差为（ ）
A. 4V
B. −4V
C. 2V
D. −2V
第
讲
15
75
Part 1
电容器
Part 2
带电粒子在电场中的运动
76
Part 1
电容器
知识点睛
1. 电容器
电容器是电气设备中常用的一种重要元件，可以用来容纳电荷。
平行板电容器
⑴构成：两金属板间夹上一层绝缘物质(电介质) 就是一个最简单的电容器。两个金属板就是电容器的两个
电极。
⑵充电与放电：使电容器带电叫充电；使充电后的电容器失去电荷叫放电。如下图：
⑶电容器所带电量：电容器的一个极板上所带电量的绝对值。
⑷击穿电压与额定电压：加在电容器两极上的电压如果超过某一极限，电介质将被击穿从而损坏电容器，这
个极限电压叫击穿电压；电容器长期工作所能承受的电压叫做额定电压，它比击穿电压要低。
2. 电容
⑴定义：电容器所带电量与两板间电势差之比叫电容。定义式为：C = Q
U 。
⑵单位：在国际单位制中，电容单位是法(F)。常用单位有：微法(µF) 和皮法(pF)。它们的换算关系是
1F = 106µF = 1012pF。
⑶物理意义：表示电容器容纳电荷本领大小的物理量。
3. 平行板电容器电容的决定因素
平行板电容器的电容，跟介电常量εr 成正比，跟正对面积s 成正比，跟极板间的距离d 成反比。用公式表达为
C =
εrs
4πkd ，εr 是一个常数，与电介质的性质有关，称为电介质的相对介电常数。下面表中为几种电介质的介电常量
的值。
第15 讲
77
4. 平行板电容器两类基本问题
⑴电容器和一电源相连，让电容器的某一物理量发生变化，求其他物理量的变化。处理原则：电容器上的电
压不变。
⑵电容器和电源连接后再断开，电容器的某一物理量发生变化，求其他物理量的变化。处理原则：电容器上
的电量不变。
⑶处理思路
①确定不变量。电容器与电源相连时，电压不变；电容器先充电后与电源断开时，所带电荷量不变。
②用决定式C =
εS
4πkd 分析平行板电容器的电容的变化。
③用定义式C = Q
U 分析电容器所带电荷量或两极板间电压的变化。
④用E = U
d 分析电容器间场强的变化。
精讲精练
【例1】
一个电容器所带电荷量增加4×10−7C 时，其电势差增加了20V，则它的电容是（ ）
A. 1×10−8F
B. 2×10−8F
C. 4×10−8F
D. 8×10−8F
【例2】
如图所示，当被测物体在左右方向发生位移时，电介质板随之在电容器两极板之间移动。如果测出了电容的变化，
就能知道物体位移的变化。若电容器的电容变大，则物体的位移可能的变化是（ ）
A. 加速向右移动
B. 加速向左移动
C. 减速向右移动
D. 减速向左移动
78
【例3】
如图所示，平行板电容器中间充有电介质，现要使此电容器的电容增大，下列措施中正确的是（ ）
A. 将电介质从电容器中抽出
B. 增大两极板间的距离
C. 减小两极板间的距离
D. 减小极板间的正对面积
【例4】
D 是一只理想二极管(a 正极：电流只能从a 流向b，而不能从b 流向a)。平行板电容器A、B 两极板间有一电荷在
P 点处于静止。以E 表示两极板间电场强度，U 表示两极板间电压，Ep 表示电荷在P 点的电势能。若保持极板B
不动，将极板A 稍向上平移，则（ ）
A. E 变小
B. U 变大
C. Ep 不变
D. 电荷仍保持静止
【例5】
如图所示，用静电计测量已经充电的平行板电容器两极板间的电势差U，静电计指针张开某一角度α，若在电容器
两极间插入有机玻璃板，则（ ）
A. U 不变，α 不变
B. U 增大，α 增大
C. 电容器电容增大，α 变小
D. 电容器电容减小，α 变大
第15 讲
79
Part 2
带电粒子在电场中的运动
知识点睛
研究带电粒子在电场中的运动情况时，我们仍按力学中受力分析的方法分析，只是多了一个电场力而已。分
析方法包括运动学和能量两个角度。
（1）运动状态分析
带电粒子沿与电场线平行的方向进入匀强电场，受到的电场力与运动方向在同一直线上，做匀变速直线运动。
可用牛顿第二定律求出粒子的加速度，进而求出速度、位移或时间。
（2）功能角度分析
粒子动能的变化量等于电场力做的功。
1. 带电粒子在匀强电场中的加速
带电粒子平行于电场线方向进入匀强电场，受到的电场力与运动方向在同一条直线上，做匀加(或匀减) 速直
线运动。
由动能定理可得，qUAB = 1
2mv2
B −1
2mv2
A。
2. 带电粒子在匀强电场中的偏转
带电粒子以垂直于匀强电场的方向进入电场后，受到恒定的电场力作用而做类平抛运动，如图所示。
设平行板电容器电压为U，板长为l，两极板距离为d。
沿极板方向，l = v0t
垂直于极板方向，y = 1
2
qU
mdt2
离开电场时的偏移量，y = qUl2
2mdv2
0
离开电场时的偏转角，tanθ = vy
vx
= qUl
mdv2
0
80
精讲精练
【例6】
在图甲所示的两平行金属板上加有图乙所示的电压，该电压的周期为T，大量电子(其重力不计) 以相同的初速度
连续不断地从A 点沿平行于金属板的方向射入电场，并都能从两板间通过，且飞行时间为3T
2 ，不考虑电子间的相
互作用力，下列说法正确的是（ ）
A. 0 时刻射入电场的电子离开电场时侧移量最小
B. T
2 时刻射入电场的电子离开电场时侧移量最小
C. 在0 ∼T
2 时间内，不同时刻进入电场的电子离开电场时速度大小都相同
D. 在0 ∼T
2 时间内，不同时刻进入电场的电子离开电场时速度方向都不同
【例7】
如图所示，长为L、倾角为θ = 30◦的光滑绝缘斜面处于电场中，一电荷量为+q，质量为m 的小球，以初速度v0 由
斜面底端的A 点开始沿斜面上滑，到达斜面顶端B 点时的速度仍为v0，则（ ）
A. 小球在B 点的电势能一定大于小球在A 点的电势能
B. A、B 两点的电势差一定为mgL
2q
C. 若该电场是AC 边中垂线上某点的点电荷Q 产生的，则Q 一定是正电荷
D. 若电场是匀强电场，则该电场的电场强度的最小值一定是mg
2q
第15 讲
81
【例8】
如图所示，三种均带正电荷的带电粒子(重力不计) 从O 点以相同的速度进入同一偏转电场，射出后均打在一个竖
直放置的足够大的荧光屏上。若三种带电粒子的质量之比为1：2：4，电荷量之比为1：1：2，则下列说法中正确的是
（ ）
A. 三种粒子在偏转电场中的运动时间之比为2：1：1
B. 三种粒子离开偏转电场时的速度相同
C. 三种粒子将打在荧光屏上的同一点
D. 偏转电场对三种粒子做功之比为2：1：2
【例9】
如图所示，一质量为m，电量为q 的带电油滴，从水平向右的匀强电场中的O 点以速度v 沿与场强方向成37◦角射
入电场中，油滴运动到最高点时速度大小也是v，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A. 最高点一定在O 点的正上方
B. 最高点可能在O 点的右上方
C. O 点与最高点之间的电势差可能为零
D. 匀强电场的电场强度E = mg
3q
82
【例10】
如图所示，A、B 两导体板平行放置，在t = 0 时将电子从A 板附近由静止释放(电子的重力忽略不计)。分别在A、B
两板间加四种电压，它们的UAB −t 图线如下列四图所示。其中可能使电子到不了B 板的是（ ）
第15 讲
83
【例11】
如图所示，在平面直角坐标系中存在有界匀强电场区域，电场方向沿y 轴负方向，电场强度大小为E。边界为y 轴，
右边界为平行于y 轴的虚线，右边界与x 轴交点横坐标等于L(L > 0)。一带电粒子(不计重力) 从坐标原点O 处以
初速度v0 沿x 轴正方向射入电场区域，粒子所带电荷量等于−q，质量为m。求：
（1）带电粒子从电场右边界射出时的速度v 的大小。
（2）若电场方向在平面内沿逆时针方向旋转θ (θ < 90◦) 角，恰好使粒子不射出电场右边界，sinθ 的值是多少。
1119092614311
