文档内容
第 24 章 圆 章节整合练习（20 个知识点+40 题练
习）
章节知识清单练习
知识点1．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“ O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． ⊙
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意
一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣
弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
知识点2．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
知识点3．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．知识点4．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其
余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧
或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一
推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形
与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
知识点5．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌
握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角
的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是
“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成
同一条弧所对的圆周角和圆心角．
知识点6．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起
来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．知识点7．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设 O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外 d＞r ⊙
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以⇔确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定
该点与圆的位置关系．
（3）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
⇔ ⇔
知识点8．确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不
能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过
一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
知识点9．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在
三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而
一个圆的内接三角形却有无数个．
知识点10．直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫
切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设 O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和 O相交 d＜r ⊙
②直线l和⊙O相切⇔d＝r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
⊙ ⇔
知识点11．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆
心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角
形解决问题．
知识点12．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线
的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确
指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交
点，作半径，证垂直”．
知识点13．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
知识点14．切线长定理
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切
线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的
两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
知识点15．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做
圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
知识点16．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，
这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
知识点17．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2 R
π
（2）弧长公式：l＝ （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用 表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念π，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，
只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
知识点18．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝ r2
（2）扇形：由组成圆心π角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形 ＝ R2或S扇形 ＝ lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影π面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
知识点19．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的
高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧 ＝ •2 r•l＝ rl．
（4）圆锥的全面积：S全 ＝S底+Sπ侧 ＝ πr2+ rl
π π
（5）圆锥的体积＝ ×底面积×高注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
知识点20．圆柱的计算
（1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．
（2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高
（3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积
（4）圆柱的体积＝底面积×高．
章节题型整合练习
一．圆的认识
1．（2024秋•大丰区校级月考）在 中，最长的弦是 ，则 的半径为
A． B． C． D．
【分析】用圆的直径为圆中最长的弦求解即可．
【解答】解： 在 中，最长的弦是 ，
的直径为 ，
的半径为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了圆的相关概念，熟练掌握弦、直径、半径等概念成为解题的关键．
2．（2024秋•东海县月考）如图， 是 的直径， 是 上一点， ， 为 延长线上
一点，且 ，求 的度数．
【分析】根据圆的半径，可得等腰三角形，根据等腰三角形的性质，可得 与 ， 与 的关系，
根据三角形的外角的性质，可得关于 的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：如图，连接 ，
由 ，得 ， ．
由三角的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
．由 ，得 ．
由 ，即 ．
解得 ．
【点评】本题考查了圆的认识，利用了圆的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．
二．垂径定理
3．（2024秋•西平县校级期中）如图， 是 的直径， 于点 ．若 ， ，则
长是
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】连接 ，由垂径定理可知 ，设 ，则 ， ，在
△ 中，利用勾股定理求 ．
【解答】解：如图，连接 ，
， ，
，
设 ，
，，
在 △ 中，由勾股定理，
得 ，
即 ，
解得 ，
．
故选： ．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理的运用，关键是连接半径，将问题转化到直角三角形中，利用勾
股定理，列方程求解．
4．（2024•中山市校级模拟） 与 轴交于点 ， ，与 轴的正半轴交于点 ．若
，则点 的纵坐标为 ．
【分析】连接 ， ， ，过 作 于 ， 于 ，判定四边形 是矩形，得
到 ， ，由 ， ，得到 ，由垂径定理得到 ，
求 出 ， 得 到 ， 由 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 求 出 ，
，得到 ，由勾股定理求出 ，得到 ，
于是得到 的纵坐标．
【解答】解：连接 ， ， ，过 作 于 ， 于 ，
，四边形 是矩形，
， ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是 中点，
，
，
，
，
的纵坐标是 ．
故答案为： ．【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形，坐标与图形的性质，关键是由圆
周角定理判定 是等腰直角三角形，从而求出 、 的长，由勾股定理求出 的长．
三．垂径定理的应用
5．（2024秋•邗江区校级月考）高速公路的隧道和桥梁较多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以
为圆心的圆的一部分，路面 米，拱高 米，则此横截面所在圆的半径 米．
【分析】设圆的半径 米，则 米，根据已知条件及垂径定理得 米，
米，然后在 △ 中，由勾股定理构造关于 的方程，进而解方程求出 即可．
【解答】解：设圆的半径 米，则 米，
米， 米， ，
米， 米，
在 △ 中，由勾股定理得： ，
，
解得： ，
此横截面所在圆的半径 米．
故答案为： ．【点评】此题主要考查了垂径定理，理解垂径定理，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键．
6．（2024•旺苍县一模）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之
先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦 长 ，设圆心为 ， 交水面 于点 ，轮子
的吃水深度 为 ，求该桨轮船的轮子直径．
【分析】本题先表示 ，求解 ，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：设半径为 ，则 ，
．
， ，
．
在 中有 ，即 ，
解得
则该桨轮船的轮子直径为 ．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意在圆内构建直角三角形，利用勾股定理求出直径是解
答本题的关键．
四．圆心角、弧、弦的关系
7．（2024•南山区二模）如图，圆 的半径是4， 是弦， 且 是弧 的中点，则弦 的长
为
A． B． C．4 D．6【 分 析 】 连 接 ， ， ， 根 据 圆 周 角 定 理 得 ， 根 据 ， 得
，再根据等边三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：如图，连接 ， ， ，
，
，
是弧 的中点，
，
，
，
是等边三角形，
．
故选： ．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系
是关键．
8．（2024秋•浦东新区期中）如图， ， 是 的两条弦，且 ．
（1）求证： 平分 ；
（2）若 ， ，求半径 的长．
【分析】（1）已知 得到 ，又 ， ，则△ △ ，根据全等三角
形的性质知， ，进而解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．【解答】证明：（1）连接 、 ，
．
，
， ，
在△ 与△ 中，
．
△ △ ，
，
平分 ；
（2）连接 并延长交 于 ，连接 ，
， 平分 ，
，
设 ，可得： ， ，
可得： ， ， ，
解得： ， ，
半径 的长 ．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用圆中半径相等的隐含条件，获得全等的条件，从
而利用全等的性质解决问题．
五．圆周角定理
9．（2024•鸠江区一模）如图所示，点 、 、 都在 上，若 ， ，则A． B． C． D．
【分析】过 、 作 的直径 ，分别在等腰 、等腰 中，根据三角形外角的性质求出
．
【解答】解：过 作 的直径，交 于 ．
在 中， ，
则 ，
同理可得： ，
故 ．
故选： ．
【点评】本题考查了圆周角定理，涉及了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关键是求出
及 的度数．
10．（2024•益阳三模）如图， 是 的直径， ，点 在 上， ， 为 的
中点， 是直径 上一动点，则 的最小值是 ．
【分析】首先利用在直线 上的同侧有两个点 、 ，在直线 上有到 、 的距离之和最短的点存在，
可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线 的对称点，对称点与另一点的连线与直线 的交点就
是所要找的点 的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算．【解答】解：作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ，则 点就是所求作的点．
此时 最小，且等于 的长．
连接 ， ，
，
，
，
，
，
，
则 ，又 ，
则 ．
【点评】此题主要考查了确定点 的位置，垂径定理的应用．
六．圆内接四边形的性质
11．（2024•雨花台区模拟）如图，四边形 是 的内接四边形， 是 的直径，连接 ．若
，则 的度数是 ．
【分析】根据圆内接四边形的性质求出 ，根据圆周角定理得到 ，结合图形计算，
得到答案．
【解答】解： 四边形 是 的内接四边形，
，，
， ，
是 的直径，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的
关键．
12．（2024秋•阜宁县校级月考）如图， ， ， ， 是 上的四个点， ，
交 于点 ．
（1）判断△ 的形状，证明你的结论；
（2）①若 是 的中点，求证： ；
②若点 在 上移动，判断 是否成立，证明你的结论．
【分析】（1）根据圆周角定理得到 ， ，根据等边三角形的判定
定理证明；
（2）在 上截取 ，得到△ 为等边三角形，证明△ △ ，根据全等三角形的性
质，结合图形证明即可．
【解答】（1）解：△ 是等边三角形，
理由如下：由圆周角定理得， ， ，
△ 是等边三角形；
（2）① 是 的中点，
，
，
，垂直平分线段 ，
是直径，
，
，
，
．
② 成立；
证明：在 上截取 ，
，
△ 为等边三角形，
， ，
在△ 和△ 中，
，
△ △
，
．
【点评】本题考查的是圆周角定理，全等三角形的判定和性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的
圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
七．点与圆的位置关系
13．（2024•高邮市校级模拟）已知 的半径是6，点 是平面内一点且 ，则点 与 的位置关
系是
A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．无法确定【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法对点 与 的位置关系进行判断即可．
【解答】解： 的半径为6， ，
点 到圆心的距离大于圆的半径，
点 在 外．
故选： ．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，熟知设 的半径为 ，点 到圆心的距离 ，则点 在圆
外 ；点 在圆上 ；点 在圆内 是解题的关键．
14．（2024秋•西湖区校级月考）如图，在三角形 中， ， ， ， 是高线，
是中线．
（1）以点 为圆心，3为半径作圆 ，则点 ， ， 与圆 的位置关系如何？
（2）若以点 为圆心作圆 ，使 ， ， 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆 的
半径 的取值范围？
【分析】（1）先利用勾股定理计算出 ，再利用等面积法求出 ，然后根据点与圆的位置关
系进行判断即可；
（2）使 ， ， 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，根据 ， ， 可
知， 必定在圆外， 必定在圆内，据此求出半径范围即可．
【解答】解：（1） ， ， ，
根据勾股定理列式可得： ，
，
，
半径 ，
， ， ，
所以根据以上结论判断可得：点 在圆 上，点 在圆 内， 在圆 外；（2）由题意可知： ， ， ，
，即 ，
圆 的半径 的取值范围为 ．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，掌握通过圆心与点的距离和半径的大小关系判断点与
圆的位置关系是解题的关键；
八．确定圆的条件
15．（2024秋•高邮市校级月考）下列说法：①直径是弦；②半圆是弧；③半径相等的两个圆是等圆；④
长度相等的两条弧是等弧；⑤平面上任意三点能确定一个圆．其中正确的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据等圆、等弧和半圆的定义以及确定圆的条件，分别进行判断．
【解答】解：直径是弦，故①正确，
半圆是弧，故②正确，
半径相等的圆是等圆，故③正确，
没有说明在同圆或等圆中，故④错误，
应该强调在同一个平面内，故⑤错误，
正确的各数为3，
故选： ．
【点评】本题考查的是圆的认识，正确记忆相关知识点是解题关键．
16．（2023秋•海州区校级期中）不在同一条直线上的 个点确定一个圆．
【分析】根据确定圆的条件作答即可．
【解答】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
故答案为：三．
【点评】本题考查确定圆的条件，掌握确定圆的条件是解题的关键．
九．三角形的外接圆与外心
17．（2024秋•武进区校级月考）如图， 是 的外接圆， ， 是 的中点，连接 并
延长交 于点 ，连接 ，则 的度数为 ．【分析】连接 ，根据圆内接四边形的性质得到 ，根据垂径定理得到 ，
求得 ，根据等腰三角形的性质得到 ，即可求出 的度数．
【解答】解：连接 ，
四边形 是圆内接四边形， ，
，
，
是边 的中点，
，
，
，
故 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，根据
圆周角定理求出 的度数、垂径定理证得 是解决问题的关键．
18．（2024秋•建邺区校级月考）如图， 是等腰△ 的外接圆， ， ．求
的半径．【分析】可通过构建直角三角形进行求解．连接 ， ，那么 ．在直角三角形 中，有
， 的值， 就能求出了；在直角三角形 中，用半径表示出 ， ，然后根据勾股定理就
能求出半径了．
【解答】解：连接 交 于点 ，连接 ， ，
，
，
，
，
， ，
， ，
，
设 的半径为 ，
则在 △ 中， ， ， ，
所以 ，
解得 ．
答： 的半径为6.25．
【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理和勾股定理的综合运用是解题的关键．
一十．直线与圆的位置关系
19．（2024秋•渝中区校级月考）已知 的半径为3，圆心 到直线的距离为2，则 与直线的位置关系是
A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相离
【分析】判断直线和圆的位置关系：设 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ．①直线 和 相交
，②直线 和 相切 ，③直线 和 相离 ．圆心到直线的距离大于圆心距，直
线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，直线与圆相切．据此解答．
【解答】解：已知 的半径为3，圆心 到直线的距离为2，
，
直线与圆的位置关系为相交．
故选： ．
【点评】此题考查的是圆与直线的位置关系，解答本题的关键是掌握判断直线和圆的位置关系的方法：设
的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ．①直线 和 相交 ，②直线 和 相切 ，
③直线 和 相离 ．圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；
等于圆心距，直线与圆相切．
20．（2024•惠阳区校级三模）如图， 是 的内接三角形， 是 的直径， ， ，
弦 于 ，点 是 延长线上一点，且 ，连接 ．
（1）填空： ；
（2）判断 与 的位置关系，并说明理由；
（3）取 的中点 ，连接 ，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据垂径定理得到 ，根据圆周角定理得到结论；
（2）连接 ，根据垂径定理得到 ， ，根据全等三角形的性质得到
，根据切线的判定定理得到结论；
（3）根据圆周角定理得到 ，根据勾股定理得到 ，连接 ，根据三
角形中位线定理得到 ， ，求得 ，得到 ，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1） 弦 于 ， 是 的直径，
，
，
故答案为：30；
（2） 与 相切，
理由：连接 ，
弦 于 ， 是 的直径，
， ，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
与 相切；
（3） 是 的直径，
，
， ，
，
，
连接 ，点 是 的中点，
，
，
是 的中位线，
， ，
，
，
，
图 中 阴 影 部 分 的 面 积 的 面 积 扇 形 的 面 积 的 面 积
．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，垂径定理，扇形的面积的计算，三角形中位线定
理，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
一十一．切线的性质
21．（2024秋•江北区校级月考）如图， 与 相切于点 ， 的延长线交 于点 ，连接 ，
若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】由切线的性质得出 ，求出 ，由等腰三角形的性质可得出答案．【解答】解：如图所示，连接 ，
与 相切于点 ，
，
，
，
，
，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
22．（2024•鼓楼区校级模拟）如图， 的直径是 ， 、 是它的两条切线， 与
相切于点 ，并与 、 分别相交于 、 两点，设 ， ，则 与 的函数解析式为
．
【分析】作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理及切线的性质定理即可求出 关于 的函数解析式；求
出自变量的取值范围．
【解答】解：如图，过点 作 于点 ；
、 分别是 的切线，
，
又 ，
四边形 为矩形，， ；
、 、 分别为 的切线，
， ， ；
；
由勾股定理得： ，
即 ，
整理得： ，
，
关于 的函数解析式 ，
故答案为 ．
【点评】该题考查了圆的切线及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用勾股定
理来解题．
一十二．切线的判定
23．（2022秋•无为市期末）如图，已知 的半径为1，圆心 在抛物线 上运动，当 与
轴相切时，请写出所有符合条件的点 的坐标为 ．【分析】设点 的坐标为 ，则 ，由 与 轴相切，得 或 ，则 或
，解方程求出 的值即可．
【解答】解：设点 的坐标为 ，
点 在抛物线 上，
，
的半径为1，
当 与 轴相切时， 或 ，
当 时，则 ，
解得 ， ；
当 时，则 ，
解得 ，
点 的坐标为 或 或 ，
故答案为： ， ， ．
【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、直线与圆的位置关系、一元二次方程的解法等知识与方法，
正确理解直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径是解题的关键．
24．（2024秋•盐都区期中）如图，在四边形 中， ， 相交于点 ，且 ，经过
， ， 三点的 交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求证： 是 的切线．【分析】（1）根据 ，可得 ， ，两式相减即得 ，
结论得证；
（2）连接 并延长交 于 点，再连接 ，可得 ，再根据已知证明
，进而得 ，从而得 即可．
【解答】证明：（1） ，
，
，
，
又 ，
，
，
即： ，
；
（2）连接 并延长交 于 点，再连接 ，
为 直径，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，且 为 的半径，
是 的切线．
【点评】本题考查圆周角的性质、直角三角形的性质、切线的判定定理，读懂题意是解决问题的关键．
一十三．切线的判定与性质
25．（2023秋•龙岩期末）如图， 是 的外接圆， 是 延长线上一点，连接 ， ， ，
且 ，点 是 中点， 的延长线交 于点 ，则下列结论：① ；②
垂直平分 ；③直线 和 都是 的切线；④ ．其中正确的结论是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④
【分析】由 ，点 是 中点，根据等腰三角形的“三线合一”可证明 垂直平分 ，可判
断②正确；因为 ， ，所以 ，可判断①正确；由
， 得 ， 则
， 再 证 明 ， ， 则
，可证明直线 和 都是 的切线，可判断③正确；假设 正确，，可推导出 ，则 ，与已知条件不符，所以
不正确，可判断④错误，于是得到问题的答案．
【解答】解： 点 是 中点，
，
，
，
垂直平分 ，
故②正确；
，
，
，
故①正确；
，
，
，
，
，
，
， ，
， ，
，
、 都是 的半径， ， ，
直线 和 都是 的切线，
故③正确；假设 正确，则 ，
，
，
，显然与已知条件不符，
不正确，
故④错误，
故选： ．
【点评】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、圆周角定理、线段的垂直平分线的性质、三角形内角
和定理、四边形的内角和等于 等知识，证明 是解题的关键．
26．（2024•青秀区校级三模）如图， 为 的直径，过圆上一点 作 的切线 交 的延长线
于点 ，过点 作 ， 交 于点 ，连接 ．
（1）求证：直线 与 相切；
（2）若 ， ，求 的长．
【分析】（1）连接 ，由切线的性质可得 ，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得
平分 ，从而可得 ，进而可证 ，最后利用全等三角形的性质即可解答；
（2）设 的半径为 ，先在 中，利用勾股定理求出 的长，再利用（1）的结论可得 ，
最后在 中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接 ，与 相切于点 ，
，
，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
是 的半径，
直线 与 相切；
（2）解：设 的半径为 ，
在 中， ，
，
，
，
，
由（1）得： ，
，
在 中， ，
，，
，
的长为6．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判
定与性质，以及勾股定理是解题的关键．
一十四．切线长定理
27．（2023秋•邻水县期末）如图，四边形 是 的外切四边形，且 ， ，则四边形
的周长为
A．44 B．42 C．46 D．47
【分析】根据圆外切四边形的对边之和相等求出 ，根据四边形的周长公式计算即可．
【解答】解： 四边形 是 的外切四边形，
，
四边形 的周长 ，
故选： ．
【点评】本题考查的是切线长定理，掌握圆外切四边形的对边之和相等是解题的关键．
28．（2023秋•玉环市校级期中）如图所示，过半径为 的 外一点 引圆的切线 ， ，连接
交 于 ，过 作 的切线，交 ， 分别于 ， ，如果 ， ，则△
的周长 ； 的度数 ．【分析】连接 ， ，根据勾股定理可得 ，再由切线长定理可得 ， ，
，可求出△ 的周长；再证明△ △ ，可得 ，从而得到
，即可求解．
【解答】解：如图，连接 ， ，
， ，
，
， ， 为 切线，
， ， ， ，
△ 的周长 ，
即△ 的周长为 ；
， ， ，
△ △ ，
，
同理 ，
，
， ，
，
，
故答案为： ； ．
【点评】本题主要考查了切线长定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，灵活运用
切线长定理是解决问题的关键．
一十五．三角形的内切圆与内心
29．（2024秋•泰兴市校级月考）如图，点 是△ 的内心，若 ，则 ．【分析】先根据三角形的内心的定义得到 平分 ， 平分 ，根据角平线的定义得
，再根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解： ，
，
点 是△ 的内心，
平分 ， 平分 ，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了三角形内心的概念，角平分线的定义，掌握三角形内心的定义是解题的关键．
30．（2024秋•秦淮区校级月考）如图， △ 中， ， ， ， ， 是△
的内切圆，求 的半径 （用含 、 、 的代数式表示）．
（1）小旭同学用面积法，可以构建关于 的方程 ．
解得 （结果用含 、 、 的代数式表示）．
小辰同学由切线长定理，可以构建关于 的方程 ．
解得 （结果用含 、 、 的代数式表示）．
（2）两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明．
【分析】（1）方法一：利用面积法求解；方法二：根据切线长定理，找出 ， ， ， 的关系，可得答
案；
（2）相等．利用平方差公式证明即可．
【解答】解：（1）在 △ 中， ， ， ， ， 为 的内切圆，
， 分别为切点， 的半径为 ，
方法一：如图，连接 ， ， ， ， ， ，则 ， ， ．，
，
；
方法二： ，
四边形 是矩形，
，
四边形 是正方形，
由切线长定理可知 ， ， ，
，
，
，
，
．
故答案为： ， ； ， ；
（2）相等．
理由： ，
，
．
【点评】本题考查三角形内切圆与内心，切线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识
解决问题．
一十六．正多边形和圆31．（2023秋•德宏州期末）如图，正六边形 内接于 ，半径为6，则这个正六边形的边心距
为
A．4 B． C． D．
【分析】连接 、 ，证明 是等边三角形，得出 ，由垂径定理求出 ，再由勾股
定理求出 即可．
【解答】解：连接 、 ，如图所示：
则 ，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；
熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出 是解决问题的关键．
32．（2024秋•台江区校级月考）如图，正方形 内接于 ， 是 的中点，连接 ， ，
．求证： ．【分析】连接 ，由 ，得 ， ，由正方形的性质得 ，
，可推导出 ，即可证明△ △ ，则 ．
【解答】证明：连接 ，
是 的中点，
，
， ，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
．【点评】此题重点考查圆周角定理、正方形的性质、正多边形与圆、全等三角形的判定与性质等知识，正
确地作出辅助线并且证明△ △ 是解题的关键．
一十七．弧长的计算
33．（2024秋•梁溪区校级月考）若某圆弧所在圆的直径为2，弧所对的圆心角为 ，则这条弧长为
A． B． C． D．
【分析】弧长 是弧所对应的圆心角度数），代入计算即可．
【解答】解： ．
故选： ．
【点评】本题考查了弧长计算公式，解题的关键是掌握．
34．（2024秋•青秀区校级月考）若某圆弧所在圆的半径为2，弧所对的圆心角为 ，则这条弧长为
．
【分析】直接根据弧长公式计算即可．
【解答】解：这条弧的长 ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了弧长的计算，正确的代入数据并进行正确的计算是解题的关键．
一十八．扇形面积的计算
35．（2024秋•东城区校级月考）半径为4的圆中，圆心角为 的扇形面积为 ．【分析】根据扇形面积计算公式直接计算即可求解．
【解答】解：由题意得， ， ，
扇形的面积 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了扇形的面积，掌握据扇形面积计算公式是解题的关键．
36．（2024•泗水县二模）如图，在正方形网格中，点 ， ， ， 均在格点上，过 ， ， 的弧交
于点 ，若每个正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为 （结果保留
【分析】设过 ， ， 的弧的圆心为 ，连接 、 、 ，由勾股定理得 ，
， 进 而 由 勾 股 定 理 的 逆 定 理 得 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 再 由 圆 周 角 定 理 得
， ， 为半圆的直径，则 ，然后由等腰直角三角形
的性质得 ， ，即可解决问题．
【解答】解：如图，设过 ， ， 的弧的圆心为 ，连接 、 、 ，
由勾股定理得： ， ， ，
， ，
是等腰直角三角形， ，
，
， 为半圆的直径，，
，
， ，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理、与圆有
关的计算等知识，熟练掌握勾股定理和圆周角定理是解题的关键．
一十九．圆锥的计算
37．（2023秋•滨湖区期末）用半径为5的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径等于
A．3 B．5 C． D．
【分析】用到的等量关系为：圆锥的弧长 底面周长．
【解答】解：设底面半径为 ，则底面周长 ，半圆的弧长 ，
．
故选： ．
【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式，弧长公式求解．
38．（2024•邹城市一模）如图，从一个半径为 的圆形铁片中剪出一个圆心角为 的扇形，再将剪下
的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为 ．【分析】利用勾股定理易得扇形的半径，那么就能求得扇形的弧长，除以 即为圆锥的底面半径．
【解答】解：易得扇形的圆心角所对的弦是直径，
扇形的半径为 ，
扇形的弧长为： ，
圆锥的底面半径为： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：90度的圆周角所对的弦是直径；圆锥的侧面展开图的
弧长等于圆锥的底面周长．
二十．圆柱的计算
39．（2023•兴义市校级模拟）一个圆柱的侧面展开正好是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是
A． B． C． D．
【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，如果圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，那么这个圆柱的底面周长
和高相等，根据圆的周长公式： ，那么 ，据此解答．
【解答】解：这个圆柱的底面直径与高的比是 ．
故选： ．
【点评】此题考查了圆柱的计算，考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征，圆的周长公式、比的意
义及应用．
40．（2022•常山县模拟）一个圆柱的底面半径为 ，母线长为 ，则这个圆柱的侧面积为 ．【分析】圆柱侧面积 底面周长 高．
【解答】解：圆柱的底面周长为： ，
侧面积为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了圆柱侧面积的计算方法，解题的关键是牢记圆柱的侧面积公式．
