解三角形
模块1
直接解三角形
3
模块2
边角互化
5
模块3
面积公式的应用
7
解三角形拓展与应用
模块1
解三角形综合问题
13
模块2
解双三角形问题
16
等差数列进阶
模块1
基本量计算
23
模块2
等差数列的性质
24
模块3
Sn 最值问题
27
等比数列进阶
模块1
基本量计算
33
模块2
等比数列的性质
35
模块3
等差等比综合
38
目录
Contents
数列求和方法
模块1
分组求和
43
模块2
裂项相消
46
数列通项公式求法总结
模块1
叠加法与叠乘法
53
模块2
构造辅助数列求通项
54
模块3
根据an 与Sn 的关系求通项
56
基本不等式及应用技巧
模块1
基本不等式
63
模块2
利用基本不等式求最值
64
第1 讲
解三角形
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3
1
1
模块
1
直接解三角形
知识凝炼
1
解三角形
一般地，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他
元素的过程叫做解三角形．
2
正弦定理
a
sinA =
b
sinB =
c
sinC = 2R（R 为△ABC 的外接圆半径）
3
余弦定理
c2 = a2 +b2 −2abcosC
b2 = a2 +c2 −2accosB
a2 = b2 +c2 −2bccosA
精讲精练
考点1: 直接解三角形
例1
★★
在△ABC 中，若∠A = 60◦,∠B = 45◦,BC = 3
√
2，则AC =
．
例2
★★
正确率：69%
已知△ABC 中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c，且a = 4，b = 4
√
2，B = π
4 ，则角A 的大小为( )
A. 5π
6
B. π
6 或5π
6
C. π
3
D. π
6
高一数学·目标985 班（必修5+ 必修2）·春
4
1
达标检测1
★★★
正确率：67%
在△ABC 中，已知∠B = 45◦，c = 2
√
2，b = 4
√
3
3 ，则∠A 的值是( )
A. 15◦
B. 75◦
C. 105◦
D. 75◦或15◦
例3
★★
正确率：69%
设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a,b,c，若a = 2，c = 2
√
3，cosA =
√
3
2 ，且b < c，则b =( )
A.
√
3
B. 2
C. 2
√
2
D. 3
达标检测2
★★★
正确率：63%
在△ABC 中，已知(a+b+c)(a−b−c) = −3bc，则A =( )
A. 30◦
B. 150◦
C. 60◦
D. 120◦
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5
1
2
模块
2
边角互化
精讲精练
考点2: 边角互化
例4
★★
正确率：69%
在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
b
sinB = 3，cosA = 2
√
2
3 ，则a 等于( )
A. 1
4
B. 1
3
C. 1
D. 2
例5
★★★★正确率：35%
在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，a = 3，b = 2
√
6，B = 2A．则c 的值为( )
A. 3
B. 5
C. 3 或5
D. 3 或4
例6
★★★
正确率：69%
已知a，b，c 分别为△ABC 三个内角A，B，C 的对边，且(a+b)(sinA−sinB) = (c−b)sinC，则△ABC 中
∠A 为( )
A. π
6
B. 2π
3
C. π
3
D. 5π
6
例7
★★★
正确率：68%
在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若asinBcosC + csinBcosA = 1
2b，且a > b，则
B =( )
A. 2π
3
B. π
3
C. π
6
D. 5π
6
高一数学·目标985 班（必修5+ 必修2）·春
6
1
达标检测3
★★★
正确率：66%
在△ABC 中，asinAsinB+bcos2A =
√
2a，则b
a =( )
A. 2
√
3
B. 2
√
2
C.
√
2
D.
√
3
考点3: 判断三角形形状
例8
★★★
判断下列三角形的形状：
（1）bsinB = csinC，sin2A = sin2B+sin2C
（2）a2 tanB = b2 tanA
（3）判断下列三角形的形状：sinA(cosB+cosC) = sinB+sinC
达标检测4
★★★
在△ABC 中，已知sinBsinC = cos2 A
2 ，则△ABC 的形状是( )
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等边三角形
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7
1
3
模块
3
面积公式的应用
知识凝炼
面积公式：S = 1
2aha = 1
2absinC = 1
2bcsinA = 1
2acsinB．
精讲精练
考点4: 面积公式的应用
例9
★★
正确率：69%
在△ABC 中，已知A = 120◦,AC = 3,BC = 7，则S△ABC =( )
A. 15
√
3
2
B. 21
√
3
2
C. 15
√
3
4
D. 21
√
3
4
例10 ★★★★正确率：67%
△ABC 的面积为3
√
15，b−c = 2，cosA = −1
4，则a 的值为
．
达标检测5
★★★
正确率：71%
在△ABC 中，已知a = 4，b = 5，c = 6，则S△ABC =( )
A. 15
√
7
2
B. 15
√
7
4
C. 15
√
7
8
D. 15
√
7
16
高一数学·目标985 班（必修5+ 必修2）·春
8
1
直击高考
考题
（2019 新课标Ⅰ16）
△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．设(sinB−sinC)2 = sin2A−sinBsinC．
（1）求A．
（2）若
√
2a+b = 2c，求sinC．
答案（1）见解析
（2）见解析
解析（1）解：∵△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．
设(sinB−sinC)2 = sin2A−sinBsinC．
则sin2B+sin2C −2sinBsinC = sin2A−sinBsinC，
∴由正弦定理得：b2 +c2 −a2 = bc，
∴由余弦定理得cosA = b2 +c2 −a2
2bc
= bc
2bc = 1
2，
∵0 < A <π，∴A = π
3 ．
（2）解：∵
√
2a+b = 2c，A = π
3 ，
∴由正弦定理得
√
2sinA+sinB = 2sinC，
∴
√
6
2 +sin
(
2π
3 −C
)
= 2sinC，
解得sin
(
C −π
6
)
=
√
2
2 ，∴C −π
6 = π
4 或C −π
6 = 3π
4 (舍)，∴C = π
4 +π
6 ，
∴sinC = sin
(
π
4 +π
6
)
= sinπ
4 cosπ
6 +cosπ
4 sinπ
6
=
√
2
2 ×
√
3
2 +
√
2
2 × 1
2
=
√
6+
√
2
4
．
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9
1
随堂测试
测试1
正确率：87%
在△ABC 中, 若b =
√
2,c = 1,B = 45◦, 则C =( )
A. 60◦
B. 60◦或120◦
C. 30◦
D. 30◦或150◦
测试2
正确率：85%
若(a+b+c)(b+c−a) = 3bc，且sinA = 2sinBcosC，那么△ABC 是（ ）
A. 直角三角形
B. 等边三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰直角三角形
测试3
正确率：60%
在△ABC 中，a = 4，b = 5，c = 6，则sin2A
sinC =
．
高一数学·目标985 班（必修5+ 必修2）·春
10
1
课堂总结
第2 讲
解三角形拓展与
应用
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13
2
1
模块
1
解三角形综合问题
精讲精练
考点1: 正余弦定理综合应用
例1
★★★
在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，a =
√
3b 且sinB = sinC．
（1）求角A 的大小．
（2）若a = 2
√
3，角B 的平分线交AC 于点D，求线段BD 的长度．
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14
2
例2
★★★
若在△ABC 中，∠A = 60
◦，b = 1，S△ABC =
√
3，则
a+b+c
sinA+sinB+sinC =
．
例3
★★★
已知△ABC 内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且asinB+
√
3bcosA =
√
3c．
（1）求角B 的值．
（2）若b = 2，△ABC 的面积为
√
3，求△ABC 的周长．
达标检测1
★★★
正确率：82%%
在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，sinA : sinB = 1 :
√
3，c = 2cosC =
√
3，则△ABC 的周长
为( )
A. 3+3
√
3
B. 2
√
3
C. 3+2
√
3
D. 3+
√
3
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15
2
考点2: 三角形中的最值问题
例4
★★★★
在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c, 且
b
a+c +
sinC
sinA+sinB = 1．
（1）求A．
（2）若a =
√
3, 求b2 +c2 的取值范围．
例5
★★★★正确率：62%%
在三角形ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a = 3，1+ tanA
tanB = 2c
b ，则b+c 的最大值为
( )
A. 3
B. 6
C. 9
D. 36
达标检测2
★★★
正确率：62%%
已知a，b，c 分别为△ABC 内角A，B，C 的对边，3asinA−bsinB = csinC，则sinA 的最大值为( )
A. 1
3
B. 2
3
C.
√
5
3
D. 2
√
2
3
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16
2
2
模块
2
解双三角形问题
精讲精练
考点3: 双三角问题
例6
★★★
△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知bcosA+
√
3
3 a = c．
（1）求cosB．
（2）如图，D 为△ABC 外一点，若在平面四边形ABCD 中，∠D = 2∠B，且AD = 1，CD = 3，BC =
√
6，求
AB 的长．
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17
2
达标检测3
★★
正确率：68%
如图，在△ABC 中，B = 45◦，D 是BC 边上一点，AD =
√
7，AC = 3，DC = 2，则AB 的长为( )
A.
√
2
2
B. 3
√
6
2
C. 3
√
3
2
D. 3
√
2
2
例7
★★★★
△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，△ABD 的面积是△ADC 面积的2 倍．
（1）求sinB
sinC；
（2）若AD = 1，DC =
√
2
2 ，求BD 和AC 的长．
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18
2
直击高考
考题
（2019 江苏15）
在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c．
（1）若a = 3c，b =
√
2，cosB = 2
3，求c 的值．
（2）若sinA
a
= cosB
2b ，求sin
(
B+π
2
)
的值．
答案（1）c =
√
3
3
（2）2
√
5
5
解析（1）解：∵在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c．
a = 3c，b =
√
2，cosB = 2
3，
∴由余弦定理得：
cosB = a2 +c2 −b2
2ac
= 10c2 −2
6c2
= 2
3，
解得c =
√
3
3 ．
（2）解：∵sinA
a
= cosB
2b ，
∴由正弦定理得：sinA
a
= sinB
b
= cosB
2b ，
∴2sinB = cosB，
∵sin2B+cos2B = 1，
∴sinB =
√
5
5 ，cosB = 2
√
5
5 ，
∴sin
(
B+π
2
)
= cosB = 2
√
5
5 ．
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19
2
随堂测试
测试1 已知△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c．若a = bcosC +csinB，且△ABC 的面积为1+
√
2，
则b 的最小值为( )
A. 2
B. 3
C.
√
2
D.
√
3
测试2 如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB = 1，BC = 2，△ACD 为正三角形，则△BCD 面积的最大值为
( )
A. 2
√
3+2
B.
√
3+1
2
C.
√
3
2 +2
D.
√
3+1
测试3 △ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知cos2C
2 = 5
4acosA−1
4ccosB+ 1
2，且b = 2，则a 的最
小值为( )
A. 8
5
B. 4
√
5
5
C. 4
√
6
5
D. 2
高一数学·目标985 班（必修5+ 必修2）·春
20
2
课堂总结
第3 讲
等差数列进阶
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23
3
1
模块
1
基本量计算
知识凝炼
精讲精练
考点1: 基本量计算
例1
★★
正确率：71%
在等差数列{an} 中，若a3 +a11 = 18，S3 = −3，那么a5 等于( )
A. 4
B. 5
C. 9
D. 18
例2
★★★
正确率：57%
已知等差数列{an} 的前n 项和为Sn，且S5 = a5．若a4̸ = 0，则a7
a4
=
．
高一数学·目标985 班（必修5+ 必修2）·春
24
3
达标检测1
★★★
正确率：81%
设等差数列{an} 的公差为d，且a1a2 = 35，2a4 −a6 = 7，则d =( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
2
模块
2
等差数列的性质
知识凝炼
1
若{an} 是等差数列，m，n，p，q ∈N∗，当p+q = m+n 时，有ap +aq = am +an；
特别地：当2m = p+q 时，有2am = ap +aq（p，q，m，n ∈N∗）；
推广：若m1 +m2 +m3 +···+mk = n1 +n2 +n3 +···+nk，则有
am1 +am2 +am3 +···+amk = an1 +an2 +an3 +···+ank，其中（mi，ni ∈N∗，i = 1,2,3···）．
2
若{an} 是等差数列，Sn 为前n 项和，则S2n−1 = (2n−1)an．
精讲精练
考点2: 角标和性质
例3
★★★
正确率：45%
等差数列{an} 的前n 项和记为Sn，若a4 +a7 = 4，则S10 =
；若a2 +a4 +a15 = 3，则S13 =
．
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25
3
例4
★★★
正确率：53%
已知两个等差数列{an} 和{bn}，其前n 项和分别为Sn，Tn，且Sn
Tn
= 7n+2
n+3 ，则a11
b11
等于( )
A. 9
4
B. 37
8
C. 79
14
D. 149
24
例5
★★★★正确率：53%
项数为奇数的等差数列，奇数项之和为80，偶数项之和为75，则这个数列的中间项为
，项数
为
．
达标检测2
★★★★正确率：80%
等差数列{an} 中，a1 +3a8 +a15 = 120，则2a9 −a10 的值为( )
A. 20
B. 22
C. 24
D. −8
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26
3
知识凝炼
1
在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列：an，an+m，an+2m，··· 为等差数列，公差为md.
2
若{an} 为等差数列，则{λan + µ}（λ，µ 为常数）为等差数列；
若{an} 和{bn} 均为等差数列，则{λan ± µbn}（λ，µ 为常数）也是等差数列．
3
等差数列的连续n 项和也构成一个等差数列，即Sn,S2n −Sn,S3n −S2n，··· 为等差数列，公差为n2d．
4
若{an} 为等差数列，则
{
Sn
n
}
是等差数列，公差为d
2，且Sn
n = d
2n+
(
a1 −d
2
)
．
精讲精练
考点3: 衍生等差数列
例6
★★★
正确率：53%
设数列{an}，{bn} 都是等差数列，且a1 = b1 = 5，a100 +3b100 = 100，则数列{an +3bn} 的前100 项的
和S100 等于
．
例7
★★★
正确率：44%
设等差数列{an} 的前n 项的和为Sn，若S4 = 16，S8 = 64，则S12 =
．
例8
★★★
正确率：42%
已知在等差数列{an} 中，a1 = −2016，其前n 项的和为Sn．若S2010
2010 −S2008
2008 = 2，则S2016 =
．
达标检测3
★★★
正确率：49%
设等差数列{an} 的前n 项的和为Sn，若S5 = 30，S15 = 150，则S10 =
．
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27
3
3
模块
3
Sn 最值问题
知识凝炼
1
对于等差数列{an}，
当a1 > 0，d < 0 时，Sn 有最大值；当a1 < 0，d > 0 时，Sn 有最小值．
2
求Sn 最值的方法
（1）函数方法：Sn = na1 + n(n−1)
2
d = d
2n2 +(a1 −d
2)n，
将求Sn 的最值转化成二次函数的最值问题，结合图象或通过配方法找到最值，要注意这里Sn 中的n ∈N∗；
（2）数列方法：在等差数列{an} 中，
若
an ⩾0
an+1 ⩽0
，则Sn 为最大值；若
an ⩽0
an+1 ⩾0
，则Sn 为最小值．
精讲精练
考点4: Sn 最值问题
例9
★★★
等差数列{an} 的前n 项和记为Sn，若a1 = 32，a4 = 23，则该数列的前多少项之和最大？并求此最大值．
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28
3
例10 ★★★★
在等差数列{an} 中，若a1 = −20,S9 = S12，则该数列前多少项的和最小？并求此最小值．
达标检测4
★★★
正确率：67%
设等差数列{an} 的前n 项和为Sn，若a1 = −11，a4 +a6 = −6，则当Sn 取最小值时，n 等于( )
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
例11 ★★★★正确率：66%
已知数列{an} 是等差数列，其前n 项和Sn 有最大值，且a2017
a2016
< −1，则使得Sn > 0 的n 的最大值为
( )
A. 2016
B. 2017
C. 4031
D. 4033
例12 ★★★★正确率：73%
设等差数列{an} 的前n 项和为Sn，且满足S17 > 0，S18 < 0，则S1
a1
，S2
a2
，···，S15
a15
中最大的项为( )
A. S7
a7
B. S8
a8
C. S9
a9
D. S10
a10
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29
3
直击高考
考题
（2019 全国Ⅲ卷）
记Sn 为等差数列{an} 的前n 项和．若a1̸ = 0，a2 = 3a1，则S10
S5
=
．
答案
4
解析
解：设等差数列{an} 的公差为d，则
由a1̸ = 0，a2 = 3a1 可得d = 2a1，
∴S10
S5
= 10(a1 +a10)
5(a1 +a5)
= 2(2a1 +9d)
2a1 +4d
= 2(2a1 +18a1)
2a1 +8a1
= 4，
故答案为：4．
高一数学·目标985 班（必修5+ 必修2）·春
30
3
随堂测试
测试1 等差数列{an} 的前n 项和记为Sn，已知a1 = 30，d = −4，Sm = 120，则m =( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 6 或10
测试2 已知等差数列{an} 的前10 项的和S10 = 100，前100 项的和S100 = 10，则前110 项的和S110 =
．
测试3 已知等差数列{an} 的前n 项和为Sn，若数列{Sn} 有唯一的最大项S3，Hn = S1 +2S2 +3S3 +...+nSn，
则( )
A. S5 ·S6 < 0
B. H5 ·H6 < 0
C. 数列{an}、{Sn} 都是单调递减数列
D. H6 可能是数列{Hn} 最大项
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31
3
课堂总结
第4 讲
等比数列进阶
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33
4
1
模块
1
基本量计算
知识凝炼
高一数学·目标985 班（必修5+ 必修2）·春
34
4
精讲精练
考点1: 基本量计算
例1
★★
在等比数列{an} 中，若a1 = 3，a5 = 2a3 +a4，则a5 =
．
例2
★★★
正确率：63%
若等比数列{an} 的前n 项和为Sn，且8S6 = 9S3，则数列{an} 的公比q 的值为( )
A. 2
B. 1
C. 1
2
D. −2
达标检测1
★★★
正确率：53%
设公比为q(q > 0) 的等比数列{an} 的前n 项和为Sn，若S2 = 3a2 +2，S4 = 3a4 +2，则a1 =( )
A. −2
B. −1
C. 1
2
D. 2
3
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35
4
2
模块
2
等比数列的性质
知识凝炼
1
若{an} 是等比数列，m，n，p，q ∈N∗，当m+n = p+q 时，am ·an = ap ·aq，
特别地：当m+n = 2p 时，am ·an = a2
p．
2
若{an} 是等比数列，则a1a2a3 ...a2n−1 = a2n−1
n
精讲精练
考点2: 角标和性质
例3
★★★
在等比数列{an} 中，若a3 = −1，a7 = −9，则a5 =
；a11 =
；a4 =
．
例4
★★★
正确率：53%
已知{an} 为等比数列，a4 +a7 = 2，a5a6 = −8，则a1 +a10 =( )
A. 7
B. 5
C. −5
D. −7
达标检测2
★★★
正确率：69%
已知在等比数列{an} 中，an > 0，a5，a95 为方程x2 −10x+16 = 0 的两根，则a20 ·a50 ·a80 的值为( )
A. 32
B. 64
C. 256
D. ±64
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36
4
知识凝炼
1
在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列：an，an+m，an+2m,... 为等比数列，公比为qm．
2
若{an} 是等比数列，则
{
pak
n
}
（p,k 为非零常数）为等比数列，公比为qk；
（保证ak
n 有意义）.
3
若{an} 与{bn} 均为等比数列，则{anbn} 也为等比数列．
4
当Sm,S2m −Sm,S3m −S2m,··· 都非零时，它们构成等比数列，公比为qm．
精讲精练
考点3: 衍生等比数列
例5
★★★★正确率：77%
已知在各项均为正数的等比数列{an} 中，a1a2a3 = 5，a7a8a9 = 10，则a4a5a6 =( )
A. 5
√
2
B. 7
C. 6
D. 4
√
2
例6
★★★
正确率：35%
在等比数列{an} 中，若Sn = a1 +a2 +···+an = (−2)n −1，则a12 +a22 +···+an2 =( )
A. [(−2)n −1]2
B. 4n −1
C. 3(4n −1)
D. 1
3 (4n −1)
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37
4
达标检测3
★★★
正确率：74%
已知{an} 是等比数列，a2 = 2，a5 = 1
4，则a1a2 +a2a3 +···+anan+1 =( )
A. 16(1−4−n)
B. 6(1−2−n)
C. 32
3 (1−4−n)
D. 32
3 (1−2−n)
例7
★★★★正确率：64%
已知各项均为正数的等比数列{an} 的前n 项和为Sn，若S10 = 2，S30 = 14，则S40 等于( )
A. 80
B. 26
C. 30
D. 16
达标检测4
★★★★正确率：64%
设{an} 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立
的是( )
A. X +Z = 2Y
B. Y (Y −X) = Z (Z −X)
C. Y 2 = XZ
D. Y (Y −X) = X (Z −X)
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38
4
3
模块
3
等差等比综合
精讲精练
考点4: 等差等比综合
例8
★★★★正确率：50%
在数列{an} 中an̸ = 0，a1，a2，a3 成等差数列，a2，a3，a4 成等比数列，a3，a4，a5 的倒数成等差数列，则
a1，a3，a5 ( )
A. 是等差数列
B. 是等比数列
C. 三个数的倒数成等差数列
D. 三个数的平方成等差数列
达标检测5
★★★
正确率：52%
已知在等比数列{an} 中，各项都是正数，且a1, 1
2a3,2a2 成等差数列，则a3
a1
=( )
A. 2+
√
2
B. 2−
√
2
C. 3−2
√
2
D. 3+2
√
2
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39
4
直击高考
考题
（2019 全国Ⅰ卷）
记Sn 为等比数列{an} 的前n 项和．若a1 = 1
3，a2
4 = a6，则S5 =
．
答案
121
3
解析
解：在等比数列中，由a2
4 = a6，得q6a2
1 = q5a1 > 0，
即q > 0，q = 3，
则S5 =
1
3
(
1−35)
1−3
= 121
3 ，
故答案为：121
3 ．
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40
4
随堂测试
测试1 等比数列{an} 中，a2，a6 是方程x2 −34x+64 = 0 的两根，则a4 等于( )
A. 8
B. −8
C. ±8
D. 以上都不对
测试2 已知等比数列{an} 满足a1 = 3，a1 +a3 +a5 = 21，则a3 +a5 +a7 =( )
A. 21
B. 42
C. 63
D. 84
测试3 等差数列{an} 的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6 成等比数列，则{an} 前6 项的和为( )
A. 8
B. −3
C. 3
D. −24
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41
4
课堂总结
第5 讲
数列求和方法
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43
5
1
模块
1
分组求和
精讲精练
考点1: 拆项求和
例1
★★★
正确率：53%
数列11
2 ,21
4 , 31
8 ,4 1
16,··· ,10
1
1024 的和为( )
A. 56−1
210
B. 56−1
211
C. 110−1
210
D. 110−1
211
达标检测1
★★★
若数列{an} 的通项公式为an = 3n−1 +2n−1，则数列{an} 的前n 项和为( )
A. 3n
2 +n2 −1
2
B. 3n−1
2
+n2 −1
2
C. 3n+1
2
+n2 −1
2
D. 3n +n2
考点2: 倒序相加
例2
★★★
sin21◦+sin22◦+sin23◦+···+sin288◦+sin289◦=
．
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44
5
例3
★★★
正确率：41%
已知f (x) =
3x
3x +
√
3，则f
(
1
2019
)
+ f
(
2
2019
)
+ f
(
3
2019
)
+···+ f
(
2018
2019
)
=
．
达标检测2
★★★
正确率：67%
已知函数f (x) =
5x
5x +
√
5
，则f
(
1
10
)
+ f
(
2
10
)
+···+ f
(
9
10
)
=( )
A. 9
B. 10
C. 9
2
D. 5
考点3: 分奇偶项求和
例4
★★★
求数列9, 1
2,5, 1
4,1, 1
8,··· 的前n 项和．
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45
5
例5
★★★
正确率：40%
an =
2n−1,n = 2k −1(k ∈N∗)
1−2n,n = 2k(k ∈N∗)
，则S100 =
；S45 =
．
例6
★★★★
在数列{an} 中，a1 = 1
5，an +an+1 =
6
5n+1 (n = 1,2,3,···)，求此数列的前n 项和Sn 的公式．
达标检测3
★★★
正确率：54%
已知数列{an} 满足an+1 +(−1)n+1an = 2，则其前100 项的和为( )
A. 250
B. 200
C. 150
D. 100
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46
5
2
模块
2
裂项相消
知识凝炼
如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且分裂后可正负相消，则可将通项拆成两项之差、然后正负相
消剩下首尾若干项．
常见裂项公式：
（1）
1
n(n+1) = 1
n −
1
n+1；
1
n(n+2) = 1
2(1
n −
1
n+2)；
1
n(n+k) = 1
k
(
1
n −
1
n+k
)
；
（2）
1
(2n−1)(2n+1) = 1
2(
1
2n−1 −
1
2n+1)；
（3）
1
√n+√n+1 = √n+1−√n；ln n+1
n
= ln(n+1)−lnn；
2n
(
2n+1 −1
)
(2n −1) =
1
2n −1 −
1
2n+1 −1 ；
（4）
1
n(n+1)(n+2) = 1
2
(
1
n(n+1) −
1
(n+1)(n+2)
)
.
精讲精练
考点4: 裂项相消
例7
★★★
正确率：54%
数列an =
1
(4n−3)(4n+1) 的前n 项和为( )
A.
4n
4n+1
B.
n
4n+1
C.
n
4n+3
D.
4n
4n+3
例8
★★★★正确率：71%
1
22 −1 +
1
32 −1 +
1
42 −1 +···+
1
(n+1)2 −1
的值为( )
A.
n+1
2(n+2)
B. 3
4 −
n+1
2(n+2)
C. 3
4 −1
2
(
1
n+1 +
1
n+2
)
D. 3
2 −
1
n+1 +
1
n+2
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47
5
达标检测4
★★★★正确率：60%
数列an =
1
(3n−1)(3n+5) 的前n 项和为( )
A.
1
(3n+2)(3n+5)
B. 1
2 −
1
3n+5
C. 1
6
[
7
10 −
6n+7
(3n+2)(3n+5)
]
D. 7
10 −
3
(3n+2)(3n+5)
例9
★★★
正确率：45%
已知数列{an} 的通项公式为an =
1
√n+1+√n，若它的前n 项和为2，则项数n 为
．
例10 ★★★
正确率：70%
已知数列{an} 的通项公式为an = lg n+1
n+3,n ∈N∗，则数列{an} 的前n 项和Sn =( )
A. lg
6
n+3
B. lg
2
n+3
C. lg
6
(n+3)(n+2)
D. lg
2
(n+3)(n+2)
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48
5
直击高考
考题
已知{an} 为等差数列，前n 项和为Sn(n ∈N∗)，{bn} 是首项为2 的等比数列，且公比大于0，
b2 +b3 = 12，b3 = a4 −2a1，S11 = 11b4．
（1）求{an} 和{bn} 的通项公式；
（2）求数列{a2nb2n−1} 的前n 项和(n ∈N∗)．
答案（1）见解析
（2）见解析
解析（1）解：设等差数列{an} 的公差为d，等比数列{bn} 的公比为q．由已知b2+b3 = 12，得b1q+b1q2 = 12，
而b1 = 2，所以q2 +q−6 = 0．又因为q > 0，解得q = 2．所以，bn = 2n．
由b3 = a4 −2a1，可得3d −a1 = 8①．由S11 = 11b4，可得a1 +5d = 16②，联立①②，解得a1 = 1,d = 3，
由此可得an = 3n−2．
所以，数列{an} 的通项公式为an = 3n−2，数列{bn} 的通项公式为bn = 2n．
（2）解：设数列{a2nb2n−1} 的前n 项和为Tn，由题意得a2n = 6n−2，b2n−1 = 2×4n−1，
则a2nb2n−1 = (3n−1)×4n，故
Tn = 2×4+5×42 +8×43 +···+(3n−1)×4n，
4Tn = 2×42 +5×43 +8×44 +···+(3n−4)×4n +(3n−1)×4n+1，
上述两式相减，得
−3Tn = 2×4+3×42 +3×43 +···+3×4n −(3n−1)×4n+1
= 12×(1−4n)
1−4
−4−(3n−1)×4n+1
= −(3n−2)×4n+1 −8．
得Tn = 3n−2
3
×4n+1 + 8
3．
所以，数列{a2nb2n−1} 的前n 项和为3n−2
3
×4n+1 + 8
3．
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49
5
随堂测试
测试1 已知数列{an} 中，an =
2n−1 (
n为正奇数
)
2n−1
(
n为正偶数
)
，设数列{an} 的前n 项和为Sn，则S9 =
．
(用数字作答)
测试2 若数列{an} 满足：an+2 = an+1 −an (n ∈N∗)，a1 = 1，a2 = 2，则其前2017 项的和=
．
测试3
正确率：54%
已知数列{an} 的通项公式为an =
1
√n+√n+1 (n ∈N∗)，其前n 项和为8，则n =
．
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50
5
课堂总结
第6 讲
数列通项公式求
法总结
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53
6
1
模块
1
叠加法与叠乘法
精讲精练
考点1: 叠加法
例1
★★★
已知数列{an} 满足an+1 = an +3n+2(n ∈N∗)，且a1 = 2，求an．
达标检测1
★★★
正确率：53%
已知数列{an} 满足a1 = 1，且an = an−1 +3n−1(n ⩾2)，则an =( )
A. 3n −1
2
B. 3n −2
C. 3n
2
D. 3n−1 +1
2
考点2: 叠乘法
例2
★★★
正确率：66%
已知数列{an} 中，a1 = 1，2nan+1 = (n+1)an，则数列{an} 的通项公式为( )
A. n
2n
B.
n
2n−1
C.
n
2n −1
D. n+1
2n
例3
★★★★正确率：40%
已知数列{an} 中，a1 = 1，an−1 −an =
an
n2 −1 (n ⩾2,n ∈N∗)，则an =( )
A. 1
n
B. n+1
2n
C. 2n−1
n2
D. 1
n2
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54
6
2
模块
2
构造辅助数列求通项
知识凝炼
⑴若an = ban−1 +c（b,c ∈R 且b̸ = 1,c̸ = 0）：
可以设an +λ = b(an−1 +λ) 成立，解得λ =
c
b−1，即
{
an +
c
b−1
}
是等比数列．
⑵若an = b·an−1 +c(n)（其中b ∈R，且b̸ = 0，b̸ = 1，c(n) 是关于n 的多项式函数）：
可设an +g(n) = b(an−1 +g(n−1))，其中g(n) 为与c(n) 的次数相等的多项式函数，各项的系数都待定，通
过比较bg(n−1)−g(n) 与c(n) 的各项系数确定待定系数，即{an +g(n)} 为等比数列.
⑶若an = b·an−1 +c·qn，其中b,c,q ∈R 且b̸ = 0，b̸ = 1，q̸ = 0，q̸ = 1．
①若b = q，则an
qn = an−1
qn−1 +c，即
{
an
qn
}
为等差数列；
②若b̸ = q，则可以设an +A·qn = b·(an−1 +A·qn−1)；
也可两边同时除以bn 或qn：得an
bn = an−1
bn−1 +c
(
q
b
)n
或an
qn = b
q · an−1
qn−1 +c．
精讲精练
考点3: 一阶线性递推
例4
★★★
在数列{an} 中，a1 = 1，当n ⩾2 时，有an = 3an−1 +2，求an．
达标检测2
★★★
正确率：58%
在数列{an} 中，a1 = 1，3an +an+1 +8 = 0，数列{an} 的通项公式为( )
A. 3n −2
B. −(−3)n −2
C. −3n−1
D. −3n−1 +2
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55
6
例5
★★★★
在数列{an} 中，an+1 = 2an +n,a1 = 1，求{an} 的通项公式．
达标检测3
★★★★正确率：55%
已知数列{an} 中，a1 = 4，an = 3an−1 +2n−1(n ⩾2)，则数列{an} 的通项公式an =( )
A. 4·3n−1 −n−1
B. 2·3n+1 −n−1
C. 2·3n −n
D. 2·3n −n−1
考点4: 倒数法
例6
★★★
已知数列{an} 满足a1 = 2，an+1 =
2an
an +2，则an =
．
达标检测4
★★★
正确率：71%
由a1 = 1，an+1 =
an
3an +1 给出的数列{an} 的第54 项为( )
A. 54
161
B.
1
160
C. 160
D. 27
80
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56
6
3
模块
3
根据an 与Sn 的关系求通项
精讲精练
考点5:
例7
★★★
设数列{an} 的前n 项和为Sn，已知2Sn = 3n −1，求an．
例8
设数列{an} 的前n 项和为Sn，已知2Sn = 3n +3，求an．
达标检测5
★★★★正确率：69%
设数列{an} 满足a1 +2a2 +22a3 +···+2n−1an = n
2 (n ∈N∗)，则数列{an} 的通项公式是( )
A. an = 1
2n
B. an =
1
2n−1
C. an = 1
2n
D. an =
1
2n+1
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57
6
例9
★★★
设数列{an} 的前n 项和为Sn，有3Sn = 4an −4，求an．
达标检测6
★★★
正确率：67%
数列{an} 的前n 项和为Sn，若a1 = 1，an+1 = 3Sn (n ⩾1)，则a1000 =( )
A. 3×4998
B. 3×4999
C. 4998
D. 4999
例10 ★★★★
已知数列{an} 中，an > 0，且对于任意正整数n 有Sn = 1
2
(
an + 1
an
)
，求通项an．
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6
直击高考
考题
已知数列{an} 的前n 项和Sn = 3n2 +8n，{bn} 是等差数列，且an = bn +bn+1．
（1）求数列{bn} 的通项公式；
（2）令cn = (an +1)n+1
(bn +2)n ，求数列{cn} 的前n 项和Tn．
答案（1）见解析
（2）见解析
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59
6
解析（1）解：Sn = 3n2 +8n，
当n ⩾2 时，an = Sn −Sn−1 = 6n+5，
当n = 1 时，a1 = S1 = 11，符合上式，∴an = 6n+5；
∵an = bn +bn+1，
∴an−1 = bn−1 +bn，
∴an −an−1 = bn+1 −bn−1．
设{bn} 的公差为d，
∴2d = 6，
∴d = 3，
∵a1 = b1 +b2，
∴11 = 2b1 +3，
∴b1 = 4，
∴bn = 4+3(n−1) = 3n+1．
（2）解：
cn = (an +1)n+1
(bn +2)n
= (6n+6)n+1
(3n+3)n
= (6n+6)n (6n+6)
(3n+3)n
= 6n(n+1)n (6n+6)
3n(n+1)n
= 6n (6n+6)
3n
= (2×3)n (6n+6)
3n
= 6(n+1)·2n，
∴Tn = 6
[
2·2+3·22 +···+(n+1)·2n]
①，
∴2Tn = 6
[
2·22 +3·23 +···+n·2n +(n+1)·2n+1]
②，
①−②可得
−Tn = 6
[
2·2+22 +23 +···+2n −(n+1)·2n+1]
= 12+6× 2(1−2n)
1−2
−6(n+1)·2n+1
= (−6n)·2n+1 = −3n·2n+2，
∴Tn = 3n·2n+2．
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6
随堂测试
测试1 已知数列{an} 满足a1 = 1，an = an−1 +3n−2(n ⩾2)，则{an} 的通项公式为( )
A. an = 3n2
B. an = 3n2 +n
C. an = 3n2 −n
2
D. an = 3n2 +n
2
测试2 已知数列{an} 中，an+1 = 2an +n，a4 = 35，则a1 =( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
测试3 数列{an} 的前n 项和为Sn，若a1 = 1，an+1 = 3Sn (n ⩾1)，则a6 =( )
A. 3×45
B. 3×44
C. 44
D. 45
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6
课堂总结
第7 讲
基本不等式及应
用技巧
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63
7
1
模块
1
基本不等式
知识凝炼
1
基本不等式：如果a,b ∈R+（R+ 表示正实数），那么a+b
2
⩾
√
ab，当且仅当a = b 时，有等号成立．
此结论又称均值不等式或基本不等式．
2
对于任意两个实数a,b，a+b
2
叫做a,b 的算术平均值，
√
ab(ab ⩾0) 叫做a,b 的几何平均值．
均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．
3
均值不等式推广：
√
ab ⩽a+b
2
⩽
√
a2 +b2
2
，其中
√
ab ⩽a+b
2
需要前提条件a,b ∈R+．
a+b
2
叫做a,b 的算术平均值，
√
ab 叫做a,b 的几何平均值，
√
a2 +b2
2
叫做平方平均值．
精讲精练
考点1: 基本不等式
例1
正确率：50%
已知a、b ∈R，若ab̸ = 0，则下列不等式：
①a2 +b2
2
⩾ab；②
b
a
+
a
b
⩾2；③b
a + a
b ⩾2；④a+b ⩾2
√
ab，
其中恒成立的不等式序号是( )
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ②④
达标检测1
正确率：83%
若x，y ∈R，且xy > 0，则下列不等式中能恒成立的是( )
A. x2 +y2 > (x+y)2
2
B. x+y ⩾2√xy
C. 1
x + 1
y ⩾
2
√xy
D. x
y + y
x ⩾2
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7
2
模块
2
利用基本不等式求最值
精讲精练
考点2: 凑定值
例2
正确率：68%
求函数y = √x+
1
2√x+1 的最小值．
例3
正确率：73%
y = 6
√
x2 +1
x2 +4
的最大值为
．
例4
若2
3 < x < 7
5，则代数式(3x−2)(7−5x) 的最大值为
．
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65
7
例5
若x ⩾0，y ⩾0，且x2 +y2 = 1，求x
√
1+2y2 的最大值及此时x，y 的值．
精讲精练
考点3:“1”的代换
例6
正确率：68%
已知a，b 为正实数，且a+2b = 1，则1
a + 1
b 的最小值为( )
A. 4
√
2
B. 6
C. 3−2
√
2
D. 3+2
√
2
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7
例7
正确率：39%
设x、y ∈R+ 且1
x + 9
y = 4，则x+y 的最小值为( )
A. 4
B. 8
C. 16
D. 32
达标检测2
正确率：65%
设0 < x < 1，则函数y = 4
x +
1
1−x 的最小值为( )
A. 27
2
B. 9
C. 10
D. 8
考点4: 和积关系互化
例8
正确率：69%
已知x > 0,y > 0,x+2y+2xy = 8，则x+2y 的最小值为
．
例9
正确率：67%
若正实数x、y 满足2x+y+6 = xy，则xy 的最小值是( )
A. 12
B. 16
C. 18
D. 24
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7
直击高考
考题
（2018 天津13）
已知a、b ∈R，且a−3b+6 = 0，则2a + 1
8b 的最小值为
．
答案
1
4
解析
解：由a、b ∈R，且a−3b+6 = 0，
可得3b = a+6，
则2a + 1
8b = 2a +
1
2a+6 = 2a +
1
26 ·2a ⩾2
√
2a ·
1
262a = 1
4，
当且仅当2a =
1
2a+6 ，即a = −3 时取等号．
故答案为：1
4．
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随堂测试
测试1 若正实数x,y 满足x+3y+3xy−3 = 0，则x+3y 的最小值为( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 5
测试2 函数y = x4 +3x2 +3
x2 +1
的最小值为
．
测试3 已知m > 0,n > 0,2m+n = 4，则1
m + 2
n 的最小值为
．
测试4 已知x > 0,y > 0, 且2x+y = xy, 则x+2y 的最小值为( )
A. 5
B. 7
C. 8
D. 9
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7
课堂总结
1119092514013
