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2.5.1 二次函数与一元二次方程教学设计
课题 2.5.1二次函数与一元二 单元 2 学科 数学 年级 九
次方程
y=ax2 +bx+c
1．理解二次函数 的图象与 x 轴交点的个数与一元二次方程
学习 ax2 +bx+c=0
根的个数之间的对应关系；
目标
2．会利用二次函数的图象与x轴交点的横坐标解相应的一元二次方程．
重点 y=ax2 +bx+c
理解二次函数 的图象与x轴交点的个数与一元二次方程
ax2 +bx+c=0
的根的个数之间的关系。
难点
理解一元二次方程
ax2 +bx+c=0
的根就是二次函数
y=ax2 +bx+c
与x轴交点的横
坐标．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式
△ =______。
当△﹥0时，方程根的情况是________________； 首先利用所
当△=0时，方程根的情况是_________________；
学习过的一元一
当△﹤0时，方程根的情况是______________。
2、二次函数 y=ax2+bx+c(a、b、c 是常数，且 次 方 程
让学生独立解
y=−5t2 +v t+h
a≠0)图像是一条___________，它与x轴的交点有 0 0
决3个问题，
几种可能的情况？ 和 一 次 函 数
学生口答，教
h=−5t2 +40t
师对应课件展
示答案. 的 关 系 进 行 回
3.如图，一次函数 y=-3x+3 与 y=x-2 两直线相
顾，让学生进一
交，请问如何求它们的交点P？
步理解和掌握所
学知识，为本课
的学习做铺垫，
最 后 提 出 问 题
“一元二次方程
知识点：把函数转化为方程求解。 −5t2 +40t=0
5
{ x= 和 二 次 函 数
{ y=x−2 4 y=ax2 +bx+c(a≠0)
列为 解得
y=−3x+3 3
y=
4 ，它们之间是否
5 3
也存在一定的关
所以P坐标为（ ，- ）
4 4
系呢？”自然引
入新课.讲授新课 1.我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运
动时间t(s)的关系可以近似地用公式
y=−5t2 +v t+h
0 0表示，其中h(m)是抛出时的
0
问 题 情 境 的 创
高度，v(m/s)是抛出时的速度． 设，意在让学生
0
初步感受二次函
一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，
数在生活中的应
小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系
用模型，同时通
如图所示，观察并思考下列问题： 学生尝试独立
过设置疑问，激
解决，交流、
发 学 生 的 求 知
汇报.
欲，培养学生的
学习兴趣，感受
数学在生活中的
应用，增强应用
（1）h和t的关系式是什么？ 意识.
h=−5t2 +40t
（2）小球经过多少秒后落地?
你有几种求解方法?与同伴进行交流．
[方法一]看图象可知，8秒落地
[方法二]解方程：−5t2 +40t=0
2 2 2
2.分别求出二次函数y=x +2x,y=x -2x+1,y=x -
2x+2的图象与x轴的交点的坐标,并快速作出草
图.
让学生通过
自己动手去画二
y y=x-
y=x
让学生以小组 次函数图象，一
= 2x+
-2x 为单位进行讨
方面可以使其进
x 2 论，充分发表
+1 一步复习掌握二
自己的见解,
+
次函数图象的画
（1）观察二次函数 y=x 2 +2x,y=x 2 -2x+1,y=x 2 - 寻求最合理的
2x 法，巩固已学知
2x+2的图象，每个图象与x 轴有几个交点？ 答案.
识；另一方面使
(2) 一元二次方程x2+2x=0, x2-2x+1=0有几个根? 教师进行巡
其直观感受到二
视，参与到学
验证一下一元二次方程 x2-2x+2=0 有根吗?
生的讨论之 次函数
(3)说说二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点 中，解答学生 y=ax2+bx+c(a≠0)
的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么 的疑难问题， 与 x 轴交点的三
关系? 获取信息，为
种情况，为探讨
讲解做准备.二次函数与一元
二次方程之间的
关系做铺垫，学
整理：
生很容易发现二
者之间的联系，
进而降低了课本
难度，利于学生
[想一想] 何时小球离地面的高度是60m？
理 解 和 掌 握 新
你是如何知道的？
举手学生回
知.
答，口述自己
解法1：令h=60
的想法和思考
−5t2 +40t=60
结果，有不同
t2 −8t+12=0 见解的学生发
(t−2)(t−6)=0 表看法
t =2，t =6
1 2
故2s和6s时，小球离地面的高度是60m．
对本节课知识
进行巩固练
解法2：看图象．
习，同时也提
升题目的难
度，使学生能
够综合应用.
提升其解决问 在学生初步掌握
题的能力和应 一定技能之后，
例、 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋
用能力. 将技能训练寓于
2(m≠0)．
问题的解决过程
(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；
中．培养学生应
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它 用数学的意识，
增强学习数学的
们的横坐标都是整数，求正整数m的值．利
兴趣和信心，使
用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数
其解题能力和应
的简图，利用简图和性质求出.
用能力得到进一
步提升.
课堂练习 1.若一元二次方程x2−mx+n=0无实根，则抛物
线y=x2−mx+n的图象位于（ ）
A.x轴上方 B.第一、二、三象限
C.x轴下方 D.第二、三、四象限2 及时练习巩固，
2.二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则方程
体现学以致用的
2
ax+bx+c=0的根是（ ） 学生自主动手 观念，消除学生
解决，老师进 学无所用的思想
A.x=1，x=-1 B.x=0，x=2
1 2 1 2
行订正。 顾虑。
C.x=-1，x=2 D.x=1，x=0
1 2 1 2
3. 已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则
a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围
是 .
2
4. 一元二次方程 3 x+x－10=0的两个根是x=
1
5 2
－2 ，x= ，那么二次函数 y= 3 x+x－10与x
2 4
轴的交点坐标是
.
5. 如图，你能直观看出哪些方程的根；
6.如图，某学生推铅球，铅球出手（点A处）的高
度是0.6m，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当
运行到最高3m时，水平距离x=4m．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)该同学把铅球推出去多远？课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一 让学生与同伴交
起进行交流， 流获得结果，帮
共同回顾本节 助他分析，找出
知识 问题原因，及时
查漏补缺.
板书
§2.5.1二次函数与一元二次方程
分 别 求 出 二 次 函 数
y=x2+2x, y=x2- 例题
2x+1,y=x2-2x+2 的图象与
x轴的交点的坐标,并快速
作出草图.
学 生 活 动 区
