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一次函数与一元一次不等式（提高）
【学习目标】
1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用
图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的
思想及转化的思想．
2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．
【要点梳理】
要点一、一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax
b
＞0 或ax
b
＜0 或ax
b
≥0 或
ax
b
≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数
y
ax
b
的值大于0（或小于0 或大于等于0 或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
要点诠释：求关于x 的一元一次不等式ax
b
＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，
就是x 为何值时，函数y
ax
b
的值大于0.从“形”的角度看，确定直线y
ax
b
在x
轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
要点二、一元一次方程与一元一次不等式
我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的
解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.
要点三、如何确定两个不等式的大小关系
ax
b
cx
d
（a ≠c ，且
0
ac
）的解集y
ax
b
的函数值大于y
cx
d
的
函数值时的自变量x 取值范围直线y
ax
b
在直线y
cx
d
的上方对应的点的横坐
标范围．
【典型例题】
类型一、一次函数与一元一次不等式
1、已知一次函数y
ax
b
的图象过第一、二、四象限，且与x 轴交于点（2，0），则关于
x 的不等式
1
a x
b
＞0 的解集为（ ）
A．x ＜－1 B．x ＞－1 C．x ＞1 D．x ＜1
【答案】A；
【解析】∵一次函数y
ax
b
的图象过第一、二、四象限，∴b ＞0，a ＜0，
把（2，0）代入解析式y
ax
b
得：0＝2a ＋b ，
解得：b
a ＝－2，∵
1
a x
b
＞0，
∴
1
a x
b
，
∴x －1＜b
a ，
∴x ＜－1，
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【总结升华】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的性质，一次函数
图象上点的坐标特征，解一元一次不等式等的理解和掌握，能根据一次函数的性质得出a 、
b 的正负，并正确地解不等式是解此题的关键．
举一反三：
【变式】如图，直线y
kx
b
与坐标轴的两个交点分别为A（2，0）和B（0，－3），则不等式
kx
b
＋3≥0 的解集是（ ）
A．x ≥0 B．x ≤0 C．x ≥2 D．x ≤2
【答案】A；
提示：从图象上知，直线y
kx
b
的函数值
随x 的增大而增大，与
轴的交点为
B（0，－3），即当x ＝0 时，
＝－3，所以当x ≥0 时，函数值kx
b
≥－3．
2、函数
1
1
y
x
与
2y
ax
b
（
0
a≠
）的图象如图所示，这两个函数图象的交点在
y
轴上，那么使
1y ，
2y 的值都大于零的x 的取值范围是___________．
【思路点拨】使
1y ，
2y 的值都大于零的图象在x 轴的上方，这部分图象的自变量在与x 轴的
两个交点的横坐标之间.
【答案】－1＜x ＜2；
【解析】由
1
1
y
x
，可知
1y 与x 轴的交点坐标为（－1，0），使
1y ，
2y 的值都大于零的图象在
x 轴的上方，这部分图象的自变量的取值范围是－1＜x ＜2.
【总结升华】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关
键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
举一反三：
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【变式】如图所示，函数
x
y
1
和
3
4
3
1
2
x
y
的图象相交于（－1，1），（2，2）两点．当
时，
的取值范围是（ ）
A．x ＜－1 B．—1＜x ＜2 C．x ＞2 D． x ＜－1 或x ＞2
【答案】D；
提示：
2
1
y
y
反映在图象上，是
1y 的图象在
2y 的上方，这部分图象自变量的取值
范围有两部分，是x ＜－1 或x ＞2.
3、作出函数
的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）当－2≤
≤4 时，求函数
的取值范围；
（2）当
取什么值时，
＜0，
＝0，
＞0；
（3）当
取何值时，－4＜
＜2．
【答案与解析】
解：当
＝0 时，
＝－4，
当
＝0 时，
＝2，即
过点（0，－4）和点（2，0），过这两点作直线即为
的图象，从图象得出函数值随
的增大而增大；
（1）当
＝－2 时，＝－8，当
＝4，＝4，∴当－2≤
≤4 时，函数
的取值范围为：
－8≤
≤4；
（2）由于当
＝0 时，＝2，∴当
＜2 时，＜0，当
＝2 时，＝0，当
＞2 时，＞
0；
（3）∵当
＝－4 时，＝0；当
＝2 时，＝3，∴当
的取值范围为：0＜
＜3 时，有
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（－1 ，1 ）
1y
（2 ，2 ）
2y
x
y
O
－4＜
＜2．
【总结升华】本题要求利用图象求解各问题，先求得函数与坐标轴的交点后，画函数图象，根
据图象观察，得出函数的增减性后，求得结论.
类型二、用一次函数的性质解决不等式的实际问题
4、某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务，甲种使用者每月需缴15 元月租费，
然后通话每分钟再付话费0.3 元，乙种使用者不缴月租费，通话每分钟付费0.6 元，
若一个月内通话时间为
分钟，甲、乙两种业务的费用分别为
和
元．
(1)试分别写出
、
与
之间的函数关系式；
(2)画出
、
的图象；
(3)利用图象回答，根据一个月的通话时间，你认为选哪种通信业务更优惠?
【思路点拨】收费与通话时间有关，分别写成两种收费方式的函数模型(建立函数关系式)，然
后再考虑自变量为何值时两个函数值相等，从而做出选择．
【答案与解析】
解：(1)根据题意可得：
(
≥0)，
(
≥0)．
(2)利用两点可画
(
≥0)和
(
≥0)的图象，如下图所示．
(3)由图象可知：两个函数的图象交于点(50，30)，这表示当
＝50 时，两个函数的值都
等于30．因此一个月内，通话时间为50 分钟．选哪一种通话业务都行，因为付费都是
30 元，当一个月内通话时间低于50 分钟时，选乙种业务更优惠，当一个月内通话时
间大于50 分钟时，选甲种业务更优惠．
【总结升华】解决这类问题首先根据题意确定函数解析式，然后在坐标系内画出函数，找到它
们的交点，从而得函数值相等时的自变量的取值，然后根据这一取值就可作出正确的选择．
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