2011-2020年高考数学真题分专题训练专题20不等式性质与基本不等式（教师版含解析）_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

专题20 不等式性质与基本不等式
十年大数据*全景展示
年份
题号
考点
考查内容
2012
文11
不等式解法
利用指数函数与对数函数的图像与性质解不等式及数形结合思想
2013[来
源:学科网ZXXK]
卷2
理1[来源:学.科.
网Z.X.X.K][来源:学|科|网]
不等式解法[ 来
源:Z。xx。k.Com]
一元二次不等式解法、集合运算[来源:Zxxk.Com]
卷1
理1
不等式解法
一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系
2014
卷2
理1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
卷1
理1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
卷1
文15
不等式解法
与分段函数结合的函数不等式解法，分类整合思想及转化与化归思想
2015
卷2
理1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
2016
卷3
理1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
卷2
文1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
卷2
理2
不等式解法
一元二次不等式解法及并集运算
卷1
文8
不等式性质
及其应用
不等式的性质及其应用、指数函数与对数函数的图象与性质
卷1
理8
不等式性质
及其应用
不等式的性质及其应用、指数函数与对数函数的图象与性质
卷1
理1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
2017
卷3
理15
文16
不等式解法
与分段函数结合的函数不等式解法，分类整合思想及转化与化归思想
卷1
理1
不等式解法
简单指数不等式解法及集合并集、交集运算
2018
卷1
文12
不等式解法
与分段函数结合的函数不等式解法，数形结合思想及转化与化归思想
2019
卷1
理1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
卷2
理1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
卷2
理6
不等式性质
及其应用
不等式的性质及其应用、指数函数与对数函数的图象与性质．
卷3
理1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
2020
卷1
理14
不等关系
指数函数、对数函数的单调性，数式的大小比较
卷3
文12
三角函数，基
本不等式
三角函数图象及其性质，均值不等式
大数据分析*预测高考
考
点
出现频率
2021 年预测
考点66 不等式性质及其应用
3/22
2021 年仍将与集合运算结合重点考查一元二次不等式解法与
分段函数不等式的解法，基本不等式的多在解析几何、函数最
值中考查，难度为基础题或中档题．
考点67 不等式解法
19/22
考点68 基本不等式
0/22
十年试题分类*探求规律
考点66 不等式性质及其应用
1．(2020 全国I 理14)若
2
4
2
log
4
2log
a
b
a
b



，则
(
)
A．
2
a
b

B．
2
a
b

C．
2
a
b

D．
2
a
b

【答案】B
【解析】【解析】设
2
( )
2
log
x
f x
x


，则
( )
f x 为增函数，∵
2
2
4
2
2
log
4
2log
2
log
a
b
b
a
b
b





，
∴
( )
(2 )
f a
f
b


2
2
2
2
log
(2
log 2 )
a
b
a
b




2
2
2
2
2
log
(2
log 2 )
b
b
b
b



2
1
log
1
0
2


，
∴
( )
(2 )
f a
f
b

，∴
2
a
b

．
∴
2
( )
(
)
f a
f b


2
2
2
2
2
log
(2
log
)
a
b
a
b




2
2
2
2
2
2
log
(2
log
)
b
b
b
b




2
2
2
2
2
log
b
b
b


，
当
1
b 时，
2
( )
(
)
2
0
f a
f b



，此时
2
( )
(
)
f a
f b

，有
2
a
b

；当
2
b 
时，
2
( )
(
)
1
0
f a
f b


，
此时
2
( )
(
)
f a
f b

，有
2
a
b

，∴C、D 错误，故选B．
2．(2020 天津6)设
0.8
0.7
0.7
1
3
,
,
log
0.8
3
a
b
c










，则, ,
a b c 的大小关系为(
)
A．a
b
c


B．b
a
c


C．b
c
a


D．c
a
b


【答案】D【解析】由题知
0.7
log
0.8
1
c 
，
0.8
0.8
1
3
3
b









，易知函数
3x
y 
在 R 上单调递增，所以
0.8
0.7
3
3
1
b
a



，所以c
a
b


，故选D．
3．(2019•新课标Ⅱ，理6)若a
b

，则(
)
A．
(
)
0
ln a
b


B．3
3
a
b

C．
3
3
0
a
b


D．|
| |
|
a
b

【答案】B
【解析】取
0
a 
，
1
b ，则
(
)
1
0
ln a
b
ln



，排除A ；
0
1
1
3
3
1
3
3
3
a
b





，排除B ；
3
3
3
3
0
( 1)
1
a
b



，故C 对；|
| 0 | 1| 1
a
b


，排除D ．故选C ．
4．(2016•新课标Ⅰ，理8)若
1
a
b

，0
1
c

，则(
)
A．
c
c
a
b

B．
c
c
ab
ba

C．
log
log
b
a
a
c
b
c

D．log
log
a
b
c
c

【答案】C
【解析】
1
a
b



，0
1
c

，函数
( )
c
f x
x

在(0,
)
上为增函数，故
c
c
a
b

，故A 错误，
∵函数
1
( )
c
f x
x 

在(0,
)
上为减函数，故
1
1
c
c
a
b



，故
c
c
ba
ab

，即
c
c
ab
ba

；故B 错误；
∵log
0
a c 
，且log
0
b c 
，log
1
a b ，即log
log
1
log
log
c
a
c
b
b
c
a
c


，即log
log
a
b
c
c

．故D 错误；
0
log
log
a
b
c
c


，故
log
log
a
b
b
c
a
c


，即log
log
a
b
b
c
a
c

，即
log
log
b
a
a
c
b
c

，故C 正确；故选C ．
5．(2016•新课标Ⅰ，文8)若
0
a
b


，0
1
c

，则(
)
A．log
log
a
b
c
c

B．log
log
c
c
a
b

C．
c
c
a
b

D．
a
b
c
c

【答案】B
【解析】
0
a
b



，0
1
c

，
log
log
c
c
a
b


，故B 正确；当
1
a
b


时，0
log
log
a
b
c
c


，故A 错
误；
c
c
a
b

，故C 错误；
a
b
c
c

，故D 错误，故选B
6．(2017 山东)若
0
a
b


，且
1
ab 
，则下列不等式成立的是
A．


2
1
log
2a
b
a
a
b
b




B．


2
1
log
2a
b
a
b
a
b




C．


2
1
log
2a
b
a
a
b
b




D．


2
1
log
2a
b
a
b
a
b




【答案】B
【解析】解法一：取
2
a 
，
1
2
b 
，则
1
2
2
4
a
b




，
2
1
1
2
2
2
8
a
b 

，
2
2
log (
)
log 4
2
a
b



，所以


2
1
log
2a
b
a
b
a
b




，选B．
解法二：由题意
1
a 
，0
1
b


，所以
1
2a
b ，
1
2
2
a
a
a
a
b





，又
1
a
b

，所以
2
(
)
(
)
a
b
a
b



，
所以
2
2
2
2
2
log (
)
log (
)
log 2
1
a
b
a
b
ab






，故


2
1
log
2a
b
a
b
a
b




，选B．
7．(2016 年北京)已知,x y
R

，且
0
x
y


，则
A．1
1
0
x
y


B．sin
sin
0
x
y


C．1
1
( )
( )
0
2
2
x
y


D．ln
ln
0
x
y


【答案】C
【解析】因为
0
x
y


，选项A，取
1
1,
2
x
y


，则1
1
1
2
1
0
x
y



，排除A；
选项B，取
,
2
x
y




，则sin
sin
sin
sin
1
0
2
x
y






，排除B；
选项D，
1
2,
2
x
y


，则ln
ln
ln(
)
ln1
0
x
y
xy




，排除D，故选C．
8．(2014 山东)若
0
a
b


，
0
c
d


，则一定有(
)
A．a
b
c
d

B．a
b
c
d

C．a
b
d
c

D．a
b
d
c

【答案】D
【解析】由
1
1
0
0
c
d
d
c





，又
0
a
b


，由不等式性质知：
0
a
b
d
c



，所以a
b
d
c

，故
选D．
9．(2014 四川)已知实数
y
x,
满足
)1
0
(



a
a
a
y
x
，则下列关系式恒成立的是
A．
1
1
1
1
2
2



y
x
B．
)1
ln(
)1
ln(
2
2



y
x
C．
y
x
sin
sin

D．
3
3
y
x 
【答案】D
【解析】由已知得x
y

，此时
2
2
,
x
y 大小不定，排除A，B；由正弦函数的性质，可知C 不成立；故选D．
10．(2014 辽宁)已知定义在[0,1] 上的函数
( )
f x 满足：
①
(0)
(1)
0
f
f


；
②对所有,
[0,1]
x y 
，且x
y

，有
1
|
( )
( ) |
|
|
2
f x
f y
x
y



．
若对所有,
[0,1]
x y 
，|
( )
( ) |
f x
f y
k


恒成立，则k 的最小值为(
)
A．1
2
B．1
4
C．1
2
D．1
8
【答案】B【解析】不妨设0
1
y
x
≤
≤
≤，当
1
0
2
x
y


≤
时，
1
1
( )
( )
2
4
f x
f y
x
y



≤
；
当1
1
2
x
y


≤时，
( )
( )
( )
(1)
( )
(0)
f x
f y
f x
f
f y
f





( )
(1)
f x
f

≤
( )
(0)
f y
f


1
1
1
0
2
2
x
y




1
1
1
1
1
(1
)
(
)
2
2
2
2
4
x
y
y
x







，∴
1
4
k ≥
．
考点67 不等式解法
1．(2019•新课标Ⅰ，理1)已知集合
{ | 4
2}
M
x
x



，
2
{ |
6
0}
N
x x
x




，则
(
M
N 

)
A．{ | 4
3}
x
x


B．{ | 4
2}
x
x


C．{ | 2
2}
x
x


D．{ | 2
3}
x
x


【答案】C
【解析】
{ | 4
2}
M
x
x




，
{ | 2
3}
N
x
x



，
{ | 2
2}
M
N
x
x





，故选C ．
2．(2019•新课标Ⅱ，理1)设集合
2
{ |
5
6
0}
A
x x
x




，
{ |
1
0}
B
x x


，则
(
A
B 

)
A．(
,1)

B．( 2,1)

C．( 3, 1)


D．(3,
)

【答案】A
【解析】根据题意，
2
{ |
5
6
0}
{ |
3
A
x x
x
x x






或
2}
x 
，
{ |
1
0}
{ |
1}
B
x x
x x




，
则
{ |
1}
(
,1)
A
B
x x




，故选A ．
3．(2019•新课标Ⅲ，理1)已知集合
{ 1
A ，0，1，2}，
}
1
|
{
2 

x
x
B
，则
(
A
B 

)
A．{ 1
，0，1}
B．{0 ，1}
C．{ 1
，1}
D．{0 ，1，2}
【答案】A
【解析】因为
{ 1
A ，0，1，2}，
]1,1
[

B
，所以
{ 1
A
B 

，0，1} ，故选A ．
4．(2018•新课标Ⅰ，文12)设函数
2
,
0
( )
1,
0
x x
f x
x





- ，则满足
(
1)
(2 )
f x
f
x


的x 的取值范围是(
)
A．(，1]

B．(0,
)

C．( 1,0)

D．(
,0)

【答案】D
【解析】函数
2
,
0
( )
1,
0
x x
f x
x





- ，的图象如图，满足
(
1)
(2 )
f x
f
x


，可得：2
0
1
x
x


或2
1 0
x
x

- ，
解得
(
,0)
x
，故选D ．
5．(2017•新课标Ⅰ，理1)已知集合
{ |
1}
A
x x


，
{ | 3
1}
x
B
x


，则(
)
A．
{ |
0}
A
B
x x



B．A
B
R


C．
{ |
1}
A
B
x x



D．A
B 

【答案】A
【解析】由题知，
{ | 3
1}
{ |
0}
x
B
x
x x




，
{ |
0}
A
B
x x




，故A 正确，D 错误；
{ |
1}
A
B
x x



，故B 和C 都错误，故选A ．
6．(2016•新课标Ⅰ，理1)设集合
2
{ |
4
3
0}
A
x x
x




，
{ | 2
3
0}
B
x
x



，则
(
A
B 

)
A．
3
( 3,
)
2


B．
3
( 3, )
2

C．
3
(1, )
2
D．3
(2 ，3)
【答案】D
【解析】集合
(1,3)
A 
，
3
(2
B 
，
)
，
3
(2
A
B



，3) ，故选D ．
7．(2016•新课标Ⅱ，理2)已知集合
{1
A 
，2，3}，
{ | (
1)(
2)
0
B
x
x
x




，
}
x
Z

，则A
B

等于(
)
A．{1}
B．{1，2}
C．{0 ，1，2，3}
D．{ 1
，0，1，2，3}
【答案】C
【解析】集合
{1
A 
，2，3}，
{ | (
1)(
2)
0
B
x
x
x




，
}
{0
x
Z


，1} ，
{0
A
B



，1，2，3}，故选
C ．
8．(2016•新课标Ⅱ，文1)已知集合
{1
A 
，2，3}，
2
{ |
9}
B
x x


，则
(
A
B 

)
A．{ 2
，1
，0，1，2，3}
B．{ 2
，1
，0，1，2}
C．{1，2，3}
D．{1，2}
【答案】D
【解析】集合
{1
A 
，2，3}，
2
{ |
9}
{ | 3
3}
B
x x
x
x





，
{1
A
B



，2}，故选D ．
9．(2016•新课标Ⅲ，理1)设集合
{ | (
2)(
3) 0}
S
x
x
x



.
，
{ |
0}
T
x x


，则
(
S
T 

)
A．[2 ，3]
B．(，2]
[3

，
)

C．[3，
)

D．(0 ，2]
[3

，
)

【答案】D
【解析】由题知
(
S ，2]
[3

，
)
，
(0,
)
T 


，
(0
S
T



，2]
[3

，
)
，故选D ．
10．(2015•新课标Ⅱ，理1)已知集合
{ 2
A ，1
，0，1，2}，
{ | (
1)(
2)
0}
B
x
x
x




，则A
B 

(
)
A．{ 1
，0}
B．{0 ，1}
C．{ 1
，0，1}
D．{0 ，1，2}
【答案】A
【解析】
{ | 2
1}
B
x
x



，
{ 2
A ，1
，0，1，2}，
{ 1
A
B



，0} ，故选A ．
11．(2014 新课标Ⅰ，理1)已知集合A={ x |
2
2
3
0
x
x



}，B={ x |－2≤x ＜2＝，则A
B

=
A ．[-2，-1]
B ．[-1，2)
C ．[-1，1]
D ．[1，2)
【答案】A
【解析】∵A=(
, 1]
[3,
)


，∴A
B

=[-2，-1]，故选A．
12．(2014 新课标Ⅱ，理1)设集合M=｛0，1，2｝，N=

2
|
3
2
0
x x
x

≤
，则M
N

=(
)
A．｛1｝
B．｛2｝
C．｛0，1｝
D．｛1，2｝
【答案】D
【解析】∵



2
=
3
2
0
1
2
N
x x
x
x
x






，∴M
N 



1,2 ，故选D．
13．(2013 新课标Ⅰ，理1)已知集合A=｛x|x2－2x＞0｝，B=｛x|－5＜x＜5｝，则
(
)
A、A∩B=
B、A∪B=R
C、B⊆A
D、A⊆B
【答案】B
【解析】A=(-，0)∪(2，+)，∴A∪B=R，故选B．
14．(2013 新课标Ⅱ，理1)已知集合M={ x ∈R|
2
(
1)
4
x 

}，N={-1，0，1，2，3}，则M∩N=
A．{0，1，2}
B．{-1，0，1，2}
C．{-1，0，2，3}
D．{0，1，2，3}
【答案】A
【解析】M=(-1，3)，∴M∩N={0，1，2}，故选A．
15．(2012•新课标，文1)已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1<x<1}，则
(A)AB
(B)BA
(C)A=B
(D)A∩B=
【答案】B
【解析】A=(－1，2)，故BA，故选B．
16．( 2017 山东)设函数
2
4
y
x


的定义域A ，函数
ln(1
)
y
x


的定义域为B ，则A
B

=
A．(1,2)
B．(1,2]
C．( 2,1)

D．[ 2,1)

【答案】D
【解析】由
2
4
0
x

≥
得2
2
x
≤≤
，由1
0
x


得
1
x ，故A
B={ | 2
1}
x
x



≤
，选D．
17．(2012•新课标，文11)当0< x ≤1
2时，4
log
x
a x

，则a 的取值范围是
(A)(0，2
2 )
(B)( 2
2 ，1)
(C)(1，2)
(D)( 2，2)
【答案】A
【解析】由指数函数与对数函数的图像知
1
2
0
1
1
log
4
2
a
a





，解得
2
0
2
a


，故选A．
18．(2015 山东)已知集合
2
{ |
4
3
0}
A
x x
x




，
{ | 2
4}
B
x
x



，则A
B

=
A．(1，3)
B．(1，4)
C．(2，3)
D．(2，4)
【答案】C
【解析】
2
{ |
4
3
0}
{ |1
3},
(2,3)
A
x x
x
x
x
A
B









．
19．(2013 陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2 的内接矩形花园(阴影部分)，
则其边长x(单位m)的取值范围是
A．[15，20]
B．[12，25]
C．[10，30]
D．[20，30]
【答案】C
【解析】如图△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为y ，则
2
40
(
)
40
ADE
ABC
S
y
S




，所以
40
y
x


，又
300
xy≥
，
所以(40
)
300
x
x

≥
，即
2
40
300
0
x
x



，解得10
30
x
≤≤
．
20．(2013 重庆)关于x 的不等式
2
2
2
8
0
x
ax
a



(
0
a 
)的解集为
1
2
( ,
)
x x
，
且
2
1
15
x
x


，则a 
A．5
2
B．7
2
C．15
4
D．15
2
【答案】A
【解析】∵由
2
2
2
8
0
x
ax
a



(
0
a 
)，得(
4 )(
2 )
0
x
a x
a



，即2
4
a
x
a



，∴
1
2
2 ,
4
x
a x
a


，
∵
2
1
4
( 2 )
6
15
x
x
a
a
a





，∴
15
5
6
2
a 

．故选A．
21．(2017•新课标Ⅲ，理15)设函数







0
,
2
0
,1
)
(
x
x
x
x
f
x
，则满足
1
( )
(
)
1
2
f x
f x


的x 的取值范围是
．
【答案】
1
( 4

，
)

【解析】若
0

x
，则
2
1
2
1



x
，则
1
( )
(
)
1
2
f x
f x


等价为
1
1
1
1
2
x
x


，即
1
2
2
x 
，则
1
4
x 
，
此时
0
4
1



x
，
当
0
x 
时，
( )
2
1
x
f x 
，
1
1
2
2
x 

，
当
1
0
2
x 

即
1
2
x 
时，满足
1
( )
(
)
1
2
f x
f x


恒成立，
当
2
1
2
1
0



x
，即
0
2
1

x
时，
1
1
1
1
(
)
1
2
2
2
2
f x
x
x






，
此时
1
( )
(
)
1
2
f x
f x


恒成立，综上
1
4
x 
．
22．(2014 新课标I，文15)设函数

1
1
3
,
1,
,
1,
xe
x
f x
x
x








则使得

2
f x 
成立的x 的取值范围是________．
【答案】(
,8]

【解析】原不等式等价于
1
1
2
x
x
e 





或
1
3
1
2
x
x





，解得
8
x 
，故x 的取值范围是(
,8]

．
23．(2017 江苏)记函数
2
( )
6
f x
x
x



的定义域为D ．在区间[ 4,5]

上随机取一个数x ，则x
D

的
概率是
．
【答案】5
9
【解析】由
2
6
0
x
x


≥
，解得2
3
x
≤≤，根据几何概型的计算公式得概率为
3
( 2)
5
5
( 4)
9



24．(2014 江苏)已知函数
,1
)
(
2



mx
x
x
f
若对于任意
]1
,
[


m
m
x
，都有
0
)
(

x
f
成立，则实数m 的取值
范围是
．
【答案】
2
(
,0)
2

【解析】由题意可得
( )
0
f x 
对于
[ ,
1]
x
m m


上恒成立，即
2
2
( )
2
1
0
(
1)
2
3
0
f m
m
f m
m
m









，解得
2
0
2
m



．
25．(2013 重庆)设0


≤
≤
，不等式
2
8
(8sin
)
cos2
0
x
x




≥
对x
R

恒成立，则a 的取值范围
为
．
【答案】．
5
[0,
]
[
, ]
6
6



【解析】不等式
2
8
(8sin
)
cos2
0
x
x





对x
R

恒成立，
则有
2
2
(8sin
)
4 8cos2
64sin
32cos2
0








≤
即
2
2
2
2sin
cos2
2sin
(1 2sin
)








2
4sin
1
0


≤
．
∴
2
1
sin
4
≤
．∴
1
1
sin 
2
2




．
又0




，结合下图可知，∈
π
5π
0,
,π
6
6













．
26．(2013 江苏)已知
)
(x
f
是定义在R 上的奇函数．当
0

x
时，
x
x
x
f
4
)
(
2 

，则不等式
x
x
f

)
(
的解
集用区间表示为
．
【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)
【解析】做出
x
x
x
f
4
)
(
2 

(
0

x
)的图像，如下图所示．由于
)
(x
f
是定义在R 上的奇函数，利用奇函
数图像关于原点对称做出x＜0 的图像．不等式
x
x
f

)
(
，表示函数y＝
)
(x
f
的图像在y＝x 的上方，观察
图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)．
27．(2013 四川)已知
)
(x
f
的定义域为R 的偶函数，当
0

x
时，
x
x
x
f
4
)
(
2 

，那么，不等式
5
)
2
(


x
f
的解集是____________．
【答案】(－7，3)
【解析】当x ≥0 时，令
2
4
5
x
x


，解得，0
5
x 
≤
．又因为
)
(x
f
为定义域为R 的偶函数，则不等式
(
2)
5
f x 

等价于5
2
5
x



，即－7＜x ＜3；故解集为(－7，3)．
28．(2012 福建)已知关于x 的不等式
2
2
0
x
ax
a



在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是_________．
【答案】(0，8)
【解析】因为不等式x2﹣ax+2a＞0 在R 上恒成立．∴△=
2
(
)
8
0
a
a



，解得0＜a ＜8．
29．(2012 江苏)已知函数
2
( )
(
)
f x
x
ax
b a b



R
，
的值域为[0
)

，
，若关于x 的不等式
( )
f x
c

的解集
为(
6)
m
m 
，
，则实数c 的值为
．
【答案】9
【解析】因为
( )
f x 的值域为[0，+∞)，所以
,0


即
2
4
a
b

，所以
2
2
0
4
a
x
ax
c




的两根，由一元
二次方程根与系数的关系得
,
4
)
6
(
,
6
2
2
c
a
m
m
a
m






解得c =9．
30．(2012 江西)不等式
2
9
0
2
x
x



的解集是___________．
【答案】( 3,2)
(3,
)



【解析】不等式可化为(
3)(
2)(
3)
0
x
x
x




采用穿针引线法解不等式即可．
31．(2018 浙江)已知R ，函数
2
4,
( )
4
3,
x
x
f x
x
x
x









≥
，当
2

时，不等式
( )
0
f x 
的解集是
___________．若函数
( )
f x 恰有2 个零点，则的取值范围是___________．
【答案】(1,4) ；(1,3]
(4,
)


【解析】若
2

，则当
2
x≥
时，令
4
0
x 

，得2
4
x 
≤
；当
2
x 
时，令
2
4
3
0
x
x



，得1
2
x


．综
上可知1
4
x


，所以不等式
( )
0
f x 
的解集为(1,4) ．令
4
0
x 

，解得
4
x 
；令
2
4
3
0
x
x



，解
得
1
x 
或
3
x 
．因为函数
( )
f x 恰有2 个零点，结合函数的图象(图略)可知1
3


≤
或
4

．
考点68 基本不等式应用
1．(2020 全国3 文12)已知函数
1
( )
sin
sin
f x
x
x


，则(
)
A．
( )
f x 的最小值为2
B．
( )
f x 的图像关于y 轴对称
C．
( )
f x 的图像关于直线
π
x 
对称
D．
( )
f x 的图像关于直线
π
2
x 
对称
【答案】D【解析】由题意得sin
[ 1 0)
(01]
x

，
，．对于A，当sin
(0 1]
x 
，时，
1
1
( )
sin
2 sin
2
sin
sin
f x
x
x
x
x





，当且仅当sin
1
x 时取等号；当sin
[ 1 0)
x，时，
1
1
1
( )
sin
sin
2
sin
2
sin
sin
sin
f x
x
x
x
x
x
x
















，当且仅当sin
1
x 时取等号，所以A 错
误．对于B，
1
1
(
)
sin(
)
sin
( )
sin(
)
sin
f
x
x
x
f x
x
x














，所以
( )
f x 是奇函数，图象关于原点对称，
所以B 错误．对于C，
1
1
(
π)
sin(
π)
sin
sin(
π)
sin
f x
x
x
x
x













，
1
1
(π
)
sin(π
)
sin
sin(π
)
sin
f
x
x
x
x
x







，则
(
π)
(π
)
f x
f
x



，
( )
f x 的图象不关于直线
π
x 
对称，
所以C 错误．对于D，
π
π
1
1
sin
cos
π
2
2
cos
sin
2
f
x
x
x
x
x

























，
π
π
1
1
sin
cos
π
2
2
cos
sin 2
f
x
x
x
x
x

























，所以
π
π
2
2
f
x
f
x















，( )
f x 的图象关于直线
π
2
x 
对
称，所以D 正确．故选D．
2．(2020 山东11)已知
0
a 
，
0
b 
，且
1
a
b

，则
(
)
A．
2
2
1
2
a
b


B．
1
2
2
a b

C．
2
2
log
log
2
a
b


D ．
2
a
b


【答案】ABD
【思路导引】根据
1
a
b

，结合基本不等式及二次函数知识进行求解．
【解析】对于A，


2
2
2
2
2
1
2
2
1
a
b
a
a
a
a







2
1
2
1
1
2
2
2
a








，当且仅当
1
2
a
b


时，等
号成立，故A 正确；对于B ，
2
1
1
a
b
a



，所以
1
1
2
2
2
a b




，故B 正确；对于C ，
2
2
2
2
2
2
1
log
log
log
log
log
2
2
4
a
b
a
b
ab












，当且仅当
1
2
a
b


时，等号成立，故C 不正确；
对于D，因为

2
1
2
1
2
a
b
ab
a
b





，所以
2
a
b


，当且仅当
1
2
a
b


时，等号
成立，故D 正确，故选：A BD．
3．(2020 上海13)下列不等式恒成立的是
(
)
A．
2
2
2
a
b
ab


B．
2
2
2
a
b
ab


C．
2
a
b
ab


D．
2
a
b
ab


【答案】B
【解析】由基本不等式可知
2
2
2
a
b
ab


，故A 不正确；
2
2
2
2
2
2
0
a
b
ab
a
b
ab






，即


2
0
a
b


恒成立，故B 正确；当
1,
1
a
b

时，不等式不成立，故C 不正确；当
0,
1
a
b

时，
不等式不成立，故D 不正确，故选B．
4．(2013 四川)已知函数
( )
4
(
0,
0)
a
f x
x
x
a
x




在
3
x 
时取得最小值，则a __．
【答案】36
【解析】因为
0,
0
x
a


，( )
4
2 4
4
a
a
f x
x
x
a
x
x





，当且仅当4
a
x
x

，即
3
4
a
x 

，解得
36
a 
．
5．(2015 陕西)设
( )
ln
f x
x

，0
a
b


，若
(
)
p
f
ab

，
(
)
2
a
b
q
f


，
1 ( ( )
( ))
2
r
f a
f b


，则下列关系式中正确的是
A．q
r
p


B．q
r
p


C．p
r
q


D．p
r
q


【答案】B
【解析】∵0
a
b
<
<
，∴
2
a
b
ab
+
>
，又
( )
ln
f x
x
=
在(0,
)
+¥ 上单调递增，故
(
)
(
)
2
a
b
f
ab
f
+
<
，
即q
p
>
，∵r =
))
(
)
(
(
2
1
b
f
a
f

=
)
ln
(ln
2
1
b
a 
=
ab
ln
=
)
( ab
f
= p ，∴p
r
q
=
<
．
6．(2015 北京)设
na
是等差数列．下列结论中正确的是
A．若
1
2
0
a
a


，则
2
3
0
a
a


B．若
1
3
0
a
a


，则
1
2
0
a
a


C．若
1
2
0
a
a


，则
2
1
3
a
a a

D．若
1
0
a 
，则


2
1
2
3
0
a
a
a
a



【答案】C
【解析】若{
}
na
是递减的等差数列，则选项
,
A B 都不一定正确．若{
}
na
为公差为0 的等差数列，则选项D
不正确．对于C 选项，由条件可知{
}
na
为公差不为0 的正确数列，由等差中项的性质得
1
3
2
2
a
a
a
+
=
，由基
本不等式得
1
3
1
3
2
a
a
a a
+
>
，所以C 正确．
7．(2014 重庆)若
b
a
ab
b
a



则
）
（
,
log
4
3
log
2
4
的最小值是
A．
3
2
6 
B．
3
2
7 
C．
3
4
6 
D．
3
4
7 
【答案】D
【解析】由已知得3
4
a
b
ab


，且
0
ab 
，可知
0,
0
a
b


，所以4
3
1
a
b


(
0,
0
a
b


) ，
4
3
4
3
(
)(
)
7
7
4 3
b
a
a
b
a
b a
b
a
b








≥
，当且仅当4
3
b
a
a
b

时取等号．
8．(2013 福建)若
1
2
2


y
x
，则
y
x 
的取值范围是
A．
]
2,0
[
B．
]
0,2
[
C．
)
,2
[


D．
]
2
,
(


【答案】D
【解析】本题考查的是均值不等式．因为
y
x
y
x
2
2
2
2
2
1




，即
2
2
2


y
x
，
所以
2


y
x
，当且仅当
y
x
2
2 
，即
y
x 
时取等号．
9．(2013 山东)设正实数, ,
x y z 满足
2
2
3
4
0
x
xy
y
z




．则当xy
z
取得最大值时，
2
1
2
x
y
z


的最大值为
A．0
B．1
C．9
4
D．3
【答案】B
【解析】由
，得
．
所以
，当且仅当
，
即
时取等号此时
，
．
，
故选B．
10．(2013 山东)设正实数
z
y
x
,
,
满足
0
4
3
2
2




z
y
xy
x
，则当z
xy
取得最大值时，
2
x
y
z


的最大
值为
A．0
B．9
8
C．2
D．9
4
【答案】C
【解析】由
2
2
3
4
0
x
xy
y
z




得
2
2
4
3
x
y
xy
z



，
2
2
2
2
2
4
4
4
3
3
3
1
x
y
z
x
y
xy
xy
xy
xy
xy







，
当且仅当
2
2
4
x
y

即
2
x
y

时，z
xy
有最小值1，
将
2
x
y

代入原式得
2
2
z
y

，
所以
2
2
2
2
2
2
2
4
x
y
z
y
y
y
y
y







，
当
1
y 时有最大值2．故选C．
11．(2012 浙江)若正数,x y 满足
3
5
x
y
xy


，则3
4
x
y

的最小值是( )
A．24
5
B．28
5
C．5
D．6
【答案】C
【解析】
3
5
x
y
xy


，∴
1
3
5
y
x


，∴1
1
3
1 3
12
13
(3
4 ) (
)
(
)
5
5
5
x
y
x
y
y
x
y
x







1
13
2
36
5
5
5



．
12．(2012 陕西)小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a
b

)，其全程的平均时速为v ，则
A．a
v
ab


B．v =
ab
C．
ab <v <
2
a
b

D．v =
2
a
b

【答案】A
【解析】设从甲地到乙地所走路程为S ，则
2
2
2
2
1
1
2
S
ab
ab
v
ab
S
S
a
b
ab
a
b
a
b








．
∵a
b

，∴
2
2
2
2
ab
a
v
a
a
b
a




，∴a
v
ab


．选A．
13．(2011 陕西)设0
a
b


，则下列不等式中正确的是
A．
2
a
b
a
b
ab




B．
2
a
b
a
ab
b




C．
2
a
b
a
ab
b




D．
2
a
b
ab
a
b




【答案】B
【解析】(方法一)已知a
b

和
2
a
b
ab


，比较a 与
ab ，
因为
2
2
(
)
(
)
0
a
ab
a a
b




，所以a
ab

，同理由
2
2
(
)
(
)
0
b
ab
b b
a




得
ab
b

；作差法：
0
2
2
a
b
b
a
b





，
所以
2
a
b
b


，综上可得
2
a
b
a
ab
b




；故选B．
(方法二)取
2
a 
，
8
b 
，
则
4
ab 
，
5
2
a
b


，所以
2
a
b
a
ab
b




．
14．(2011 上海)若,a b
R

，且
0
ab 
，则下列不等式中，恒成立的是
A．
2
2
2
a
b
ab


B．
2
a
b
ab


C．1
1
2
a
b
ab


D．
2
b
a
a
b


【答案】D
【解析】对于A 取
1
a
b


，此时
2
2
2
2
a
b
ab



，因此A 不正确；对于B 取
1
a
b

，此时
2
2
2
a
b
ab



，因此B 不正确；对于C 取
1
a
b

，
此时1
1
2
2
2
a
b
ab



，因此C 不正确；对于D，∵
0
ab 
，
∴
0
b
a 
，
0
b
a 
，∴
2
2
b
a
b a
a
b
a b



≥
，D 正确．
15．(2020 江苏12)已知
2
2
4
5
1( ,
)
x y
y
x y
R



，则
2
2
x
y

的最小值是
．
【答案】4
5
【解析】
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(5
)
4
25
4
(5
) 4
[
]
(
)
2
4
x
y
y
x
y
y
x
y








，故
2
2
4
5
x
y


，
当且仅当
2
2
2
5
4
2
x
y
y



，即
2
3
10
x 
，
2
1
2
y 
时，取等号．∴
2
2
min
4
{
}
5
x
y


．
16．(2020 天津14)已知
0,
0
a
b


，且
1
ab 
，则1
1
8
2
2
a
b
a
b



的最小值为_________．
【答案】4
【思路导引】根据已知条件，将所求的式子化为
8
2
a
b
a
b



，利用基本不等式即可求解．
【解析】
0,
0,
0
a
b
a
b





，
1
ab 
，
1
1
8
8
2
2
2
2
ab
ab
a
b
a
b
a
b
a
b








8
8
2
4
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b









，当且仅当a
b

=4 时取等号，结合
1
ab 
，解得
2
3,
2
3
a
b




，或
2
3,
2
3
a
b




时，等号成立，故答案为：4 ．
17．(2019 天津理13)设
0,
0,
2
5
x
y
x
y




，则(
1)(2
1)
x
y
xy


的最小值为
．
【答案】4 3
【解析】
0
x 
，
0
y 
，
2
5
x
y


，
则


1
2
1
2
2
1
2
6
6
2
x
y
xy
x
y
xy
xy
xy
xy
xy
xy










；
由基本不等式，
6
6
2
2 2
4 3
xy
xy
xy
xy



.
(当且仅当
6
2 xy
xy

时，即
3
xy 
，且
2
5
x
y


时，即
3
1
x
y





或
2
3
2
x
y




时，等号成立)．
故


1
2
1
x
y
xy


的最小值为4 3 ．
18．(2018 天津)已知
,
a bR ，且
3
6
0
a
b



，则
1
2
8
a
b

的最小值为
．
【答案】1
4
【解析】由
3
6
0
a
b



，得
3
6
a
b


，所以
1
2
8
a
b

=
b
b
3
6
3
2
1
2


≥
b
b
3
6
3
2
1
2
2


=
3
2
2


= 1
4
，当且
仅当
3
6
3
1
2
2
b
b

，即
1
b 时等号成立．
19．(2017 北京)已知
0
x 
，
0
y 
，且
1
x
y

，则
2
2
x
y

的取值范围是_______．
【答案】1
[ ,1]
2
【解析】由题意，
2
2
2
2
2
2
1
1
(1
)
2
2
1
2(
)
2
2
u
x
y
x
x
x
x
x










，且
[0,1]
x
，又
0
x 
时，
2
2
1
u
x
y



，
1
2
x 
时，
2
2
min
1
2
u
x
y



，当
1
x 
时，
2
2
1
u
x
y



，所以
2
2
x
y

取值范围为1
[ ,1]
2
．
20．(2017 天津)若,a bR ，
0
ab 
，则
4
4
4
1
a
b
ab


的最小值为___________．
【答案】4
【解析】
4
4
2
2
4
1
4
1
1
4
4
a
b
a b
ab
ab
ab
ab





≥
≥
，当且仅当
2
2
2
a
b

，且
1
2
ab 
，即
2
2
2
a 
时取等
号．
21．(2017 江苏)某公司一年购买某种货物600 吨，每次购买x 吨，运费为6 万元/次，一年的总存储费用为4x
万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是
．
【答案】30
【解析】总费用为
600
900
4
6
4(
)
4
2 900
240
x
x
x
x







，当且仅当
900
x
x

，即
30
x 
时等号成立．
22．(2017 浙江)已知aR ，函数
4
( ) |
|
f x
x
a
a
x




在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围
是
．
【答案】
9
(
, ]
2

【解析】∵
[1,4]
x
，∴
4
[4,5]
x
x


①当
5
a≥
时，
4
4
4
( )
2
2
2
2
4
f x
a
x
a
a
x
a
x
a
x
x
x











≤
，
所以
( )
f x 的最大值2
4
5
a 

，即
9
2
a 
(舍去)
②当
4
a≤
时，
4
4
( )
5
f x
x
a
a
x
x
x






≤
，此时命题成立．
③当4
5
a


时，
max
( )
max{| 4
|
,| 5
|
}
f x
a
a
a
a





，则
| 4
|
| 5
|
| 4
|
5
a
a
a
a
a
a









≥
或| 4
|
| 5
|
| 5
|
5
a
a
a
a
a
a






，
解得
9
2
a 
或
9
2
a 
，
综上可得，实数a 的取值范围是
9
(
, ]
2

．
23．(2014 浙江)已知实数, ,
a b c 满足
0
a
b
c



，
2
2
2
1
a
b
c


，则a 的最大值是__
【答案】
6
3
【解析】由
0
a
b
c


得，a
b
c

，则
2
2
2
2
(
)
2
a
b
c
b
c
bc






2
2
2
2
2
2
2
b
c
b
c
b
c





≤
，又
2
2
2
1
a
b
c



，所以
2
3
2
a ≤
，解得
6
6
3
3
a

≤
≤
，故a 的最大
值为
6
3
．
24．(2014 辽宁)对于
0
c 
，当非零实数a，b 满足
2
2
4
2
0
a
ab
b
c




，且使| 2
|
a
b

最大时，1
2
4
a
b
c


的最小值为
．
【答案】－1
【解析】设| 2
|
a
b

最大，则必须,a b 同号，
因为
2
2
2
2
4
4
6
3(
)
2
a
b
a
b
ab
c
ab
c






≤
，
故有
2
(2
)
4
a
b
c

≤
，
2
2
(
)
2
a
b
c

≥
，当且仅当2a
b

时取等号，此时
2
c
b

，
所以1
2
4
a
b
c


=
2
2
4
4
1
1
4(
)
1
1
2
b
b
b





≥
．
25．(2014辽宁)对于
0
c 
，当非零实数a ，b 满足
2
2
4
2
4
0
a
ab
b
c




，且使| 2
|
a
b

最大时，3
4
5
a
b
c


的最小值为
．
【答案】－2
【解析】设2a
b
t


，则2a
t
b

，因为
2
2
4
2
4
0
a
ab
b
c




，
所以将2a
t
b

代入整理可得
2
2
6
3
0
b
tb
t
c




①，
由
0
≥
解得
8
8
5
5
c
t
c

≤≤
，当2a
b

取得最大值时，
8
5
t
c

，
代入①式得
10
c
b 
，再由2a
t
b

得
3
2
10
c
a 
，
所以3
4
5
a
b
c


2 10
4 10
5
5
2 10
c
c
c
c
c




2
5
(
2)
2
2
c




≥
．
当且仅当
5
2
c 
时等号成立．
26．(2014 湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆
数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的
值有关，其公式为
2
76000
18
20
v
F
v
v
l



．
(Ⅰ)如果不限定车型，
6.05
l 
，则最大车流量为
辆/小时；
(Ⅱ)如果限定车型，
5
l 
，则最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加
辆/小时．
【答案】1900
100
【解析】(Ⅰ)
76000
76000
1900
20 6.05
2 121 18
18
F
v
v






≤
，当且仅当
11
v 
时等号成立．
(Ⅱ)
76000
76000
2000
20 5
2 100
18
18
F
v
v






≤
，当且仅当
10
v 
时等号成立．
2000 1900
100


．
27．(2013 天津)设a + b = 2，b>0，则当a =
时，
1
|
|
2 |
|
a
a
b

取得最小值．
【答案】－2
【解析】∵
1
|
|
2 |
|
a
a
b

=
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
4 |
|
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a
b





|
|
1
3
2
1
1
4 |
|
4 |
|
4 |
|
4
4
a
b
a
a
a
a
b
a






≥
≥
当且仅当
|
| ,
0
4 |
|
b
a
a
a
b


，即
2,
4
a
b


时取等号
故
1
|
|
2 |
|
a
a
b

取得最小值时，
2
a 
28．(2013 四川)已知函数
( )
4
(
0,
0)
a
f x
x
x
a
x




在
3
x 
时取得最小值，则a __．
【答案】36
【解析】因为
0,
0
x
a


，( )
4
2 4
4
a
a
f x
x
x
a
x
x





，当且仅当4
a
x
x

，即
3
4
a
x 

，解得
36
a 
．
29．(2011 浙江)若实数,x y 满足
2
2
1
x
y
xy



，则x
y

的最大值是____．
【答案】2 3
3
【解析】∵
2
2
1
x
y
xy



，∴
2
(
)
1
x
y
xy



，即
2
2
(
)
(
)
1
2
x
y
x
y



≤
，∴
2
4
(
)
3
x
y

≤
，
2 3
3
x
y

≤
．
30．(2011 湖南)设,x y
R

，则
2
2
2
2
1
1
(
)(
4
)
x
y
y
x


的最小值为
．
【答案】9
【解析】由柯西不等式可知
2
2
2
2
2
1
1
(
)(
4
)
(1
2)
9
x
y
y
x





．