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第 2 课时 平行四边形的判定(2)
行且相等的四边形是平行四边形”可证出
结论．
1．掌握“一组对边平行且相等的四边 解：四边形ABCD是平行四边形．理由
形是平行四边形”的判定方法；(重点) 如下：∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB.又
2．掌握中位线的定义及中位线定理； ∵ AF ＝ CE ， DF ＝ BE ，
(重点) ∴△AFD≌△CEB(SAS)，∴AD＝CB，
3．平行四边形性质与判定的综合运用． ∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形
(难点) ABCD是平行四边形．
方法总结：根据题设条件，通过证明三
角形全等，得出等量关系，继而证明四边形
是平行四边形是判定时的一般解题思路．
【类型二】 判定平行四边形的 条件
一、情境导入 四边形ABCD中，对角线AC、BD
相交于点 O，给出下列四个条件：
① AD∥BC；② AD＝BC；③ OA＝OC；
④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边
形ABCD为平行四边形的选法有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6
种
如图所示，吴伯伯家一块等边三角形 解析：①②组合可根据“一组对边平行
ABC的空地，已知点E，F分别是边AB，AC 且相等的四边形是平行四边形”判定出四
的中点，量得 EF＝5 米，他想把四边形 边形ABCD为平行四边形；③④组合可根据
BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出 “对角线互相平分的四边形是平行四边
需要篱笆的长度吗？ 形”判定出四边形ABCD为平行四边形；
二、合作探究 ①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD
探究点一：一组对边平行且相等的四边 ＝CB，可利用“一组对边平行且相等的四
形是平行四边形 边形是平行四边形”判定出四边形ABCD
【类型一】 判定四边形是平行四边形 为 平 行 四 边 形 ； ① ④ 可 证 明
△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利
用“一组对边平行且相等的四边形是平行
四边形”判定出四边形ABCD为平行四边
形；综上有4种可能使四边形ABCD为平行
如图，E、F是四边形ABCD的对 四边形．故选B.
角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE， 方法总结：熟练运用平行四边形的判定
DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？ 定理是解决问题的关键．
请说明理由． 探究点二：三角形的中位线
解 析 ： 首 先 根 据 条 件 证 明 【类型一】 利用三角形中位线定理求线
△AFD≌△CEB，可得到AD＝CB，∠DAF＝ 段的长
∠BCE，可证出AD∥CB.根据“一组对边平 如图，在△ABC中，D、E分别为
第 1 页 共 3 页AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点
F.若DF＝3，则AC的长为( )
如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝
3，点N为BC的中点，AM平分∠BAC，
CM⊥AM，垂足为点M，延长CM交AB于点
A. D，求MN的长．
B．3 解析：首先证明△AMD≌△AMC，得到
C．6 DM＝MC，易得MN为△BCD的中位线，即
D．9 可解决问题．
解析：∵D、E分别为AC、BC的中点， 解：∵AM 平分∠BAC，CM⊥AM，
∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE∥AB， ∴∠DAM＝∠CAM，∠AMD＝∠AMC.在
∴∠2＝∠3.又∵AF平分∠CAB，∴∠1＝ △ AMD 与 △ AMC 中 ，
∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝ ∴△AMD≌△AMC(ASA)，∴AD＝AC＝3，
2AD＝6.故选C. DM＝CM.又∵BN＝CN，∴MN为△BCD的
方法总结：本题考查了三角形中位线定 中位线，∴MN＝BD＝×(5－3)＝1.
理，等腰三角形的判定与性质．解题的关键 方法总结：当已知三角形的一边的中点
是熟记性质并熟练应用． 时，要注意分析问题中是否有隐含的中点．
【类型二】 利用三角形中位线定理求角 【类型四】 中位线定理的综合应用
如图，E为▱ABCD中DC边的延
如图，C、D分别为EA、EB的中点， 长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交
∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为( BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连
) 接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关
A．80° B．90° 系，并证明你的结论．
C．100° D．110° 解析：本题可先证明△ABF≌△ECF，
解析：∵C、D分别为EA、EB的中点， 从而得出 BF＝CF，这样就得出了 OF 是
∴CD 是△EAB 的中位线，∴CD∥AB， △ABC的中位线，从而利用中位线定理即可
∴∠2＝∠ECD.∵∠1＝110°，∠E＝30°， 得出线段OF与线段AB的关系．
∴∠2＝∠ECD＝80°.故选A. 解：AB∥OF，AB＝2OF.证明如下：∵四
方法总结：中位线定理涉及平行线，所 边形 ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，
以利用中位线定理中的平行关系可以解决 AB∥CD，OA＝OC，∴∠BAF＝∠CEF，
一些角度的计算问题． ∠ABF＝∠ECF.∵CE＝DC，∴AB＝CE.在
【类型三】 运用三角形的中位线性质进 △ ABF 和 △ ECF 中 ，
行计算 ∴△ABF≌△ECF(ASA)，∴BF＝CF.∵OA
＝ OC ， ∴ OF 是 △ ABC 的 中 位 线 ，
∴AB∥OF，AB＝2OF.
方法总结：本题综合的知识点比较多，
第 2 页 共 3 页解答本题的关键是判断出 OF是△ABC的
中位线．
三、板书设计
1．平行四边形的判定定理(2)
一组对边平行且相等的四边形是平行
四边形．
2．三角形的中位线
三角形的中位线平行于第三边，且等于
第三边的一半．
本节课，通过实际生活中的例子引出三
角形的中位线，又从理论上进行了验证．在
学习的过程中，体会到了三角形中位线定理
的应用时机．对整个课堂的学习过程进行反
思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进
数学观点的形成和发展，更好地进行知识建
构，实现良性循环．
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