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第十八章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，DE 是△ABC 的中位线，且△ADE 的周长为20，则△ABC 的周长为
A．30
B．40
C．50
D．无法计算
【答案】B
2．如图，在四边形ABCD 中，AB=CD，BC=AD，若∠D=120°，则∠C 的度数为
A．60°
B．70°
C．80°
D．90°
【答案】A
【解析】∵AB=CD，BC=AD，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠C+∠D=180°，∵∠D=120°，
∴∠C=60°．故选A．
3．四边形ABCD 中，从∠A，∠B，∠C，∠D 的度数之比中，能判定四边形ABCD 是平行四边形的是
A．1 2 3 4
∶∶∶
B．2 3 2 3
∶∶∶
C．2 2 3 3
∶∶∶
D．1 2 2 3
∶∶∶
【答案】B
【解析】根据对角相等的四边形是平行四边形，A．1 2 3 4
∶∶∶，对角不相等，不能；B．2 3 2 3
∶∶∶，对角相等，能；C．
2 2 3 3
∶∶∶，对角不相等，不能；D．1 2 2 3
∶∶∶，对角不相等，不能，故选B．
4．依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形，则这个图形一定是
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．梯形
【答案】A
【解析】如图，连接AC，
∵四边形ABCD 各边中点是E、F、G、H，∴HG∥AC，HG=
AC，EF∥AC，EF=
AC，∴EF=GH，
EF∥GH，∴四边形EFGH 是平行四边形．故选A．
5．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是
A．AB∥CD，AD∥BC
B．OA=OC，OB=OD
C．AD=BC，AB∥CD
D．AB=CD，AD=BC
【答案】C
6．如图，
ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，E 是AB 中点，且AE+EO=4，则
ABCD 的周长为
A．20
B．16
C．12
D．8
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，∵AE=EB，∴OE=
BC，∵AE+EO=4，∴2AE+2EO=8，
∴AB+BC=8，∴平行四边形ABCD 的周长=2×8=16，故选B．
7．如图，在
ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，E，F 是对角线AC 上的两点，当E，F 满足下列哪个条件
时，四边形DEBF 不一定是平行四边形
A．AE=CF
B．DE=BF
C．∠ADE=∠CBF
D．∠AED=∠CFB
【答案】B
D 选项：∵∠AED=∠CFB，∴∠DEO=∠BFO，∴DE∥BF，在△DOE 和△BOF 中，
，
∴△DOE≌△BOF，∴DE=BF，∴四边形DEBF 是平行四边形．故选项正确．故选B．
8．如图，E，F 分别是□ABCD 的边AB，CD 的中点，则图中平行四边形的个数共有
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC∥AB，DC=AB，∵E、F 分别是边AB、CD 的中点，
∴DF=FC=
DC，AE=EB=
AB，
∵DC=AB，∴DF=FC=AE=EB，∴四边形DFBE 和CFAE 都是平行四边形，∴DE∥FB，AF∥CE，
∴四边形FHEG 是平行四边形，故选C．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
9．如图，A、B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C，连接AC、BC，取AC、BC 的中点D、E，量出DE=a，则
AB=2a，它的根据是__________．
【答案】三角形的中位线等于第三边的一半
10．如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，点E 是BC 边的中点，连接DE 并延长，交AB 的延长线于F 点．已知
AB=4，∠F=∠CDE，则BF 的长为__________．
【答案】4
【解析】因为∠F=∠CDE，所以AB∥CD，因为AD∥BC，所以四边形ABCD 是平行四边形，所以AB=CD，
因为点E 是BC 边的中点，所以ED=EF，又因为∠F=∠CDE，∠DEC=∠FEB，所以△ECD≌△EBF，所以
BF=CD，所以BF=AB，因为AB=4，所以BF=4，故答案为：4．
11．如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，E 是DC 上一点，连接BE 并延长交AD 的延长线于点F，连接CF，BD，
请你只添加一个条件：__________，使得四边形BDFC 为平行四边形．
【答案】DE=EC（答案不唯一）
【解析】答案不唯一，比如：BD∥CF，构成两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
DF=BC，构成一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
DE=EC，可以证明BE=EF，构成对角线相互平分的四边形是平行四边形，等等．故答案：DE=EC（答案不
唯一）．
12．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线交于点O，点E、F 在直线AC 上（不同于A、C），当E、F 的位置满足
__________的条件时，四边形DEBF 是平行四边形．
【答案】AE=CF（答案不唯一）
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
13．如图，已知D、E、F 分别是△ABC 各边的中点，求证：AE 与DF 互相平分．
【解析】∵D、E、F 分别是△ABC 各边的中点，根据中位线定理知：
DE∥AC，DE=AF，EF∥AB，EF=AD，
∴四边形ADEF 为平行四边形，
故AE 与DF 互相平分．
14．如图，ABCD 中，E、F 分别是AB、CD 上的点，AE=CF，M、N 分别是DE、BF 的中点．求证：四边形ENFM
是平行四边形．
【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵AE=CF，
∴FD=EB，
∴四边形DEBF 是平行四边形，
∴DE∥FB，DE=FB．
∵M、N 分别是DE、BF 的中点，
∴EM=FN．
∵DE∥FB，
∴四边形MENF 是平行四边形．
15．如图，点M，N 在线段AC 上，AM=CN，AB∥CD，AB=CD．求证：∠1=∠2．
16．如图1，平行四边形
中，对角线
、
交于点
．将直线
绕点
顺时针旋转分别交
、
于点
、
．
（1）在旋转过程中，线段
与
的数量关系是__________．
（2）如图2，若
，当旋转角至少为__________ 时，四边形
是平行四边形，并证明此时
的四边形是
是平行四边形．
【解析】（1）相等，理由如下：
如图，
在
ABCD 中，AD∥BC，OA=OC，
∴∠1=∠2，
在△AOF 和△COE 中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE．
（2）当旋转角为
时，
，如图，
又∵AB⊥AC，
∴∠BAO=90°，
∠AOF=90°，
∴∠BAO=∠AOF，
∴AB∥EF，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
即：AF∥BE，
∵AB∥EF，AF∥BE，
∴四边形ABEF 是平行四边形．
