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探索规律（基础）知识讲解
【学习目标】
1. 通过观察、分析、总结等一系列过程，经历探索数量关系，并运用代数式表示规律，通过运
算验证规律是否正确的过程；
2.会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规
律是否正确；
3.通过动手操作、观察、思考，体验数学活动是充满着探索性和创造性的过程.
【要点梳理】
要点一、规律探索型问题常见类型
1、数式规律
通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到
一般的数学方法，考查了分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然
后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数
量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式.
要点诠释：由于寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思
想的运用.解题中应注意先从特殊的结果入手寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.
2、图形规律
根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的
方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过
图形的直观性，从图形中直接寻找规律.
要点诠释：图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问题需要把
“形”转化为“数”，考查数形结合的数学思想.
3、数表规律
解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法
找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局
部看，再整体找规律.
要点二、规律探索型问题解题技巧
1、抓住条件中的变与不变
找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指
变量的变化规律. 所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照
一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号.
2、化繁为简，形转化为数
有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地
分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，
问题也就容易解决了.
3、要进行计算尝试
找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包
含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以，
从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径.
4、寻找事物的循环节
有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解.
【典型例题】
类型一、数式规律
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1．按某种规律在横线上填上适当的数：
（1）1，3，5，7，9，11， ，………；
（2）3，6，12，24，48，96， ，………；
（3）1，4，9，16，25，36， ，………；
（4）0，3，8，15，24，35， ，………；
（5）2，-2，2，-2，2，-2， ，……….
【答案】（1）13；（2）192；（3）49；（4）48；（5）2.
【解析】
解：（1）这个数列中，后一项与前一项差为定值2，所以第7 个数为：
；
（2）这个数列中，后一项总是前一项的2 倍，所以第7 个数为：
；
(3) 这个数列中，每个数位上的数分别是它所在位置号的平方或立方，所以第7 个数为：
；
(4) 这个数列中，后一项与前一项的差依次多2，所以第7 个数为：
；
（5）这个数列中，每两个数一个循环，奇数位上的数为2，偶数位的数为-2．所以第7 个数
为：2．
【总结升华】（1）一列数中，后一项与前一项的差是一个固定的数，则这列数的第n 个数为：
从左往右数第一个数＋固定数值×（n-1）.
（2）一列数中，相邻两项的后一项与前一项的商为固定值q（q≠0），则这列数的第n 个数为：
从左往右数第一个数×
.
(3) 一列数中，每个数位上的数分别是它所在位置号的平方或立方,则第n 个数为：
2
n 或
3
n .
（4）此数列满足：差值呈固定值2 增长，第n 个数为
.
（5）此数列中的第n 个数可表示为
.
举一反三：
【变式1】按某种规律在横线上填上适当的数：
(1) －5，－2，1，4， ；
(2) 2，5，10，17， ，37；
(3) 1，8，27，64， ，216 ．
【答案】（1） 7 （2），
26
（3） 125
【变式2】（肇庆）观察下列一组数：
它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k 个数是 ．
【答案】
提示：根据已知得出数字分母与分子的变化规律，分子是连续的偶数，分母是连续的奇数，进
而得出第k 个数分子的规律是2k，分母的规律是2k+1，进而得出这一组数的第k 个数的
个数的值．
本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变
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化，是按照什么规律变化的．解题的关键是把数据的分子分母分别用组数k 表示出来．
2.（湛江）若：A3
2=3×2=6， A5
3=5×4×3=60，A5
4=5×4×3×2=120，
A6
4=6×5×4×3=360，…，观察前面计算过程，寻找计算规律计算A7
3= （直接写出计算结
果），并比较A10
3 A10
4（填“＞”或“＜”或“=”）．
【思路点拨】对于Aa
b（b＜a）来讲，等于一个乘法算式，其中最大因数是a，依次少1，最小因
数是(a-b+1)．依此计算即可．
【答案】210；＜．
【解析】
解： A7
3=7×6×5=210；
A
∵
10
3=10×9×8=720，A10
4=10×9×8×7=5040．
A
∴
10
3＜A10
4．
故答案为：210；＜．
【总结升华】本题是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，
是按照什么规律变化的．注意找到Aa
b（b＜a）中的最大因数，最小因数．
举一反三：
【变式】（大庆）根据以下等式：1=12，1+2+1=22，1+2+3+2+1=32，… ．对于正整数n（n≥4），
猜想：1+2+ … +（n-1）+n+（n-l）+ … +2+1=
．
【答案】n2
类型二、图表规律
3．用火柴棒按下图的方式搭三角形:
（1）
填写下表：
三角形个数
1
2
3
4
5
火柴棒根数
（2）照这样的规律搭下去，搭n 个这样的三角形需要多少根火柴棒？
【思路点拨】每多搭一个三角形，就多用两根火柴棒.
【答案与解析】
解：（1）
三角形个数
1
2
3
4
5
火柴棒根数
3
5
7
9
11
（2）搭n 个这样的三角形需要 2n+1 根火柴棒
【总结升华】将“形”的规律转换为“数”的规律.
举一反三：
【变式】（青海）观察下列一组图形：
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它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n 个图形中共有 个★．
【答案】
4．下边是一个有规律排列的数表,请用含n 的代数式(n 为正整数)，表示数表中第n 行
第n 列的数:_____________ ．
【答案】
【解析】
解法一：观察n 行n 列的方阵，此时所有的数字有n2个，
第n 行的第一列数是n2 ，
第n 行的第二列数是n2 -1，
第n 行的第三列数是n2 -2，
……
第n 行的第n 列数是n2 -n+1．
解法二：由图可知：第一行第n 个数可用
来表示，
而第一列第n 个数可以用
来表示．
那么第n 行n 列的数就可用（第一行第n 个数+第一列第n 个数）÷2 来表示，即
．
【总结升华】同一道题目，可以从不同角度找规律，但最后的结果都是一样或化简后是一样的．
例如本题虽然最后的结果表面看起来不一样，但实际是相等的（以后学到）．
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举一反三：
【变式】观察下列有序整数对：
（1，1）．
（1，2），（2，1）．
（1，3），（2，2），（3，1）
（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）．
（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）．
…
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10 行从左到右第5 个整数对是
【答案】（5,6）
5．（娄底）如图，如图所示的图案是按一定规律排列的，照此规律，在第1 至第2012 个
图案中“♣”，共 个．
【思路点拨】本题的关键是要找出4 个图形一循环，然后再求2012 被4 整除，从而确定是共第
503♣．
【答案】503
【解析】
解：根据题意可知梅花是1，2，3，4 即4 个一循环．所以2012÷4＝503．
所以共有503 个．
♣
【总结升华】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通
过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
举一反三：
【变式】
（云南）观察下列图形的排列规律（其中▲、■、★分别表示三角形、正方形、五角星）．
若第一个图形是三角形，则第18 个图形是 ．（填图形的名称）
▲■★■▲★▲■★■▲★▲…
【答案】五角星
提示：6 个一循环．
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