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第十八章 平行四边形
18.1.2平行四边形的判定（第2课时）
一、温故知新（导）
同学们，我们上节课学习了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有哪些呢？
1、从边方面判定：
① 两组对边分别平行 的四边形为平行四边形.
② 两组对边分别相等 的四边形为平行四边形.
2、从角方面判定：
两组对角分别相等 的四边形为平行四边形.
3、从对角线方面：
对角线互相平分 的四边形为平行四边形
如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？今天，
这就是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1、掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法．
2、会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题．
学习重难点
重点：利用一组对边平行且相等判定平行四边形；
难点：综合运用平行四边形的各种判定方法进行推理论证.
二、自我挑战（思）
1、如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等.反过来，一组对边平行且相
等的四边形是平行四边形吗？
猜想： 是平行四边形 .
2、请你运用以前所学习的知识点证明出你的猜想.
已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD .
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接AC，
∵ AB∥CD
∴ ∠1=∠2又∵ AB=CD，AC=CA
∴ △ABC≌△CDA (SAS)
∴ BC=DA，
∴四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形.
3、结论：一组对边 平行且相等 的四边形是平行四边形.
三、互动质疑（议、展）
1、现在你有多少种判定一个四边形是平行四边形的方法？
有5种方法：
（1）两组对边分别平行的四边形为平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形为平行四边形；
（3）两组对角分别相等的四边形为平行四边形；
（4）对角线互相平分的四边形为平行四边形；
（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
2、还存在其它判定方法吗？
①一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？（举例说明）
不是，例如：等腰梯形 .
②一组对边平行且不等的四边形是平行四边形吗？
不是平行四边形.
3、实例：
例4 如图18.1-13，在 ▱ABCD中，E、F分别是AB，CD的中点.
求证：四边形EBFD是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD．
1 1
又∵EB= AB，FD= CD，
2 2
∴EB=FD．
∴四边形EBFD是平行四边形；
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、已知四边形ABCD，下列条件能判断它是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠D，∠B=∠CC．AB∥CD，AB=CD D．AB=CD，∠A=∠C
1、解：A、由AB∥CD，AD=BC，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题
意；
B、由∠A=∠D，∠B=∠C，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意；
D、由AB=CD，∠A=∠C，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
2、下列条件中，能判断四边形 ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB=AD，CB=CD D．AB∥CD，AB=CD
2、解：如图示，
根据平行四边形的判定方法，只有 D正确．
故选：D．
3、如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形 ABCD是平行四边
形（ ）
A．OA=OC，OB=OD B．AB=CD，AO=CO
C．AB=CD，AD=BC D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD
3、解：A、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AB=CD，AO=CO不能判断四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意；
C、∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
4、如图，在四边形ABCD中，AB=CD，再添加一个条件 ．
（写出一个即可），可使四边形 ABCD是平行四边形．（图形中不再添加辅助线）
4、解：根据平行四边形的判定，可添加：AD=BC或AB∥CD（答案不唯一）．故答案为：AD=BC或AB∥CD．
5、在四边形ABCD中，现给出下列结论：
①若AB=CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形；
②若∠A=∠C，∠B=∠D，则四边形ABCD是平行四边形；
③若AB∥CD，∠A=∠C，则四边形ABCD是平行四边形；
④若AB=CD，∠A=∠C，则四边形ABCD是平行四边形．
其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号）
5、解：①若AB=CD，AD∥BC，则四边形ABCD不是平行四边形，故①错误；
②若∠A=∠C，∠B=∠D，则四边形ABCD是平行四边形；故②正确；
③若AB∥CD，∠A=∠C，则四边形ABCD是平行四边形，故③正确；
④若AB=CD，∠A=∠C，则四边形ABCD不是平行四边形，故④错误．
故答案为：②③．
6、如图，已知在四边形BCDE中，CD∥BE，点F是DE的中点，连接CF交BE于点A，且
点E是AB的中点，求证：四边形BCDE是平行四边形．
6、证明：∵CD∥BE，
∴∠D=∠AEF，
∵点F是DE的中点，
∴DF=EF，
在△CDF和△AEF中，
{∠D＝∠AEF
DF＝EF ，
CFD＝∠AFE
∴△CDF≌△AEF（ASA），
∴CD=AE，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
∴CD=BE，
又∵CD∥BE，
∴四边形BCDE是平行四边形．
六、用
（一）必做题1、如图，甲、乙二人给出了条件来证明四边形 ABCD为平行四边形，下列判断正确的是（
）
甲：AB∥CD，AD=BC；
乙：∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：1：2
A．甲可以，乙不可以
B．甲不可以，乙可以
C．两人都可以
D．两人都不可以
1、解：甲、由AB∥CD，AD=BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故甲不可以；
乙：∵∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：1：2，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，故乙可以；
故选：B．
2、在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，点F是DE延长线上一点，连
接CF．添加下列条件后，不能判断四边形 BCFD是平行四边形的是（ ）
A．BD∥CF B．DF=BC
C．BD=CF D．∠B=∠F
2、解：A、∵BD∥CF，DE∥BC，
∴四边形BCFD为平行四边形；故选项A不符合题意；
B、∵DF∥BC，DF=BC，
∴四边形BCFD为平行四边形；故选项B不符合题意；
C、由DF∥BC，BD=CE，不能判定四边形BCFD为平行四边形；故选项C符合题意；
D、∵DE∥BC，
∴∠B+∠BDF=180°，
∵∠B=∠F，
∴∠F+∠BDF=180°，
∴BD∥CF，
∴四边形BCFD为平行四边形；故选项D不符合题意；
故选：C．
3、下列条件中，不能判定四边形 ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，∠A=∠C B．AB∥CD，AD=BC
C．∠A=∠C，∠B=∠D D．AB=CD，AD=BC
3、解：A、∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，∵∠A=∠C，
∴∠B+∠A=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AB∥CD，AD=BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意；
C、∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
4、如图，E，E是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
4、证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFE=∠BEF．
∴∠DFC=∠BEA，
∵AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF，即CF=AE，
在△CDF和△ABE中，
{ DF＝BE
∠DFC＝∠BEA，
CF＝AF
∴△CFD≌△AEB（SAS）；
∴∠DAF=∠BAE，DC=AB，
∴DC∥AB．
∴四边形ABCD是平行四边形．
（二）选做题
5、如图，在▱ABCD 中，AE 平分∠BAD 交对角线 BD 于点 E，CF 平分∠DCB 交对角线 BD
于点F，连接AF，CE．
（1）若∠BCF=50°，求∠ADC的度数；
（2）求证：四边形AECF为平行四边形．
5、（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC+∠DCB=180°，∵CF平分∠DCB，
∴∠DCF=∠BCF=50°，
∴∠ADC=180°-∠DCF-∠BCF=180°-50°-50°=80°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠BAD=∠DCB，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠DCB，
1 1
∴∠BAE= ∠BAD，∠DCF＝ ∠DCB，
2 2
∴∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，∠AEB=∠DFC，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
6、已知：如图，在四边形 ABCD 中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为 E，F，延长 DE、
BF，分别交AB于点H，交BC于点G，若AD∥BC，AE=CF．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若∠DAH=∠GBA，GF=2，CF=4，求AD的长．
6、（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠BCF，
在△DAE和△BCF中，
{∠DEA＝∠BFC＝90°
AE＝CF ，
∠DAE＝∠BCF
∴△DAE≌△BCF（ASA），
∴AD=CB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠DAH=∠BCG，
AB∥CD，∴∠CGB=∠GBA，
∵∠DAH=∠GBA，
∴∠CGB=∠BCG，
∴BG=BC，
在Rt△CFB中，
∵BF=BG-FG=BC-2，CF=4，
∴BC2=BF2+CF2，
∴BC2=（BC-2）2+42，
∴BC=5．
∴AD=BC=5．
