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第十九章 一次函数
19.3 课题学习 选择方案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若等腰△ABC 的周长是50 cm，底边长为x cm，一腰长为y cm，则y 与x 的函数关系式及自变量x 的
取值范围是
A．y=50-2x（0<x<50）
B．y=50-2x（0<x<25）
C．y=
（50-2x）（0<x<50）
D．y=
（50-x）（0<x<25）
【答案】D
【解析】由题意得2y+x=50，所以y=
（50-x），且0
，故选D．
2．在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系，若购买1000 吨，每吨为800
元；购买2000 吨，每吨为700 元，一客户购买400 吨单价应该是
A．820 元
B．840 元
C．860 元
D．880 元
【答案】C
【解析】设购买量y 吨与单价x 元之间的一次函数关系式为y=kx+b，由题意，得
，
解得
，解析式为：y=-10x+9000，当y=400 时，400=-10x+9000，
，故选C．
3．春节期间，某批发商欲将一批海产品由A 地运往B 地，汽车货运公司和铁路货运公司均开放海产品的
运输业务，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示．已知运输路程为120 千米，汽车和火车的速
度分别为60 千米/小时，100 千米/小时，请你选择一种交通工具
运输工具
运输单位（元/吨·千
米）
冷藏单位（元/吨·小时）
过路费（元）
装卸及管理费（元）
汽车
2
5
200
0
火车
1.8
5
0
1600
A．当运输货物重量为60 吨，选择汽车
B．当运输货物重量大于50 吨，选择汽车
C．当运输货物重量小于50 吨，选择火车
D．当运输货物重量大于50 吨，选择火车
【答案】D
【解析】（1）y1=2×120x+5×（120÷60）x+200=250x+200，
y2=1.8×120x+5×（120÷100）x+1600=222x+1600；
（2）若y1=y2，则x=50，
∴当海产品不少于30 吨但不足50 吨时，选择汽车货运公司合算；当海产品恰好是50 吨时选择两家公
司都一样，没有区别；当海产品超过50 吨时选择铁路货运公司费用节省一些，故选D．
4．学校春季运动会期间，负责发放奖品的张也同学，在发放运动鞋（奖品）时，对运动鞋的鞋码统计如
下表：如果获奖运动员李伟领取的奖品是43 号（原鞋码）的运动鞋，则这双运动鞋的新鞋码是
新鞋码（y）
225
245
…
280
原鞋码（x）
35
39
…
46
A．270
B．255
C．260
D．265
【答案】D
【解析】由题中的表格知，y 是x 的一次函数，可设y 与x 的关系为y=kx+b，
由题意得
，解得
，∴y 与x 之间的函数关系式为y=5x+50，当x=43 时，y=265，
故选D．
5．如图，小明从A 地前往B 地，到达后立刻返回，他与A 地的距离
千米和所用时间
小时之间的
函数关系如图所示，则小明出发6 小时后距A 地
A．120 千米
B．160 千米
C．180 千米
D．200 千米
【答案】B
【解析】设当
时，y 与x 的函数关系式为
，
，得
，
即当
时，y 与x 的函数关系式为
，
当
时，
，
即小明出发6 小时后距A 地160 千米，故选B．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
6．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400 m，先到终点的人原地休息．
已知甲先出发4 min，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（m）与甲出发的时间t（min）之间的
关系如图所示，以下结论：①甲步行的速度为60 m /min；②乙走完全程用了32 min；③乙用16 min
追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300 m，其中正确的结论有___________（填序号）．
【答案】①
【解析】由图可得，甲步行的速度为：240÷4=60 米/分，故①正确；
乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）=30（分钟），故②错误；
乙追上甲用的时间为：16-4=12（分钟），故③错误；
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400-（4+30）×60=360 米，故④错误，故答案为：①．
7．某体育用品商场为推销某一品牌运动服，先做了市场调查，得到数据如下表：
卖出价格x（元/件）
50
51
52
53
销售量P（件）
500
490
480
470
则P 与x 的函数关系式为___________，当卖出价格为60 元时，销售量为___________件．
【答案】P=-10x+1000；400 件
【解析】（1）P 与x 成一次函数关系，设函数关系式为P=kx+b，
则
，解得
，
∴P=−10x+1000，
经检验可知：当x=52，P=480，当x=53，P=470 时也适合这一关系式，
∴所求的函数关系为P=−10x+1000．
（2）当x=60 时，P=−10×60+1000=400，
故答案为：P=−10x+1000；400．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
8．某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50 元月租费，然后每通话1 分钟，再付
话费0.4 元；“神州行”不缴月租费，每通话1 min 付费0.6 元．若一个月内通话x min，两种方式的
费用分别为y1元和y2元．
（1）写出y1，y2与x 之间的函数解析式；
（2）一个月内通话多少分钟，两种通讯业务费用相同；
（3）某人估计一个月内通话300 min，应选择哪种移动通讯业务合算些？
【解析】（1）y1=50+0.4x，y2=0.6x．
（2）令y1=y2，则50+0.4x=0.6x，
解之，得x=250．
所以通话250 分钟两种费用相同．
（3）令x=300，
则y1=50+0.4×300=170，y2=0.6×300=180，
所以选择全球通合算．
9．甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800 元，每张椅子80 元．甲、
乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送三张椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按
原价8 折优惠．现某公司要购买3 张办公桌和若干张椅子，若购买的椅子数为x 张（x≥9）．
（1）分别用含x 的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额；
（2）购买的椅子至少多少张时，到乙厂家购买更划算？
【解析】（1）根据甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案：
甲厂家所需金额为：3×800+80（x
9
﹣）=1680+80x；
乙厂家所需金额为：（3×800+80x）×0.8=1920+64x．
（2）由题意，得：1680+80x≥1920+64x，
解得：x≥15．
答：购买的椅子至少15 张时，到乙厂家购买更划算．
10．为响应绿色出行号召，越来越多市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机
支付和会员卡支付两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额y（元）与骑行时间x（时）之间的
函数关系，根据图象回答下列问题：
（1）求手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式；
（2）李老师经常骑行共享单车，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算．
【解析】（1）由题意和图象可设：手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数解析式为：
，由图可得：
，解得
，
∴手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数解析式为：
．
（2）由题意和图象可设会员支付y（元）与骑行时间x（时）的函数解析式为：
，
由图可得：
，
由
，可得
，
∴图中两函数图象的交点坐标为（2，1.5），
又∵
，结合图象可得：
当
时，李老师用“手机支付”更合算；
当
时，李老师选择两种支付分式花费一样多；
当
时，李老师选择“会员支付”更合算．
11．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为1000 元，其原材料成本价为550 元，同时在生产过程中平
均每生产一件产品有10 千克的废渣产生．为达到国家环要求，需要对废渣进行处理，现有两种方案可
供选择：
方案一：由工厂对废渣直接进行处理，每处理10 千克废渣所用的原料费为50 元，并且每月设备维护
及损耗费为2000 元．
方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理，每处理10 千克废渣需付100 元的处理费．
（1）设工厂每月生产x 件产品．用方案一处理废渣时，每月利润为__________元；用方案二处理废渣
时，每月利润为__________元（利润=总收入-总支出）；
（2）若每月生产30 件和60 件，用方案一和方案二处理废渣时，每月利润分别为多少元？
（3）如何根据月生产量选择处理方案，既可达到环保要求又最划算？
【解析】（1）由题意可得，
用方案一处理废渣时，每月的利润为：x（1000-550）-50x-2000=400x-2000；
用方案二处理废渣时，每月利润为：x（1000-550）-100x=350x，
故答案为：400x-2000；350x．
（2）当x=30 时，
用方案一处理废渣时，每月的利润为：400×30-2000=10000 元；
用方案二处理废渣时，每月利润为：350×30=10500 元；
x=60 时，
用方案一处理废渣时，每月的利润为：400×60-2000=22000；
用方案二处理废渣时，每月利润为：350×60=21000．
（3）令400x-2000=350x，
解得x=40，
即当生产产品数量少于40 时，选择方案二；当生产产量大于40 时，选择方案一．
12．水果商贩小李去水果批发市场采购被誉为“果中之王”的泰顺猕猴桃，他了解到猕猴桃有精品盒与普
通盒两种包装，精品盒的批发价格每盒60 元，普通盒的批发价格每盒40 元，现小李购得精品盒与普
通盒共60 盒，费用共为3100 元。
（1）问小李分别购买精品盒与普通盒多少盒？
（2）小李经营着甲、乙两家店铺，每家店铺每天部能售出精品盒与普通盒共30 盒，并且每售出一盒
精品盒与普通盒，在甲店获利分别为30 元和40 元，在乙店获利分别为24 元和35 元．现在小李要将
购进的60 盒弥猴桃分配给每个店铺各30 盒，设分配给甲店精品盒a 盒，请你根据题意填写下表：
精品盒数量（盒）
普通盒数量（盒）
合计（盒）
甲店
a
30
乙店
30
小李希望在甲店获利不少于1000 元的前提下，使自己获取的总利润W 最大，应该如何分配？最大的
总利润是多少？
【解析】（1）设小李购买精品盒x 盒，普通盒y 盒，
根据题意得
，
解得
，
答：小李购买精品盒35 盒，普通盒25 盒．
（2）由（1）可知精品盒共35 盒，普通盒共25 盒，
则分给甲店精品盒a 盒，则分给乙店精品盒35-a 盒，甲店分得普通盒30-a 盒，乙店分得普通盒a-5
盒．
故答案为：30-a；35-a；a-5．
获取的总利润W=30a+40×（30-a）+24×（35-a）+35×（a-5）=a+1865，
∵甲店获利不少于1000 元，
∴30a+40×（30-a）=1200-10a≥1000，
解得：a≤20，
由W=a+1865 的增减性可知：
当a=20 时，W 取最大值，最大值为20+1865=1885（元），
此时30-a=10；35-a=15；a-5=15．
答：甲店分精品盒20 盒普通盒10 盒，乙店分精品盒15 盒普通盒15 盒，才能保证总利润最大，总利
润最大为1885 元．
13．某中学为丰富学生的课余生活，准备购买一批每副售价50 元的羽毛球拍和每筒售价10 元的羽毛球，
购买时，发现商场正在进行两种优惠促销活动．
活动甲：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球；
活动乙：按购买金额打9 折付款．
学校欲购买这种羽毛球拍10 副，羽毛球x（x≥.10）筒．
（1）写出每种优惠办法实际付款金额y 甲（元），y 乙（元）与x（筒）之间的函数关系式；
（2）比较购买同样多的羽毛球时，按哪种优惠办法付款更省钱？
（3）如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购买，请你就购买
这种羽毛球拍10 副和羽毛球60 筒设计一种最省钱的购买方案．
【解析】（1）y 甲=50×10+10（x-10）=10x+400，y 乙=（10x+50×10）×0.9=9x+450，
即：y 甲=10x+400，y 乙=9x+450．
（2）由y 甲=y 乙得10x+400=9x+450，解得x=50；
由y 甲<y 乙得10x+400<9x+450，解得x<50；
由y 甲>y 乙得10x+400>9x+450，解得x>50．
∴当10≤x<50 时，按活动甲更省钱，当x=50 时，两种活动付款一样，当x>50 时，按活动乙更省钱．
（3）甲活动方案：y 甲=10x+400=60×10+400=1000（元）；
乙活动方案：y 乙=9x+450=9×60+450=990（元）；
两种活动方案买：50×10+50×10×0.9=950（元）．
所以按甲活动方案购买10 副羽毛球拍，其余按乙活动方案购买最省钱，共花950 元．
